文档内容
14.3.2 运用平方差公式因式分解 教学设计
一、教学目标：
1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．
2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．
二、教学重、难点：
重点：利用平方差公式分解因式.
难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性.
三、教学过程：
复习回顾
填一填：
(1) (x+5)( x-5)=__________
(2) (3x+y)(3x-y)=__________
(3) (1+3a)( 1-3a)=__________
知识精讲
比一比，看谁算得快
(1) 982-22=_____
(2) 已知a+b=4，a-b=2，则a2-b2=____
你能说说算得快的原因吗？
把整式乘法的平方差公式 (a+b)(a-b) = a2-b2 的等号两边互换位置，就得到
运用平方差公式因式分解
a2-b2=(a+b)(a-b)，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
典例解析
例1.下列多项式不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．1-a2 B．-x2-16 C．a2b2-m2n2 D．a2-9b2【分析】解：A. 1-a2 =(1+a)(1-a)，故该选项不符合题意；
B. -x2-16，不能用平方差公式分解因式，故该选项符合题意；
C. a2b2-m2n2 =(ab+mn)(ab-mn)，故该选项不符合题意；
D. a2-9b2 =(a+3b)(a-3b)，故该选项不符合题意．
故选B．
辨一辨
下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？
(1) x2+y2 ( )__________________；(2) x2-y2 ( )____________________；
(3) -x2+y2 ( )__________________；(4) -x2-y2 ( )____________________.
【点睛】符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2
的形式. 简单说成“两数是平方，减号在中央.”
例2.分解因式：
(1) 4x2-9 (2) (x+p)2-(x+q)2
分析：在(1)中，4x2=(2x)2，9=32，4x2-9=(2x)2-32；
在(2)中，把(x+p)和(x+q)各看成一个整体，设x+p=m，x+q=n，则原式化为m2-n2.
解：(1) 4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)
(2) (x+p)2-(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)] =(2x+p+q)(p-q)
【点睛】公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平
方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
例3.分解因式：
(1) x4-y4 (2) a3b-ab
分析：对于(1)，x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式，这样就可以用平方差公式进行因式分解了；
对于(2)，a3b-ab有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解.
解：(1) x4-y4=(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y)
(2) a3b-ab=ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1)
【点睛】分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式
必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
【针对练习】分解因式：
1
(1) a2-25 b2 (2) 9a2-4b2 (3) x2y-4y (4) -a4+161 1 1
解：(1) a2- 25 b2=(a+5 b)(a-5 b)
(2) 9a2-4b2=(3a+2b)(3a-2b)
(3) x2y-4y=y(x2-4) =y(x+2)(x-2)
(4) -a4+16=16-a4=(4+a2)(4-a2) =(4+a2)(2+a)(2-a)
例4.计算下列各题：
(1)1012－992； (2)53.52×4－46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)×(101－99)＝400；
(2)原式＝4×(53.52－46.52)
=4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
【点睛】较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
【针对练习】利用因式分解简便运算:
(1) 9982-22 (2) 1.992-2.992 (3)1.222×9-1.332×4.
解:(1)原式=(998+2)(998-2)=1000×996=996000
(2)原式=(1.99+2.99)(1.99-2.99)=4.98×(-1)=-4.98
(3)原式=1.222×32-1.332×22
=(1.22×3+1.33×2)×(1.22×3-1.33×2)
=(3.66+2.66)×(3.66-2.66)
=6.32×1
=6.32
例5.求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n.
∵n为整数，
∴8n被8整除，
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
【点睛】解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式
子整除．
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1．下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．a2﹣b B．a2+2b2 C．9a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2
2．分解因式x4-1的结果为（ ）
A． B．
(x4+1)(x4-1) (x4+1)(x2-1)
C． D．
(x2+1)(x2-1) (x2+1)(x+1)(x-1)
3．已知x+ y=4,x- y=5，那么x2- y2的值为（ ）
A．5 B．4 C．9 D．20
4．当 为自然数时， 一定能被下列哪个数整除（ ）
m (4m+5) 2-9
A．5 B．6 C．7 D．8
5．因式分解：4m2-9=__________________．
6．分解因式： _______________．
25(x+ y) 2-4(x- y) 2=
7．若a-2b+2=0，a+2b-5=0.a2-4b2=_____.
8．若x+ y=1，则x2+2y-3- y2=______．
9．若a、b、c分别是三角形的3条边的长，请判断代数式 的值_______0（填“大
(a-b) 2-c2
于”、“小于”或“等于”）
10．因式分解．
(1)16x2-81y2； (2)3m2-27；
(3) (4) ．
a2(x- y)+4(y-x) (3a-2b) 2-(2a+3b) 2
11．计算：12-22+32-42+52-62+···+992-1002
12．（1）观察下列式子的因式分解做法：
①x2-1= ；
②
x3-1=x3-x+x-1=x(x2-1)+(x-1)=(x-1)(x2+x+1)
③
x4-1=x4-x+x-1=x(x3-1)+(x-1)=(x-1)(x3+x2+x+1)......
（2）模仿以上做法，尝试对x5-1进行因式分解；
（3）观察以上结果，猜想xn-1= ；（n为正整数，直接写结果，不用验证）
（4）根据以上结论，试求75+74+73+72+7+1的值．
【参考答案】
1. C
2. D
3. D
4. D
5. (2m+3)(2m-3)
6. (7x+3y)(3x+7y)
7. -10
8. -2
9. 小于
10.（1）解：16x2-81y2=(4x+9 y)(4x-9 y)；
（2）解： ；
3m2-27=3(m2-9)=3(m+3)(m-3)
（3）解：
a2(x- y)+4(y-x)=a2(x- y)-4(x- y)=(x- y)(a2-4)
=(x- y)(a-2)(a+2)；
（4）解： .
(3a-2b) 2-(2a+3b) 2=(3a-2b+2a+3b)(3a-2b-2a-3b)=(5a+b)(a-5b)
11.解：原式＝(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+(5-6)(5+6)+⋅⋅⋅+(99-100)(99+100)
=-(1+2+3+4+⋅⋅⋅+99+100)
=-101×50
=-5050．
12. 解：（1） (x+1)(x-1)；
x2-1=
故答案为：(x+1)(x-1)；
（2）解：x5-1
=x5-x+x-1=x(x4-1)+x-1
=x(x-1)(x3+x2+x+1)+(x-1)
=(x-1)[x(x3+x2+x+1)+1]
；
=(x-1)(x4+x3+x2+x+1)
解：（3） ；
xn-1=(x-1)(xn-1+xn-2+…+x2+x+1)
（4）75+74+73+72+7+1
1
=(7-1)(75+74+73+72+7+1)×
6
1
=(76-1)×
6
76-1
= ．
6
四、教学反思：
