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专题 4.1 一元二次方程的计算六大类型
【人教版】
【类型1 利用直接开平方法解方程20题】............................................................................................................1
【类型2 利用配方法解方程20题】........................................................................................................................4
【类型3 利用公式法解方程20题】........................................................................................................................6
【类型4 利用因式分解法解方程20题】................................................................................................................8
【类型5 利用合适的方法解方程20题】..............................................................................................................10
【类型6 利用换元法解方程20题】......................................................................................................................14
【类型1 利用直接开平方法解方程20题】
1．利用直接开平方法解方程：（x﹣2）2﹣16＝0．
2．利用直接开平方法解方程：（x+2）2﹣25＝0
3．利用直接开平方法解方程：（4x﹣1）2＝25
4．利用直接开平方法解方程：4（x+1）2＝9
1 1
5．用直接开平方法解方程： （2y﹣1）2=
2 5
4
6．利用直接开平方法解方程： (3x−1) 2=3．
3
9
7．利用直接开平方法解方程：2（x+1）2− =0．
2
8．利用直接开平方法解方程：（m−❑√3）2＝16．9．利用直接开平方法解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0．
10．用直接开平方法解下列方程：
（1）2（x﹣1）2＝18
（2）3（x+1）2﹣75＝0．
11．用直接开平方法解下列方程：
（1）2（x﹣5）2＝0；
（2）3（x+2）2+12＝0．
12．用直接开平方法解下列方程：
1
（1） x2﹣8＝0；
3
（2）（x+3）（x﹣3）＝16．
13．用直接开平方法解下列方程：
（1）x2﹣12＝0；
（2）（4﹣2x）2﹣36＝0．
14．用直接开平方法解下列方程：
3
（1） （3x﹣2）2＝15；
5
（2）4（2y﹣5）2＝9（3y﹣1）2．
15．用开平方法解下列关于x的方程：
（1）（x﹣3）2＝a2；
（2）（x﹣a）2＝a2+2ab+b2．
16．用直接开平方法解下列方程：
（1）（x+❑√5）（x−❑√5）＝45；
（2）x2﹣8x+16＝3．17．用直接开平方法解下列方程．
（1）（2x+3）2＝（3x+2）2；
x+1
（2）( −x) 2=4；
3
（3）x2﹣2x+1﹣25（2x﹣1）2＝0．
18．用直接开平方法解下列方程．
（1）9x2﹣25＝0；
（2）（4x﹣1）2﹣9＝0；
（3）（3x﹣1）（3x+1）﹣1＝0；
1
（4） （3﹣x）2﹣4＝0．
2
19．用直接开平方法解下列方程：
1
（1） （x﹣1）2﹣5＝0；
2
（2）（x﹣1）（x+1）＝1；
（3）（2x﹣1）2＝（❑√2−1）2；
（4）（x﹣1）2＝（2x+3）2．
20．用直接开平方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣100＝0；
（2）（3x﹣1）2＝7；
1
（3） （x﹣3）2＝8；
2
（4）（3x−❑√2）2﹣3＝0．
【类型2 利用配方法解方程20题】
1．解方程：x2﹣6x+2＝0（用配方法）．
2．用配方法解方程：x2﹣2x﹣35＝0．3．用配方法解方程，2x2+5x﹣12＝0．
4．用配方法解方程：5x2﹣2x﹣3＝0．
5．用配方法解方程：3x2+6x﹣1＝0．
6．用配方法解方程：2x2+8x﹣1＝0．
7．用配方法解方程：（x﹣3）（x+1）＝1．
1 2
8．用配方法解方程： (x+3) 2= (x+6)．
2 3
9．用配方法解方程：x2﹣4❑√2x﹣2＝0．
10．用配方法解方程：3x2﹣4❑√3x+2＝0
11．用配方法解关于x的方程x2+px+q＝0（p2﹣4q＞0）．
12．用配方法解方程：
13
（1）x2+7x=− ；
4
（2）3x2+6x+2＝11．
13．用配方法解下列关于x的方程：
（1）x2+12x+25＝0．
（2）2x2+4x﹣1998＝0．
14．用配方法解方程：
（1）（x+1）（2x﹣3）＝1；（2）5x2﹣15x﹣7＝0．
15．用配方法解下列方程：
（1）2x2+4x﹣6＝0；
（2）（x﹣2）2＝3x（x﹣2）．
16．用配方法解方程：
1 1
（1）ax2−❑√2ax+ （a− ）＝0（a＞0）；
2 2a
（2）（m﹣5）2x2+2（m﹣5）x+1＝0．
17．用配方法解下列方程：
（1）2x2﹣5x﹣7＝0；
（2）❑√3 y2−y−❑√3=0；
（3）（x+1）（x﹣1）＝2x2﹣4x﹣6．
18．用配方法解下列方程：
（1）12x2+7x+1＝0；
（2）0.8x2+x＝0.3；
（3）3x2+1=❑√3x；
（4）（x+1）（x﹣3）＝2x+5．
19．用配方法解下列一元二次方程：
（1）2t2﹣7t﹣4＝0
（2）3﹣7x＝﹣2x2
（3）0.1x2+0.2x﹣1＝0
（4）6x2﹣4x+1＝0．
20．用配方法解下列关于x的方程：
（1）2x2−❑√2x﹣30＝0；
（2）x2+2＝2❑√3x；（3）x2+px+q＝O（p2﹣4q≥O）；
（4）m2x2﹣28＝3mx（m≠O）．
【类型3 利用公式法解方程20题】
1．按要求解方程：x2+3x+1＝0（公式法）．
2．利用公式法解下列方程：（x+2）（2x﹣3）＝3x+2．
3．解方程：2x2−2❑√2x+1=0．（用公式法）
4．解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）．
5．解方程：x2−2❑√2x+1=0．（公式法）
6．用公式法解方程：4x2+2x﹣1＝0．
7．用公式法解方程：x2﹣2x＝4x﹣5．
8．请你用公式法解方程：3x2﹣4x﹣1＝0．
9．用公式法解一元二次方程：5x2﹣3x＝x+1．
10．用公式法解方程：x2﹣2x+7＝2x+10．
11．用公式法解方程：3y2+1＝2❑√3y．
12．用公式法解关于x的一元二次方程：2x2+ax﹣a2＝0．
13．用公式法解关于x方程：a2x2﹣4abx+3b2＝0（ab＞0）．
14．用公式法解下列方程：（1）x2﹣4❑√3x+10＝0；
（2）2x2+2x＝1．
15．用公式法解方程：
①4x2﹣4❑√2x+1＝0
②x2−❑√2x﹣3＝0．
16．用公式法解下列方程：
（1）x2=2❑√3x−3；
（2）2x（x﹣3）＝﹣6x+5；
（3）3y2+5（2y+3）＝0．
17．用公式法解下列方程：
（1）x（x+8）＝16；
（2）❑√2x2﹣4x＝4❑√2；
（3）2x2﹣2❑√2x+1＝0．
18．用公式法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）3x2﹣10x﹣8＝0；
（3）y（2y+7）＝4；
（4）（x+2）（2x﹣9）＝﹣6．
19．用公式法解下列方程．
（1）（x+1）（x+3）＝6x+4；
（2）x2+2（❑√3+1）x+2❑√3=0；
（3）x2﹣（2m+1）x+m＝0．
20．用公式法解下列方程：
（1）2x2﹣4x﹣1＝0；
（2）5x+2＝3x2；（3）（x﹣2）（3x﹣5）＝1；
3
（4）0.2x2+5= x．
2
【类型4 利用因式分解法解方程20题】
1．用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝x2﹣9．
2．用因式分解法解方程：2（x﹣5）2＝x（x﹣5）．
3．解方程：2x2+3x＝2．（因式分解法）
4．用因式分解法解方程：6﹣2y＝（y﹣3）2．
5．用因式分解法解方程：（2x﹣1）2＝（3﹣x）2．
6．用因式分解法解方程：（3x﹣5）（2x﹣1）＝﹣12x+7．
7．用因式分解法解方程：3x（x−❑√2）=❑√2−x．
8．利用因式分解法解方程：2x（x+2）＝3（2+x）．
9．（2x+3）2＝4（2x+3）（因式分解法）．
10．用因式分解法解方程：（x+1）2﹣3（x+1）＝0．
(t+3) 2 (3t−1) 2 t(2t−3)
11．因式分解法解一元二次方程． +1− = ．
5 5 2
12．用因式分解法解方程：
（1）2x2+3x＝0；
（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．13．用因式分解法解一元二次方程：
（1）（4x+1）（5x﹣7）＝0；
（2）（2x+3）2＝4（2x+3）．
14．用因式分解法解方程：
（1）x2−❑√2x＝0；
（2）x（x﹣6）＝2（x﹣8）．
15．用因式分解法解下列方程：
1
（1）
x2−9＝0；
4
（2）（x﹣5）2＝2（x﹣5）﹣1．
16．用因式分解法解下列方程：
（1）（1﹣2x）2＝x2；
（2）（y+2）2﹣（3y﹣1）2＝0．
17．用因式分解法解下列关于x的一元二次方程．
（1）x2+x﹣k2x＝0
（2）x2﹣2mx+m2﹣n2＝0．
18．用因式分解法解下列方程：
（1）4x2﹣144x＝0
（2）2（5x﹣1）2＝3（1﹣5x）
（3）2x+6＝（3+x）2
（4）（x﹣2）2﹣2x+4＝0．
19．用因式分解法解下列方程：
（1）（x+2）2＝3x+6；
（2）（3x+2）2﹣4x2＝0；
（3）5（2x﹣1）＝（1﹣2x）（x+3）；（4）2（x﹣3）2+（3x﹣x2）＝0．
20．用因式分解法解下列方程．
（1）x2+2❑√2x+2＝0；
（2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）；
（3）2（x﹣3）2＝9﹣x2；
（4）9（2x+3）2＝4（2x﹣5）2．
【类型5 利用合适的方法解方程20题】
1．用合适的方法解方程：
（1）x2﹣5x+3＝﹣1；
（2）（2x+1）（x﹣3）＝5x﹣15．
2．请用合适的方法解方程：
（1）x2﹣5x﹣14＝0；
（2）（3﹣y）2+y2＝12．
3．用合适的方法解方程：
（1）x2﹣4x+4＝64；
（2）x2＝|2x﹣1|+4．
4．用合适的方法解以下方程．
（1）3x2﹣4x﹣1＝0．
（2）3x（x﹣3）＝2x﹣6．
5．用合适的方法解下列方程．
（1）x2﹣4x﹣2＝0；
（2）﹣2x2+x+3＝0．
6．用合适的方法解下列方程（1）4x2﹣8x﹣3＝0；
（2）（x﹣3）2＝5（3﹣x）．
7．用合适的方法解方程：
（1）x2+10x+16＝0；
（2）2x2﹣2❑√2x+1＝0．
8．选用合适的方法解下列一元二次方程：
（1）x2﹣2❑√5x﹣1＝0；
（2）（x+2）2＝（2x+1）2．
9．选择合适的方法解一元二次方程：
（1）x2﹣（❑√2+❑√3）x+❑√6=0
（2）（x+3）（x﹣1）＝5．
10．请选择合适的方法解方程：
（1）x2﹣4x﹣3＝0．
（2）3x2﹣7x+2＝0．
11．请用合适的方法解方程
（1）x2﹣5x+6＝12
（2）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0
12．用合适的方法解下列方程：
（1）4（x﹣3）2﹣25（x﹣2）2＝0；
（2）5（x﹣3）2＝x2﹣9；
❑√2 1
（3）t2− t + = 0．
2 8
13．用合适的方法解下列方程：
1 5
（1）0.2（x− ）2− =0；
2 4（2）2y2+4y﹣798＝0；
（3）3z2﹣1＝4z；
（4）（p﹣1）2﹣3（p﹣1）﹣10＝0．
14．用合适的方法解方程：
1
（1）（x﹣5）2− =0；
4
（2）x2+8x﹣20＝0；
（3）（2y﹣5）2＝（3y+1）2；
（4）（x﹣3）（2x﹣1）＝1．
15．用合适的方法解下列方程：
（1）x（x﹣3）＝5（x﹣3）；
（2）3x2+10x+3＝0；
（3）x2﹣2x﹣3＝0；
（4）4（2x+3）2﹣64＝0．
16．用合适的方法解方程：
（1）x2﹣3x+1＝0；
（2）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）；
（3）x2+4x﹣5＝0；
（4）5（2x+4）2＝20．
17．用合适的方法解方程：
（1）（x﹣5）2＝16．
（2）x2﹣2x﹣4＝0．
（3）（y﹣1）2+2y（1﹣y）＝0．
（4）2x2﹣7x+1＝0．
18．用合适的方法解一元二次方程：
（1）x2+8x＝9；（2）2x+6＝（x+3）2；
1
（3）2x2﹣7x− =0；
2
（4）x2﹣2❑√2x+2＝0．
19．用合适的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）2x2﹣6x﹣3＝0；
（3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）；
（4）x2−4❑√3x+10=0．
20．选择合适的方法解下列方程．
1
（1） （2x﹣1）2﹣32＝0
2
（2）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0
（3）x2﹣5x+6＝1
（4）4x（x﹣3）＝x2﹣9
【类型6 利用换元法解方程20题】
1．阅读下列材料：为解方程x4﹣x2﹣6＝0可将方程变形为（x2）2﹣x2﹣6＝0然后设x2＝t，则（x2）2＝
t2，原方程化为t2﹣t﹣6＝0①，解①得t ＝﹣2，t ＝3．当t ＝﹣2时，x2＝﹣2无意义，舍去；当t ＝
1 2 1 2
3时，x2＝3，解得x=±❑√3；∴原方程的解为x =❑√3，x =−❑√3；
1 2
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复
杂的问题转化成简单的问题．
（1）利用换元法解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0时，新字母设为t，则t＝ ，原方程化为
，解得t＝ ．
（2）求方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0的解．
2．阅读材料，解答问题．解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0．
解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y，
则原方程可化为y2﹣10y+24＝0．
解得y ＝6，y ＝4．
1 2
∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4．
7 5
∴x = ，x = ．
1 4 2 4
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
（1）（3x﹣5）2+4（3x﹣5）+3＝0；
（2）x4﹣x2﹣6＝0．
3．阅读理解
解方程时，我们经常将整体多次出现的部分打包进行换元处理，从而达到了降次、转整等目的，这一
“神奇”的方法叫换元法．
例如：解方程：（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12＝0．
解：设x2﹣x＝y．原方程化为y2﹣8y+12＝0．∴（y﹣2）（y﹣6）＝0．∴y﹣2＝0或y﹣6＝0．∴y ＝
1
2，y ＝6．
2
当y＝2时，即x2﹣x＝2．∴（x﹣2）（x+1）＝0，∴x﹣2＝0或x+1＝0．∴x ＝2，x ＝﹣1
1 2
当y＝6时，即x2﹣x＝6．∴（x﹣3）（x+2）＝0．∴x﹣3＝0或x+2＝0．∴x ＝3，x ＝﹣2．∴原方程
3 4
的解是x ＝2，x ＝﹣1，x ＝3，x ＝﹣2．
1 2 3 4
请你利用换元法解方程：（x2﹣7）2﹣（x2﹣7）﹣2＝0．
4．提出问题：
为解方程x4﹣3x2﹣4＝0，我们可以令x2＝y，于是原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，解此方程，得y ＝4，
1
y ＝﹣1（不符合要求，舍去）．
2
当y ＝4时，x2＝4，x＝±2．
1
∴原方程的解为x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．解决问题：
运用上述换元法解方程：（x2﹣2）2﹣13（x2﹣2）+42＝0．
5．【例】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0．
解：设x﹣1＝y，
则原方程可化为y2﹣5y+4＝0．
解得y ＝1，y ＝4．
1 2
当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；
当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5．
所以原方程的解为x ＝2，x ＝5．
1 2
上述解法称为“整体换元法”．
请运用“整体换元法”解方程：（2x﹣5）2﹣2（2x﹣5）﹣3＝0．
6．解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0时，我们可以将x2﹣1视为一个整体，设x2﹣1＝y，则y2＝（x2﹣
1）2，原方程化为y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y ＝1，y ＝4．
1 2
当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，∴x＝±❑√2；
当y＝4时，x2﹣1＝4，x2＝5，∴x＝±❑√5．
∴原方程的解为x =−❑√2，x =❑√2，x =−❑√5，x =❑√5．
1 2 3 4
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解答下列问题：
（1）x4﹣3x2﹣4＝0；
（2）（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0．
7．阅读材料，解答问题．
解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0．
解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y，
则原方程可化为y2﹣10y+24＝0．解得y ＝6，y ＝4．
1 2
∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4．
7 5
∴x = ，x = ．
1 4 2 4
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：（1）x4﹣x2﹣6＝0；
（2）（x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0．
8．探究：换元法是重要的数学思想方法，用换元法可解决许多数学问题，请看例题：
解方程：x4﹣2x2﹣3＝0．
解：设x2＝y，则原方程化为y2﹣2y﹣3＝0．
解关于y的一元二次方程，得y ＝﹣1，y ＝3．
1 2
当y＝﹣1时，即x2＝﹣1，此时方程无实数根；
当y＝3时，即x2＝3解得x =❑√3，x =−❑√3．
1 2
所以原方程的根是x =❑√3，x =−❑√3．
1 2
请你用换元法解下列方程：
1 5
（1） − + 6＝0；
x2 x
（2）（x2﹣2）2﹣2（x2﹣2）﹣8＝0．
9．先阅读题例，再解答问题．
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0；我们可以将x2﹣1视为一个整体，设x2﹣1＝y，则y2＝（x2﹣
1）2，原方程化为y2﹣5y+4＝0，解得y＝1或y＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，x＝±❑√2；当y＝4
时，x2﹣1＝4，x2＝5，x＝±❑√5；所以原方程的解为x =❑√2，x =−❑√2，x =❑√5，x =−❑√5．以上
1 2 3 4
方法就叫换元法，体现了转化的思想．运用上述方法解决下列问题：
（1）已知（x2+y）（x2+y﹣4）＝5，求x2+y；
（2）解方程：x4﹣7x2+12＝0．10．阅读下面材料：方程x4﹣6x2+8＝0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x2＝
y，则x4＝y2，∴原方程可化为y2﹣6y+8＝0，解方程求得y的值，进而得到原方程的四个根 x =❑√2，x
1 2
=−❑√2，x ＝2，x ＝﹣2．
3 4
以上方法叫做换元法，通过换元达到降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问
题．
（1）解方程2（x2+3x）2﹣3（x2+3x）﹣2＝0；
（2）已知实数a满足（a2+❑√3）2﹣3a2＝10+3❑√3，请直接写出−❑√3a2的值．
11．请阅读下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的过程．
解：设x2+1＝y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣3＝0．
解得y ＝3，y ＝﹣1．
1 2
当y＝3时，x2+1＝3，∴x＝±❑√2．
当y＝﹣1时，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2此方程无实数解．
∴原方程的解为x =❑√2，x =−❑√2．
1 2
我们将上述解方程的方法叫做换元法．
x x
请用换元法解方程：（ ）2﹣2（ ）﹣15＝0．
x−1 x−1
12．阅读材料：
在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次
方程来解．例如：
解方程：x2﹣3|x|+2＝0．
解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2﹣3y+2＝0．
解得：y ＝1，y ＝2．
1 2
当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1；
当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2．
∴原方程的解是：x ＝1，x ＝﹣1，x ＝2，x ＝﹣2．
1 2 3 4
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：（1）解方程：x4﹣10x2+9＝0．
x+1 2x2
（2）解方程： − =1．
x2 x+1
1 3 1
（3）若实数x满足x2+ −3x− =2，求x+ 的值．
x2 x x
13．用换元法解方程：（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．
14．利用换元法解方程x4﹣x2﹣6＝0．
15．用换元法解方程：（x2+1）2+2（x2+1）﹣8＝0．
16．用换元法解方程：（x2﹣2x+2）（2x2﹣3x﹣1）+x2﹣x﹣4＝0．
55
17．解方程：（12x+5）2（6x﹣1）（x+1）= ，试一试 直接解方程太麻烦，用换元法试一试．
2
18．利用换元法解下列方程
（1）（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2＝0；
（2）（2﹣3x）+（3x﹣2）2＝0．
19．利用换元法解下列方程：
（1）（x+2）2+6（x+2）﹣91＝O；
（2）x2﹣（1+2❑√3）x﹣3+❑√3=0．
20．用换元法解下列方程：
（1）y4﹣y2﹣6＝0；
2 3x
（2）x + − = 2；
x x2+2
（3）（x2﹣2）（x2﹣5）＝0；（4）（y2﹣1）2﹣7（y2﹣1）＝﹣12．
