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专题31 十字相乘法因式分解
1．下列式子中，因式分解正确的是( )
A． B．
C． D．
2．将多项式x2－2x－8分解因式，正确的是（ ）
A．（x＋2）（x－4） B．（x－2）（x－4）
C．（x＋2）（x＋4） D．（x－2）（x＋4）
3．分解因式x2-5x-14，正确的结果是（ ）
A．（x－5）（x－14） B．（x－2）（x－7） C．（x－2）（x＋7） D．
（x＋2）（x－7）
4．把多项式 分解因式，下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如果x2+kx﹣10＝（x﹣5）（x+2），则k应为（ ）
A．﹣3 B．3 C．7 D．﹣7
6．如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．因式分解 =_________
8．分解因式： ______．
9．因式分解： ______________．
10．因式分解： _______．
11．观察下列因式分解中的规律：① ；② ；③
；④ ；利用上述系数特点分解因式__________．
12．分解因式：x2﹣7xy﹣18y2＝___．
13．阅读材料：
由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x²+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘
法”进行因式分解的公式：x²+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．
示例：分解因式：x2+5x+6＝x²+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）． 请用上述方法分解因式：
(1)x2-3x-4；
(2)x2-7x+12．
14．阅读理解题：由多项式乘法： ，将该式从右到左使用，即可
进行因式分解的公式： ．
示例：分解因式： ．
分解因式： ．
多项式 的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
(1)尝试：分解因式： ；
(2)应用：请用上述方法将多项式： 、 进行因式分解．
15．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算： ；
．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
； ．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数
是1的二次三项式分解因式．如将式子 分解因式．这个式子的二次项系数是 ，常
数项 ，一次项系数 ，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉
线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．
这样，我们就可以得到： ．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
(1) __________；
(2) __________；
(3) __________；
(4) __________．
16．阅读下列材料：根据多项式的乘法，我们知道， ．反过来，就得到
的因式分解形式，即 ．把这个多项式的二次项系数1分解为
，常数项10分解为 ，先将分解的二次项系数1，1分别写在十字交叉线的左上角和
左下角；再把 ， 分别写在十字交叉线的右上角和右下角，我们发现，把它们交叉相乘，再求
代数和，此时正好等于一次项系数 （如图1）．
像上面这样，先分解二次项系数，把它们分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，
把它们分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其正好等于一次项
系数，我们把这种借助“十字”方式，将一个二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
例如，将二次三项式 分解因式，它的“十字”如图2：
所以， ．
请你用十字相乘法将下列多项式分解因式：(1) ；
(2) ；
(3) ．
17．探究：如何把多项式x2+8x+15因式分解？
（1）观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？ 答：________；
（2）（阅读与理解）：由多项式乘法，我们知道（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到
左地使用，即可对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解，即：x2+（a+b）x+ab=（x+a）
（x+b）
此类多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数
之和．
猜想并填空：x2+8x+15=x2+[（_____）+（_____）]x+（___）×（___）=（x+____）（x+_____）
（3）上面多项式x2+8x+15的因式分解是否符合题意，我们需要验证．请写出验证过程．
（4）请运用上述方法将下列多项式进行因式分解：x2-x-12
18．由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相
乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．
示例：分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．
（1）尝试：分解因式：x2+6x+8＝（x+____）（x+____）；
（2）应用：请用上述方法解方程：
①x2﹣3x﹣4＝0；
②x2﹣7x+12＝0．
19．阅读材料：解方程 我们可以按下面的方法解答：
（1）分解因式 ，
①竖分二次项与常数项： ， ．
②交叉相乘，验一次项： ．
③横向写出两因式： ．
（2）根据乘法原理：若 ，则 或 ，则方程 可以这样求解方程左边因式分解得 所以原方程的解为 ， ．试用上述方
法和原理解下列方程：
（1） ；
（2） ．
20．阅读下列材料：
材料1：将一个形如x2＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n，则可以
把x2＋px＋q因式分解成（x＋m）（＋n）的形式，如x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；x2﹣4x﹣12
＝（x﹣6）（x＋2）
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1
解：将“x＋y”看成一个整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2，再将“A”还原，得
原式＝（x＋y＋1）2
上述解题方法用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下
列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x＋8分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3.
