专项21因式分解常用方法（六大类型）（原卷版）_初中数学人教版_8上-初中数学人教版_旧版_07专项讲练_高分突破必练专题八年级数学上册（人教版）

专项 21 因式分解常用方法（六大类型） 类型一：提公因式法提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这 一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项 的系数是正的． 类型二：公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 类型三：先提公因式，再用公式法 类型四：先展开，再用公式法 类型五：十字相乘法 考点2：十字相乘法 1. x²  p qx pq  （x+p ）（x+q ） 2. 在二次三项式 ax bx c(a 0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 2 即 a a a ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c c c ，把 a ， a ，c ， 1 2 1 2 1 2 1 c 排列如下： 2 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a c a c ，若它正好等于二次三项式 ax bx c 的 1 2 2 1 2 一次项系数b ，即 a c a c b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 ax c 与 1 2 2 1 1 1 a x c 之积，即 ax bx c (ax c)(a x c ) ． 2 2 2 1 1 2 2类型六：分组分解法 【类型一：提公因式法提公因式】 【典例1】（2021春•罗湖区校级期末）因式分解： （1）﹣20a﹣15ax； （2）（a﹣3）2﹣（2a﹣6）． 【变式1-1】（2022•中山市三模）因式分解：3ax﹣9ay＝ ． 【变式1-2】（2022•滨海县模拟）将多项式2a2﹣6ab因式分解为 ． 【变式1-3】（2019秋•西城区校级期中）因式分解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a） 【变式1-4】（2021秋•虹口区校级月考）分解因式：x（a﹣b）+y（b﹣a）﹣3（b﹣a）． 【类型二：公式法】 【典例2】（2021秋•富裕县期末）因式分解： （1） ． （2）（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2． 【变式2-1】（2022春•来宾期末）把多项式9a2﹣1分解因式，结果正确的是（ ） A．（3a﹣1）2 B．（3a+1）2 C．（9a+1）（9a﹣1） D．（3a+1）（3a﹣1）【变式2-2】（2022•菏泽）分解因式：x2﹣9y2＝ ． 【变式2-3】（2021•槐荫区一模）分解因式：4a2﹣9b2． 【变式5-4】（2021秋•闵行区期末）分解因式：（3m﹣1）2﹣（2m﹣3）2． 【考点5 因式分解-完全平方】 【典例3】（2022春•攸县期末）分解因式：y2+4y+4＝（ ） A．y（y+4）+4 B．（y+2）2 C．（y﹣2）2 D．（y+2）（y﹣ 2） 【变式3-1】（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（ ） A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2 【变式3-2】（2022•富阳区二模）分解因式4y2+4y+1结果正确的是（ ） A．（2y+1）2 B．（2y﹣1）2 C．（4y+1）2 D．（4y﹣1）2 【变式3-3】（2020秋•海淀区校级期中）分解因式（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9． 【类型三：先提公因式，再用公式法】 【典例4】（2022春•巨野县期末）因式分解： （1）x3﹣2x2y+xy2 （2）a2（x﹣3y）+9b2（3y﹣x） 【变式4-1】（2022春•济阳区期末）因式分解：2x3﹣8x2y+8xy2．【变式4-2】（2022春•辰溪县期末）因式分解： （1）2ax2﹣2ay2； （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 【变式4-3】（2022•南京模拟）因式分解：4a2（x+7）﹣9（x+7）． 【变式4-4】（2022春•新城区校级期末）因式分解：﹣3a+12a2﹣12a3． 【类型四：先展开，再用公式法】 【典例5】（2021春•苏州期末）分解因式 （1）（a﹣b）（a﹣4b）+ab． （2）（a﹣b）2+4ab． 【类型五：十字相乘法】 【典例6】（2021•北碚区校级开学）分解因式 （1）x2﹣4x﹣12； （2）x2﹣4x﹣5． （3）﹣2x3﹣6x2y+20xy2． （4） 3x2﹣19x﹣14．【变式6】（2021春•岑溪市期末）分解因式 （1）m2﹣4m﹣5． （2）x2+2x﹣3 （3）x2﹣2x﹣8 【类型六：分组分解法】 【典例7】（2022春•新田县期中）先阅读材料： 分解因式：a2b﹣3a2+2b﹣6． 解：a2b﹣3a2+2b﹣6 ＝（a2b﹣3a2）+（2b﹣6） ＝a2（b﹣3）+2（b﹣3） ＝（b﹣3）（a2+2） 以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方 法对下面多项式分解因式：x2+3x﹣y2+3y． 【变式7-1】（2020秋•上海期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2． 【变式7-2】（2020秋•嘉定区期末）分解因式：x2﹣y2﹣2x﹣2y．1.（2021秋•江津区月考）分解因式 （1）﹣20a﹣15ax； （2）xy3﹣10xy2+25xy 2.（2021春•铁西区期末）分解因式 (1)2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m） （2）2m（x﹣y）﹣3n（x﹣y）． 3.（2021春•惠山区期中）分解因式： （1）a3﹣4a2+4a； （2） a2b﹣16b． 4、（2021秋•姜堰区月考）分解因式：（3m﹣1）2﹣（2m﹣3）2．5.（2021春•肃州区校级期中）分解因式： （1）x2﹣10x+16； （2）x2﹣2x﹣3． 6.（2021•市南区校级开学）分解因式： （1）（x﹣2）（x﹣4）+1． （2）3m（2x﹣y）2﹣3mn2； 7．（2022春•富平县期末）因式分解：x2（m+n）﹣4y2（m+n）． 8.（2022春•新田县期末）因式分解： （1）﹣3y2+12y﹣12； （2）a2（a﹣b）+b2（b﹣a）． 9．（2022春•清江浦区期末）因式分解： （1）a2﹣9； （2）3x2+6xy+3y2．10．（2022春•海陵区期末）把下列各式因式分解： （1）x2﹣25； （2）﹣4x2+24x﹣36． 11．（2022春•东台市期中）因式分解： （1）4a2b﹣6ab2 （2）4x2﹣4x+1 （3）a2（x﹣y）+4（y﹣x） （4）（x+2）（x﹣8）+25 12.（2021秋•奉贤区期中）因式分解：x2+4y2+4xy﹣1． 13.（2021秋•徐汇区月考）因式分解：4﹣m2﹣9n2﹣6mn．