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专题 14.5 因式分解
【典例1】先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．
再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你完成下列各题：
（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2；
（2）因式分解：25（a+2）2﹣10（a+2）+1；
（3）因式分解：（y2﹣6y）（y2﹣6y+18）+81．
【思路点拨】
（1）把x﹣y看作一个整体，利用完全平方公式分解即可；
（2）把a+2看作一个整体，利用完全平方公式分解即可；
（3）把y2﹣6y看作一个整体，利用完全平方公式分解即可．
【解题过程】
解：（1）设x﹣y＝m，
原式＝1﹣2m+m2
＝（1﹣m）2
＝[1﹣（x﹣y）]2
＝（1﹣x+y）2；
（2）设a+2＝m，
原式＝25m2﹣10m+1
＝（5m﹣1）2
＝[5（a+2）﹣1]2
＝（5a+9）2；
（3）设y2﹣6y＝m，
原式＝m（m+18）+81
＝m2+18m+81＝（m+9）2
＝（y2﹣6y+9）2
＝（y﹣3）4．
1．（2020秋•饶平县校级期末）分解分式：m2﹣3m．
【思路点拨】
直接把公因式m提出来即可．
【解题过程】
解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．
2．（2021春•罗湖区校级期末）因式分解：
（1）﹣20a﹣15ax；
（2）（a﹣3）2﹣（2a﹣6）．
【思路点拨】
（1）直接提取公因式﹣5a，进而得出即可；
（2）直接提取公因式（a﹣3），进而得出即可．
【解题过程】
解：（1）﹣20a﹣15ax
＝﹣5a（4+3x）；
（2）（a﹣3）2﹣（2a﹣6）
＝（a﹣3）2﹣2（a﹣3）
＝（a﹣3）（a﹣5）．
3．（2020秋•铜官区期末）分解因式：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）
【思路点拨】
直接找出公因式，进而提取公因式得出答案．
【解题过程】
解：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）
＝2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m]
＝2m（m﹣n）（5m﹣n）．
4．（2021秋•黄浦区期中）分解因式：（x﹣2y）（2x+3y）﹣2（2y﹣x）（5x﹣y）．
【思路点拨】对原式进行变形，提取公因式x﹣2y，化简即可．
【解题过程】
解：原式＝（x﹣2y）（2x+3y）+2（x﹣2y）（5x﹣y）
＝（x﹣2y）[2x+3y+2（5x﹣y）]
＝（x﹣2y）（2x+3y+10x﹣2y）
＝（x﹣2y）（12x+y）．
5．（2021春•鄞州区期末）因式分解：
（1）a2﹣4b2；
（2）﹣x2+6xy﹣9y2．
【思路点拨】
（1）根据平方差公式分解因式；
（2）先提负号，然后根据完全平方公式分解因式．
【解题过程】
解：（1）a2﹣4b2
＝a2﹣（2b）2
＝（a+2b）（a﹣2b）；
（2）﹣x2+6xy﹣9y2
＝﹣（x2﹣6xy+9y2）
＝﹣（x﹣3y）2．
6．（2021秋•浦东新区校级期中）因式分解：81a4﹣16．
【思路点拨】
原式利用平方差公式分解即可．
【解题过程】
解：原式＝（9a2）2﹣42
＝（9a2+4）（9a2﹣4）
＝（9a2+4）（3a+2）（3a﹣2）．
7．（2021春•亭湖区校级月考）把下列各式分解因式：
（1）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2；
（2）16x4﹣8x2y2+y4．
【思路点拨】
（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解题过程】
解：（1）原式＝[5（a+b）﹣3（a﹣b）][5（a+b）+3（a﹣b）]
＝（8a+2b）（2a+8b）
＝4（4a+b）（a+4b）；
（2）原式＝（4x2﹣y2）2
＝（2x+y）2（2x﹣y）2．
8．（2021•市南区校级开学）因式分解：（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9．
【思路点拨】
首先利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解题过程】
解：（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9
＝（x2﹣1）2﹣6（x2﹣1）+9
＝（x2﹣1﹣3）2
＝（x﹣2）2（x+2）2．
9．（2021秋•沐川县期末）分解因式：（a+2）（a+4）+1．
【思路点拨】
先对多项式进行化简整理，然后再运用完全平方公式分解即可．
【解题过程】
解：（a+2）（a+4）+1
＝a2+6a+9
＝（a+3）2．
10．（2021秋•铅山县期末）分解因式：（a+2b）（a+4b）+b2．
【思路点拨】
先去括号，然后再合并同类项，最后对化简后的式子进行分解即可解答．
【解题过程】
解：（a+2b）（a+4b）+b2
＝a2+6ab+8b2+b2
＝a2+6ab+9b2
＝（a+3b）2．
11．（2021秋•仓山区校级期末）把下列各式因式分解：（1）x2y﹣9y；
（2）m3﹣8m2+16m．
【思路点拨】
（1）先提取公因式，再利用平方差公式；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式．
【解题过程】
解：（1）原式＝y（x2﹣9）
＝y（x+3）（x﹣3）；
（2）原式＝m（m2﹣8m+16）
＝m（m﹣4）2．
12．（2021秋•浦东新区期末）分解因式：﹣3x3﹣3xy2﹣6x2y．
【思路点拨】
先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．
【解题过程】
解：﹣3x3﹣3xy2﹣6x2y
＝﹣3x（x2+y2+2xy）
＝﹣3x（x+y）2．
13．（2021秋•西平县期末）分解因式：
（1）a3﹣10a2b+25ab2；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【思路点拨】
（1）先提公因式，然后利用平方差公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解题过程】
解：（1）a3﹣10a2b+25ab2
＝a（a2﹣10ab+25b2）
＝a（a﹣5b）2；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
14．（2021秋•寻乌县期末）分解因式：（m﹣n）（3m+n）2+（m+3n）2（n﹣m）【思路点拨】
提公因式后利用平方差公式分解因式即可；
【解题过程】
解：（m﹣n）（3m+n）2+（m+3n）2（n﹣m）
＝（m﹣n）[（3m+n）2﹣（m+3n）2]
＝（m﹣n）（3m+n+m+3n）（3m+n﹣m﹣3n）
＝8（m﹣n）2（m+n）
15．（2021秋•泗水县期末）观察探究性学习小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）
乙：a2−b2−c2+2bc
＝a2−（b2+c2−2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解：
（1）m3+2m2﹣3m﹣6；
（2）9a2﹣4b2﹣6a+1．
【思路点拨】
（1）分成两组，前两项一组，后两项一组，然后进行分解即可；
（2）分成两组，第一项，第三项，第四项分到一组，第二项单独一组，然后进行分解即可．
【解题过程】
解：（1）m3+2m2﹣3m﹣6
＝（m3+2m2）﹣3（m+2）
＝m2（m+2）﹣3（m+2）
＝（m2﹣3）（m+2）；
（2）9a2﹣4b2﹣6a+1
＝（9a2﹣6a+1）﹣4b2
＝（3a﹣1）2﹣4b2
＝（3a﹣1+2b）（3a﹣1﹣2b）．16．（2021秋•宝山区期末）分解因式：x3+2x2y﹣9x﹣18y．
【思路点拨】
先分组各自提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．
【解题过程】
解：x3+2x2y﹣9x﹣18y
＝x2（x+2y）﹣9（x+2y）
＝（x+2y）（x2﹣9）
＝（x+2y）（x+3）（x﹣3）．
17．（2020秋•上海期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．
【思路点拨】
先利用分组分解法进行恰当的分组，再利用提公因式法和公式法进行因式分解即可．
【解题过程】
解：原式＝（a4﹣a2b2）﹣（4a2c2﹣4b2c2）
＝a2（a2﹣b2）﹣4c2（a2﹣b2）
＝（a2﹣b2）（a2﹣4c2）
＝（a+b）（a﹣b）（a+2c）（a﹣2c）．
18．（2021秋•普陀区期末）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．
【思路点拨】
直接利用十字相乘法分解因式得出即可．
【解题过程】
解：原式＝（x2+4x﹣5）（x2+4x+4）
＝（x+5）（x﹣1）（x+2）2．
19．（2021秋•建昌县期末）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x﹣3分解因式．这
个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相
乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上
角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x
﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
（1）x2+7x+10＝ （ x + 2 ）（ x + 5 ） ；
（2）x2﹣2x﹣3＝ （ x ﹣ 3 ）（ x + 1 ） ；
（3）y2﹣7y+12＝ （ y ﹣ 3 ）（ y ﹣ 4 ） ；
（4）x2+7x﹣18＝ （ x + 9 ）（ x ﹣ 2 ） ．
【思路点拨】
（1）把10分解成2×5；
（2）把﹣3分解成﹣3×1；
（3）把12分解成（﹣3）×（﹣4）；
（4）把﹣18分解成（﹣2）×9；
【解题过程】
（1）x2+7x+10＝（x+2）（x+5）；
（2）x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）；
（3）y2﹣7y+12＝（y﹣3）（y﹣4）；
（4）x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）．
故答案为：（1）（x+2）（x+5），（2）（x﹣3）（x+1），（3）（y﹣3）（y﹣4），（4）（x+9）（x﹣
2）．
20．（2021秋•微山县期末）【知识背景】
八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
【方法探究】
对于多项式x2+（p+q）x+pq我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解
成p与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数+（p+q）．
所以x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．例如，分解因式：x2+5x+6．
它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相
乘的和正好等于一次项系数5．
所以x2+5x+6＝（x+2）（x+3）．
类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．
例如，分解因式：2x2﹣x﹣6．
分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项﹣6分解成﹣1与6（或﹣6与1，﹣2与3，﹣3与2）的
积，但只有当﹣2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数﹣1．所以2x2﹣x
﹣6＝（2x+3）（x﹣2）．
【方法归纳】
一般地，在分解形如关于x的二次三项式ax2+bx+c时，二次项系数a分解成a 与a 的积，分别写在十字交
1 2
叉线的左上角和左下角；常数项c分解成c 与c 的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把 a ，
1 2 1
a ，c ，c 按如图4所示方式排列，当且仅当ac+ac ＝b（一次项系数）时，ax2+bx+c可分解因式．即
2 1 2 1 2 2 1
ax2+bx+c＝（ax+c）（ax+c）．
1 1 2 2
我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．
【方法应用】
利用上面的方法将下列各式分解因式：
（1）x2﹣5x+6；
（2）10x2+x﹣21；
（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12．
【思路点拨】
（1）根据6＝﹣2×（﹣3），﹣5＝﹣2+（﹣3），进行分解即可；
（2）根据10＝2×5，﹣21＝3×（﹣7），1＝2×（﹣7）+5×3，进行分解即可；（3）先把x2﹣4x看成一个整体，利用十字相乘法分解成（x2﹣4x+4）（x2﹣4x+3），然后再利用十字相乘
法继续分解即可．
【解题过程】
解：（1）x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；
（2）10x2+x﹣21＝（2x+3）（5x﹣7）；
（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12
＝（x2﹣4x+4）（x2﹣4x+3）
＝（x﹣2）2（x﹣1）（x﹣3）．
