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专题 14.5 解题技巧专题：特殊的因式分解法之五大类型
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目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【类型一 提多项式的公因式的因式分解法】................................................................................................1
【类型二 综合利用提公因式法和公式法因式分解】....................................................................................2
【类型三 十字相乘法因式分解】....................................................................................................................4
【类型四 分组分解法因式分解】....................................................................................................................9
【类型五 因式分解的应用】..........................................................................................................................14
【过关检测】...........................................................................................................................................17
【典型例题】
【类型一 提多项式的公因式的因式分解法】
例题：（2023秋·新疆阿克苏·八年级统考期末）分解因式： ．
【变式训练】
1．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）分解因式： ．
2．（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）分解因式： ．
【类型二 综合利用提公因式法和公式法因式分解】
例题：（2023春·江苏苏州·七年级期末）把下列各式分解因式：
(1) ； (2) ．【变式训练】
1．（2023春·湖南怀化·七年级溆浦县第一中学校考期中）因式分解：
(1) (2)
2．（2022秋·四川巴中·八年级统考期中）因式分解：
(1) ； (2)
【类型三 十字相乘法因式分解】
例题：（2023春·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式； ．
第一步：二次项系数2可以写成 ，常数项 可以写成 或 ；
第二步：如下图，画“×”号，将1、2写在“×”号左边，将 、3或1、 写在“×”号的右边，共有如下图
的四种情形：
第三步：验算“交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数：
①的系数为 ；②的系数为 ；
③的系数为 ；④的系数为 ．
显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此有： ．像这样，通
过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
问题：(1)分解因式： ；
①完善下图中“×”号右边的数使得；“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数；
②分解因式： _______；
(2)分解因式： ．
①完善横线上的数字；
②分解因式： ________．
【变式训练】
1．（2023春·广西北海·七年级统考期中）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解
例如： 求：
(1)
(2)2．（2023春·广西梧州·七年级统考期中）阅读理解题
在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘
法公式运算来进行因式分解，
基本式子为： ，
例如：分解因式 ， ， ，
按此排列： 交叉相乘，乘积相加等于 ，
得到 ，这就是十字相乘法．
利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)先分解因式，再求值： ，其中 ．
3．（2023春·湖南岳阳·七年级统考期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式 的方法（如
图）．
第一步：二次项 ；
第二步：常数项 ，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；
第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项 ．即 ．
像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．
运用结论：
(1)将多项式 进行因式分解，可以表示为 _______________；
(2)若 可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数 的所有可能值．
4．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）阅读下列材料：将一个形如 的二次三项式因式分解时，
如果能满足 且 ，则可以把 因式分解成 ．
例如：（1） ；（2） ．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【类型四 分组分解法因式分解】
例题：（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）《义务教育数学课程标准（2022年版》关于运算能
力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，因此，我们面对没有学过的数学
题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法
——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的
方法进行分解．例题：用拆项补项法分解因式 ．
解：添加两项 ．
原式
请你结合自己的思考和理解完成下列各题：
(1)分解因式： ；
(2)分解因式 ；
(3)分解因式： ．
【变式训练】
1．（2023春·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用
公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”
分法、“3+2”分法“3+3”分法等．
如“2+2”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)分解因式： ；
(3)分解因式： ．2．（2023春·山东青岛·八年级统考期末）【问题提出】：分解因式：（1） （2）
【问题探究】：某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究：
探究1：分解因式：（1）
分析：甲发现该多项式前两项有公因式 ，后两项有公因式 ，分别把它们提出来，剩下的是相同因式
，可以继续用提公因式法分解．
解：
另：乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式 ，第一项和第三项含有公因式 ，把 ， 提出来，
剩下的是相同因式 ，可以继续用提公因式法分解．
解：
探究2：分解因式：（2）
分析：甲发现先将 看作一组应用平方差公式，其余两项看作一组，提出公因式6，则可继续再提出
因式，从而达到分解因式的目的．
解：
【方法总结】：对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式
分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”
继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法：
【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题；
（1）分解因式： ；
（2）分解因式： ；
【拓展提升】：
（3）分解因式： ．【类型五 因式分解的应用】
例题：（2023秋·广东深圳·九年级校考开学考试）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这
样一条信息： ， ， ， ， ， 分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、
美，现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．中华游 C．爱我中华 D．美我中华
【变式训练】
1．（2023春·浙江宁波·七年级校考期中）已知正方形 的边长为b，正方形 的边长为 ．
如图1，点H与点A重合，点E在边 上，点G在边 上，记阴影部分的面积为 ；如图2，在图1正
方形位置摆放的基础上，在正方形 的右下角又放了一个和正方形 一样的正方形，使一个顶点
和点C重合，两条边分别落在 和 上，记阴影部分面积为 和 ． 若 ， ，则 的值是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023春·广东深圳·八年级统考期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法
直接使用上述方法分解，如 ，我们可以把它先分组再分解：
，这种方法叫做分组分解法．
请解决下列问题：
(1)分解因式： ；(2)已知a，b，c是 的三边，且满足 ，请判断 的形状，并说明理由，
3．（2023秋·山西临汾·八年级统考阶段练习）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面
积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到 ．请回答下列问题：
(1)写出图2中所表示的数学等式：___________．
(2)利用（1）中所得的结论，解决下列问题：已知 ， ，求 的值．
(3)图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个长为b、宽为a的长方形纸片．请按要
求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在所给的方框内，要求所拼的几何图形的面积为
．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023春·重庆·八年级重庆市南坪中学校校联考期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）
A． B．
C． D．
2．（2023春·湖南株洲·七年级校考期中）分解因式 ，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·八年级课时练习）已知a，b，c是 的三边长，且满足 ，则 的形状
为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
4．（2023秋·八年级课时练习）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息： ，
，3， ，a， 分别对应下列六个字：中，爱，我，数，学，一，现将 分
解因式，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学 B．爱一中 C．我爱一中 D．一中数学
二、填空题
5．（2023秋·云南红河·八年级统考期末）因式分解： = ．
6．（2023秋·四川成都·九年级成都七中校考开学考试）分解因式：
．
7．（2023秋·九年级课时练习）若实数 ， 满足 ，则 的值为 ．
8．（2023秋·八年级课时练习）已知 的三边长a，b，c满足 ，则 的形状为
．
三、解答题
9．（2023秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）因式分解：
(1) ；(2) ；
(3) ．
10．（2023秋·八年级课时练习）因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
11．（2023秋·八年级课时练习）因式分解：
(1)（添项） ；
(2)（拆项） ；
(3)（换元） ．
12．（2023秋·八年级课时练习）用十字相乘法分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ．13．（2023秋·八年级课时练习）对于形如 这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成
的形式．但对于二次三项式 ，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式
中先加上一项 ，使它与 的和成为一个完全平方式，再减去 ，整个式子的值不变，
于是有：
．
像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配
方法”．
阅读以上材料，解决下列问题．
(1)分解因式： ．
(2)当a为何值时，二次三项式 取得最小值．
14．（2023春·福建漳州·八年级校考期中）阅读理解∶
当一个多项式没有公因式又不能用公式法时，这里再介绍一种因式分解方法，叫分组分解法．
比如因式分解：
这种分组法是分组后用提公因式法分解；
比如因式分解：
这种分组法是分组后用公式法分解．
根据以上信息分解因式：
(1) ；
(2) ；(3) ．
15．（2023秋·山东淄博·八年级淄博市张店区实验中学校考阶段练习）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由 得， ；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，
例如：将式子 分解因式．
分析：这个式子的常数项 ，一次项系数 ，所以 ．
解：
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)分解因式： ；
(3)填空：若 可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值是多少？
16．（2023春·江西九江·八年级校考期中）某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有
提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“ ”，细心
观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产
生了新的公因式，然后再提取公因式．
“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)分解因式： ；
(2)分解因式： ；
(3) 的三边a，b，c满足 ，判断 的形状并说明理由．
