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2022-2023 学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题 12 因式分解
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2018秋•雨花区校级月考）已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab
﹣ac﹣bc的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路引导】根据题目中的式子，可以求得a﹣b、a﹣c、b﹣c的值，然后对所求式子变形，利用完全
平方公式进行解答．
【完整解答】解：∵a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝
＝
＝
＝
＝3，
故选：D．
2．（2019秋•天心区校级月考）把多项式（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8分解因式，正确的结果是（ ）
A．（x﹣y+4）（x﹣y+2） B．（x﹣y﹣4）（x﹣y﹣2）
C．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2） D．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）
【思路引导】根据十字相乘法的分解方法，要把x﹣y看作是个整体．
【完整解答】解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8，
＝（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）．故选：C．
3．（2022春•岳麓区校级期末）计算：652﹣352＝（ ）
A．30 B．300 C．900 D．3000
【思路引导】利用平方差公式进行计算，即可得出答案．
【完整解答】解：652﹣352＝（65+35）（65﹣35）＝100×30＝3000，
故选：D．
4．（2022•长沙模拟）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 B．x2﹣9+x＝（x+3）（x﹣3）﹣x
C．xy2﹣x2y＝xy（y﹣x） D．x2+5x+4＝x（x+5）+4
【思路引导】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．由定义判
断即可．
【完整解答】解：A．从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故A不符合题意；
B．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故B不符合题意；
C．是因式分解，故C符合题意；
D．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故D不符合题意．
故选：C．
5．（2021秋•开福区校级期中）多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是（ ）
A．3x2y2z B．x2y2 C．3x2y2 D．3x3y2z
【思路引导】根据公因式的概念即可得出答案．
【完整解答】解：多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是3x2y2，
故选：C．
6．（2021秋•望城区期末）下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．4x2﹣4x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2+xy+2y2 D．9+x2﹣4x
【思路引导】利用完全平方公式进行分解逐一判断，即可解答．
【完整解答】解：A、4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，故A符合题意；
B、x2+2x+1＝（x+1）2，故B不符合题意；
C、x2+xy+ y2＝（x+ y）2，故C不符合题意；
D、9+x2﹣6x＝（x﹣3）2，故D不符合题意；
故选：A．
7．（2021秋•开福区校级期末）下列各式因式分解正确的是（ ）
A．x2+1＝（x+1）2 B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
【思路引导】利用提公因式法，公式法进行分解逐一判断即可．
【完整解答】解：A．x2+1，不能分解，故A不符合题意；
B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1），故B符合题意；
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3，不是因式分解，故C不符合题意；
D．x2+2x+1＝（x+1）2，故D不符合题意；
故选：B．
8．（2019秋•芙蓉区校级月考）已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc＝b2+ac，则△ABC是
（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【思路引导】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a＝b，即可
确定出三角形形状．
【完整解答】解：已知等式变形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，即（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，
∵a+b﹣c≠0，
∴a﹣b＝0，即a＝b，
则△ABC为等腰三角形．
故选：C．
9．（2020秋•开福区校级月考）下列因式分解正确的是（ ）
A．2ax2﹣4ax＝2a（x2﹣2x） B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．x2+4xy+4y2＝（x+2y）2 D．m4﹣n4＝（m2+n2）（m2﹣n2）
【思路引导】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是
否为分解因式，只需根据定义来确定．
【完整解答】解：A、2ax2﹣4ax＝2ax（x﹣2），故本选项错误，不符合题意；
B、结果不是乘积的形式，且也不相等，故本选项错误，不符合题意；
C、x2+4xy+4y2＝（x+2y）2，故本选项正确，符合题意；
D、还能再继续分解因式：m4﹣n4＝（m2+n2）（m2﹣n2）＝（m2+n2）（m+n）（m﹣n），故本选项错误，
不符合题意．
故选：C．
10．（2019•岳麓区校级开学）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2+4 C．a2+2a+1 D．a2﹣4a﹣4
【思路引导】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【完整解答】解：A、a2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误；
B、a2+4不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误；
C、a2+2a+1＝（a+1）2，故正确；
D、a2﹣4a﹣4＝（a﹣2）2﹣8，不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误．
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2022•开福区三模）因式分解25x﹣xy2＝ x （ 5 +y ）（ 5 ﹣ y ） ．
【思路引导】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【完整解答】解：25x﹣xy2
＝x（25﹣y2）
＝x（52﹣y2）
＝x（5+y）（5﹣y），
故答案为：x（5+y）（5﹣y）．
12．（2018秋•岳麓区校级期末）因式分解：2a2+8a+8＝ 2 （ a + 2 ） 2 ．
【思路引导】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全
平方公式继续分解．
【完整解答】解：原式＝2（a2+4a+4）＝2（a+2）2．
故答案是：2（a+2）2．
13．（2017春•芙蓉区校级月考）分解因式：﹣m3+2m2﹣m＝ ﹣ m （ m ﹣ 1 ） 2 ．
【思路引导】原式提取﹣m后，利用完全平方公式分解即可．
【完整解答】解：原式＝﹣m（m2﹣2m+1）＝﹣m（m﹣1）2．
故答案为：﹣m（m﹣1）2
14．（2020秋•长沙月考）分解因式：mx2﹣6mx+9m＝ m （ x ﹣ 3 ） 2 ．
【思路引导】先提取公因式m，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．完全平方公式：
a2±2ab+b2＝（a±b）2．
【完整解答】解：mx2﹣6mx+9m＝m（x2﹣6x+9）＝m（x﹣3）2．
故答案为：m（x﹣3）2．
15．（2019•天心区一模）因式分解：x3﹣9x＝ x （ x + 3 ）（ x ﹣ 3 ） ．
【思路引导】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．
【完整解答】解：x3﹣9x，
＝x（x2﹣9），＝x（x+3）（x﹣3）．
16．（2022•开福区一模）分解因式：x2﹣4x＝ x （ x ﹣ 4 ） ．
【思路引导】直接提取公因式x进而分解因式得出即可．
【完整解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．
故答案为：x（x﹣4）．
17．（2019春•开福区月考）分解因式：2m2﹣8＝ 2 （ m + 2 ）（ m ﹣ 2 ） ．
【思路引导】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式．
【完整解答】解：2m2﹣8，
＝2（m2﹣4），
＝2（m+2）（m﹣2）．
故答案为：2（m+2）（m﹣2）．
18．（2021秋•开福区校级期末）已知x2﹣3x﹣1＝0，则2x3﹣3x2﹣11x+1＝ 4 ．
【思路引导】根据已知x2﹣3x﹣1＝0，可得x2＝3x+1．可以利用这个等式对预求的代数式进行降次、化
简．
【完整解答】解：2x3﹣3x2﹣11x+1
＝2x×x2﹣3x2﹣11x+1
＝2x×（3x+1）﹣3（3x+1）﹣11x+1
＝6x2+2x﹣9x﹣3﹣11x+1
＝6x2﹣18x﹣2
＝6×（3x+1）﹣18x﹣2
＝18x+6﹣18x﹣2
＝4．
故答案为4．
19．（2019秋•长沙县期末）如图所示，根据图形把多项式a2+5ab+4b2因式分解＝ （ a +b ）（ a + 4b ） ．
【思路引导】根据图形和等积法可以对题目中的式子进行因式分解．
【完整解答】解：由图可知，
a2+5ab+4b2＝（a+b）（a+4b），故答案为：（a+b）（a+4b）．
20．（2018秋•天心区校级月考）把多项式ax2+2axy+ay2分解因式的结果是 a （ x +y ） 2 ．
【思路引导】首先提取公因式a，再利用完全平方公式进行分解即可．
【完整解答】解：原式＝a（x2+2xy+y2）
＝a（x+y）2．
故答案为：a（x+y）2．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2021秋•长沙县期末）因式分解：
（1）x（a﹣1）+（1﹣a）；
（2）3m2+6mn+3n2．
【思路引导】（1）利用提公因式法分解即可；
（2）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．
【完整解答】解：（1）x（a﹣1）+（1﹣a）＝（a﹣1）（x﹣1）；
（2）3m2+6mn+3n2．
＝3（m2+2mn+n2）
＝3（m+n）2．
22．（8分）（2021秋•开福区校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
∴ ，解得 ．
故另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式x2+3x﹣k有一个因式是x﹣5，求另一个因式以及k的值．
【思路引导】设另一个因式为（x+p），得x2+3x+k＝（x+p）（x﹣5）＝x2+（p﹣5）x﹣5p，可知p﹣5
＝3，﹣5p＝k，继而求出p和k的值及另一个因式．
【完整解答】解：另一个因式为x+p，
由题意得：x2+3x﹣k＝（x+p）（x﹣5），
即x2+3x﹣k＝x2+（p﹣5）x﹣5p，
则有 ，解得 ，
所以另一个因式为：（x+8）；k的值为40．
23．（8分）（2021秋•长沙县期末）方法探究：
已知二次多项式x2﹣4x﹣21，我们把x＝﹣3代入多项式，发现x2﹣4x﹣21＝0，由此可以推断多项式中
有因式（x+3）．设另一个因式为（x+k），多项式可以表示成x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x+k），则有x2﹣
4x﹣21＝x2+（k+3）x+3k，因为对应项的系数是对应相等的，即k+3＝﹣4，解得k＝﹣7，因此多项式
分解因式得：x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．
问题解决：
（1）对于二次多项式x2﹣4，我们把x＝ ± 2 代入该式，会发现x2﹣4＝0成立；
（2）对于三次多项式x3﹣x2﹣3x+3，我们把x＝1代入多项式，发现x3﹣x2﹣3x+3＝0，由此可以推断多
项式中有因式（x﹣1），设另一个因式为（x2+ax+b），多项式可以表示成x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）
（x2+ax+b），试求出题目中a，b的值；
（3）对于多项式x3+4x2﹣3x﹣18，用“试根法”分解因式．
【思路引导】（1）将x＝±2代入即可；
（2）由题意得x3﹣x2﹣3x+3＝x3﹣（1﹣a）x2﹣（a﹣b）x﹣b，再由系数关系求a、b即可；
（3）多项式有因式（x﹣2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2﹣3x﹣18＝x3+（a﹣2）x2﹣（2a
﹣b）x﹣2b，再由系数关系求a、b即可．
【完整解答】解：（1）当x＝±2时，x2﹣4＝0，
故答案为：±2；
（2）由题意可知x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）（x2+ax+b），
∴x3﹣x2﹣3x+3＝x3﹣（1﹣a）x2﹣（a﹣b）x﹣b，
∴1﹣a＝1，b＝﹣3，
∴a＝0，b＝﹣3；
（3）当x＝2时，x3+4x2﹣3x﹣18＝8+16﹣6﹣18＝0，
∴多项式有因式（x﹣2），
设另一个因式为（x2+ax+b），
∴x3+4x2﹣3x﹣18＝（x﹣2）（x2+ax+b），
∴x3+4x2﹣3x﹣18＝x3+（a﹣2）x2﹣（2a﹣b）x﹣2b，
∴a﹣2＝4，2b＝18，
∴a＝6，b＝9，∴x3+4x2﹣3x﹣18＝（x﹣2）（x2+6x+9）＝（x﹣2）（x+3）2．
24．（8分）（2021秋•望城区期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法
是分组分解法．
例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
①分解因式：ab﹣2a﹣2b+4；
②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣2a﹣2b﹣4＝0，求2a+b的值；
（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣1＝0，整式M＝a2+3ab+b2﹣9a﹣7b，求整式M的最小值．
【思路引导】（1）①模仿例题利用分组法进行因式分解即可；
②利用①题结论进行讨论计算；
（2）由题意得ab＝a+b+1，然后将整式M进行配方部分因式分解就能求得此题结果．
【完整解答】解：（1）①ab﹣2a﹣2b+4
＝a（b﹣2）﹣2（b﹣2）
＝（b﹣2）（a﹣2）；
②∵ab﹣2a﹣2b﹣4
＝ab﹣2a﹣2b+4﹣8
＝0，
由①可知：（b﹣2）（a﹣2）＝8，
∵a，b（a＞b）都是正整数，
∴a﹣2＞b﹣2，且a﹣2、b﹣2都为整数，
可得， 或 或 或
解得 ，或 ，或 （不合题意，舍去），或 （不合题意，舍去），
∴当a＝10，b＝3时，
2a+b＝2×10+3＝20+3＝23，
当a＝6，b＝4时，
2a+b＝2×6+4＝12+4＝16，
∴2a+b的值为23或16；
（2）由ab﹣a﹣b﹣1＝0得，
ab＝a+b+1，
∴M＝a2+3（a+b+1）+b2﹣9a﹣7b＝a2+3a+3b+3+b2﹣9a﹣7b
＝（a2﹣6a+9）+（b2﹣4b+4）﹣9﹣4+3
＝（a﹣3）2+（b﹣2）2﹣10，
∴整式M的最小值是﹣10．
25．（8分）（2021秋•长沙期中）阅读理解：
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，
则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
迁移应用：
（1）若x满足（2020﹣x）2+（x﹣2022）2＝10，求（2020﹣x）（x﹣2022）的值；
（2）如图，点E，G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，满足DE＝k，BG＝k+1（k为常数，且k＞
0），长方形AEFG的面积是 ，分别以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK，求阴影部分的面积．
【思路引导】（1）利用题干中所给的方法解答即可；
（2）设正方形ABCD的边长为x，则AE＝x﹣k，AG＝x﹣k﹣1，可得AE﹣AG＝1，AE•AG＝ ；利用题干
中的方法可求得AE+AG，利用阴影部分的面积等于正方形GFIH与正方形AGJK的面积之差即可求得结论．
【完整解答】解：（1）设a＝2020﹣x，b＝x﹣2022，则：
a+b＝﹣2，a2+b2＝10．
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴10+2ab＝（﹣2）2．
∴ab＝﹣3．
∴（2020﹣x）（x﹣2022）＝﹣3．（2）设正方形ABCD的边长为x，则AE＝x﹣k，AG＝x﹣k﹣1，
∴AE﹣AG＝1．
∵长方形AEFG的面积是 ，
∴AE•AG＝ ．
∵（AE﹣AG）2＝AE2﹣2AE•AG+AG2，
∴AE2+AG2＝1+ ＝ ．
∵（AE+AG）2＝AE2+2AE•AG+AG2，
∴（AE+AG）2＝ ，
∴AE+AG＝ ．
∴S ＝S ﹣S
阴影部分 正方形GFIH 正方形AGJK
＝AE2﹣AG2
＝（AE+AG）（AE﹣AG）
＝ ×1
＝ ．
26．（6分）（2021秋•开福区校级期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完
全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将
一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题．
例如：求代数式：x2﹣12x+2020的最小值
解：原式＝x2﹣12x+62﹣62+2020
＝（x﹣6）2+1984
∵（x﹣6）2≥0，
∴当x＝6时，（x﹣6）2的值最小，最小值为0，
∴（x﹣6）2+1984≥1984，
∴当（x﹣6）2＝0时，（x﹣6）2+1984的值最小，最小值为1984，
∴代数式：x2﹣12x+2020的最小值是1984．
例如：分解因式：x2﹣120x+3456解：原式＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456
＝（x﹣60）2﹣144
＝（x﹣60）2﹣122
＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）
＝（x﹣48）（x﹣72）．
（1）分解因式x2﹣46x+520；
（2）若y＝﹣x2+2x+1313，求y的最大值；
（3）当m，n为何值时，代数式m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2030有最小值，并求出这个最小值．
【思路引导】（1）把x2﹣46x+520化为x2﹣46x+232﹣9的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式
因式分解；
（2）首先把y配方写成y＝＝﹣（x﹣2）2+1314，根据平方的非负性得y的最大值；
（3）用拆项的方法首先把多项式化为m2﹣2m（n+1）+（n+1）2+n2﹣6n+9+2020的形式，进一步分解因
式，再根据平方的非负性求出多项式最小值．
【完整解答】解：（1）x2﹣46x+520
＝x2﹣46x+232﹣9
＝（x﹣23）2﹣9
＝（x﹣26）（x﹣20）；
（2）y＝﹣x2+2x+1313
＝﹣x2+2x﹣1+1314
＝﹣（x2﹣2x+1）+1314
＝﹣（x﹣1）2+1314，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+1314≤1314，
∴y的最大值1314；
（3）m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2030
＝m2﹣2m（n+1）+（n+1）2+n2﹣6n+9+2020
＝（m﹣n﹣1）2+（n﹣3）2+2020，
当m﹣n﹣1＝0，n﹣3＝0时代数式有最小值，
解得m＝4，n＝3，最小值为2020．
27．（7分）（2019秋•天心区月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数
为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数
吗？为什么？
（3）①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数．
②在①的条件下，面积是否为神秘数？为什么？
【思路引导】（1）利用神秘数的定义判断即可；
（2）根据题意表示出两个连续偶数的平方差，利用平方差公式化简即可做出判断；
（3）①根据神秘数得定义，只要证明此长方形的周长为两连续偶数的平方差便可；
②面积不为神秘数，用反证法进行说明．
【完整解答】解：（1）∵28＝82﹣62，
∴28是神秘数；
2014不是神秘数，神秘数必须是4的倍数；
（2）两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数，
∵（2k+2）2﹣（2k）2＝8k+4＝4（2k+1），
∴神秘数是4的倍数；
（3）①设长方形相邻两边长分别为2n+2和2n，（n为正整数），则其周长为：
2[（2n+2）+2n]＝8n+4，
∵（2n+2）2﹣（2n）2＝8n+4，
∴此长方形的周长＝（2n+2）2﹣（2n）2，即此长方形的周长等于两个连续偶数的平方差，
∴该长方形的周长一定为神秘数；
②该长方形的面积不为“神秘数”，理由如下：
长方形的面积为：（2n+2）•2n＝4n（n+1），
设两个连续的偶数为2k+2和2k，（k为非负整数），
假设此长方形的面积为“神秘数”，则4n（n+1）＝（2k+2）2﹣（2k）2，即4n（n+1）＝8k+4，
∴n（n+1）＝2k+1，
∵n为正整数，
∴n（n+1）必为偶数，
而2k+1为奇数，
∴n（n+1）＝2k+1不成立，
∴假设此长方形的面积为“神秘数”不正确，
故该长方形的面积不为“神秘数”．28．（9分）（2019秋•开福区校级期末）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q
（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称
p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）＝ ．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以
F（12）＝ ．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝1；
（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上
的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉
祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
【思路引导】（1）对任意一个完全平方数m，设m＝n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F
（m）的值即可；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y+x，根据“吉祥数”的定义确
定出x与y的关系式，进而求出所求即可；
（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．
【完整解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m＝n2（n为正整数），
∵|n﹣n|＝0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝ ＝1；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y+x，
∵t是“吉祥数”，
∴t′﹣t＝（10y+x）﹣（10x+y）＝9（y﹣x）＝36，
∴y＝x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；
（3）F（15）＝ ，F（26）＝ ，F（37）＝ ，F（48）＝ ＝ ，F（59）＝ ，∵ ＞ ＞ ＞ ＞ ，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为 ．
