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专题 4.1 一元二次方程的计算六大类型
【人教版】
【类型1 利用直接开平方法解方程20题】............................................................................................................1
【类型2 利用配方法解方程20题】......................................................................................................................10
【类型3 利用公式法解方程20题】......................................................................................................................22
【类型4 利用因式分解法解方程20题】..............................................................................................................30
【类型5 利用合适的方法解方程20题】..............................................................................................................38
【类型6 利用换元法解方程20题】......................................................................................................................53
【类型1 利用直接开平方法解方程20题】
1．利用直接开平方法解方程：（x﹣2）2﹣16＝0．
【分析】先移项得到（x﹣2）2＝16，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（x﹣2）2＝16，
x﹣2＝±4，
解得x ＝6，x ＝﹣2．
1 2
2．利用直接开平方法解方程：（x+2）2﹣25＝0
【分析】这个式子先移项，变成（x+2）2＝25，从而把问题转化为求25的平方根．
【解答】解：（x+2）2﹣25＝0，
（x+2）2＝25，
x+2＝±5，
∴x ＝3，x ＝﹣7．
1 2
3．利用直接开平方法解方程：（4x﹣1）2＝25
【分析】利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：开方得：4x﹣1＝5或4x﹣1＝﹣5，
3
解得：x = ，x ＝﹣1．
1 2 2
4．利用直接开平方法解方程：4（x+1）2＝9
9
【分析】首先两边同时除以4得（x+1）2= ，再两边直接开平方即可．
49
【解答】解：两边同时除以4得：（x+1）2= ，
4
3
两边直接开平方得：x+1=± ，
2
3 3
则：x+1= ，x+1=− ，
2 2
1
解得：x = ，x ＝﹣2．
1 2 2
1 1
5．用直接开平方法解方程： （2y﹣1）2=
2 5
【分析】先变形，使其成为x2＝a的形式，再应用直接开平方法解答即可．
1 1
【解答】解： （2y﹣1）2=
2 5
2
变形得，（2y﹣1）2=
5
❑√10
所以2y﹣1=± ，
5
5±❑√10
所以y=
10
5+❑√10 5−❑√10
所以y = ，y = ．
1 10 2 10
4
6．利用直接开平方法解方程： (3x−1) 2=3．
3
【分析】先变形，使其成为x2＝a的形式，再应用直接开平方法解答即可．
9
【解答】解：变形得：（3x﹣1）2= ，
4
3 3
两边直接开平方得：3x﹣1= 或3x﹣1=− ，
2 2
5 1
解得：x = ，x =− ．
1 6 2 6
9
7．利用直接开平方法解方程：2（x+1）2− =0．
2
【分析】方程变形后利用平方根的定义开方，即可求出解．
9
【解答】解：方程变形得：（x+1）2= ，
43 3
开方得：x+1= 或x+1=− ，
2 2
1 5
解得：x = ，x =− ．
1 2 2 2
8．利用直接开平方法解方程：（m−❑√3）2＝16．
【分析】利用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：（m−❑√3）2＝16，
开方得：m−❑√3=±4，
解得：m ＝4+❑√3，m ＝﹣4+❑√3．
1 2
9．利用直接开平方法解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0．
【分析】直接开方，再解一元一次方程即可．
【解答】解：4（x+1）2＝9（x﹣2）2，
∴2（x+1）＝±3（x﹣2），
4
∴x ＝8，x = ．
1 2 5
10．用直接开平方法解下列方程：
（1）2（x﹣1）2＝18
（2）3（x+1）2﹣75＝0．
【分析】（1）先把方程变形为（x﹣1）2＝9，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先把方程变形为（x+1）2＝25，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）（x﹣1）2＝9，
x﹣1＝±3，
所以x ＝4，x ＝﹣2；
1 2
（2）（x+1）2＝25，
x+1＝±5，
所以x ＝4，x ＝﹣6．
1 2
11．用直接开平方法解下列方程：
（1）2（x﹣5）2＝0；
（2）3（x+2）2+12＝0．
【分析】（1）两边都除以2，再开平方即可得出答案；
（2）先移项，再系数化为1即可判断根的情况．
【解答】解：（1）∵2（x﹣5）2＝0，∴（x﹣5）2＝0，
则x﹣5＝0，
解得x ＝x ＝5；
1 2
（2）∵3（x+2）2+12＝0，
∴3（x+2）2＝﹣12，
则（x+2）2＝﹣4＜0，
∴原方程无实数根．
12．用直接开平方法解下列方程：
1
（1） x2﹣8＝0；
3
（2）（x+3）（x﹣3）＝16．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答．
1
【解答】解：（1） x2﹣8＝0，
3
x2＝24，
∴x＝±2❑√6，
∴x ＝2❑√6，x ＝﹣2❑√6；
1 2
（2）（x+3）（x﹣3）＝16，
x2＝25，
∴x＝±5，
∴x ＝5，x ＝﹣5．
1 2
13．用直接开平方法解下列方程：
（1）x2﹣12＝0；
（2）（4﹣2x）2﹣36＝0．
【分析】把方程化成x2＝p的形式，直接开平方得x＝±❑√p．
【解答】解：（1）x2﹣12＝0，
移项得x2＝12，
开方得x=±❑√12=±2❑√3，
解得：x ＝2❑√3，x =−2❑√3；
1 2
（2）（4﹣2x）2﹣36＝0，移项得（4﹣2x）2＝36，
直接开方得：4﹣2x＝6或4﹣2x＝﹣6，
解得：x ＝﹣1，x ＝5．
1 2
14．用直接开平方法解下列方程：
3
（1） （3x﹣2）2＝15；
5
（2）4（2y﹣5）2＝9（3y﹣1）2．
5
【分析】（1）根据等式的性质两边 后开方即可；
3
（2）直接开方即可．
3
【解答】解：（1） （3x﹣2）2＝15，
5
（3x﹣2）2＝25，
3x﹣2＝±5，
7
x = ，x ＝﹣1；
1 3 2
（2）4（2y﹣5）2＝9（3y﹣1）2，
4（2y﹣5）2＝9（3y﹣1）2，
2（2y﹣5）＝±3（3y﹣1），
2（2y﹣5）＝3（3y﹣1）或2（2y﹣5）＝﹣3（3y﹣1），
7
y =− ，y ＝﹣1；
1 5 2
15．用开平方法解下列关于x的方程：
（1）（x﹣3）2＝a2；
（2）（x﹣a）2＝a2+2ab+b2．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（x﹣3）2＝a2，
x﹣3＝±a，
x﹣3＝a或x﹣3＝﹣a，
x ＝3+a，x ＝3﹣a；
1 2
（2）（x﹣a）2＝a2+2ab+b2，（x﹣a）2＝（a+b）2，
x﹣a＝±（a+b），
x﹣a＝a+b，或x﹣a＝﹣a﹣b，
x ＝2a+b，x ＝﹣b．
1 2
16．用直接开平方法解下列方程：
（1）（x+❑√5）（x−❑√5）＝45；
（2）x2﹣8x+16＝3．
【分析】（1）整理后，两边直接开平方即可得出答案；
（2）写成完全平方式，再两边开方即可得出答案．
【解答】解：（1）整理得x2＝50，
解得x ＝5❑√2，x ＝﹣5❑√2；
1 2
（2）∵x2﹣8x+16＝3，
∴（x﹣4）2＝3，
则x﹣4＝±❑√3，
∴x ＝4+❑√3，x ＝4−❑√3．
1 2
17．用直接开平方法解下列方程．
（1）（2x+3）2＝（3x+2）2；
x+1
（2）( −x) 2=4；
3
（3）x2﹣2x+1﹣25（2x﹣1）2＝0．
【分析】（1）（2）（3）利用直接开平方法解出方程．
【解答】解：（1）（2x+3）2＝（3x+2）2，
则2x+3＝±（3x+2），
∴2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣（3x+2），
∴x ＝1，x ＝﹣1；
1 2
x+1
（2）（ −x）2＝4，
3
x+1
则 −x＝±2，
3
x+1 x+1
∴ −x＝2或 −x＝﹣2，
3 35 7
∴x =− ，x = ；
1 2 2 2
（3）x2﹣2x+1﹣25（2x﹣1）2＝0，
则（x﹣1）2＝[5（2x﹣1）2]，
∴x﹣1＝±5（2x﹣1），
∴x﹣1＝5（2x﹣1）或x﹣1＝﹣5（2x﹣1），
4 6
∴x = ，x = ．
1 9 2 11
18．用直接开平方法解下列方程．
（1）9x2﹣25＝0；
（2）（4x﹣1）2﹣9＝0；
（3）（3x﹣1）（3x+1）﹣1＝0；
1
（4） （3﹣x）2﹣4＝0．
2
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答；
（3）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答
（4）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）9x2﹣25＝0，
9x2＝25，
25
x2= ，
9
5 5
x = ，x =− ；
1 3 2 3
（2）（4x﹣1）2﹣9＝0，
（4x﹣1）2＝9，
4x﹣1＝±3，
4x﹣1＝3或4x﹣1＝﹣3，
1
x ＝1，x =− ；
1 2 2
（3）（3x﹣1）（3x+1）﹣1＝0，
9x2﹣1﹣1＝0，
9x2＝2，2
x2= ，
9
❑√2 ❑√2
x = ，x =− ；
1 3 2 3
1
（4） （3﹣x）2﹣4＝0，
2
1
（3﹣x）2＝4，
2
（3﹣x）2＝8，
3﹣x＝±2❑√2，
3﹣x＝2❑√2或3﹣x＝﹣2❑√2，
x ＝3﹣2❑√2，x ＝3+2❑√2．
1 2
19．用直接开平方法解下列方程：
1
（1） （x﹣1）2﹣5＝0；
2
（2）（x﹣1）（x+1）＝1；
（3）（2x﹣1）2＝（❑√2−1）2；
（4）（x﹣1）2＝（2x+3）2．
【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）根据直接开平方法解一元二次方程即可；
（3）根据直接开平方法解一元二次方程即可；
（4）根据直接开平方法解一元二次方程即可．
1
【解答】解：（1） （x﹣1）2﹣5＝0，
2
∴（x﹣1）2＝10，
∴x﹣1＝±❑√10，
∴x ＝1+❑√10，x ＝1−❑√10；
1 2
（2）（x﹣1）（x+1）＝1，
∴x2﹣1＝1，
∴x2＝2，
∴x =❑√2，x =−❑√2；
1 2
（3）（2x﹣1）2＝（❑√2−1）2，
∴2x﹣1＝±（❑√2−1），❑√2 2−❑√2
∴x = ，x = ；
1 2 2 2
（4）（x﹣1）2＝（2x+3）2，
∴x﹣1＝±（2x+3），
2
∴x ＝﹣4，x =− ．
1 2 3
20．用直接开平方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣100＝0；
（2）（3x﹣1）2＝7；
1
（3） （x﹣3）2＝8；
2
（4）（3x−❑√2）2﹣3＝0．
【分析】（1）先移项，然后直接开平方即可解答此方程；
（2）直接开平方即可解答此方程；
（3）先变形，然后直接开平方即可解答此方程；
（4）先变形，然后直接开平方即可解答此方程．
【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣100＝0，
（x﹣2）2＝100，
∴x﹣2＝±10，
解得x ＝12，x ＝﹣8；
1 2
（2）（3x﹣1）2＝7，
3x﹣1＝±❑√7，
1+❑√7 1−❑√7
解得x = ，x = ；
1 3 2 3
1
（3） （x﹣3）2＝8，
2
（x﹣3）2＝16，
x﹣3＝±4，
解得x ＝7，x ＝﹣1；
1 2
（4）（3x−❑√2）2﹣3＝0，
（3x−❑√2）2＝3，
3x−❑√2=±❑√3，❑√2+❑√3 ❑√2−❑√3
解得x = ，x = ．
1 3 2 3
【类型2 利用配方法解方程20题】
1．解方程：x2﹣6x+2＝0（用配方法）．
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等
式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：x2﹣6x+2＝0
移项，得
x2﹣6x＝﹣2，
即x2﹣6x+9＝﹣2+9，
∴（x﹣3）2＝7，
解得x﹣3＝±❑√7，
即x＝3±❑√7．
∴x ＝3+❑√7，x ＝3−❑√7．
1 2
2．用配方法解方程：x2﹣2x﹣35＝0．
【分析】方程移项变形后，配方即可得到结果．
【解答】解：方程变形得：x2﹣2x＝35，
配方得：x2﹣2x+1＝36，即（x﹣1）2＝36，
开方得：x﹣1＝6或x﹣1＝﹣6，
解得：x ＝7，x ＝﹣5．
1 2
3．用配方法解方程，2x2+5x﹣12＝0．
【分析】移项，方程两边都除以2，再配方，开方，即可得出两个方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：2x2+5x﹣12＝0，
移项，得2x2+5x＝12，
5
x2+ x＝6，
2
5 25 25 5 121
配方，得x2+ x+ =6+ ，即（x+ ）2= ，
2 16 16 4 16
5 11
开方，得x+ =± ，
4 4
3
解得：x = ，x ＝﹣4．
1 2 24．用配方法解方程：5x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可
得．
【解答】解：∵5x2﹣2x﹣3＝0，
∴5x2﹣2x＝3，
2 3
∴x2− x= ，
5 5
2 1 3 1 1 16
∴x2− x+ = + ，即（x− ）2= ，
5 25 5 25 5 25
1 4
∴x− =± ，
5 5
3
∴x ＝1，x =− ．
1 2 5
5．用配方法解方程：3x2+6x﹣1＝0．
【分析】先把方程两边都除以3，使二次项的系数为1，然后再配上一次项系数一半的平方，利用配方
法解方程．
1
【解答】解：把方程x2+2x− =0的常数项移到等号的右边，得
3
1
x2+2x= ，
3
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得
1
x2+2x+1= +1
3
4
配方得（x+1）2= ，
3
2❑√3
开方得x+1＝± ，
3
2❑√3
解得x＝± −1．
3
6．用配方法解方程：2x2+8x﹣1＝0．
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：∵2x2+8x﹣1＝0，
1
∴x2+4x= ，
2
1
∴x2+4x+4= +4，
2
9
∴（x+2）2= ，
2
3❑√2−4 −3❑√2−4
解得x = ，x = ．
1 2 2 2
7．用配方法解方程：（x﹣3）（x+1）＝1．
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答．
【解答】解：（x﹣3）（x+1）＝1，
x2+x﹣3x﹣3＝1，
x2﹣2x﹣3＝1，
x2﹣2x＝1+3，
x2﹣2x＝4，
x2﹣2x+1＝4+1，
（x﹣1）2＝5，
x﹣1＝±❑√5，
x﹣1=❑√5或x﹣1=−❑√5，
x ＝1+❑√5，x ＝1−❑√5．
1 2
1 2
8．用配方法解方程： (x+3) 2= (x+6)．
2 3
【分析】方程整理成x2+4x＝﹣1，然后利用配方法求解即可．
14
【解答】解：整理得x2+ x＝﹣1，
3
14 49 49 7 40
配方得x2+ x+ =−1+ ，即（x+ ）2= ，
3 9 9 3 9
7 2❑√10
开方得x+ =± ，
3 3
−7+2❑√10 −7−2❑√10
∴x = ，x = ．
1 3 2 3
9．用配方法解方程：x2﹣4❑√2x﹣2＝0．【分析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：x2﹣4❑√2x﹣2＝0，
x2﹣4❑√2x＝2，
x2﹣4❑√2x+8＝2+8，
（x﹣2❑√2）2＝10，
x﹣2❑√2=±❑√10，
解得x ＝2❑√2+❑√10，x ＝2❑√2−❑√10．
1 2
10．用配方法解方程：3x2﹣4❑√3x+2＝0
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算可得．
【解答】解：∵3x2﹣4❑√3x＝﹣2，
4❑√3 2
∴x2− x =− ，
3 3
4❑√3 4 2 4 2❑√3 2
则x2− x+ =− + ，即（x− ）2= ，
3 3 3 3 3 3
2❑√3 ❑√6
∴x− =± ，
3 3
2❑√3 ❑√6
∴x= ± ．
3 3
11．用配方法解关于x的方程x2+px+q＝0（p2﹣4q＞0）．
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，要注意解题步骤，把左边配成完全平方式，右边化为常
数．再利用直接开平方法即可求解．
【解答】解：∵x2+px+q＝0，
x2+px＝﹣q，
p2 p2
x2+px+ =−q+ ，
4 4
p p2−4q
（x+ ）2= ，
2 4
∵p2﹣4q＞0，
p ❑√p2−4q
∴x+ =± ，
2 2
−p±❑√p❑ 2−4q
x= ．
2
12．用配方法解方程：13
（1）x2+7x=− ；
4
（2）3x2+6x+2＝11．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
13
【解答】解：（1）x2+7x=− ，
4
49 49 13
x2+7x+ = − ，
4 4 4
7
(x+ ) 2=9，
2
7
x+ =±3，
2
1 13
x =− ，x =− ；
1 2 2 2
（2）3x2+6x+2＝11，
3x2+6x﹣9＝0，
x2+2x﹣3＝0，
x2+2x+1＝4，
（x+1）2＝4，
x+1＝±2，
x ＝1，x ＝﹣3．
1 2
13．用配方法解下列关于x的方程：
（1）x2+12x+25＝0．
（2）2x2+4x﹣1998＝0．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2+12x+25＝0，
x2+12x＝﹣25，
x2+12x+36＝﹣25+36，
（x+6）2＝11，
x+6＝±❑√11，
x+6=❑√11或x+6=−❑√11，x =−6+❑√11，x =−6−❑√11；
1 2
（2）2x2+4x﹣1998＝0，
x2+2x﹣999＝0，
x2+2x＝999，
x2+2x+1＝999+1，
（x+1）2＝1000，
x+1＝±10❑√10，
x+1＝10❑√10或x+1＝﹣10❑√10，
x =−1+10❑√10，x =−1−10❑√10．
1 2
14．用配方法解方程：
（1）（x+1）（2x﹣3）＝1；
（2）5x2﹣15x﹣7＝0．
【分析】（1）先移项，然后将二次项系数化为1，再配方，最后开平方，即可得出答案；
（2）先移项，然后将二次项系数化为1，再配方，最后开平方，即可得出答案．
【解答】解：（1）（x+1）（2x﹣3）＝1，
化简，得2x2﹣x＝4，
1
二次项系数化为1，得x2− x=2，
2
1 1 1
配方，得x2− x+( ) 2=2+( ) 2 ，
2 4 4
1 33
即(x− ) 2= ，
4 16
1 ❑√33
开平方得，x− =± ，
4 4
1+❑√33 1−❑√33
解得：x = ，x = ．
1 4 2 4
（2）5x2﹣15x﹣7＝0，
移项得：5x2﹣15x＝7，
7
二次项系数化为1得：x2−3x=
，
5
3 7 3
配方得：x2−3x+( ) 2= +( ) 2 ，
2 5 23 73
即(x− ) 2= ，
2 20
3 √73
开平方得：x− =±❑ ，
2 20
3 ❑√365 3 ❑√365
解得：x = + ，x = − ．
1 2 10 2 2 10
15．用配方法解下列方程：
（1）2x2+4x﹣6＝0；
（2）（x﹣2）2＝3x（x﹣2）．
【分析】（1）先移项，二次项系数化为1，再将方程两边同时加1，左边化为完全平方式，右边合并，
最后求解即可；
1
（2）先去括号，移项，二次项系数化为1，再将方程两边同时加 ，左边化为完全平方式，右边合并，
4
最后求解即可．
【解答】解：（1）2x2+4x﹣6＝0，
x2+2x＝3，
x2+2x+1＝3+1，
（x+1）2＝4，
∴x+1＝±2，
∴x ＝1，x ＝﹣3；
1 2
（2）（x﹣2）2＝3x（x﹣2），
x2﹣4x+4＝3x2﹣6x，
x2﹣x＝2，
1 1
x2−x+ =2+ ，
4 4
1 9
(x− ) 2= ，
2 4
1 3
∴x− =± ，
2 2
∴x ＝2，x ＝﹣1．
1 2
16．用配方法解方程：
1 1
（1）ax2−❑√2ax+ （a− ）＝0（a＞0）；
2 2a（2）（m﹣5）2x2+2（m﹣5）x+1＝0．
【分析】（1）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可；
（2）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．
1 1
【解答】解：（1）移项得：ax2−❑√2ax=− a+ ，
2 4a
1 1
x2−❑√2x =− + ，
2 4a2
❑√2 1 1 ❑√2
配方得：x2−❑√2x+（ ）2=− + +（ ）2，
2 2 4a2 2
❑√2 1
（x− ）2= ，
2 4a2
❑√2 1
开方得：x− =± ，
2 2a
❑√2 1 ❑√2 1
x = + ，x = − ；
1 2 2a 2 2 2q
（2）（m﹣5）2x2+2（m﹣5）x+1＝0
（m﹣5）2x2+2（m﹣5）x＝﹣1
2 1
x2+ x=−
m−5 m−5
2 1 1 1
配方得：x2+ x+（ ）2=− +（ ）2，
m−5 m−5 m−5 m−5
1 6−m
（x+ ）2= ，
m−5 (m−5) 2
1 ❑√6−m
当6﹣m≥0且m﹣5≠0时，x+ =± ，
m−5 m−5
−1+❑√6−m −1−❑√6−m
x = ，x = ；
1 m−5 2 m−5
当6﹣m＜0时，方程无解．
17．用配方法解下列方程：
（1）2x2﹣5x﹣7＝0；
（2）❑√3 y2−y−❑√3=0；
（3）（x+1）（x﹣1）＝2x2﹣4x﹣6．
【分析】各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方
公式变形后，开方即可求出解．5 7
【解答】解：（1）方程变形得：x2− x= ，
2 2
5 25 7 25 5 81
配方得：x2− x+ = + ，即（x− ）2= ，
2 16 2 16 4 16
5 9
开方得：x− =± ，
4 4
7
解得：x = ，x ＝﹣1；
1 2 2
1
（2）方程变形得：y2− y＝1，
❑√3
1 1 13 1 13
配方得：y2− y+ = ，即（y− ）2= ，
❑√3 12 12 2❑√3 12
1 √13
开方得：y− = ±❑ ，
2❑√3 12
❑√3±❑√39
解得：y= ；
6
（3）整理得：x2﹣4x＝5，
配方得：x2﹣4x+4＝9，即（x﹣2）2＝9，
开方得：x﹣2＝±3，
解得：x ＝5，x ＝﹣1．
1 2
18．用配方法解下列方程：
（1）12x2+7x+1＝0；
（2）0.8x2+x＝0.3；
（3）3x2+1=❑√3x；
（4）（x+1）（x﹣3）＝2x+5．
【分析】（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（3）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出答案；
（4）整理后移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）移项得：12x2+7x＝﹣1，
7 1
x2+ x=− ，
12 12
7 7 1 7
配方得：x2+ +（ ）2=− +（ ）2，
12 24 12 247 1
（x+ ）2= ，
24 576
7 1
开方得：x+ =± ，
24 24
1 1
x =− ，x =− ；
1 4 2 3
（2）0.8x2+x＝0.3，
5 3
x2+ x= ，
4 8
5 5 3 5
配方得：x2+ x+（ ）2= +（ ）2，
4 8 8 8
5 49
（x+ ）2= ，
8 64
5 7
开方得：x+ =± ，
8 8
1 3
x = ，x =− ；
1 4 2 2
（3）3x2+1=❑√3x，
❑√3 1
x2− x =− ，
3 3
❑√3 ❑√3 1 ❑√3
配方得：x2− x+（ ）2=− +（ ）2，
3 6 3 6
❑√3 1
（x− ）2=− ，
6 4
❑√3
因为不论x为何值（x− ）2都不能是负数，
6
所以此方程无解；
（4）（x+1）（x﹣3）＝2x+5，
整理得：x2﹣4x＝8，
配方得：x2﹣4x+4＝8+4，
（x﹣2）2＝12，
开方得：x﹣2＝±2❑√3，
x ＝2+2❑√3，x ＝2﹣2❑√3．
1 2
19．用配方法解下列一元二次方程：（1）2t2﹣7t﹣4＝0
（2）3﹣7x＝﹣2x2
（3）0.1x2+0.2x﹣1＝0
（4）6x2﹣4x+1＝0．
【分析】（1）移项，系数化成1，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项，系数化成1，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（3）移项，系数化成1，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（4）移项，系数化成1，再配方，开方，即可得出答案．
【解答】解：（1）2t2﹣7t﹣4＝0，
2t2﹣7t＝4，
7
t2− t＝2，
2
7 7 7
t2− t+（ ）2＝2+（ ）2
2 4 4
7 81
（t− ）2= ，
4 16
7 9
t− =± ，
4 4
1
t ＝4，t =− ；
1 2 2
（2）3﹣7x＝﹣2x2，
2x2﹣7x＝﹣3，
7 3
x2− x=− ，
2 2
7 7 3 7
x2− x+（ ）2=− +（ ）2，
2 4 2 4
7 1
（x− ）2= ，
4 16
7 1
x− =± ，
4 4
3
x ＝2，x = ；
1 2 2
（3）0.1x2+0.2x﹣1＝0，
0.1x2+0.2x＝1，x2+2x＝10，
x2+2x+1＝10+1，
（x+1）2＝11，
x+1=±❑√11，
x ＝﹣1+❑√11，x ＝﹣1−❑√11；
1 2
（4）6x2﹣4x+1＝0，
6x2﹣4x＝﹣1，
2 1
x2− x=− ，
3 6
2 1 1 1
x2− x+（ ）2=− +（ ）2，
3 3 6 3
1 1
（x− ）2=− ，
3 18
即此方程无解．
20．用配方法解下列关于x的方程：
（1）2x2−❑√2x﹣30＝0；
（2）x2+2＝2❑√3x；
（3）x2+px+q＝O（p2﹣4q≥O）；
（4）m2x2﹣28＝3mx（m≠O）．
【分析】（1）先移项，再把二次项系数化为1，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半
的平方，变形成左边是完全平方，右边是常数的形式，即可求出x的值；
（2）先移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，变形成左边是完全平方，
右边是常数的形式，即可求出x的值；
（3）先移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，变形成左边是完全平方，
右边是常数的形式，即可求出x的值；
（4）先移项，再把方程左边因式分解，得到两个一元一次方程，再进行计算即可．
【解答】解：（1）2x2−❑√2x﹣30＝0，
2x2−❑√2x＝30，
❑√2
x2− x＝15，
2
❑√2 1 1
x2− x+ =15+ ，
2 8 8❑√2 121
（x− ）2= ；
4 8
❑√2 11❑√2
x− =± ，
4 4
❑√2 11❑√2 ❑√2 11❑√2 5
x = + =3❑√2，x = − =− ❑√2；
1 4 4 2 4 4 2
（2）x2+2＝2❑√3x，
x2﹣2❑√3x＝﹣2，
x2﹣2❑√3x+3＝﹣2+3；
（x−❑√3）2＝1，
x−❑√3=±1，
x ＝1+❑√3，x ＝﹣1+❑√3；
1 2
（3）x2+px+q＝O（p2﹣4q≥O），
x2+px＝﹣q，
p2 p2
x2+px+ =−q+ ，
4 4
p p2−4q
（x+ ）2= ，
2 4
∵p2﹣4q≥O，
p ❑√p2−4q
∴x+ =± ，
2 2
−p+❑√p2−4q −p−❑√p2−4q
∴x = ，x = ；
1 2
2 2
（4）m2x2﹣28＝3mx（m≠O），
（mx）2﹣3mx﹣28＝0，
（mx﹣7）（mx+4）＝0，
mx＝7或mx＝﹣4，
∵m≠0，
7 4
∴x = ，x =− ．
1 m 2 m
【类型3 利用公式法解方程20题】
1．按要求解方程：x2+3x+1＝0（公式法）．
【分析】根据公式法解一元二次方程的步骤依次求解即可；【解答】解：x2+3x+1＝0，
这里a＝1，b＝3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×1＝5＞0，
−b±❑√b2−4ac −3±❑√5
∴x= = ，
2a 2
−3+❑√5 −3−❑√5
∴x = ，x = ．
1 2 2 2
2．利用公式法解下列方程：（x+2）（2x﹣3）＝3x+2．
【分析】先整理成一般式，再利用公式法求解即可．
【解答】解：（x+2）（2x﹣3）＝3x+2，
整理得，x2﹣x﹣4＝0，
∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4，
∴b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣4）＝17，
1±❑√17
∴x= ，
2
1+❑√17 1−❑√17
∴x = ，x =
1 2 2 2
3．解方程：2x2−2❑√2x+1=0．（用公式法）
【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：2x2−2❑√2x+1=0，
这里a＝2，b＝﹣2❑√2，c＝1，
∵Δ＝（﹣2❑√2）2﹣4×2×1＝0，
2❑√2±0
∴x= ，
2×2
❑√2
∴x ＝x = ．
1 2 2
4．解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）．
【分析】整理成一般式，先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：方程整理得：6x2﹣x﹣4＝0，
∵a＝6，b＝﹣1，c＝﹣4，
∴b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×6×（﹣4）＝97＞0，
−b±❑√b2−4ac 1±❑√97
∴x= = ，
2a 121+❑√97 1−❑√97
∴x = ，x = ．
1 12 2 12
5．解方程：x2−2❑√2x+1=0．（公式法）
【分析】先计算Δ=(−2❑√2) 2 −4×1×1=8−4=4，再利用求根公式解方程即可．
【解答】解：x2−2❑√2x+1=0，
∴Δ=(−2❑√2) 2 −4×1×1=8−4=4，
2❑√2±2
∴x= =❑√2±1，
2
解得：x =❑√2+1，x =❑√2−1．
1 2
6．用公式法解方程：4x2+2x﹣1＝0．
【分析】先根据一般式确定出二次项系数，一次项系数和常数项分别为 a＝4，b＝2，c＝﹣1，再判断Δ
−b±❑√b2−4ac
＞的符号，再由x= 进行求解即可．
2a
【解答】解：∵4x2+2x﹣1＝0，
∴a＝4，b＝2，c＝﹣1，
∴Δ＝22﹣4×4×（﹣1）＝4+16＝20＞0，
−b±❑√b2−4ac −2±2❑√5
∴x= = ，
2a 8
−1−❑√5 −1+❑√5
解得x = ，x = ．
1 4 2 4
7．用公式法解方程：x2﹣2x＝4x﹣5．
【分析】先整理成一般式，再利用求根公式求解即可．
【解答】解：整理成一般式，得：x2﹣6x+5＝0，
∴a＝1，b＝﹣6，c＝5，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×5＝16＞0，
−b±❑√b2−4ac 6±4
则x= = ，
2a 2
∴x ＝5，x ＝1．
1 2
8．请你用公式法解方程：3x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】利用公式法求解即可．【解答】解：∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，
4±2❑√7 2±❑√7
则x= =
6 3
2+❑√7 2−❑√7
∴x = ，x = ．
1 3 2 3
9．用公式法解一元二次方程：5x2﹣3x＝x+1．
【分析】将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即
可求出解．
【解答】解：方程化简为：5x2﹣4x﹣1＝0，
这里a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，
−(−4)±❑√36 4±6
∴x= = ，
2×5 10
1
∴x ＝1，x =− ．
1 2 5
10．用公式法解方程：x2﹣2x+7＝2x+10．
【分析】用求根公式计算可得．
【解答】解：整理得x2﹣4x﹣3＝0，
∵a＝1、b＝﹣4、c＝﹣3，
∴b2﹣4ac＝16﹣4×1×（﹣3）＝28＞0，
−b±❑√b2−4ac 4±2❑√7
∴x= = =2±❑√7，
2a 2
∴x ＝2+❑√7，x ＝2−❑√7．
1 2
11．用公式法解方程：3y2+1＝2❑√3y．
【分析】方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：方程整理得：3y2﹣2❑√3y+1＝0，
这里a＝3，b＝﹣2❑√3，c＝1，
∵△＝12﹣12＝0，
2❑√3 ❑√3
∴y= = ，
6 3
❑√3
解得：y ＝y = ．
1 2 312．用公式法解关于x的一元二次方程：2x2+ax﹣a2＝0．
【分析】先根据根的判别式求出△，再代入公式求出即可．
【解答】解：2x2+ax﹣a2＝0，
△＝a2﹣4×2×（﹣a2）＝9a2，
−a±❑√9a2
x= ，
2×2
1
x = a，x ＝﹣a．
1 2 2
13．用公式法解关于x方程：a2x2﹣4abx+3b2＝0（ab＞0）．
【分析】先求出根的判别式，再代入公式，即可求出答案．
【解答】解：a2x2﹣4abx+3b2＝0，
△＝（﹣4ab）2﹣4a2•3b2＝4a2b2，
4ab±❑√4a2b2
x= ，
2a2
3b b
x = ，x = ．
1 a 2 a
14．用公式法解下列方程：
（1）x2﹣4❑√3x+10＝0；
（2）2x2+2x＝1．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）x2﹣4❑√3x+10＝0，
这里a＝1，b＝﹣4❑√3，c＝10，
∵Δ＝（﹣4❑√3）2﹣4×1×10＝48﹣40＝8＞0，
4❑√3±❑√8
∴x= =2❑√3±❑√2，
2×1
∴x ＝2❑√3+❑√2，x ＝2❑√3−❑√2；
1 2
（2）2x2+2x＝1，
整理得：2x2+2x﹣1＝0，
这里a＝2，b＝2，c＝﹣1，
∵Δ＝22﹣4×2×（﹣1）＝4+8＝12＞0，−2±❑√12 −1±❑√3
∴x= = ，
2×2 2
−1+❑√3 −1−❑√3
∴x = ，x = ．
1 2 2 2
15．用公式法解方程：
①4x2﹣4❑√2x+1＝0
②x2−❑√2x﹣3＝0．
【分析】找出各方程中a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：（1）这里a＝4，b＝﹣4❑√2，c＝1，
∵△＝32﹣16＝16，
4❑√2±4 ❑√2±1
∴x= = ；
8 2
（2）这里a＝1，b=−❑√2，c＝﹣3，
∵△＝2+12＝14，
❑√2±❑√14
∴x= ．
2
16．用公式法解下列方程：
（1）x2=2❑√3x−3；
（2）2x（x﹣3）＝﹣6x+5；
（3）3y2+5（2y+3）＝0．
【分析】（1）先移项，求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
（2）整理后，求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
（3）整理后，求出b2﹣4ac的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）移项得：x2﹣2❑√3x+3＝0，
b2﹣4ac＝（﹣2❑√3）2﹣4×1×3＝0，
2❑√3±❑√0
x= ，
2
x ＝x =❑√3．
1 2
（2）2x2﹣6x＝﹣6x+5，
2x2﹣5＝0，
b2﹣4ac＝02﹣4×2×（﹣5）＝40，
0±❑√40
x= ，
2×2❑√10 ❑√10
x = ，x =− ．
1 2 2 2
（3）3y2+10y+15＝0，
b2﹣4ac＝102﹣4×3×15＝﹣80＜0，
即此方程无解．
17．用公式法解下列方程：
（1）x（x+8）＝16；
（2）❑√2x2﹣4x＝4❑√2；
（3）2x2﹣2❑√2x+1＝0．
【分析】先把方程化成标准形式ax2+bx+c＝0，再求出a，b，c的值，判断出△的符号，再代入求根公
式，进行计算即可．
【解答】解：（1）x（x+8）＝16，
x2+8x﹣16＝0，
a＝1，b＝8，c＝﹣16，
b2﹣4ac＝82﹣4×1×（﹣16）＝128＞0，
−8±❑√128
x= ，
2
x ＝﹣4+4❑√2，x ＝﹣4﹣4❑√2；
1 2
（2）❑√2x2﹣4x＝4❑√2，
❑√2x2﹣4x﹣4❑√2=0；
a=❑√2，b＝﹣4，c＝﹣4❑√2，
b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×❑√2×（﹣4❑√2）＝48＞0，
4±❑√48
x= =❑√2±❑√6，
2❑√2
x =❑√2+❑√6，x =❑√2−❑√6；
1 2
（3）2x2﹣2❑√2x+1＝0，
a＝2，b＝﹣2❑√2，c＝1，
b2﹣4ac＝（﹣2❑√2）2﹣4×2×1＝0，
❑√2
x ＝x = ．
1 2 2
18．用公式法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；（2）3x2﹣10x﹣8＝0；
（3）y（2y+7）＝4；
（4）（x+2）（2x﹣9）＝﹣6．
【分析】各方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求
出解．
【解答】解：（1）这里a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∵△＝4+4＝8，
2±2❑√2
∴x= =1±❑√2；
2
（2）这里a＝3，b＝﹣10，c＝﹣8，
∵△＝100+96＝196，
10±14
∴x= ，
6
2
解得：x ＝4，x =− ；
1 2 3
（3）方程整理得：2y2+7y﹣4＝0，
这里a＝2，b＝7，c＝﹣4，
∵△＝49+32＝81，
−7±9
∴x= ，
4
1
解得：x = ，x ＝﹣4；
1 2 2
（4）整理得：2x2﹣5x﹣12＝0，
这里a＝2，b＝﹣5，c＝﹣12，
∵△＝25+96＝124，
5±2❑√31
∴x= ．
4
19．用公式法解下列方程．
（1）（x+1）（x+3）＝6x+4；
（2）x2+2（❑√3+1）x+2❑√3=0；
（3）x2﹣（2m+1）x+m＝0．
【分析】（1）去括号，移项方程化为一般式为：x2﹣2x﹣1＝0，然后把a＝1，b＝﹣2，＝﹣1代入求根
公式计算即可；（2）把a＝1，b＝2（❑√3+1），c＝2❑√3代入求根公式计算即可；
（3）把a＝1，b＝﹣（2m+1），c＝m代入求根公式计算即可．
【解答】解：（1）去括号，移项方程化为一般式为：x2﹣2x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8
2±❑√8 2±2❑√2
∴x= = =1±❑√2，
2×1 2
∴x ＝1+❑√2，x ＝1−❑√2；
1 2
（2）∵a＝1，b＝2（❑√3+1），c＝2❑√3，
∴b2﹣4ac＝[2（❑√3+1）]2﹣4×1×2❑√3=16，
−2(❑√3+1)±❑√16 −2(❑√3+1)±4
∴x= = =−（❑√3+1）±2，
2×1 2
∴x =−❑√3−3，x =−❑√3+1；
1 2
（3）∵a＝1，b＝﹣（2m+1），c＝m，
∴b2﹣4ac＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×m＝4m2+1，
2m+1±❑√4m2+1
∴x= ，
2×1
2m+1+❑√4m2+1 2m+1−❑√4m2+1
∴x = ，x = ．
1 2
2 2
20．用公式法解下列方程：
（1）2x2﹣4x﹣1＝0；
（2）5x+2＝3x2；
（3）（x﹣2）（3x﹣5）＝1；
3
（4）0.2x2+5= x．
2
−b±❑√b2−4ac
【分析】把原方程化为一元二次方程的一般形式，根据求根公式x= 求解即可．
2a
【解答】解：（1）∵Δ＝16+8＝24＞0，
4±2❑√6 2±❑√6
∴x= = ，
4 2
2+❑√6 2−❑√6
x = ，x = ；
1 2 2 2
（2）3x2﹣5x﹣2＝0，∵Δ＝25+24＝49＞0，
5±7
∴x= ，
6
1
x ＝2，x =− ；
1 2 3
（3）3x2﹣11x+9＝0，
∵Δ＝121﹣108＝13＞0，
11±❑√13
∴x= ，
6
11+❑√13 11−❑√13
x = ，x = ；
1 6 2 6
3
（4）0.2x2− x+5＝0，
2
9
Δ= −4＜0，
4
方程没有实数根．
【类型4 利用因式分解法解方程20题】
1．用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝x2﹣9．
【分析】利用平方差公式分解因式，然后移项，利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵2（x﹣3）＝x2﹣9，
∴2（x﹣3）＝（x+3）（x﹣3），
∴2（x﹣3）﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（2﹣x﹣3）＝0，
∴x﹣3＝0或2﹣x﹣3＝0，
解得 x ＝3，x ＝﹣1．
1 2
2．用因式分解法解方程：2（x﹣5）2＝x（x﹣5）．
【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：2（x﹣5）2＝x（x﹣5），
2（x﹣5）2﹣x（x﹣5）＝0，
（x﹣5）[2（x﹣5）﹣x]＝0，
（x﹣5）（2x﹣10﹣x）＝0，
（x﹣5）（x﹣10）＝0，
x﹣5＝0或x﹣10＝0，x ＝5，x ＝10．
1 2
3．解方程：2x2+3x＝2．（因式分解法）
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：2x2+3x﹣2＝0，
分解因式得：（2x﹣1）（x+2）＝0，
所以2x﹣1＝0或x+2＝0，
1
解得：x = ，x ＝﹣2．
1 2 2
4．用因式分解法解方程：6﹣2y＝（y﹣3）2．
【分析】先把方程变形为（y﹣3）2+2（y﹣3）＝0，再利用因式分解法把方程转化为y﹣3＝0或y﹣3+2
＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：6﹣2y＝（y﹣3）2，
（y﹣3）2+2（y﹣3）＝0，
（y﹣3）（y﹣3+2）＝0，
y﹣3＝0或y﹣3+2＝0，
所以y ＝3，y ＝1．
1 2
5．用因式分解法解方程：（2x﹣1）2＝（3﹣x）2．
【分析】方程变形后，利用平方差公式分解，利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为0转化为两
个一元一次方程来求解．
【解答】解：方程变形得：（2x﹣1）2﹣（3﹣x）2＝0，
分解因式得：（2x﹣1+3﹣x）（2x﹣1﹣3+x）＝0，
开可得：2x﹣1＝3﹣x或2x﹣1＝x﹣3，
4
解得：x = ，x ＝﹣2．
1 3 2
6．用因式分解法解方程：（3x﹣5）（2x﹣1）＝﹣12x+7．
【分析】首先去括号，进而利用十字相乘法分解因式得出即可．
【解答】解：（3x﹣5）（2x﹣1）＝﹣12x+7
6x2﹣3x﹣10x+5＝﹣12x+7
6x2﹣x﹣2＝0，
（2x+1）（3x﹣2）＝0，
1 2
解得：x =− ，x = ．
1 2 2 37．用因式分解法解方程：3x（x−❑√2）=❑√2−x．
【分析】先移项得到3x（x−❑√2）+（x−❑√2）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：3x（x−❑√2）+（x−❑√2）＝0，
（x−❑√2）（3x+1）＝0，
x−❑√2=0或3x+1＝0，
1
所以x =❑√2，x =− ．
1 2 3
8．利用因式分解法解方程：2x（x+2）＝3（2+x）．
【分析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于 x的一元一次方程，再
进一步求解即可．
【解答】解：∵2x（x+2）＝3（2+x），
∴2x（x+2）﹣3（2+x）＝0，
则（x+2）（2x﹣3）＝0，
∴x+2＝0或2x﹣3＝0，
解得x ＝﹣2，x ＝1.5．
1 2
9．（2x+3）2＝4（2x+3）（因式分解法）．
【分析】移项，把2x+3看作一个整体，进行因式分解，然后求解．
【解答】解：（2x+3）2﹣4（2x+3）＝0，
（2x+3）（2x+3﹣4）＝0，
2x+3＝0或2x+3﹣4＝0，
3 1
x=− 或x= ．
2 2
10．用因式分解法解方程：（x+1）2﹣3（x+1）＝0．
【分析】直接利用提取公因式法分解因式进而求出答案．
【解答】解：（x+1）2﹣3（x+1）＝0，
（x+1）（x+1﹣3）＝0，
x+1＝0或x+1﹣3＝0，
所以x ＝﹣1，x ＝2．
1 2
(t+3) 2 (3t−1) 2 t(2t−3)
11．因式分解法解一元二次方程． +1− = ．
5 5 2
【分析】首先移项，然后利用平方差公式使方程的左边进行因式分解，再进行去分母，最后解两个一元
一次方程即可．(t+3) 2 (3t−1) 2 t(2t−3)
【解答】解：∵ − = −1，
5 5 2
(t+3) 2 (3t−1) 2 2t2−3t−2
∴ − = ，
5 5 2
(t+3−3t+1)(t+3+3t−1) (2t+1)(t−2)
∴ = ，
5 2
−4(t−2)(2t+1) (2t+1)(t−2)
∴ = ，
5 2
∴﹣8（t﹣2）（2t+1）＝5（t﹣2）（2t+1），
∴13（t﹣2）（2t+1）＝0，
∴t﹣2＝0或2t+1＝0，
1
∴t ＝2，t =− ．
1 2 2
12．用因式分解法解方程：
（1）2x2+3x＝0；
（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．
【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）2x2+3x＝0，
x（2x+3）＝0，
∴x＝0或2x+3＝0，
3
∴x ＝0，x =− ；
1 2 2
（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3），
2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（2﹣3x）＝0，
2
解得x ＝3，x = ．
1 2 3
13．用因式分解法解一元二次方程：
（1）（4x+1）（5x﹣7）＝0；
（2）（2x+3）2＝4（2x+3）．
【分析】（1）方程转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可；（2）提公因式法因式分解，即可得到两个一元一次方程，解得即可．
【解答】解：（1）（4x+1）（5x﹣7）＝0，
∴4x+1＝0或5x﹣7＝0，
1 7
∴x =− ，x = ；
1 4 2 5
（2）（2x+3）2＝4（2x+3），
（2x+3）2﹣4（2x+3）＝0，
（2x+3）（2x+3﹣4）＝0，
∴2x+3＝0或2x﹣1＝0，
3 1
∴x =− ，x = ．
1 2 2 2
14．用因式分解法解方程：
（1）x2−❑√2x＝0；
（2）x（x﹣6）＝2（x﹣8）．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）整理为一般式，利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）x2−❑√2x＝0，
x（x−❑√2）＝0，
则x＝0或x−❑√2=0，
解得：x ＝0，x =❑√2；
1 2
（2）方程整理成一般式为x2﹣8x+16＝0，
则（x﹣4）2＝0，
∴x﹣4＝0，
则x ＝x ＝4．
1 2
15．用因式分解法解下列方程：
1
（1）
x2−9＝0；
4
（2）（x﹣5）2＝2（x﹣5）﹣1．
【分析】（1）根据方程特点，选用直接开平方法解答；
（2）将（x﹣5）看作整体，用因式分解法解答．
1 1
【解答】解：（1））（ x+3）（ x﹣3）＝0
2 2解得x ＝6，x ＝﹣6．
1 2
（2）移项得（x﹣5）2﹣2（x﹣5）+1＝0，
（x﹣5﹣1）2＝0，
解得x ＝x ＝6．
1 2
16．用因式分解法解下列方程：
（1）（1﹣2x）2＝x2；
（2）（y+2）2﹣（3y﹣1）2＝0．
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【解答】（1）解：移项，得（1﹣2x）2﹣x2＝0，
因式分解，得（1﹣2x+x）（1﹣2x﹣x）＝0，
得1﹣x＝0或1﹣3x＝0，
1
解得：x ＝1，x = ；
1 2 3
（2）（y+2）2﹣（3y﹣1）2＝0，
（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）＝0，
（4y+1）（﹣2y+3）＝0，
∴4y+1＝0或﹣2y+3＝0，
1 3
∴y =− ，y = ．
1 4 2 2
17．用因式分解法解下列关于x的一元二次方程．
（1）x2+x﹣k2x＝0
（2）x2﹣2mx+m2﹣n2＝0．
【分析】两方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次
方程来求解．
【解答】解：（1）分解因式得：x（x+1﹣k2）＝0，
解得：x ＝0，x ＝k2﹣1；
1 2
（2）分解因式得：（x﹣m+n）（x﹣m﹣n）＝0，
解得：x ＝m﹣n，x ＝m+n．
1 2
18．用因式分解法解下列方程：
（1）4x2﹣144x＝0（2）2（5x﹣1）2＝3（1﹣5x）
（3）2x+6＝（3+x）2
（4）（x﹣2）2﹣2x+4＝0．
【分析】此题考查了因式分解法解一元二次方程，这些题目都用了提公因式法，所以找到公因式是解题
的关键．此题中的公因式分别为（1）4x，（2）5x﹣1，（3）x+3，（4）x﹣2．
【解答】解：（1）4x（x﹣36）＝0，
所以x ＝0，x ＝36．
1 2
（2）移项得2（5x﹣1）2﹣3（1﹣5x）＝0，
提公因式得（1﹣5x）[2（1﹣5x）﹣3]＝0．
所以1﹣5x＝0，2﹣10x﹣3＝0．
1 1
则x = ，x =− ．
1 5 2 10
（3）2（x+3）﹣（3+x）2＝0，
提公因式得（x+3）（2﹣3﹣x）＝0，
解得x ＝﹣3，x ＝﹣1．
1 2
（4）（x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0．
提公因式得（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0，
所以x ＝2，x ＝4．
1 2
19．用因式分解法解下列方程：
（1）（x+2）2＝3x+6；
（2）（3x+2）2﹣4x2＝0；
（3）5（2x﹣1）＝（1﹣2x）（x+3）；
（4）2（x﹣3）2+（3x﹣x2）＝0．
【分析】（1）把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根．
（2）用平方差公式因式分解求出方程的根．
（3）把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根．
（4）用提公因式法因式分解求出方程的根．
【解答】解：（1）原方程可变形为
（x+2）（x+2﹣3）＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0．
x+2＝0或x﹣1＝0．∴x ＝﹣2，x ＝1．
1 2
（2）原方程可变形为
（3x+2﹣2x）（3x+2+2x）＝0，
即（x+2）（5x+2）＝0．
x+2＝0或5x+2＝0．
2
∴x ＝﹣2，x =− ．
1 2 5
（3）原方程可变形为
（2x﹣1）（5+x+3）＝0，
即（2x﹣1）（x+8）＝0
2x﹣1＝0或x+5＝0
1
∴x = ，x ＝﹣8．
1 2 2
（4）原方程可变形为
2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2x﹣6﹣x）＝0，
（x﹣3）（x﹣6）＝0．
x﹣3＝0或x﹣6＝0．
∴x ＝3，x ＝6．
1 2
20．用因式分解法解下列方程．
（1）x2+2❑√2x+2＝0；
（2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）；
（3）2（x﹣3）2＝9﹣x2；
（4）9（2x+3）2＝4（2x﹣5）2．
【分析】各方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为0
转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：（1）分解因式得：（x+❑√2）2＝0，
开方得：x+❑√2=0，
解得：x ＝x =−❑√2；
1 2
（2）方程变形得：3（x﹣5）2+2（x﹣5）＝0，
分解因式得：（3x﹣15+2）（x﹣5）＝0，13
解得：x = ，x ＝5；
1 3 2
（3）方程变形得：2（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）＝0，
分解因式得：（x﹣3）（2x﹣6+x+3）＝0，
解得：x ＝3，x ＝1；
1 2
（4）变形得：9（2x+3）2﹣4（2x﹣5）2＝0，
分解因式得：[3（2x+3）+2（2x﹣5）][3（2x+3）﹣2（2x﹣5）]＝0，
解得：x ＝0.1，x ＝﹣9.5．
1 2
【类型5 利用合适的方法解方程20题】
1．用合适的方法解方程：
（1）x2﹣5x+3＝﹣1；
（2）（2x+1）（x﹣3）＝5x﹣15．
【分析】（1）先移项，再利用因式分解（十字相乘）法求解；
（2）先移项，再利用因式分解（提公因式）法求解．
【解答】解：（1）x2﹣5x+3＝﹣1，
移项，得x2﹣5x+4＝0，
∴（x﹣1）（x﹣4）＝0．
∴x﹣1＝0，x﹣4＝0．
∴x ＝1，x ＝4．
1 2
（2）（2x+1）（x﹣3）＝5x﹣15，
移项，得（2x+1）（x﹣3）﹣5（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（2x+1﹣5）＝0，即（x﹣3）（2x﹣4）＝0．
∴x﹣3＝0或2x﹣4＝0．
∴x＝3或x＝2．
∴x ＝3，x ＝2．
1 2
2．请用合适的方法解方程：
（1）x2﹣5x﹣14＝0；
（2）（3﹣y）2+y2＝12．
【分析】（1）运用公式法解一元二次方程求解；
（2）运用公式法解一元二次方程求解．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣14，∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣14）＝81＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
−(−5)±❑√81 5±9
∴x= = ，
2×1 2
∴x ＝7，x ＝﹣2；
1 2
（2）整理得2y2﹣6y﹣3＝0，
∵a＝2，b＝﹣6，c＝﹣3，b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣3）＝60＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
−(−6)±❑√60 6±2❑√15 3±❑√15
∴y= = = ，
2×2 4 2
3+❑√15 3−❑√15
∴y = ，y = ．
1 2 2 2
3．用合适的方法解方程：
（1）x2﹣4x+4＝64；
（2）x2＝|2x﹣1|+4．
【分析】（1）先运用完全平方公式，再直接开平方即可求解；
（2）分情况化简绝对值，根据x的不同范围，分别进行求值，即可得出答案．
【解答】解：（1）x2﹣4x+4＝64，
∴（x﹣2）2＝64，x﹣2＝±8，
解得x ＝10，x ＝﹣6；
1 2
（2）x2＝|2x﹣1|+4，
1
当x＞ ，原方程化为x2﹣2x﹣3＝0，
2
解得x ＝3，x ＝﹣1（不合题意，舍去），
1 2
1 1
当x= 时， =4，矛盾，舍去；
2 4
1
当x＜ ，原方程化为x2+2x﹣5＝0，
2
解得x =−1−❑√6，x =−1+❑√6（不合题意，舍去），
1 2
综上所述，原方程的根是x =3，x =−1−❑√6．
1 2
4．用合适的方法解以下方程．（1）3x2﹣4x﹣1＝0．
（2）3x（x﹣3）＝2x﹣6．
【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可得；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【解答】解：（1）方程3x2﹣4x﹣1＝0中的a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，
则方程根的判别式为Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，
−b±❑√b2−4ac −(−4)±❑√28 2±❑√7
所以方程的解为x= = = ，
2a 2×3 3
2+❑√7 2−❑√7
即x = ，x = ．
1 3 2 3
（2）3x（x﹣3）＝2x﹣6，3x（x﹣3）＝2（x﹣3），
3x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（3x﹣2）＝0，
∴x﹣3＝0或3x﹣2＝0，
2
∴x＝3或x= ，
3
2
所以方程的解为x ＝3，x = ．
1 2 3
5．用合适的方法解下列方程．
（1）x2﹣4x﹣2＝0；
（2）﹣2x2+x+3＝0．
【分析】（1）运用配方法求解即可；
（2）运用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣2＝0，
x2﹣4x＝2，
x2﹣4x+4＝2+4，
∴（x﹣2）2＝6，
∴x−2=±❑√6，，
∴x =2+❑√6，x =2−❑√6；
1 2
（2）﹣2x2+x+3＝0，
整理得：2x2﹣x﹣3＝0，（x+1）（2x﹣3）＝0，
x+1＝0或2x﹣3＝0，
3
x ＝﹣1，x = ．
1 2 2
6．用合适的方法解下列方程
（1）4x2﹣8x﹣3＝0；
（2）（x﹣3）2＝5（3﹣x）．
7
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2= ，然后利用直接开平方法解方程；
4
（2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+2＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（1）4x2﹣8x﹣3＝0，
3
x2﹣2x= ，
4
3
x2﹣2x+1= +1，
4
7
（x﹣1）2= ，
4
❑√7
x﹣1＝± ，
2
❑√7 ❑√7
所以x ＝1+ ，x ＝1− ；
1 2 2 2
（2）（x﹣3）2＝5（3﹣x），
（x﹣3）2+5（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3+5）＝0，
x﹣3＝0或x+2＝0，
所以x ＝3，x ＝﹣2．
1 2
7．用合适的方法解方程：
（1）x2+10x+16＝0；
（2）2x2﹣2❑√2x+1＝0．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2+10x+16＝0，
（x+2）（x+8）＝0，x+2＝0或x+8＝0，
x ＝﹣2，x ＝﹣8；
1 2
（2）2x2﹣2❑√2x+1＝0，
（❑√2x﹣1）2＝0，
❑√2x﹣1＝0，
❑√2
x ＝x = ．
1 2 2
8．选用合适的方法解下列一元二次方程：
（1）x2﹣2❑√5x﹣1＝0；
（2）（x+2）2＝（2x+1）2．
【分析】（1）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
（2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x+2+2x+1＝0或x+2﹣2x﹣1＝0，然后解两个一次方程即
可．
【解答】解：（1）x2﹣2❑√5x﹣1＝0，
a＝1，b＝﹣2❑√5，c＝﹣1，
Δ＝（﹣2❑√5）2﹣4×1×（﹣1）＝24＞0，
−b±❑√b2−4ac 2❑√5±2❑√6
x= = =❑√5±❑√6，
2a 2×1
所以x =❑√5−❑√6，x =❑√5+❑√6；
1 2
（2）（x+2）2＝（2x+1）2，
（x+2）2﹣（2x+1）2＝0，
（x+2+2x+1）（x+2﹣2x﹣1）＝0，
x+2+2x+1＝0或x+2﹣2x﹣1＝0，
所以x ＝﹣1，x ＝1．
1 2
9．选择合适的方法解一元二次方程：
（1）x2﹣（❑√2+❑√3）x+❑√6=0
（2）（x+3）（x﹣1）＝5．
【分析】（1）分解因式得出（x−❑√2）（x−❑√3）＝0，推出方程x−❑√2=0，x−❑√3=0，求出方程的解
即可；
（2）整理后分解因式得出（x+4）（x﹣2）＝0，推出方程x+4＝0，x﹣2＝0，求出方程的解即可．
【解答】（1）解：x2﹣（❑√2+❑√3）x−❑√6=0，分解因式得：（x−❑√2）（x−❑√3）＝0，
x−❑√2=0，x−❑√3=0，
解得：x =❑√2，x =❑√3．
1 2
（2）解：整理得：x2+2x﹣8＝0，
∴（x+4）（x﹣2）＝0，
∴x+4＝0，x﹣2＝0，
x ＝﹣4，x ＝2．
2 2
10．请选择合适的方法解方程：
（1）x2﹣4x﹣3＝0．
（2）3x2﹣7x+2＝0．
【分析】（1）利用配方法法解方程得出答案；
（2）直接利用因式分解法解方程得出答案．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3＝0，
x2﹣4x＝3，
x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，
∴x﹣2＝±❑√7，
∴x ＝2+❑√7，x ＝2−❑√7；
1 2
（2）3x2﹣7x+2＝0，
（3x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴3x﹣1＝0或x﹣2＝0，
1
∴x = ，x ＝2．
1 3 2
11．请用合适的方法解方程
（1）x2﹣5x+6＝12
（2）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0
【分析】（1）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先分解因式，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣5x+6＝12，
x2﹣5x﹣6＝0，
（x﹣6）（x+1）＝0，
x﹣6＝0，x+1＝0，x ＝6，x ＝﹣1；
1 2
（2）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0，
（x+2﹣5）2＝0，
x+2﹣5＝0，
x＝3，
即x ＝x ＝3．
1 2
12．用合适的方法解下列方程：
（1）4（x﹣3）2﹣25（x﹣2）2＝0；
（2）5（x﹣3）2＝x2﹣9；
❑√2 1
（3）t2− t + = 0．
2 8
【分析】（1）先变形得到4（x﹣3）2＝25（x﹣2）2，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先变形得到5（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法法解方程；
（3）利用因式分解法法解方程．
【解答】解：（1）4（x﹣3）2＝25（x﹣2）2，
2（x﹣3）＝5（x﹣2），
4 16
所以x = ，x = ；
1 3 2 7
（2）5（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（5x﹣15﹣x﹣3）＝0，
x﹣3＝0或5x﹣15﹣x﹣3＝0，
9
所以x ＝3，x = ；
1 2 2
1
（3）（t− ）2＝0，
2❑√2
❑√2
所以t ＝t = ．
1 2 4
13．用合适的方法解下列方程：
1 5
（1）0.2（x− ）2− =0；
2 4
（2）2y2+4y﹣798＝0；
（3）3z2﹣1＝4z；
（4）（p﹣1）2﹣3（p﹣1）﹣10＝0．【分析】（1）利用利用直接开平方法解方程；
2）利用配方法得到（y+1）2＝400，然后利用直接开平方法解方程；
（3）利用公式法解方程；
（4）把方程看作关于p﹣1的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程．
1 5
【解答】解：（1）0.2（x− ）2− =0；
2 4
1 5
0.2（x− ）2− =0，
2 4
1 5 10 25
（x− ）2= × = ，
2 4 2 4
1 5
x− =± ，
2 2
1 5 1 5
x = + =3，x = − =−2；
1 2 2 2 2 2
（2）2y2+4y﹣798＝0；
y2+2y﹣399＝0，
y2+2y+1＝400，
（y+1）2＝400，
y+1＝±20，
y＝﹣1±20，
y ＝19，y ＝﹣21；
1 2
（3）3z2﹣1＝4z；
3z2﹣4z﹣1＝0，
4±❑√16+4×3×1 4±❑√28 2±❑√7
z= = = ，
2×3 6 3
2+❑√7 2−❑√7
z = ，z = ；
1 3 2 3
（4）（p﹣1）2﹣3（p﹣1）﹣10＝0，
（p﹣1﹣5）（p﹣1+2）＝0，
p﹣6＝0或p+1＝0，
p ＝6，p ＝﹣1．
1 2
14．用合适的方法解方程：1
（1）（x﹣5）2− =0；
4
（2）x2+8x﹣20＝0；
（3）（2y﹣5）2＝（3y+1）2；
（4）（x﹣3）（2x﹣1）＝1．
【分析】（1）先移项，再利用直接开平方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
（3）先移项，再利用因式分解法求解即可；
（4）整理后利用公式法求解即可．
1
【解答】解：（1）（x﹣5）2− =0，
4
1
（x﹣5）2= ，
4
1
x﹣5＝± ，
2
11 9
所以x = ，x = ；
1 2 2 2
（2）x2+8x﹣20＝0，
（x+10）（x﹣2）＝0，
x+10＝0或x﹣2＝0，
所以x ＝﹣10，x ＝2；
1 2
（3）（2y﹣5）2＝（3y+1）2，
（2y﹣5）2﹣（3y+1）2＝0，
（2y﹣5+3y+1）（2y﹣5﹣3y﹣1）＝0，
5y﹣4＝0或﹣y﹣6＝0，
4
所以y = ，y ＝﹣6；
1 5 2
（4）（x﹣3）（2x﹣1）＝1，
2x2﹣7x+2＝0，
a＝2，b＝﹣7，c＝2，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×2＝33，
7±❑√33 7±❑√33
∴x= = ，
2×2 47+❑√33 7−❑√33
∴x = ，x = ．
1 4 2 4
15．用合适的方法解下列方程：
（1）x（x﹣3）＝5（x﹣3）；
（2）3x2+10x+3＝0；
（3）x2﹣2x﹣3＝0；
（4）4（2x+3）2﹣64＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
（3）利用因式分解法求解即可；
（4）利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：（1）x（x﹣3）＝5（x﹣3），
x（x﹣3）﹣5（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣5）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣5＝0，
∴x ＝3，x ＝5；
1 2
（2）3x2+10x+3＝0，
（3x+1）（x+3）＝0，
∴3x+1＝0或x+3＝0，
1
∴x =− ，x ＝﹣5；
1 3 2
（3）x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x ＝3，x ＝﹣1；
1 2
（4）4（2x+3）2﹣64＝0，
（2x+3）2＝16，
∴2x+3＝±4，
1 7
∴x = ，x =− ．
1 2 2 2
16．用合适的方法解方程：
（1）x2﹣3x+1＝0；（2）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）；
（3）x2+4x﹣5＝0；
（4）5（2x+4）2＝20．
【分析】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可；
（2）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（3）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（4）利用直接开平方法求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣3x+1＝0，
这里a＝1，b＝﹣3，c＝1，
b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
3±❑√5 3±❑√5
∴x= = ，
2×1 2
3+❑√5 3−❑√5
∴x = ，x = ；
1 2 2 2
（2）3x（x﹣2）＝2（2﹣x），
3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x+2）＝0，
∴x﹣2＝0或3x+2＝0，
2
∴x ＝2，x =− ；
1 2 3
（3）x2+4x﹣5＝0，
（x+5）（x﹣1）＝0，
∴x+5＝0或x﹣1＝0，
∴x ＝﹣5，x ＝1；
1 2
（4）5（2x+4）2＝20，
（2x+4）2＝4，
∴2x+4＝±2，
∴x ＝﹣1，x ＝﹣3．
1 2
17．用合适的方法解方程：
（1）（x﹣5）2＝16．
（2）x2﹣2x﹣4＝0．
（3）（y﹣1）2+2y（1﹣y）＝0．（4）2x2﹣7x+1＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用配方法求解即可；
（3）利用因式分解法求解即可；
（4）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）（x﹣5）2＝16，
∴x﹣5＝±4，
∴x ＝9，x ＝1；
1 2
（2）x2﹣2x﹣4＝0，
x2﹣2x＝4，
x2﹣2x+1＝5，即（x﹣1）2＝5，
∴x﹣1＝±❑√5，
∴x =1+❑√5，x =1−❑√5；
1 2
（3）（y﹣1）2+2y（1﹣y）＝0，
（y﹣1）2﹣2y（y﹣1）＝0，
（y﹣1）（y﹣1﹣2y）＝0，
∴y﹣1＝0或﹣1﹣y＝0，
∴y ＝1，y ＝﹣1；
1 2
（4）2x2﹣7x+1＝0，
这里a＝2，b＝﹣7，c＝1，
∴Δ＝（﹣7）2﹣4×2×1＝41＞0，
7±❑√41 7±❑√41
∴x= = ，
2×2 4
7+❑√41 7−❑√41
∴x = ，x = ．
1 4 2 4
18．用合适的方法解一元二次方程：
（1）x2+8x＝9；
（2）2x+6＝（x+3）2；
1
（3）2x2﹣7x− =0；
2
（4）x2﹣2❑√2x+2＝0．【分析】（1）先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程﹣因式分解
法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（3）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答；
（4）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2+8x＝9，
x2+8x﹣9＝0，
（x+9）（x﹣1）＝0，
x+9＝0或x﹣1＝0，
x ＝﹣9，x ＝1；
1 2
（2）2x+6＝（x+3）2，
2（x+3）﹣（x+3）2＝0，
（x+3）（2﹣x﹣3）＝0，
（x+3）（﹣x﹣1）＝0，
x+3＝0或﹣x﹣1＝0，
x ＝﹣3，x ＝﹣1；
1 2
1
（3）2x2﹣7x− =0，
2
1
∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（− ）
2
＝49+4
＝53＞0，
7±❑√53
∴x= ，
4
7+❑√53 7−❑√53
∴x = ，x = ；
1 4 2 4
（4）x2﹣2❑√2x+2＝0，
（x−❑√2）2＝0，
x−❑√2=0，
x ＝x =❑√2．
1 2
19．用合适的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）2x2﹣6x﹣3＝0；
（3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）；
（4）x2−4❑√3x+10=0．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可；
（3）利用因式分解法求解即可；
（4）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，
∴x ＝5，x ＝﹣1；
1 2
（2）2x2﹣6x﹣3＝0，
∵a＝2，b＝﹣6，c＝﹣3，
∴b2﹣4ac＝36﹣4×2×（﹣3）＝60＞0，
−b±❑√b2−4ac 6±❑√60 3±❑√15
∴x= = = ，
2a 2×2 2
3+❑√15 3−❑√15
∴x = ，x = ；
1 2 2 2
（3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3），
（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）＝0，
（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）＝0，
∴2x﹣3＝0或2x﹣8＝0，
3
∴x = ，x ＝4；
1 2 2
（4）x2−4❑√3x+10=0，
∵a＝1，b＝﹣4❑√3，c＝10，
∴b2﹣4ac＝48﹣4×1×10＝8＞0，
−b±❑√b2−4ac 4❑√3±❑√8
∴x= = =2❑√3±❑√2，
2a 2×1
∴x ＝2❑√3+❑√2，x ＝2❑√3−❑√2．
1 2
20．选择合适的方法解下列方程．1
（1） （2x﹣1）2﹣32＝0
2
（2）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0
（3）x2﹣5x+6＝1
（4）4x（x﹣3）＝x2﹣9
【分析】（1）先把方程变形为（2x﹣1）2＝64，然后利用直接开平方法解方程；
（2）把方程看作关于（x+2）的一元二次方程，然后利用因式分解法得到x+2﹣5）＝0，再解一次方程
即可；
（3）先把方程化为一般式，再在计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
（4）先把方程变形为4x（x﹣3）﹣（x+3）（x﹣3）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或
4x﹣x﹣3＝0，然后解两个一次方程即可．
1
【解答】解：（1） （2x﹣1）2﹣32＝0，
2
（2x﹣1）2＝64，
2x﹣1＝±8，
9 7
所以x = ，x =− ；
1 2 2 2
（2）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0，
（x+2﹣5）2＝0，
x+2﹣5＝0，
所以x ＝x ＝3；
1 2
（3）x2﹣5x+6＝1，
x2﹣5x+5＝0，
a＝1，b＝﹣5，c＝5，
Δ＝（﹣5）2﹣4×1×5＝5＞0，
−b±❑√b2−4ac 5±❑√5
x= = ，
2a 2
5+❑√5 5−❑√5
所以x = ，x = ；
1 2 2 2
（4）4x（x﹣3）＝x2﹣9，
4x（x﹣3）﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（4x﹣x﹣3）＝0，x﹣3＝0或4x﹣x﹣3＝0，
所以x ＝3，x ＝1．
1 2
【类型6 利用换元法解方程20题】
1．阅读下列材料：为解方程x4﹣x2﹣6＝0可将方程变形为（x2）2﹣x2﹣6＝0然后设x2＝t，则（x2）2＝
t2，原方程化为t2﹣t﹣6＝0①，解①得t ＝﹣2，t ＝3．当t ＝﹣2时，x2＝﹣2无意义，舍去；当t ＝
1 2 1 2
3时，x2＝3，解得x=±❑√3；∴原方程的解为x =❑√3，x =−❑√3；
1 2
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复
杂的问题转化成简单的问题．
（1）利用换元法解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0时，新字母设为t，则t＝ ，原方程化为
，解得t＝ ．
（2）求方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0的解．
【分析】（1）根据题意，可设t＝x2﹣x，于是原方程变形为t2﹣4t﹣12＝0，利用因式分解法求解即
可．
（2）根据t＝6，t＝﹣2，转化为方程x2﹣x＝6，x2﹣x＝﹣2，解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意，可设t＝x2﹣x，于是原方程变形为t2﹣4t﹣12＝0，
解得t＝6，t＝﹣2，
故答案为：x2﹣x，t2﹣4t﹣12＝0；6或﹣2．
（2）根据题意，得t＝6，t＝﹣2，方程转化为x2﹣x＝6，x2﹣x＝﹣2，
故x2﹣x﹣6＝0，
解得x ＝3，x ＝﹣2；
1 2
当x2﹣x+2＝0时，此时Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＜0，方程无解，
故原方程的解为x ＝3，x ＝﹣2．
1 2
2．阅读材料，解答问题．
解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0．
解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y，
则原方程可化为y2﹣10y+24＝0．
解得y ＝6，y ＝4．
1 2
∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4．
7 5
∴x = ，x = ．
1 4 2 4以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
（1）（3x﹣5）2+4（3x﹣5）+3＝0；
（2）x4﹣x2﹣6＝0．
【分析】（1）设3x﹣5＝y，则原方程可化为y2+4y+3＝0．然后利用因式分解法解该方程，进而求得y
的值；然后再利用直接开平方法求得x的值；
（2）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0，然后利用因式分解法解该方程，进而求得 y的值；然后
再利用公式法求得x的值．
【解答】解：（1）设3x﹣5＝y，则原方程可化为y2+4y+3＝0，
整理，得（y+3）（y+1）＝0，
解得y ＝﹣3，y ＝﹣1．
1 2
当y＝﹣3时，即3x﹣5＝﹣3，
2
解得x = ，
1 3
当y＝﹣1时，即3x﹣5＝﹣1，
4
解得x = ．
2 3
2 4
综上所述，原方程的解为x = ，x = ；
1 3 2 3
（2）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0，
整理，得（y﹣3）（y+2）＝0，
解得y ＝3，y ＝﹣2．
1 2
当y＝3时，即x2＝3，
∴x＝±❑√3，
当y＝﹣2时，x2＝﹣2无解．
∴原方程的解为x =❑√3，x =−❑√3．
1 2
3．阅读理解
解方程时，我们经常将整体多次出现的部分打包进行换元处理，从而达到了降次、转整等目的，这一
“神奇”的方法叫换元法．
例如：解方程：（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12＝0．
解：设x2﹣x＝y．原方程化为y2﹣8y+12＝0．∴（y﹣2）（y﹣6）＝0．∴y﹣2＝0或y﹣6＝0．∴y ＝
1
2，y ＝6．
2当y＝2时，即x2﹣x＝2．∴（x﹣2）（x+1）＝0，∴x﹣2＝0或x+1＝0．∴x ＝2，x ＝﹣1
1 2
当y＝6时，即x2﹣x＝6．∴（x﹣3）（x+2）＝0．∴x﹣3＝0或x+2＝0．∴x ＝3，x ＝﹣2．∴原方程
3 4
的解是x ＝2，x ＝﹣1，x ＝3，x ＝﹣2．
1 2 3 4
请你利用换元法解方程：（x2﹣7）2﹣（x2﹣7）﹣2＝0．
【分析】根据换元法，设x2﹣7＝y；再对原方程进行变形，求出y的值；最后将y的值代入x2﹣7中，
求出方程的解．
【解答】解：设x2﹣7＝y．
原方程化为y2﹣y﹣2＝0，
∴（y﹣2）（y+1）＝0，
∴y﹣2＝0或y+1＝0，
y ＝2，y ＝﹣1．
1 2
当y＝2时，即x2﹣7＝2．
∴x2＝9，
∴x ＝3，x ＝﹣3；
1 2
当y＝﹣1时，即x2﹣7＝﹣1．
∴x2＝6，
∴x =❑√6，x =−❑√6．
1 2
∴原方程的解是x ＝3，x ＝﹣﹣3，x =❑√6，x =−❑√6．
1 2 3 4
4．提出问题：
为解方程x4﹣3x2﹣4＝0，我们可以令x2＝y，于是原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，解此方程，得y ＝4，
1
y ＝﹣1（不符合要求，舍去）．
2
当y ＝4时，x2＝4，x＝±2．
1
∴原方程的解为x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题：
运用上述换元法解方程：（x2﹣2）2﹣13（x2﹣2）+42＝0．
【分析】设x2﹣2＝y，则原方程可化为 y2﹣13y+42＝0，求出y的值，再代入x2﹣2＝y求出x即可．
【解答】解：（x2﹣2）2﹣13（x2﹣2）+42＝0，
设x2﹣2＝y，则原方程可化为 y2﹣13y+42＝0，
（y﹣6）（y﹣7）＝0，
y﹣6＝0或y﹣7＝0，解得，：y ＝6，y ＝7，
1 2
当 x2﹣2＝6 时，x=±2❑√2；
当 x2﹣2＝7 时，x＝±3，
所以原方程的解为x ＝2❑√2，x ＝﹣2❑√2，x ＝3，x ＝﹣3．
1 2 3 4
5．【例】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0．
解：设x﹣1＝y，
则原方程可化为y2﹣5y+4＝0．
解得y ＝1，y ＝4．
1 2
当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；
当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5．
所以原方程的解为x ＝2，x ＝5．
1 2
上述解法称为“整体换元法”．
请运用“整体换元法”解方程：（2x﹣5）2﹣2（2x﹣5）﹣3＝0．
【分析】设2x﹣5＝y，先把原方程化为关于y的一元二次方程，求出它的根，再代入设中求出x．
【解答】解：（2x﹣5）2﹣2（2x﹣5）﹣3＝0，
解：设2x﹣5＝y，
则原方程可化为y2﹣2y﹣3＝0，
∴（y﹣3）（y+1）＝0．
解得y ＝3，y ＝﹣1．
1 2
当y＝3时，即2x﹣5＝3，解得x＝4；
当y＝﹣1时，即2x﹣5＝﹣1，解得x＝2．
所以原方程的解为：x ＝2，x ＝4．
1 2
6．解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0时，我们可以将x2﹣1视为一个整体，设x2﹣1＝y，则y2＝（x2﹣
1）2，原方程化为y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y ＝1，y ＝4．
1 2
当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，∴x＝±❑√2；
当y＝4时，x2﹣1＝4，x2＝5，∴x＝±❑√5．
∴原方程的解为x =−❑√2，x =❑√2，x =−❑√5，x =❑√5．
1 2 3 4
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解答下列问题：
（1）x4﹣3x2﹣4＝0；（2）（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0．
【分析】（1）先把要求的式子变形为（x2）2﹣3x2﹣4＝0，再进行因式分解，求出符合条件的x2的值，
从而得出x的值；
（2）根据已知条件设x2+2x＝y求出x的值即可．
【解答】解：（1）x4﹣3x2﹣4＝0，
（x2）2﹣3x2﹣4＝0，
（x2﹣4）（x2+1）＝0，
x2﹣4＝0，x2+1＝0，
解得：x2＝4，x2＝﹣1（不合题意，舍去），
则x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
（2）设y＝x2+2x，则y2﹣y﹣6＝0
∵（y﹣3）（y+2）＝0，
y＝3，y＝﹣2
当y＝3时，x2+2x﹣3＝0，x ＝﹣3，x ＝1，
1 2
当y＝﹣2时，x2+2x+2＝0，无解．
故方程的解为x ＝﹣3，x ＝1，
1 2
7．阅读材料，解答问题．
解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0．
解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y，
则原方程可化为y2﹣10y+24＝0．
解得y ＝6，y ＝4．
1 2
∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4．
7 5
∴x = ，x = ．
1 4 2 4
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：（1）x4﹣x2﹣6＝0；
（2）（x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0．
【分析】（1）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0．然后利用因式分解法解该方程，进而求得 y的
值；然后再利用直接开平方法求得x的值；
（2）设x2﹣2x＝y，则原方程可化为y2﹣5y﹣6＝0，然后利用因式分解法解该方程，进而求得y的值；
然后再利用公式法求得x的值．【解答】解：（1）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0，
整理，得（y﹣3）（y+2）＝0，
解得y ＝3，y ＝﹣2．
1 2
当y＝3时，即x2＝3，
∴x=±❑√3；
当y＝﹣2时，x2＝﹣2无解．
∴原方程的解为x =❑√3，x =−❑√3．
1 2
（2）设x2﹣2x＝y，则原方程可化为y2﹣5y﹣6＝0，
整理，得（y﹣6）（y+1）＝0，
解得y ＝6，y ＝﹣1．
1 2
当y＝6时，即x2﹣2x＝6，
解得x =1+❑√7，x =1−❑√7；
1 2
当y＝﹣1时，即x2﹣2x＝﹣1，
解得x ＝x ＝1．
3 4
综上所述，原方程的解为x =1+❑√7，x =1−❑√7，x ＝x ＝1．
1 2 3 4
8．探究：换元法是重要的数学思想方法，用换元法可解决许多数学问题，请看例题：
解方程：x4﹣2x2﹣3＝0．
解：设x2＝y，则原方程化为y2﹣2y﹣3＝0．
解关于y的一元二次方程，得y ＝﹣1，y ＝3．
1 2
当y＝﹣1时，即x2＝﹣1，此时方程无实数根；
当y＝3时，即x2＝3解得x =❑√3，x =−❑√3．
1 2
所以原方程的根是x =❑√3，x =−❑√3．
1 2
请你用换元法解下列方程：
1 5
（1） − + 6＝0；
x2 x
（2）（x2﹣2）2﹣2（x2﹣2）﹣8＝0．
1
【分析】（1）根据题意设 =a，即可解答此方程；
x
（2）根据题意设x2﹣2＝a，即可解答此方程．1 5
【解答】解：（1） − + 6＝0
x2 x
1
设 =a，
x
则a2﹣5a+6＝0
解得，a ＝2，a ＝3，
1 2
1 1
∴ =2或 =3，
x x
1 1
解得，x = ，x = ，
1 2 2 3
1 1
经检验x = ，x = 是原分式方程的解；
1 2 2 3
（2）（x2﹣2）2﹣2（x2﹣2）﹣8＝0，
设x2﹣2＝a，
则a2﹣2a﹣8＝0，
解得，a ＝4，a ＝﹣2，
1 2
∴x2﹣2＝4或x2﹣2＝﹣2，
解得x =❑√6，x =−❑√6，x ＝0．
1 2 3
9．先阅读题例，再解答问题．
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0；我们可以将x2﹣1视为一个整体，设x2﹣1＝y，则y2＝（x2﹣
1）2，原方程化为y2﹣5y+4＝0，解得y＝1或y＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，x＝±❑√2；当y＝4
时，x2﹣1＝4，x2＝5，x＝±❑√5；所以原方程的解为x =❑√2，x =−❑√2，x =❑√5，x =−❑√5．以上
1 2 3 4
方法就叫换元法，体现了转化的思想．运用上述方法解决下列问题：
（1）已知（x2+y）（x2+y﹣4）＝5，求x2+y；
（2）解方程：x4﹣7x2+12＝0．
【分析】（1）设x2+y＝m，将原方程化为m（m﹣4）＝5求解即可；
（2）设x2＝n，将原方程化为n2﹣7n+12＝0，求出n的值，再解关于x的方程求出x的值．
【解答】解：（1）设x2+y＝m，则原方程化为m（m﹣4）＝5，
∴m2﹣4m﹣5＝0，
∴（m+1）（m﹣5）＝0，
∴m＝﹣1或m＝5，∴x2+y＝﹣1或5；
（2）设x2＝n，则原方程化为n2﹣7n+12＝0，
∴（n﹣3）（n﹣4）＝0，
∴n＝3或n＝4，
当n＝3时，x2＝3，
∴x =❑√3，x =−❑√3；
1 2
当n＝4时，x2＝4，
∴x ＝2，x ＝﹣2；
3 4
∴x =❑√3，x =−❑√3，x ＝2，x ＝﹣2．
1 2 3 4
10．阅读下面材料：方程x4﹣6x2+8＝0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x2＝
y，则x4＝y2，∴原方程可化为y2﹣6y+8＝0，解方程求得y的值，进而得到原方程的四个根x =❑√2，x
1 2
=−❑√2，x ＝2，x ＝﹣2．
3 4
以上方法叫做换元法，通过换元达到降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问
题．
（1）解方程2（x2+3x）2﹣3（x2+3x）﹣2＝0；
（2）已知实数a满足（a2+❑√3）2﹣3a2＝10+3❑√3，请直接写出−❑√3a2的值．
1
【分析】（1）先设y＝x2+3x，则原方程变形为2y2﹣3y﹣2＝0，运用因式分解法解得y ＝2，y =− ，
1 2 2
1
再把y＝2和− 分别代入y＝x2+3x得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原
2
方程的解；
（2）设y＝a2+❑√3，则y2﹣3y﹣10＝0，运用因式分解法解得y ＝﹣2，y ＝5，再把y＝5代y＝a2+❑√3
1 2
得到a2+❑√3=5，即可求得a2＝5−❑√3，进而即可求得−❑√3a2的值．
【解答】解：（1）设y＝x2+3x，则2y2﹣3y﹣2＝0，
则（y﹣2）（2y+1）＝0，
1
解得y ＝2，y =− ，
1 2 2
−3±❑√17
当x2+3x＝2，即x2+3x﹣2＝0时，解得x= ；
21 1 −3±❑√7
当x2+3x =− ，即x2+3x + = 0时，解得x= ；
2 2 2
−3+❑√17 −3−❑√17 −3+❑√7 −3−❑√7
综上所述，原方程的解为x = ，x = ，x = ，x = ；
1 2 2 2 3 2 4 2
（2）（a2+❑√3）2﹣3a2＝10+3❑√3整理得：（a2+❑√3）2﹣3（a2+❑√3）﹣10＝0，
设y＝a2+❑√3，则y2﹣3y﹣10＝0，
则（y+2）（y﹣5）＝0，
解得y ＝﹣2，y ＝5，
1 2
当y＝﹣2时，则a2+❑√3=−2，无意义，舍去；
当y＝5时，则a2+❑√3=5，得到a2＝5−❑√3，
∴−❑√3a2=−❑√3（5−❑√3）＝3﹣5❑√3．
故−❑√3a2的值为3﹣5❑√3．
11．请阅读下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的过程．
解：设x2+1＝y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣3＝0．
解得y ＝3，y ＝﹣1．
1 2
当y＝3时，x2+1＝3，∴x＝±❑√2．
当y＝﹣1时，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2此方程无实数解．
∴原方程的解为x =❑√2，x =−❑√2．
1 2
我们将上述解方程的方法叫做换元法．
x x
请用换元法解方程：（ ）2﹣2（ ）﹣15＝0．
x−1 x−1
【分析】根据材料的提示，可以利用换元法解答分式方程，注意最后要验根．
x x
【解答】解：（ ）2﹣2（ ）﹣15＝0，
x−1 x−1
x
设 = a，
x−1
则a2﹣2a﹣15＝0，
解得，a＝﹣3或a＝5，
x 3 3
当a＝﹣3时， =−3，解得，x= ，经检验x= 是分式方程的解，
x−1 4 4
x 5 5
当a＝5时， =5，解得x= ，经检验x= 是分式方程的解，
x−1 4 43 5
∴原分式方程的解是x = ，x = ．
1 4 2 4
12．阅读材料：
在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次
方程来解．例如：
解方程：x2﹣3|x|+2＝0．
解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2﹣3y+2＝0．
解得：y ＝1，y ＝2．
1 2
当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1；
当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2．
∴原方程的解是：x ＝1，x ＝﹣1，x ＝2，x ＝﹣2．
1 2 3 4
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：
（1）解方程：x4﹣10x2+9＝0．
x+1 2x2
（2）解方程： − =1．
x2 x+1
1 3 1
（3）若实数x满足x2+ −3x− =2，求x+ 的值．
x2 x x
【分析】（1）设x2＝a，则原方程可化为a2﹣10a+9＝0，求得a的值之后，继而可得x2＝1或x2＝9，解
之即可；
x+1 2 x+1
（2）设 = m，则原方程可化为m− =1，即m2﹣m﹣2＝0，求得m的值后，即可得 =−1、
x2 m x2
x+1
=
2，解之即可；
x2
1
（3）设x+ =y，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝2，即y2﹣3y﹣4＝0，解之求得y之后，即可得．
x
【解答】解：（1）设x2＝a，则原方程可化为a2﹣10a+9＝0，
即（a﹣1）（a﹣9）＝0，
解得：a＝1或a＝9，
当a＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当a＝9时，x2＝9，∴x＝±3；
x+1 2
（2）设 = m，则原方程可化为m− =1，即m2﹣m﹣2＝0，
x2 m∴（m+1）（m﹣2）＝0，
解得：m＝﹣1或m＝2，
x+1
当m＝﹣1时， =−1，即x2+x+1＝0，由Δ＝1﹣4×1×1＝﹣3＜0知此时方程无解；
x2
x+1 1
当m＝2时， = 2，即2x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝1或x=− ，
x2 2
1
经检验x＝1和x=− 都是原分式方程的解；
2
1
（3）设x+ =y，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝2，即y2﹣3y﹣4＝0，
x
∴（y+1）（y﹣4）＝0，
解得：y＝﹣1或y＝4，
1 1
即x+ =−1（方程无解，舍去）或x+ =4，
x x
1
故x+ =4．
x
13．用换元法解方程：（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．
【分析】先设y＝x2﹣x，则原方程变形为y2﹣4y﹣12＝0，运用因式分解法解得y ＝﹣2，y ＝6，再把y
1 2
＝﹣2和6分别代入y＝x2﹣x得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程
的解．
【解答】解：设y＝x2﹣x，则
y2﹣4y﹣12＝0，即（y﹣6）（y+2）＝0，
解得y ＝﹣2，y ＝6，
1 2
当y ＝﹣2时，x2﹣x＝﹣2，即x2﹣x+2＝0，无解；
1
当y ＝6，时，x2﹣x＝6，即（x﹣3）（x+2）＝0，
2
解得：x ＝3，x ＝﹣2．
1 2
14．利用换元法解方程x4﹣x2﹣6＝0．
【分析】先设y＝x2，则原方程变形为y2﹣y﹣6＝0，运用因式分解法解得y ＝﹣2，y ＝3，再把y＝﹣2
1 2
和3分别代入y＝x2得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．
【解答】解：设y＝x2，则原方程变为：y2﹣y﹣6＝0．
分解因式，得（y﹣3）（y+2）＝0，
解得，y ＝﹣2，y ＝3，
1 2当y＝﹣2时，x2＝﹣2，x2+2＝0，Δ＝0﹣4×2＜0，此方程无实数解；
当y＝3时，x2＝3，解得x =−❑√3，x =❑√3，
1 2
所以原方程的解为x =−❑√3，x =❑√3．
1 2
15．用换元法解方程：（x2+1）2+2（x2+1）﹣8＝0．
【分析】先设y＝x2+1，则原方程变形为y2+2y﹣8＝0，运用因式分解法解得y ＝﹣4，y ＝2，再把y＝
1 2
﹣4和2分别代入y＝x2+1得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的
解．
【解答】解：设y＝x2+1，
原方程变形为y2+2y﹣8＝0，
（y+4）（y﹣2）＝0，
解得y ＝﹣4，y ＝2，
1 2
当y＝﹣4时，x2+1＝﹣4，x2+5＝0，Δ＝0﹣4×5＜0，此方程无实数解；
当y＝2时，x2+1＝2，x2＝1，解得x ＝﹣1，x ＝1，
1 2
所以原方程的解为x ＝﹣1，x ＝1．
1 2
16．用换元法解方程：（x2﹣2x+2）（2x2﹣3x﹣1）+x2﹣x﹣4＝0．
【分析】原方程变形为：（x2﹣2x+2）（x2﹣2x+2+x2﹣x﹣3）+x2﹣x﹣3﹣1＝0，设x2﹣2x+2＝y，x2﹣x
1 1 1 1 1
﹣3＝z，原方程化为：y（y+z）+z﹣1＝0，得到y+ z＝±（ z﹣1），再分当y+ z= z﹣1时；当y+
2 2 2 2 2
1
z＝﹣（ z﹣1）时；两种情况讨论可得方程的解．
2
【解答】解：原方程变形为（x2﹣2x+2）（x2﹣2x+2+x2﹣x﹣3）+x2﹣x﹣3﹣1＝0．
设x2﹣2x+2＝y，x2﹣x﹣3＝z，
原方程化为：y（y+z）+z﹣1＝0，
1 1 1 1
整理得：y2+yz+ z2− z2+z﹣1＝0，即y+ z＝±（ z﹣1），
4 4 2 2
1 1
当y+ z= z﹣1时，y＝﹣1，
2 2
x2﹣2x+2＝﹣1，
x2﹣2x+3＝0，
因为b2﹣4ac＝4﹣12＜0
所以x2﹣2x+3＝0无解；1 1
当y+ z＝﹣（ z﹣1）时，则y+z＝1，
2 2
x2﹣2x+2+x2﹣x﹣3＝1，
2x2﹣3x﹣2＝0，
1
解得x =− ，x ＝2，
1 2 2
1
故原方程的解为x =− ，x ＝2．
1 2 2
55
17．解方程：（12x+5）2（6x﹣1）（x+1）= ，试一试 直接解方程太麻烦，用换元法试一试．
2
【分析】将已知方程转化为（12x+5）2（12x﹣2）（12x+2）＝110，然后设t＝12x+5，则t2（t﹣7）
（t+7）＝110，通过解该方程求得t的值，然后解关于x的一元一次方程即可．
55
【解答】解：（12x+5）2（6x﹣1）（x+1）= ，
2
55
（12x+5）（12x+5）（6x﹣1）（x+1）= ，
2
（12x+5）2（12x﹣2）（12x+2）＝110，
设12x+5＝t，则
t2（t﹣7）（t+7）＝110，
（t2﹣55）（t2+2）＝0，
所以t2＝55或t2＝﹣2（舍去）．
❑√55−5
当t=❑√55时，x= ．
12
−❑√55+5
当t=−❑√55时，x= ．
12
❑√55−5 −❑√55+5
∴x = ，x = ．
1 12 2 12
18．利用换元法解下列方程
（1）（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2＝0；
（2）（2﹣3x）+（3x﹣2）2＝0．
【分析】（1）把x2﹣2x当成一个整体，用y来代换，原方程可变为：y2+y﹣2＝0，解这个方程，再还
原成x2﹣2x求解；
（2）设m＝3x﹣2，原方程可变为：m2﹣m＝0，解此方程可得m的值，再还原成3x﹣2求解可得．【解答】解：（1）设y＝x2﹣2x，原方程可变为：y2+y﹣2＝0
解得：y＝﹣2或y＝1，即x2﹣2x＝﹣2或x2﹣2x＝1．
当x2﹣2x＝﹣2时，Δ＜0，没实数根，
当x2﹣2x＝1时，解得x＝1±❑√2．
故原方程的根是x ＝1+❑√2，x ＝1−❑√2．
1 2
（2）设m＝3x﹣2，原方程可变为：m2﹣m＝0，
解得：m＝0或m＝1，
2
当m＝0时，可得3x﹣2＝0，解得：x= ，
3
当m＝1时，可得3x﹣2＝1，解得：x＝1，
2
故原方程的根是x = ，x ＝1．
1 3 2
19．利用换元法解下列方程：
（1）（x+2）2+6（x+2）﹣91＝O；
（2）x2﹣（1+2❑√3）x﹣3+❑√3=0．
【分析】（1）先设x+2＝y，再把原方程进行变形，求出y的值，再把y的值代入x+2＝y，即可求出x
的值；
（2）先把方程的左边因式分解，得出x﹣（3+❑√3）＝0，x+（2−❑√3）＝0，再求出x的值即可．
【解答】解：（1）（x+2）2+6（x+2）﹣91＝O；
设x+2＝y，则原方程可变形为：
y2+6y﹣91＝0，
解得：y ＝7，y ＝﹣13，
1 2
当y ＝7时，x+2＝7，
1
x ＝5，
1
当y ＝﹣13时，x+2＝﹣13，
2
x ＝﹣15；
2
（2）x2﹣（1+2❑√3）x﹣3+❑√3=0，
[x﹣（3+❑√3）][x+（2−❑√3）]＝0，
x﹣（3+❑√3）＝0，x+（2−❑√3）＝0，
x ＝3+❑√3，x ＝﹣2+❑√3．
1 2
20．用换元法解下列方程：（1）y4﹣y2﹣6＝0；
2 3x
（2）x + − = 2；
x x2+2
（3）（x2﹣2）（x2﹣5）＝0；
（4）（y2﹣1）2﹣7（y2﹣1）＝﹣12．
【分析】（1）设y2＝a，则原方程化为：a2﹣a﹣6＝0，求出a，即可求出y；
x2+2 3
（2）设 =a，则原方程化为：a− =2，求出a，即可求出x；
x a
（3）设x2＝a，则原方程化为（a﹣2）（a﹣5）＝0，求出a，即可求出x；
（4）设y2＝a，则原方程化为（a﹣1）2﹣7（a﹣1）+12＝0，求出a，即可求出y．
【解答】解：（1）y4﹣y2﹣6＝0，
设y2＝a，则原方程化为：a2﹣a﹣6＝0，
解得：a ＝3，a ＝﹣2，
1 2
当a＝3时，y2＝3，
y=±❑√3，
当a＝﹣2时，y2＝﹣2，此方程无解；
所以原方程的解为y =❑√3，y =−❑√3；
1 2
2 3x
（2）x + − = 2，
x x2+2
x2+2 3
设 =a，则原方程化为：a− = 2，
x a
解得：a ＝3，a ＝﹣1，
1 2
x2+2
当a＝3时， =3，
x
解得：x＝2或1，
经检验x＝2或1都是原方程的解，
x2+2
当a＝﹣1时， =−1，此方程无解；
x
所以原方程的解为x ＝2，x ＝1；
1 2
（3）（x2﹣2）（x2﹣5）＝0，
设x2＝a，则原方程化为（a﹣2）（a﹣5）＝0，
解得：a＝2或5，
当a＝2时，x2＝2，解得：x=±❑√2，
当a＝5时，x2＝5，
解得：x=±❑√5，
所以原方程的解为x =❑√2，x =−❑√2，x =❑√5，x =−❑√5；
1 2 2 4
（4）（y2﹣1）2﹣7（y2﹣1）＝﹣12，
设y2＝a，则原方程化为（a﹣1）2﹣7（a﹣1）+12＝0，
解得：a＝4或5，
当a＝4时，y2＝4，
解得：y＝±2，
当a＝5时，y2＝5，
解得：y=±❑√5，
所以原方程的解为y ＝2，y ＝﹣2，y =❑√5，y =−❑√5．
1 2 2 4
