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专题 14.5 因式分解
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 判断是否因式分解】................................................................................................................................1
【考点二 已知因式分解的结果求参数】................................................................................................................3
【考点三 公因式】....................................................................................................................................................6
【考点三 提多项式的公因式的因式分解法】........................................................................................................7
【考点四 综合利用提公因式法和公式法因式分解】............................................................................................9
【考点五 十字相乘法因式分解】..........................................................................................................................13
【考点六 分组分解法因式分解】..........................................................................................................................16
【考点七 因式分解的应用】..................................................................................................................................19
【过关检测】............................................................................................................................................................23
【典型例题】
【考点一 判断是否因式分解】
例题：（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）下列各式因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解且正确的是（ ）
A． B．C． D．
3．（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（ ）
① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点二 已知因式分解的结果求参数】
例题：（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若 可以分解为 ，那么 的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式训练】
1．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）把多项式 分解因式，结果是 ，则a，b的
值为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知关于 的多项式 有一个因式为 ，则 的值
；
3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式是 ，得
则
解得∴另一个因式是 的值是
仿照上面的方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值；
(2)若二次三项式 有一个因式是 ，求a的值．
【考点三 公因式】
例题：（24-25八年级上·山东青岛·期中）把多项式 分解因式，应提的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）多项式 的公因式是 ．
2．（24-25九年级上·全国·期中）多项式 分解因式时应提取的公因式是 ．
3．（24-25八年级上·山东泰安·期中）多项式 的公因式是 ．
【考点三 提多项式的公因式的因式分解法】
例题：（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）分解因式： ．
2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ．
3．（23-24八年级上·全国·课后作业）用提公因式法将下列各式分解因式：
(1) ；
(2) ．【考点四 综合利用提公因式法和公式法因式分解】
例题：（24-25八年级上·北京·期中）分解因式：
(1) ；
(2) ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·北京·期中）分解因式
(1) ；
(2) ．
2．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4) ．
3．（24-25八年级上·山东青岛·期中）因式分解
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【考点五 十字相乘法因式分解】
例题：（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式：
【变式训练】1．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式：
(1) ；
(2) ．
2．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容
介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式 的分解因式的方法叫“十字
相乘法”．例如：将二次三项式 因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项 一次
项系数 ，则 ．如图所示：
仿照上述解决下列问题：
(1)因式分解： ；
小亮做了如下分析：
一次项为： ，则常数项为： ；
则 __________； =_________；
（ ）（ ）
(2)因式分解： ：
(3)若二次三项式 可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值．
3．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
① ；
② ；
③ ．通过以上计算发现，形如 的两个多项式相乘，其结果一定为 ．（p，q为整
数）
因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有 ，即可将形如
的多项式因式分解成 （p、q为整数）．
例如： ．
【初步应用】
（1）用上面的方法分解因式： _________；
【类比应用】
（2）规律应用：若 可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________；
【拓展应用】
（3）分解因式： ．
【考点六 分组分解法因式分解】
例题：（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提
公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，
进行分组分解．
例1：“两两分组”： 例2：“三一分组”：
解：原式 解：原式
． ．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题：
分解因式：(1) ；
(2) ．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下列材料：分解因式： ．
解1：
解2：
．
【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分
成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继
续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法：
【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题：
(1)分解因式：
(2)分解因式：
2．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）阅读以下材料，并解决问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，
比如多项式． ．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项
式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，
而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分
解．具体过程如下：
例1：
……………………分成两组
………………分别分解………………………提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四
项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)材料例1中，分组的目的是_________．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
_____________；
_____________．
(3)利用分组分解法进行因式分解： ．
【考点七 因式分解的应用】
例题：（24-25八年级上·山东威海·期中）我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过
三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利
用已经学过的方法进行分解因式．如：
分解因式：
．
利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)已知 的三边 满足 ，判断 的形状，并说明理由．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，
张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答：
因式分解：① ；
② ．
下面是晶晶和小舒的解法：
小舒：
晶晶：
（分成两组）
（分成两组）
（直接运用公式）
（直接提公因式）
请在她们的解法启发下解答下面各题：
(1)因式分解： ；
(2)已知 的三边a，b，c满足 ， 是什么三角形？
2．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）阅读下列材料：
对于多项式 ，如果我们把 代入此多项式，发现 的值为0，这时可以确定多项式中有
因式 ；同理，可以确定多项式中有另一个因式 ，于是我们可以得到： ．
又如：对于多项式 ，发现当 时， 的值为0，则多项式 有一个因式
，我们可以设 ，解得 ．
于是我们可以得到：
请你根据以上材料，解答以下问题：
(1)当 ______时，多项式 的值为0，所以多项式 有因式______，从而因式分解
______；
(2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多
项式： ．【过关检测】
一、单选题
1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·北京·期中）已知 ，则 的值是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
3．（24-25八年级上·北京·期中）已知 、 、 是 的三边，且满足 ，则 的
形状是（ ）．
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
4．（24-25八年级上·河南南阳·期中）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：
， ， ， ， ， 分别对应下列六个字：阳、爱、我、南、游、美，现将
因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．美我南阳 C．南阳游 D．我爱南阳
5．（重庆育才中学教育集团2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试题）已知多项式
（ 为常数），下列说法：
①当 时，无论 取何值，都有 ；
②若 且 ，则 ；
③若 ，则不存在整数 ，使得 ．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题
6．（24-25八年级上·全国·课堂例题）因式分解： ．
7．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ．
8．（24-25八年级上·北京·期中）若 ， ，则 的值为 ．
9．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知 ，其中k、q均为整数，则
．
10．（24-25八年级上·河南南阳·期中）若 ， 是等腰三角形 的两边长，且满足关系式
，则 的周长是 ．
三、解答题
11．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
12．（24-25八年级上·山东泰安·期中）分解因式
(1) ；
(2) ；
(3) ；(4) ．
13．（24-25八年级上·云南昆明·期中）整体思想是数学解题中常用的一种思想方法：
下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程．
解：令
原式 第一步
第二步
第三步
第四步
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是______．
A．提取公因式 B．公式法
(2)请你类比以上方法尝试对多项式 进行因式分解．
14．（24-25八年级上·山东烟台·期中）《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于运算能力的解释为：
运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力． 因此，我们面对没有学过的数学题时，方法
可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法—拆项补项
法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式转化为已学过的知识进行分解．
例题：用拆项补项法分解因式
解：添加两项
原式
请你结合自己的思考和理解完成下列各题：
(1)分解因式： ；(2)分解因式： ．
15．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我
们来温故一下因式分解的几种方法并练习！
（1）提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式： ；
（2）十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系
数．其实就是运用乘法公式 的逆运算来进行因式分解：
①分解因式 ；
②解方程： ．
（3）拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项．
① ；
② ；
除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等．
[综合应用]分解因式： ．
16．（24-25八年级上·福建泉州·期中）下面是一位同学仿解题过程，请仔细阅读，在理解的基础上，完成
相应的学习任务．若 是多项式 的一个因式，求 的值．
解： 是多项式 的一个因式，
设 （A为整式）．
当 时，则有 ．
将 代入 ，得 ．解得 ．
学习任务：
(1)若 是多项式 的一个因式，求出多项式中二次项的系数 的值；
(2)若 和 是多项式 的两个因式，求出多项式中三次项和一次项的系数 ，
的值．
17．（24-25八年级上·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当 或时，多项式 的值为0，把此时x的值称为多项式A的
零点．
(1)已知多项式 ，则此多项式的零点为________．
(2)已知多项式 有一个零点为2，求多项式B的另一个零点；
(3)订正：小聪继续研究 ， 及 等，发现在x轴上表示这些多项式零点的
两个点关于直线 对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式
是“3-系多项式”，则 ________， ________，
________．
18．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）数学教科书中这样写道：“我们把多项式 及
叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形．先添加一个适当
的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是
一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与负数
有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式 ；
例如求代数式 的最小值 ．可知当 时，
有最小值，最小值是 ，根据阅读材料，利用配方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)当a为何值时，多项式 有最值，并求出这个最值；
(3)当a，b为何值时，多项式 有最值，并求出这个最值．
