文档内容
第 05 讲 三角函数的图象与性质
(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：三角函数的定义域
高频考点二：三角函数的值域
高频考点三：三角函数的周期性
高频考点四：三角函数的奇偶性
高频考点五：三角函数的对称性
高频考点六：三角函数的单调性
角度1：求三角函数的单调区间
角度2：根据三角函数的单调性比较大小
角度3：根据三角函数的单调性求参数
高频考点七：三角函数中 的求解
角度1： 的取值范围与单调性相结合
角度2： 的取值范围与对称性相结合
角度3： 的取值范围与三角函数的最值相结合
角度4： 的取值范围与三角函数的零点相结合
角度5： 的取值范围与三角函数的极值相结合
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 05 讲 三角函数的图象与性质（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 )函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称中心
对称轴方程 无
递增区间
递减区间 无
2、三角函数的周期性
函数
周期
函数
周期
函数
( ) ( ) ( )
周期
其它特殊函数，可通过画图直观判断周期
(1)函数 的最小正周期 ．应特别注意函数 的周期为
，函数 ( )的最小正周期 ．(2)函数 的最小正周期 ．应特别注意函数 的周期为
．函数 ( )的最小正周期均为 ．
(3)函数 的最小正周期 ．应特别注意函数 |的周期为
，函数 ( ) 的最小正周期均为 ．
3、三角函数的奇偶性
三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数
( )
( )
( )
( )
( )
(1)函数 是奇函数⇔ ( )，是偶函数⇔ ( )；
(2)函数 是奇函数⇔ ( )，是偶函数⇔ ( )；
(3)函数 是奇函数⇔ ( )．
4、三角函数的对称性
(1)函数 的图象的对称轴由 ( )解得，对称中心的横坐标由
( )解得；
(2)函数 的图象的对称轴由 ( )解得，对称中心的横坐标由
( )解得；
(3)函数 的图象的对称中心由 )解得．
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）函数 是（ ）
A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为 的偶函数C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数
2．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高一期中）函数 的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·陕西西安·三模（文））下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）已知函数 的图象关于点 中心对称，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·江西景德镇·三模（理））函数 为偶函数的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：三角函数的定义域
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）函数 的定义域是（ ）
A． B．C． D．
例题2．（2022·宁夏·银川一中高一期中）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）函数 定义域为（ ）
A． B．
C． D．
题型归类练
1．（2022·江西·上饶中学高一阶段练习）函数 的定义域为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
高频考点二：三角函数的值域
例题1．（2022·陕西·长安一中高二期中（文））函数 最小正周期和最大值分别是
（ ）
A． 和 B． 和5
C． 和 D． 和5
例题2．（2022·北京师大附中高一期中）已知 的最大值为5，则 可以为（ ）
A．0 B． C． D．
例题3．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高一阶段练习）函数 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（2022·北京通州·高三期末）函数 是（ ）
A．奇函数，且最大值为2 B．奇函数，且最大值为1
C．偶函数，且最大值为2 D．偶函数，且最大值为1
例题5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 的定义域为 ，值域为
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题6．（2022·安徽·合肥市第六中学高一期末）函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．
例题7．（2022·安徽·砀山中学高一期中）函数 ， 的值域为______．
题型归类练
1．（2022·安徽·高一期中）函数 （ ）的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
2．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高一期中）函数 的最大值与最小值的和是（ ）
A． B．0 C． D．
3．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））已知函数 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川乐山·高一期末）函数 ，则 的最大值为（ ）．
A． B． C．1 D．
5．（2022·全国·高一课时练习）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·上海·华师大二附中高一期中）函数 的值域是
A． B． C． D．以上均不对
7．（2022·上海·华东师范大学附属天山学校高一期中）函数 ， 的值
域为______．
8．（2022·全国·高三专题练习）当 时，函数 的最大值为______．
高频考点三：三角函数的周期性
例题1．（2022·上海闵行·高一期中）函数 的最小正周期为_______________.
例题2．（2022·全国·高一）函数 的最小正周期是____
例题3．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）函数 的最小正周期为
___________.
例题4．（2022·河南南阳·高一期中）下列6个函数：① ，② ，③ ，④
，⑤ ，⑥ ，其中最小正周期为π的偶函数的编号为___________.
题型归类练1．（2022·上海·高三专题练习）函数 的最小正周期为___________.
2．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）函数 的最小正周期为____
3．（2022·上海市七宝中学高一期中）函数 的最小正周期是_________.
4．（2022·广西梧州·高二期中（文））函数 的最小正周期为________．
5．（2022·山东德州·高一期中）在下列函数中，以 为周期且在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·北京·中关村中学高一期中）已知函数：① ，② ，③ ，④ ，
其中周期为 ，且在 上单调递增的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
高频考点四：三角函数的奇偶性
例题1．（2022·上海市控江中学高一期中）函数 的奇偶性为________函数.（填“奇”、
“偶”或“非奇非偶”）
例题2．（2022·上海市建平中学高一阶段练习）函数 是奇函数，那么常数
的最大值为______
例题3．（2022·北京·中关村中学高一期中）下列函数中，偶函数是（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（文））下列函数中是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
例题5．（2022·北京·模拟预测）下列函数中，定义域为 的偶函数是（ ）A． B． C． D．
例题6．（2022·上海市仙霞高级中学高一期中）函数 是（ ）
A．周期为 的偶函数 B．周期为 的奇函数
C．周期为 的偶函数 D．周期为 的奇函数
例题7．（2022·山西晋中·高一期末）已知 ，若 ，则 ______．
题型归类练
1．（2022·上海南汇中学高一期中）下列函数中，周期为1的奇函数是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·北京·汇文中学高一期中）已知函数 ，则该函数为（ ）
A．奇函数，最小值为 B．偶函数，最大值为
C．奇函数，最小值为 D．偶函数，最小值为
3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数中是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）若 是奇函数，则常数 的一个取值为
___________.
5．（2022·山东·高一阶段练习）已知 是奇函数，则 的值可以为___________.
6．（2022·北京市第五十中学高一期中）已知函数 ，则 的奇偶性及最小值
分别为( )
A．奇函数， B．偶函数，
C．奇函数， D．偶函数，
7．（2022·山东聊城·高一期末）已知函数 ，若 ，则
（ ）
A．5 B．3 C．1 D．0
8．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）已知函数 （ ， ， 为实数），且 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．4045
高频考点五：三角函数的对称性
例题1．（2022·北京八中高一期中）函数 的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）函数 图像的一条对称轴方程为
（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·吉林长春·三模（文））函数 图象的一个对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）若 是函数 图象的对称轴，则
的最小正周期的最大值是（ ）
A． B． C． D．
例题5．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））若函数 的图象关于直
线 对称，则 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．2
题型归类练
1．（2022·河南南阳·高一期中）函数 的图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．2．（2022·重庆·三模）函数 的图象的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高一课时练习）函数 图象的一个对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·广东·模拟预测）函数 的一个对称中心是（ ）
A．（0，0） B．（ ，0） C．（ ，0） D．以上选项都不对
5．（2022·全国·高一单元测试）函数 图象的对称中心的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数 的对称中心坐标是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数 的最小正周期为 ，且其图
象关于直线 对称，则函数 图象的一个对称中心是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·江西·高一期中）已知函数 的图象关于直线 对称，则 （ ）A． B． C． D．
高频考点六：三角函数的单调性
角度1：求三角函数的单调区间
例题1．（2022·山东日照·模拟预测）下列区间中，函数 单调递减的区间是
（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·河北·高三阶段练习）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2022·甘肃张掖·高一期末）函数 的单调递减区间是（ ）
A． （ ） B． （ ）
C． （ ） D． （ ）
例题4．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）在下列区间中，函数 单调
递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
例题5．（2022·辽宁·大连八中高一阶段练习）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
例题6．（2022·河南·模拟预测（理））函数 在下列区间单调递减的是
（ ）A． B． C． D．
角度1题型归类练
1．（2022·湖南·高一课时练习）y＝cos 在[0，π]上的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江西·高一期中）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·湖南·高一课时练习）函数 的单调递增区间是（ ）
A． (k∈Z)
B． (k∈Z)
C． (k∈Z)
D． (k∈Z)
角度2：根据三角函数的单调性比较大小
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1) ， ； (2) ， ；
(3) ， ； (4) ， ．
例题2．（2022·湖南·高一课时练习）利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1) ， ；(2) ， ．
例题3．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高一阶段练习）下列不等式中，正确的是（
）
A． B．
C． D．
例题4．（多选）（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
角度2题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（2022·安徽·界首中学高一期末）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列不等式中成立的是（ ）A． B．
C． D．
4．（多选）（2022·山东临沂·高一期末）下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·湖南·高一课时练习）比较大小：tan ________tan .
6．（2022·湖南·高一课时练习）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1) ， ；(2) ， ；(3) ， ．
7．（2022·全国·高一课时练习）比较下列两个正切值的大小：
(1)tan 167°，tan 173°；(2)tan ，tan ．
角度3：根据三角函数的单调性求参数
例题1．（2022·安徽·高一期中）若函数 在 内单调递增，则a的最大
值是( )
A． B． C． D．
例题2．（2022·河南开封·高一期末）函数 在区间 单调递减，在区间
上有零点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高二课时练习）若函数 在区间 上单调递减，则m的一个
值可以是 _______ ；
例题4．（2022·上海市建平中学高一期中）若函数 在 上为严格减函数，则实数 的取值范围是_____________．
角度3题型归类练
1．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）若函数 在 上单调，则 的值
为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
2．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数 相邻两个对称轴之间的距离为2π，
若f（x）在（-m，m）上是增函数，则m的取值范围是（ ）
A．（0， ] B．（0， ] C．（0， ] D．（0， ]
3．（2022·全国·高三专题练习）若 在 上是减函数，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·甘肃·张掖市第二中学高一阶段练习）已知函数 在 内是减函数，则 的取
值范围是______．
5．（2022·广西南宁·二模（理）） 在 上单调递减，则实数m的最大值
是______．
高频考点七：三角函数中 的求解
角度1： 的取值范围与单调性相结合
例题1．（2022·广东广州·高一期中）函数 在 上单调递增，则 的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·重庆八中模拟预测）若函数 在 单调递增，在 单调递减，则实数
的取值范围是______．
例题3．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数 在 上单调递减，且在
上的最大值为 ，则 ___________.角度1题型归类练
1．（2022·河北保定·二模）已知函数 ， ， ，且 在
上单调递增，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
2．（多选）（2022·辽宁辽阳·二模）已知 ，函数 在 上单调递增，且对任
意 ，都有 ，则 的取值可以为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（2022·广东茂名·高一期末）已知函数 ，若 在区间 上的最大值是 ，
则 _______；若 在区间 上单调递增，则 的取值范围是___________．
4．（2022·安徽·高一期中）已知函数 （ ）在区间 上单调递增，在区间
上单调递减，则 的值是______．
角度2： 的取值范围与对称性相结合
例题1．（2022·上海·高三专题练习）已知函数 的图象关于点 对称，且 ，
则实数 的值为___________.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，若 对任意的实
数 都成立，则 的最小值为__________．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的图象在区间 上只有一个对称中
心，则 的取范围为（ ）
A． B． C． D．
例题．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知函数 在 内
有且仅有三条对称轴，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
角度2题型归类练
1．（2022·陕西·西安中学高一期中）已知直线 是函数 图像的一条对称
轴，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
2．（2022·山东·乳山市第一中学高一阶段练习）已知函数 在 内不存在对称中
心，则 的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图象关于 对称，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））将函数 的图象分别向左、向右各平移
个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．6
5．（2022·江西上饶·二模（理））已知函数 ，若 且 在区间
上有最小值无最大值，则 _______．
角度3： 的取值范围与三角函数的最值相结合
例题1．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知函数 在区
间 上的值域为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
例题2．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，若对于任意的实数x，恒成立，则ω的最小值等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数 在
上有且仅有 个零点和 个最大值点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·辽宁沈阳·高一期中）若函数 在
内有且仅有一个最大值点，则 的取值范围是___________.
角度3题型归类练
1．（2022·新疆·乌市一中高一期末）已知函数 （ω>0），对任意x∈R，都有 ≤
，并且 在区间 上不单调，则ω的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ．在 内的值域为 ，则 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国·高一专题练习）已知 在区间 上的最大值为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数 在 处取得最
大值，且 ，若函数 在 上是单调的，则 的最大值为______．角度4： 的取值范围与三角函数的零点相结合
例题1．（2022·吉林·模拟预测（理））已知函数 在 上有且仅有 个零
点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·陕西·模拟预测（理））已知函数 在 上有且只
有5个零点，则实数 的范围是（ ）
A． B． C． D．
角度4题型归类练
1．（2022·北京外国语大学附属上海闵行田园高级中学高一期中）设 ， 若函数 在区间
上恰有两个零点， 则 的取值范围为 .
2．（2022·上海市七宝中学高三期中）已知函数 （其中 为常数，且 ）有且
仅有 个零点，则 的最小值为_______
角度5： 的取值范围与三角函数的极值相结合
例题1．（2022·北京市第十九中学高一期中）若函数 （ ）在区间 上恰好取到3次最
小值，请写出一个符合题意的 的值：___________.
例题2．（2022·河南洛阳·三模（理））若函数 在 上有且仅有6个极值点，
则正整数 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
角度5题型归类练
1．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知函数 ， ，函
数 在 上有且仅有一个极小值但没有极大值，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·重庆·三模）已知函数 在区间 内有唯一的极值点，则 的取值范
围是___________.第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高考真题（文））函数 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2
3．（2019·全国·高考真题（理））设函数 =sin（ ）( ＞0)，已知 在 有且仅有5个
零点，下述四个结论：
① 在（ ）有且仅有3个极大值点
② 在（ ）有且仅有2个极小值点
③ 在（ ）单调递增
④ 的取值范围是[ )
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
4．（2019·全国·高考真题（理））下列函数中，以 为周期且在区间( ， )单调递增的是
A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
5．（2019·北京·高考真题（理））函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
6．（2019·全国·高考真题（文））函数 的最小值为___________．
7．（2021·浙江·高考真题）设函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 上的最大值.8．（2019·浙江·高考真题）设函数 .
（1）已知 函数 是偶函数，求 的值；
（2）求函数 的值域.
第五部分：第 05 讲 三角函数的图象与性质（精练）
1．（2022·江苏连云港·模拟预测）如果函数 满足 ，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数 ，则f（x）（ ）
A．在（0， ）单调递减 B．在（0，π）单调递增
C．在（— ，0）单调递减 D．在（— ，0）单调递增
3．（2022·福建宁德·模拟预测）函数 的周期为2，下列说法正确的是（ ）
A．
B． 是奇函数
C．f（x）在[ ， ]上单调递增
D． 的图像关于直线 对称
4．（2022·安徽马鞍山·三模（理））函数 在区间 上恰有两个最小值点，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．5．（2022·北京昌平·二模）“ ”是“函数 在区间 上单调递减”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）若函数 是周期函数，
最小正周期为 ．则下列直线中， 图象的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·河北邯郸·模拟预测）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象关于点 对称
C． 有2个零点 D． 是偶函数
8．（2022·广西师范大学附属外国语学校模拟预测）声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯
音的数学模型是函数 ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模
型是函数 ；以下几个结论：
① 是 的一个周期；
② 在 上有3个零点；
③ 的最大值为 ；
④ 在 上是增函数.
则正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
9．（2022·河北邯郸·模拟预测）请写出一个函数表达式___________满足下列3个条件：①最小正周期
；②在 上单调递减；③奇函数
10．（2022·山东德州·高一期中）已知函数 的相邻两个零点之间的距离是 ，则
______．
11．（2022·陕西·长安一中高一期末）已知函数 ，则下列说法正确的有________.① 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到
② 在 上单调递增
③ 在 内有2个零点
④ 在 上的最大值为
12．（2022·湖南·长沙一中高二阶段练习）已知函数 ， ，有三个不同的
零点 ，且 ，则 的范围是________.
三、解答题
13．（2022·北京师大附中高一期中）设函数 ， ．
(1)求 的单调递减区间；
(2)若曲线 的对称轴只有一条落在区间 上，求 的取值范围．
14．（2022·北京市第二十五中学高一期中）已知函数 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值；
(3)设函数 ，求函数 在 上的最小值和最大值，并求出此时对应的
x值．
15．（2022·北京市第十九中学高一期中）已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期；(2)求函数 的单调递减区间；
(3)当 时，求证： .
