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专题 14.6 因式分解的应用
【典例1】教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项
式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个
项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将
一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：
分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4，
＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3），
例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值，
2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．
可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝ ；
（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．
（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+20有最小值，并求出这个最小值．
【思路点拨】
（1）将多项式加4再减4，利用配方法可得；
（2）将多项式配方后可得结论；
（3）将多项式配方后可得结论．
【解题过程】
解：（1）m2﹣4m﹣5
＝m2﹣4m+4﹣9
＝（m﹣2）2﹣9
＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）
＝（m+1）（m﹣5），
故答案为：（m+1）（m﹣5）．（2）∵a2+b2﹣4a+6b+18＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，
∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5；
（3）∵a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+20
＝a2﹣2ab+b2﹣2（a﹣b）+1+b2﹣6b+9+10
＝（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+10，
∴当a＝4，b＝3时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+20有最小值10．
1．（2021春•长安区期末）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣y，a﹣
b，5，x2﹣y2，a，x+y，a2﹣ab分别对应下列七个字：会、城、我、美、爱、运、丽，现将 5a2（x2﹣y2）
﹣5ab（x2﹣y2）因式分解，分解结果经密码翻译呈现准确的信息是（ ）
A．我爱美丽城 B．我爱城运会 C．城运会我爱 D．我美城运会
2．（2021秋•博兴县期末）已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．3 D．6
3．（2021秋•泉州期末）若实数a、b满足a2+b2＝1，则ab+a+3b的最小值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．3
4．（2021春•永嘉县校级期末）已知x3+x2+x+1＝0，则x2019+x2018+x2017+…+x+1的值是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
5．（2021秋•如皋市校级月考）已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2021，且a、b、c互不相等，则c2（a+b）
﹣2020＝（ ）
A．0 B．1 C．2020 D．2021
6．（2021春•高州市月考）已知：a＝2020x+2019，b＝2020x+2020，c＝2020x+2021，则代数式a2+b2+c2﹣
ab﹣ac﹣bc的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2021春•南京月考）若A＝11×996×1005，B＝1004×997×11，则B﹣A的值 ．
8．（2021春•鄞州区校级期末）已知724﹣1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是 ．
9．（2020秋•卫辉市期末）若△ABC的三边长是a、b、c，且a2+b2+c2＝ab+bc+ac，则这个三角形形状是
三角形．
10．（2020秋•九龙县期末）若a2+a﹣1＝0，则a4+a3﹣2a2﹣a+2016的值为 ．
11．（2020秋•崇川区期末）已知实数 m，n满足n＝km+3，（m2﹣2m+5）（n2﹣4n+8）＝16，则k＝．
12．（2021春•奉化区校级期末）若m2＝n+2020，n2＝m+2020（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值
．
13．（2021秋•二道区校级月考）已知两个数a，b（a＞b），若a+b＝4，a2+b2＝10，求a2b﹣ab2的值．
14．（2021秋•潮安区期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2﹣4a﹣8b+20＝0，c＝3cm，求
△ABC的周长．
15．（2021春•广陵区校级期中）阅读材料并回答问题：如图，有足够多的边长为 a的小正方形卡片（A
类）、长为a宽为b的长方形卡片（B类）以及边长为b的大正方形卡片（C类），发现利用图①中的三种
卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）取图①中卡片若干张（A、B、C 三种卡片都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）
（a+2b），在虚框Ⅰ中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）＝ ．
（2）取图①中卡片若干张（A、B、C三种卡片都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．
①你的图中需要A类、B类、C类卡片共 张．
②根据图形，可将多项式a2+5ab+6b2分解因式为 ．
（3）试在虚框Ⅱ中画出一个几何图形，结合面积表示，把多项式b2﹣3ab+2a2因式分解．16．（2021秋•滑县期末）人教版八年级数学上册教材中这样写道：“我们把多项式 a2+2ab+b2及a2﹣
2ab+b2这样的式子叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个
适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方
法是一种亚要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与
非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
求代数式2x2+4x﹣6的最小值．
2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值﹣8．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）填空：x2﹣6x+ ＝（x﹣3）2；2m2+4m＝2（m+1）2﹣ ；
（2）利用配方法分解因式：x2+4x﹣12；
（3）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+8有最大值？并求出这个最大值．
17．（2021春•碑林区校级期中）在全国中学生编程比赛中，我校学子用“因式分解法”生成密码的方
法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3﹣4x分解结果为x（x+2）（x﹣2）．当x＝20时，x﹣2＝18，
x+2＝22，此时可得到数字密码201822，或者是182022等．
（1）根据上述方法，当x＝16，y＝4时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码（写出两
个即可）？
（2）将多项式 x3+（m﹣n）x2+nx 因式分解后，利用题目中所示的方法，当 x＝10 时可以得到密码
101213，求m、n的值．
18．（2021秋•江北区期末）阅读下列材料，解决后面两个问题：对于一个四位正整数（各数位上的数字都不为零），若将它的千位上的数字移到个位数字的后面，将得到一个新的四位正整数，则称新数为原数
的“变形数”．例如：1234的“变形数”为2341，6789的“变形数”为7896．
（1）请写出1999的“变形数”，并判断1999的“变形数”与它的差能否被9整除？说明理由．
（2）任意一个四位正整数与其“变形数”的差都能被9整除吗？说明理由．
19．（2021春•当涂县期末）阅读下列材料：定义任意两个实数a，b，按规则p＝ab﹣a+b扩充得到一个新
数p，称所得的新数p为a，b的“衍生数”．
（1）若a＝2，b＝﹣3，则a，b的“衍生数”p＝ ．
（2）若a＝﹣m﹣3，b＝m，求a，b的“衍生数”p的最大值．
20．（2021秋•天河区期末）阅读：因为（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，说明x2+x﹣6有一个因式是x﹣2；当
因式x﹣2＝0，那么多项式x2+x﹣6的值也为0，利用上面的结果求解：
（1）多项式A有一个因式为x+m（m为常数），当x＝ ，A＝0；
（2）长方形的长和宽都是整式，其中一条边长为x﹣2，面积为x2+kx﹣14，求k的值；
（3）若有一个长方体容器的长为（x+2），宽为（x﹣1），体积为4x3+ax2﹣7x+b，试求a，b的值．
