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专题 2 三角形的内角和
（知识精讲+典型例题+专题专练+拓展培优）
1、三角形的内角和是180°。
2、三角形的内角和的应用。
已知三角形的两个角的度数，可以根据三角形的内角和计算出第三个角的度数，从而判断出
该三角形是什么三角形。
3、多边形的内角和＝（n-2)×180°
考点一：三角形的内角和
方法总结：根据“三角形内角和等于180°”，当已知三角形中两个内角的度数时，可以求
出第三个内角的度数，并可以由此判断三角形的形状。
【例一】求下面各个三角形中∠A的度数。
【分析】三角形的内角和是180°。左边三角形中∠B是直角，∠B＝90°，用180°－90°－60°即可求
出∠A的度数；右边三角形中，用180°－135°－20°即可求出∠A的度数。
【详解】∠A＝180°－90°－60°
＝90°－60°
＝30°
∠A＝180°－135°－20°
＝45°－20°
＝25°
【例二】∠1、∠2、∠3分别是三角形中的三个内角。（1）∠1＝140°，∠2＝25°，求∠3。
（2）∠2＝65°，∠3＝73°，求∠1。
【分析】三角形的三个内角和等于180度，180度减去两个已知角的度数等于未知角的度数。
【详解】（1）∠3＝180°－∠1－∠2
＝180°－140°－25°
＝40°－25°
＝15°
（2）∠1＝180°－∠2－∠3
＝180°－65°－73°
＝115°－73°
＝42°
【专题专练一】下图中三角形ABC是等边三角形，求∠1和∠2的度数。
【专题专练二】求下图中∠1的度数。
一、计算题1．计算下面各角的度数。
2．三角形ABC是一个直角三角形，计算图中∠1、∠2、∠3的度数。
3．看图计算。
求： 的度数和。
4．求下面各图中∠1的度数。（1） （2）
5．求∠3的度数。
6．求下面各未知角的度数。
7．计算下面未知角的度数。8．求出图中未知角的度数。
（1） （2）
9．求出各题中∠1的度数。
10．算一算角的度数。
① ②11．看图列式计算下面各角的度数。
（1） （2）
12．计算下面未知角的度数。
13．根据条件，求出三角形未知内角的度数。
14．如图，已知∠1＝127°，求∠2和∠3的度数。15．三角形ABC是一个直角三角形，三角形DBC是一个等腰三角形， ， ，求 的度数。
16．求 和 的度数。
17．求 的度数。
18．求出下面各角的度数。19．求∠A的度数。
（1） （2） （3）
20．求出下面∠1的度数。
21．如图所示，求∠1，∠2，∠3各是多少度？22．求下面各图中∠1的度数。
23．算出下面未知角的度数。
参考答案
1．（1）∠3是120°
（2）∠1是33°
【分析】为便于描述，标记∠3相邻角为∠2；53°角相邻角为∠4，如下图：（1）三角形的内角和是180°，所以可列式计算∠2为：（180°－50°－70°）；∠3与∠2构成平角，
平角为180°角，所以用180°减去∠2即可得到∠3的度数，据此计算即可；
（2）图中标记53°角与∠4构成平角，所以∠4＝180°－53°；再根据三角形的内角和是180°，即可列
式计算∠1＝180°－20°－∠4，据此计算即可。
【详解】（1）180°－（180°－50°－70°）
＝180°－（130°－70°）
＝180°－60°
＝120°
所以∠3是120°。
（2）180°－20°－（180°－53°）
＝180°－20°－127°
＝160°－127°
＝33°
所以∠1是33°。
2．∠1＝20°，∠2＝30°，∠3＝130°
【分析】由图中可知：因为三角形ABC是一个直角三角形，先根据三角形内角和180°算出∠BAC中左边角
的度数，又因为∠BAC是直角，所以∠BAC＝90°，据此可以算出∠2＝90°－∠B；∠3和50°的角组成了
180°的平角，因此可以算出∠3的度数。据此解答。
【详解】180°－60°－50°＝70°
∠1＝90°－70°＝20°
∠2＝90°－60°＝30°
∠3＝180°－50°＝130°
【点睛】本题考查三角形的内角和，应熟练掌握并灵活运用。
3．360°【分析】如图： ，∠1、∠3、∠5是三角形ABC的三个内角，∠2、∠4、∠6
是三角形DEF的三个内角，根据三角形的内角和等于180°，所以可得∠1＋∠3＋∠5＝180°，∠2＋∠4
＋∠6＝180°，据此即可求出 的度数和。
【详解】根据分析得，∠1＋∠3＋∠5＝180°，∠2＋∠4＋∠6＝180°，
所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝180°＋180°＝360°。
4．（1）110°；
（2）110°
【分析】（1）三角形的内角和为180°，先求出∠1旁边的角的度数＝180°－60°－50°，再用平角
180°减去∠1旁边的角的度数，求出∠1的度数；
（2）两条直线相交的夹角中，相对的角相等，也就是∠1的度数与∠1对角的度数相等；三角形的内角和
为180°，则∠1的对角＝180°－40°－30°；据此解答。
【详解】（1）180°－（180°－50°－60°）
＝180°－（130°－60°）
＝180°－70°
＝110°
所以∠1的度数为110°；
（2）180°－40°－30°＝110°
所以∠1的度数为110°。
5．70°
【分析】三角形内角和是180°，用三角形内角和减去两个已知角的度数即可求出∠3的度数。
【详解】180°－50°－60°
＝130°－60°
＝70°
答：∠3的度数是70°。
6． ； ； ；
【分析】（1）三角形的内角和是 ，已知三角形其中两个角的度数，求 的度数，用 减去已知的两个角的度数即可。
（2）从题图中可知， 与 构成了一个平角，所以 。而 可根据三角形内角和是
求出。
（3）本题根据四边形的内角和是 和平角是 进行求解。
【详解】（1）
（2）
（3）
7．40°；65°
【分析】（1）三角形的内角和是180°，减去图中已知的75°和65°即可求解；
（2）平行四边形的内角和是360°，减去已知的三个角即可求解未知角；
据此解决。
【详解】（1）180°－75°－65°
＝105°－65°
＝40°
（2）360°－115°－115°－65°
＝245°－115°－65°
＝130°－65°
＝65°
8．（1）
（2）
【分析】（1）如图一个直角三角形，那么一个角是90度，另两个角的和是90度，用90度减去给出的一
个角的度数就是所求的角的度数；
（2）根据三角形内角和度数是180度，减去所给的两个角的度数，就是所求角的度数，据此解答。
【详解】（1）
（2）
9．57°；63°
【分析】（1）观察图形可知，三角形的第三个内角与115°组成平角，平角＝180°，据此利用180°减去
115°，先求出三角形的第三个内角的度数；再根据三角形的内角和是180°，用180°减去两个已知角的度数就等于∠1的度数；
（2）根据四边形的内角和是360°，用360°减去三个已知角的度数就等于∠1的度数。
【详解】180°－58°－（180°－115°）
＝180°－58°－65°
＝122°－65°
＝57°
360°－117°－63°－117°
＝243°－63°－117°
＝180°－117°
＝63°
10．①∠1＝50°；②∠1＝130°
【分析】①如下图，∠2等于180°减140°， 180°减90°，再减∠2等于∠1；
②如下图，∠2等于180°减135°，四边形内角和等于360°，360°减100°，再减85°，然后减∠2等
于∠1。
【详解】①∠2＝180°－140°＝40°
∠1＝180°－90°－∠2
＝90°－40°
＝50°
②∠2＝180°－135°＝45°
∠1＝360°－100°－85°－∠2
＝175°－45°
＝130°
11．（1）60°；（2）95°
【分析】（1）（2）根据三角形的内角和等于180°，用180°分别减去已知的两个角的度数，即可求出第三个角的度数，列式解答即可。
【详解】（1）180°－90°－30°
＝90°－30°
＝60°
（2）180°－40°－45°
＝140°－45°
＝95°
12．60°；50°
【分析】（1）三角形的内角和是180°，直角三角形的两个锐角之和是90°，根据减法的意义，用减法解
答；
（2）四边形的内角和是360°，直角梯形有两个直角，根据减法的意义，用360°减去已知的3个内角的
度数即可。
【详解】90°－30°＝60°
360°－（90°＋90°＋130°）
＝360°－（180°＋130°）
＝360°－310°
＝50°
13．∠B＝150°；∠C＝70°，∠A＝40°；∠C＝40°
【分析】（1）180°减两个已知角的度数即等于∠B的度数；
（2）等腰三角形的两个底角相等，所以∠C等于∠B，180°减∠C、∠B的度数等于∠A的度数；
（3）直角三角形两锐角和等于90°，90°减∠A等于∠C。
【详解】（1）∠B＝180°－10°－20°
＝170°－20°
＝150°
（2）∠C＝∠B＝70°
∠A＝180°－70°×2
＝180°－140°
＝40°
（3）∠C＝90°－50°＝40°
14．∠2＝37°；∠3＝53°
【分析】如下图，∠4等于180°减∠1，∠2和∠4是直角三角形中的两个锐角，所以∠2等于90°减
∠4，∠3和∠2也是直角三角形的两个锐角，所以∠3等于90°减∠2，据此即可解答。【详解】∠4＝180°－127°＝53°
∠2＝90°－∠4
＝90°－53°
＝37°
∠3＝90°－∠2
＝90°－37°
＝53°
15．84°
【分析】三角形ABC是一个直角三角形，∠3＝42°，可求出∠1＝180°－90°－∠3，又因为 ，
所以可求出∠2的度数。在三角形DBC中，用∠4＝180°－∠1－∠2。
【详解】∠1＝180°－90°－∠3
＝180°－90°－42°
＝90°－42°
＝48°
∠4＝180°－∠1－∠2
＝180°－48°－48°
＝132°－48°
＝84°
16．∠1＝40°；∠2＝70°
【分析】此三角形是等腰三角形，等腰三角形两个底角相等，所以可知∠2的度数是70°，再用三角形的
内角和减70°，所得差再减70°即可求出∠1的度数。
【详解】∠2＝70°
∠1＝180°－70°－70°＝110°－70°＝40°
【点睛】三角形的内角和是180°。等腰三角形两腰长相等，两底角相等。
17．65°
【分析】从上图可知：∠2＋110°＝180°，因此∠2＝180°－110°；三角形的内角和为180°，因此∠1＝180°
－∠2－45°；据此解答。
【详解】∠2＝180°－110°＝70°
∠1＝180°－70°－45°
＝110°－45°
＝65°
18．72°；32°；120°
【分析】三角形的内角和是180度，所以用180度，减去已知的两个角的度数，即可求出三角形的第三个
角的度数，据此即可解答问题。
【详解】∠1＝180°－62°－46°＝72°
∠2＝180°－58°－90°＝32°
∠3＝180°－35°－25°＝120°
19．（1）22°
（2）38°
（3）95°
【分析】根据三角形的内角和是180°：（1）∠A＝180°－130°－28°。（2）∠A＝180°－52°－
90°。（3）180°－135°＝45°，∠A＝180°－45°－40°。
【详解】（1）∠A＝180°－130°－28°＝22°
（2）∠A＝180°－52°－90°＝38°
（3）180°－135°＝55°，∠A＝180°－45°－40°＝95°
20．70°；25°；52°
【分析】根据三角形的内角和是180°，求出∠1的度数，并由此求解。
【详解】据分析可知：
图1：180°－70°－90°
＝110°－90°
＝20°
∠1＝90°－20°＝70°
图2：∠1＝180°－90°－65°
＝90°－65°
＝25°
图3：∠1＝180°－60°－68°
＝120°－68°＝52°
21．∠1＝118°，∠2＝126°，∠3＝116°
【分析】三角形的内角和是180度，则∠3的邻补角＝180°－54°－62°＝64°，再根据平角等于
180°，求出∠1、∠2、∠3各是多少度即可。
【详解】180°－54°－62°
＝126°－62°
＝64°
∠1＝180°－62°＝118°
∠2＝180°－54°＝126°
∠3＝180°－64°＝116°
答：∠1＝118°，∠2＝126°，∠3＝116°。
22．∠1＝110°
【分析】（1）先根据三角形的内角和是180度，用180度－另外两个角的度数，求出三角形的第三个角的
度数，然后根据平角的度数是180度，用180度减去第三个内角即可；
（2）先根据三角形的内角和是180度，用180度－另外两个角的度数，求出三角形的第三个角的度数，然
后根据对顶角相等，解答即可。
【详解】如图所示：
∠2＝180°－60°－50°
＝120°－50°
＝70°
∠1＝180°－∠2
＝180°－70°
＝110°
如图所示：∠2＝180°－30°－40°
＝150°－40°
＝110°
又因为∠1和∠2是对顶角，
所以∠1＝∠2＝110°。
23．22°
【分析】根据三角形内角和180°可知，用内角和度数减掉已知两个角的度数，就是第三个角的度数即
可。
【详解】据分析可得：
180°－80°－78°
＝100°－78°
＝22°
