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专题4.1因式分解-提取公因式（知识讲解）
【学习目标】
1、了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；
2、能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.
【要点梳理】
要点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多
项式分解因式.
特别说明：
（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，
因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整
式乘法是一种运算.
要点二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
特别说明：
（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.
②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
要点三、提公因式法
把多项式 分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因
m
式 ，另一个因式是 ，即 ，而 正好
m
是 除以 所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
特别说明：
（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变
为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公
因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
【典型例题】
类型一、因式分解的概念
1、下列从左到右的变形中，是因式分解的有___________.
①(x＋5) (x－5) ＝x2－25 ②x2－9＝(x＋3) (x－3) ③x2＋2x－3＝(x＋3) (x－1)
④9x2－6x＋1＝3x(3x－2) ＋1 ⑤x＋1＝x(1＋ ) ⑥3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9)
【答案】②③⑥
解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，根据因式分解
的定义可得②③⑥属于因式分解.
举一反三：
【变式1】 判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分
解．
(1) a2－9b2＝(a＋3b) (a－3b) ； (2) 3y(x＋2y) ＝3xy＋6y2；
(3) (3a－1) 2＝9a2－6a＋1； (4) 4y2＋12y＋9＝(2y＋3) 2；
(5) x2＋x＝x2(1+ ) ； (6) x2－y2＋4y－4＝(x－y) (x＋y) ＋4(y－1)
．
【答案】(2) (3) 是整式乘法，(1) (4) 是因式分解．
【分析】根据因式分解和整式乘法的定义即可解答.
解：(1) (4) 的变形是把多项式化为整式乘积的形式，是因式分解；(2) (3) 是整式乘
法；(5) 虽然是把多项式化为积的形式，但(1＋ ) 不是整式，不是因式分解；(6)
运用乘法公式，结果不是整式乘积的形式，故既不是整式乘法，也不是因式分解．
(2) (3) 是整式乘法，(1) (4) 是因式分解．
【点拨】本题主要考察因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
【变式2】 下列变形中正确的因式分解有（ ）个．① ②
③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据因式分解的定义去判断即可．
解：根据因式分解的定义可知：
①是将一个多项式化成几个整式的积的形式，属于因式分解；
②是整式的乘法，不是因式分解；
③不是将一个多项式化成几个整式的积的形式，不属于因式分解；
④不能进行因式分解，则④中的变形不属于因式分解；
所以是因式分解的是①．
故选A．
【点拨】本题考查了因式分解的定义即把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，
即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，
也叫作把这个多项式分解因式，准确理解定义是解题的关键．
类型二、已知分解因式的结果求参数
2、若2x2+mx﹣1能分解为（2x+1）（x﹣1），求m的值．
【答案】m=﹣1
【分析】先把分解的结果利用多项式乘以多项式法则得到的结果为： ，利用
多项式相等的条件即可求出m的值．
解：∵ ，
∴ ，
则： ．
【点拨】题目主要考查因式分解的定义、多项式与多项式相乘及多项式相等的条件，
读懂题意及准确掌握多项式相等的条件是解题关键．
举一反三：
【变式1】 已知多项式 因式分解后有一个因式为 ，求 的值．
【答案】【分析】设2x3-x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），利用多项式的乘法运算法则展开，然后
根据对应项的系数相等列式可以求得m的值，
解：设2x3-x2+m=（2x+1）（x2+ax+b）．
则2x3-x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b．
比较系数．得： ，
解得： ，
．
【点拨】本题主要考查因式分解的意义，解决此题的关键是灵活利用因式分解建立与
方程之间的关系来解决问题．
【变式2】 若多项式 含有因式 ，则 的值是________．
【答案】2
【分析】设另一个因式是 ，根据已知得出 ，再进行化
简，即可求出 、 值．
解：∵多项式 含有因式 ，
∴设另一个因式是 ，
则 ，
∵
，
∴ ， ，
解得： ， ，
故答案为：2．【点拨】本题考查因式分解的意义，掌握因式分解的意义，利用待定系数法确定利用
一个因式是解题关键．
类型三、公因式的识别
3、多项式 ， 与 的公因式为______．
【答案】
【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．
解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，
所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）．
故答案： ．
【点拨】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项
式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取
次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．
举一反三：
【变式1】 单项式－12x12y3与8x10y6的公因式是________．
【答案】4x10y3
解：运用公因式的概念，系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是x10y3，
可得公因式为4x10y3．
故答案为4x10y3.
点睛：此题主要考查了找公因式的方法，系数的最大公约数，相同字母的最低指数次
幂，即可求解.
【变式2】 多项式8x2myn﹣1﹣12xmyn中各项的公因式为_____．
【答案】4xmyn﹣1
【分析】先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指
数次幂．
解：系数的最大公约数是4，各项相同字母的最低指数次幂是xmyn﹣1，
所以公因式是4xmyn﹣1，
故答案为：4xmyn﹣1．
【点拨】此题考察多项式因式分解中公因式的确定方法，系数取最大公约数，字母取
相同字母的最低指数次幂．
类型四、提公因式法分解因式4、把下列各式因式分解：
（1） （2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1） 提取公因式 ，即可得到答案；
（2）先把原式化为 ，再提取公因式 ，即可得到答案 ．
解：（1） ，
原式 ；
（2） ，
原式 ，
．
【点拨】本题考查用提公因式法进行因式分解，找出题目中的公因式是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 分解因式：6（x+y）2+2（y﹣x）（x+y）．
【答案】
【分析】先提公因式 ，再根据整式的加减计算括号内的，最后再提公因数4，
即可求解．
解：：6（x+y）2+2（y﹣x）（x+y）【点拨】本题考查了因式分解，掌握提公因式法因式分解是解题的关键．
【变式2】 分解因式：
【答案】
【分析】先把原式化为： ，再提取公因式分解因式即可.
解：
【点拨】本题考查的是提公因式分解因式，掌握“公因式的确定，特别是互为相反数
的两个因式的互相转换”是解题的关键.
类型五、提取公因式的应用
5、观察等式，回答问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次；
（2）若分解因式1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2015，则需应用上述方法
次，结果是 ；
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n．
【答案】（1）提取公因式法，3；（2）2016，（1+x）2016；（3）（1+x）n+1．
【分析】（1）根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；
（2）根据已知分解因式的方法可以得出答案；
（3）由（1）中计算发现规律进而得出答案．
解：（1）1+x+x（x+1）+x（x+1）2
＝（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3，
上述分解因式的方法是提取公因式法，共应用了3次；
故答案为：提取公因式法，3；
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2015，
=（1+x）[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2014]
=（1+x）2[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2013]
……
=（1+x）2016
则需应用上述方法2016次，结果是（1+x）2016；
故答案为：2016，（1+x）2016；
（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n
=(1＋x) [1＋x＋x(x＋1) ＋x(x＋1) 2＋…＋x(x＋1) n－1]
=(1＋x) 2[1＋x＋x(x＋1) ＋x(x＋1) 2＋…＋x(x＋1) n－2]
=(1＋x) 3[1＋x＋x(x＋1) ＋x(x＋1) 2＋…＋x(x＋1) n－3]
……
=(1＋x) n(1＋x)
=(1＋x) n＋1．
【点拨】本题考查的知识点是因式分解-提公因式法，解题的关键是熟练的掌握因式分
解-提公因式法.
举一反三：
【变式1】 把下列各式分解因式：
（1）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m） （2）﹣8a2b＋12ab2﹣4a3b3
【答案】（1）2m（m﹣n）（5m﹣n）；（2）﹣4ab（2a﹣3b＋a2b2）
【分析】（1）直接提取公因式2m（m﹣n），进而分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式﹣4ab，进而分解因式得出答案．
解：（1）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）
＝2m（m﹣n）[（m﹣n）＋4m]
＝2m（m﹣n）（5m﹣n）；
（2）﹣8a2b＋12ab2﹣4a3b3
＝﹣4ab（2a﹣3b＋a2b2）．
【点拨】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．【变式2】 先分解因式，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，48
【分析】先将原式变形，再提取公因式，整理即可．
解：
；
当 时，原式
．
【点拨】本题考查了提取公因式法分解因式及代入求值，正确确定公因式是解题关键．
