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第 23 讲 因式分解应用的七类题型（原卷版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 有关求未知系数
典例1（2022春•东台市期中）若关于x的二次三项式x2+2（m﹣3）x+16可用完全平方公式分解因式，则
m的值为 ．
典例2（2021•杭州模拟）若多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，则m的值是 ．
针对训练
1．（2022春•郫都区期中）如果x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），那么nm的值为 ．
2．（2022春•临湘市期中）若a2+（m﹣3）a+4能用完全平方公式进行因式分解，则常数m的值是 ．
3．（2021春•雁塔区校级期中）如果a﹣3是多项式a2+ma﹣6的一个因式，则m的值是 ．
类型二 有关简便计算
典例3（2021秋•鱼台县期末）利用因式分解计算：
（1）9002﹣894×906； （2）2.68×15.7﹣31.4+15.7×1.32．
典例4（2021秋•任城区期中）利用因式分解计算：
（1）22014﹣22013； （2）（﹣2）101+（﹣2）100．
针对训练
1．（2019秋•莱西市期中）利用因式分解计算
3 1
（1）22019﹣（﹣2）2020． （2）（16 ）2﹣（13 ）2．
4 4
1 1 1 1 1 1
2．利用因式分解计算：（1− ）（1− ）（1− ）…（1− ）（1− ）…（1− ）
22 32 42 92 102 n2类型三 有关化简求值
典例5（1）已知a+b＝5，ab＝6，求a2+b2的值；（2）已知x﹣y＝4，x2+y2＝10，求x+y的值．
针对训练
1．已知：a2+2a+b2﹣6b+10＝0，求3a+2b的值．
类型四 有关三角形的问题
典例6（2022春•青羊区校级期中）阅读下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣
4y，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
x2﹣4y2+2x﹣4y
＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）…分组
＝（x﹣2y）（x+2y）+2（x﹣2y）…组内分解因式
＝（x﹣2y）（x+2y+2）…整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：9x2﹣9x+3y﹣y2；
（2）已知△ABC的三边a、b、c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
针对训练
1．（2022春•乐平市期末）阅读下列分解因式的过程：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）+（﹣2x+4y）＝
（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这
种方法解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．2．（2022春•河源期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项
式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差
公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整
个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣
2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；
（2）已知：x+y＝7，x﹣y＝5．求：x2﹣y2﹣2y+2x的值．
（3）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
类型五 有关整除的问题
典例8（2021秋•卧龙区校级月考）请你猜一猜817﹣279﹣913能被45整除吗？并写出你的理由．
典例9（2020秋•农安县期中）对于任意自然数n，代数式2n（n2+2n+1）﹣2n2（n+1）的值都能被4整除
吗？请说明理由．
针对训练
1．数257﹣512能被120整除吗？请说明理由．
2．对于任意的正整数，所有形如n3+3n2+2n的数的能被6整除吗？请说明理由．类型六 有关参数的问题
典例10（2022春•新罗区期中）阅读理解：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
∵（x+3）（x+n）＝x（x+n）+3（x+n）＝x2+nx+3x+3n＝x2+（n+3）x+3n，
∴x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
∴由等式恒等原理可知：n+3＝﹣4①，m＝3n②，
由①②解得：n＝﹣7，m＝﹣21，
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
活学活用：
（1）若x2+4x﹣m＝（x﹣3）（x+n），则mn＝ ；
（2）若二次三项式2x2+ax﹣6有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式．
针对训练
1．（2022春•安乡县期末）阅读下列解答过程：
已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为x+a
则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+a）＝x2+ax+3x+3a＝x2+（a+3）x+3a，
{a+3=−4) { a=−7 )
∴ ，∴ ，
3a=m m=−21
∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
请依照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式x2+5x+k有一个因式是x﹣2，求另一个因式及k的值．2．（2021秋•天河区期末）阅读：因为（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，说明x2+x﹣6有一个因式是x﹣2；当
因式x﹣2＝0，那么多项式x2+x﹣6的值也为0，利用上面的结果求解：
（1）多项式A有一个因式为x+m（m为常数），当x＝ ，A＝0；
（2）长方形的长和宽都是整式，其中一条边长为x﹣2，面积为x2+kx﹣14，求k的值；
（3）若有一个长方体容器的长为（x+2），宽为（x﹣1），体积为4x3+ax2﹣7x+b，试求a，b的值．
类型七 有关看错的问题
典例11 （2022秋•宁阳县校级月考）在分解因式时x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+1）
（x+9）；乙看错了b的值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣4）．那么x2+ax+b分解因式正确的结果是多少？
为什么？
针对训练
1．（2022春•娄底月考）甲、乙两人在因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x
﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么b﹣a的值为（ ）
A．﹣8 B．﹣6 C．﹣4 D．2
2．（2022春•覃塘区期中）在将x2+mx+n因式分解时，小刚看错了m的值，分解得（x﹣1）（x+6）；小
芳看错了n的值，分解得（x﹣2）（x+1），那么原式x2+mx+n正确分解为 ．
3．（2021秋•龙凤区期中）两位同学将同一个二次三项式进行因式分解时，一位同学因看错了一次项系数
而分解成（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项而分解成（x﹣2）（x﹣4），则原多项式因式
分解的正确结果是： ．
4．（2021秋•莱州市期中）甲、乙两个同学分解因式 x2+ax+b时，甲看错了 b，分解结果为（x+2）
（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为 ．第二部分 专题提优训练
1．（2022•覃塘区三模）若x﹣4是多项式x2﹣mx﹣24的一个因式，则m的值为 ．
2．利用因式分解计算：
（1）5032﹣4972 （2）1722+56×172+282．
3．（2015秋•威海期中）利用因式分解计算：
（1）5352×4﹣4652×4； （2）1022+102×196+982．
4．（2015春•泰州校级月考）利用因式分解简便计算：
（1）502﹣49×51 （2）482+48×24+122．
5．（2018春•洪泽区期末）当n为自然数时，（n+5）2﹣（n﹣3）2能被16整除吗？请说明理由．
6．发现：任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证：（1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸：任意三个连续整数的平方和能被3整除吗？如果不能，余数是几呢？请给出结论并写出理由．
7．（2022春•永丰县期末）已知：二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是x﹣5，求另一个因式及k的值．8．（2021秋•淮阳区期末）甲乙两人完成因式分解 x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）
（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为
．
9．（2022春•蓝山县期中）甲、乙同学在分解因式：mx2+ax+b时，甲仅看错了a，分解结果为2（x﹣1）
（x﹣9）；乙仅看错了b，分解结果为2（x﹣2）（x﹣4），求m、a、b的正确值，并将mx2+ax+b分解
因式．
