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专题 14.5 因式分解
【典例1】先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．
再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你完成下列各题：
（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2；
（2）因式分解：25（a+2）2﹣10（a+2）+1；
（3）因式分解：（y2﹣6y）（y2﹣6y+18）+81．
【思路点拨】
（1）把x﹣y看作一个整体，利用完全平方公式分解即可；
（2）把a+2看作一个整体，利用完全平方公式分解即可；
（3）把y2﹣6y看作一个整体，利用完全平方公式分解即可．
【解题过程】
解：（1）设x﹣y＝m，
原式＝1﹣2m+m2
＝（1﹣m）2
＝[1﹣（x﹣y）]2
＝（1﹣x+y）2；
（2）设a+2＝m，
原式＝25m2﹣10m+1
＝（5m﹣1）2
＝[5（a+2）﹣1]2
＝（5a+9）2；
（3）设y2﹣6y＝m，
原式＝m（m+18）+81
＝m2+18m+81＝（m+9）2
＝（y2﹣6y+9）2
＝（y﹣3）4．
1．（2020秋•饶平县校级期末）分解分式：m2﹣3m．
2．（2021春•罗湖区校级期末）因式分解：
（1）﹣20a﹣15ax； （2）（a﹣3）2﹣（2a﹣6）．
3．（2020秋•铜官区期末）分解因式：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）
4．（2021秋•黄浦区期中）分解因式：（x﹣2y）（2x+3y）﹣2（2y﹣x）（5x﹣y）．
5．（2021春•鄞州区期末）因式分解：
（1）a2﹣4b2； （2）﹣x2+6xy﹣9y2．
6．（2021秋•浦东新区校级期中）因式分解：81a4﹣16．
7．（2021春•亭湖区校级月考）把下列各式分解因式：
（1）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2； （2）16x4﹣8x2y2+y4．8．（2021•市南区校级开学）因式分解：（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9．
9．（2021秋•沐川县期末）分解因式：（a+2）（a+4）+1．
10．（2021秋•铅山县期末）分解因式：（a+2b）（a+4b）+b2．
11．（2021秋•仓山区校级期末）把下列各式因式分解：
（1）x2y﹣9y； （2）m3﹣8m2+16m．
12．（2021秋•浦东新区期末）分解因式：﹣3x3﹣3xy2﹣6x2y．
13．（2021秋•西平县期末）分解因式：
（1）a3﹣10a2b+25ab2； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
14．（2021秋•寻乌县期末）分解因式：（m﹣n）（3m+n）2+（m+3n）2（n﹣m）
15．（2021秋•泗水县期末）观察探究性学习小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：x2﹣xy+4x﹣4y＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）
乙：a2−b2−c2+2bc
＝a2−（b2+c2−2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解：
（1）m3+2m2﹣3m﹣6；
（2）9a2﹣4b2﹣6a+1．
16．（2021秋•宝山区期末）分解因式：x3+2x2y﹣9x﹣18y．
17．（2020秋•上海期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．
18．（2021秋•普陀区期末）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．
19．（2021秋•建昌县期末）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x﹣3分解因式．这
个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相
乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上
角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x
﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
（1）x2+7x+10＝ ；
（2）x2﹣2x﹣3＝ ；
（3）y2﹣7y+12＝ ；
（4）x2+7x﹣18＝ ．
20．（2021秋•微山县期末）【知识背景】
八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
【方法探究】
对于多项式x2+（p+q）x+pq我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解
成p与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数+（p+q）．
所以x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
例如，分解因式：x2+5x+6．
它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．
所以x2+5x+6＝（x+2）（x+3）．
类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．
例如，分解因式：2x2﹣x﹣6．
分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项﹣6分解成﹣1与6（或﹣6与1，﹣2与3，﹣3与2）的
积，但只有当﹣2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数﹣1．所以2x2﹣x
﹣6＝（2x+3）（x﹣2）．
【方法归纳】
一般地，在分解形如关于x的二次三项式ax2+bx+c时，二次项系数a分解成a 与a 的积，分别写在十字交
1 2
叉线的左上角和左下角；常数项c分解成c 与c 的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把 a ，
1 2 1
a ，c ，c 按如图4所示方式排列，当且仅当ac+ac ＝b（一次项系数）时，ax2+bx+c可分解因式．即
2 1 2 1 2 2 1
ax2+bx+c＝（ax+c）（ax+c）．
1 1 2 2
我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．
【方法应用】
利用上面的方法将下列各式分解因式：
（1）x2﹣5x+6；
（2）10x2+x﹣21；
（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12．
