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专题 14.4 因式分解及其应用
◆ 思想方法
整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的
联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未
知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解
决。
配方法：配方，主要指的是配成平方公式，或二数和的平方，或二数差的平方，将配成的“平方”视
作为一个整体，然后再根据已知条件进行运算，从而使题目简化得以解答。
配方的方法：
①根据已知条件的表现形式，去发现平方项和一次项的乘积形式，如果平方项互为倒数，则往往一次
项以常数出现，隐藏了一次项的乘积不易发现，此时，就要抓住平方公式的特点去发现和挖掘；
②从要求的结果方面去配方，将要求的表达式向着已知条件的表现形式去配方，利用已知条件达到解
题的目的.由于配方扩大了已知条件和要求解的范围，可能会产生不符合要求的结果，就要根据已知条件和
所要求解的结果进行讨论，舍去不符合题意的答案.
◆ 知识点总
结
一、因式分解
定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把
这个多项式分解因式。
以下公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法
分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法
分解因式。（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
◆ 典例分析
【典例1】分解因式：
（1） ；
3a(b2+9) 2−108ab2
（2）2b3−b2−6b+5a−10ab+3；
( 24+ 1)( 44+ 1)( 64+ 1)
（3）计算： 4 4 4 ；
( 14+ 1)( 34+ 1)( 54+ 1)
4 4 4
（4）4x2−14xy+6 y2−7x+ y−2．
【思路点拨】
（1）综合利用提公因式法和公式法进行因式分解即可得；
（2）利用分组分解法进行因式分解即可得；
1
(x+1) 4+
1 1 4
（3）先利用公式法分解x4+ 和(x+1) 4+ ，从而可得 的值，再代入计算即可得；
4 4 1
x4+
4
（4）先利用十字相乘法分解4x2−14xy+6 y2，再利用提公因式法进行因式分解即可得．
【解题过程】
解：（1）原式
=3a[(b2+9) 2−36b2)
=3a(b2+9+6b)(b2+9−6b)
；
=3a(b+3) 2 (b−3) 2
（2）原式
=(2b3−b2)+(5a−10ab)−(6b−3)
=b2(2b−1)−5a(2b−1)−3(2b−1)
；
=(2b−1)(b2−5a−3)（3）∵x4+ 1 = ( x2+ 1) 2 −x2= ( x2+x+ 1)( x2−x+ 1) ，
4 2 2 2
2
(x+1) 4+
1
=
[
(x+1) 2+
1)
−(x+1) 2
4 2
=
[
(x+1) 2+(x+1)+
1)[
(x+1) 2−(x+1)+
1)
2 2
= ( x2+3x+ 5)( x2+x+ 1) ，
2 2
(x+1) 4+ 1 ( x2+3x+ 5)( x2+x+ 1) x2+3x+ 5
4 2 2 2，
∴ = =
x4+ 1 ( x2+x+ 1)( x2−x+ 1) x2−x+ 1
4 2 2 2
( 24+ 1)( 44+ 1)( 64+ 1)
4 4 4
∴
( 14+ 1)( 34+ 1)( 54+ 1)
4 4 4
5 5 5
12+3×1+ 32+3×3+ 52+3×5+
2 2 2
= × ×
1 1 1
12−1+ 32−3+ 52−5+
2 2 2
13 41 85
2 2 2
= × ×
1 13 41
2 2 2
=85；
（4）原式=(x−3 y)(4x−2y)−7x+ y−2
=(x−3 y)(4x−2y)+(x−3 y)−8x+4 y−2
=(x−3 y)(4x−2y+1)−2(4x−2y+1)
=(4x−2y+1)(x−3 y−2)．
◆ 学霸必刷
1．（2024七年级·全国·竞赛）若a、b是正整数，且756a=b3，则a的最小值是 ．
2．（2024八年级·全国·竞赛）若x=1，则．
1+x+x(1+x)+x(1+x) 2+x(1+x) 3+⋅⋅⋅+x(1+x) 2013+x(1+x) 2014=
3．（23-24八年级上·四川内江·期中）设a、b、c、d为正整数，且a7=b6,c3=d2,c−a=17，则d−b
等于 ．
4．（22-23八年级上·福建泉州·期中）已知：a，b，c都是正整数，且a+b+c=342，a−bc=331．abc的
最大值为M，最小值为N，则M+N= ．
5．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知a2(b+c)=b2(a+c)=2023，且a、b、c互不相等，则
c2(a+b)−2024= ．
6．（22-23七年级下·全国·单元测试）若2x2+7xy−15y2+ax+by+3可以分解成两个一次整系数多项式
的乘积，其中a、b为整数，那么a+b的最小值是 ．
7．（2023·重庆巴南·一模）一个三位数，若满足百位数字与个位数字之和为10，则称它为“合十数”．
例如，对于258，因为2+8=10，所以258是“合十数”． 在“合十数”n中，十位数字的2倍与个位数
字之和再减去百位数字的差记为F(n)，百位数字与十位数字之和再减去个位数字的差记为G(n)，若“合
十数”n满足F2(n)−G2(n)=144，则满足条件的“合十数”n的值为 ．
8．（23-24八年级上·全国·课时练习）利用因式分解计算：
（1）76×20.22+43×20.22−19×20.22；
（2）3.14×8.752−3.14×7.752；
（3）50×9.52−100×9.5×7.5+50×7.52；
（4）( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )．
1− 1− 1− ⋅⋅⋅ 1−
22 32 42 20222
9．（22-23八年级上·福建泉州·期中）因式分解
（1）ax2−4a
（2）4x3y+4x2y2+x y3
（3）x2−9 y2−18x+81
（4）x2−2xy−35 y2−2x+14 y10．（22-23八年级·重庆·阶段练习）因式分解：
（1）−2x3+16x2−24x；
（2） ；
(a2+b2−c2
)
2−4a2b2
（3） ；
(x2−x−3)(x2−x−5)−3
（4） ；
(x+ y) 3−x3−y3
（5）x3−9x+8．
11．（22-23七年级下·全国·单元测试）分解因式：(x+ y−2xy)(x+ y−2)+(xy−1)(xy−1)
12．（23-24九年级上·湖北·周测）因式分解：
（1）(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+x(x+5)
（2）a4+2a3+3a2+2a+1
13．（22-23九年级上·广东·阶段练习）因式分解：
（1）
2(x2+6x+1) 2 +5(x2+1)(x2+6x+1)+2(x2+1) 2
（2）
x2(y−z) 3+ y2(z−x) 3+z2(x−y) 3
14．（23-24七年级上·广东广州·期中）求解下列问题：
（1）试确定a和b，使x4+ax2−bx+2能被x2+3x+2整除．
（2）已知关于x、y的二次式x2+7xy+a y2−5x−45 y−24可分解为两个一次因式的乘积，求a．（3）已知x+ y=1,x2+ y2=2，求x7+ y7的值．
15．（23-24八年级上·福建泉州·期末）【实践探究】
小青同学在学习“因式分解”时，用如图1所示编号为①②③④的四种长方体各若干块，进行实践探究：
（1）现取其中两个拼成如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式：
；
（2）【问题解决】
若要用这四种长方体拼成一个棱长为x+2y的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个?试通
过计算说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图3，在一个棱长为y的正方体中挖出一个棱长为x的正方体，请根据体积的不同表示方法，直接写出
y3−x3因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知a与2n分别是两个大小不同正方体的棱长，且
a3−8n3=(a−2n)(4−4an)，当a−2n为整数时，求an的值．
16．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
① ；
(x+2)(x+3)=x2+5x+6
② ；
(x−4)(x+1)=x2−3x−4③ ．
(y−5)(y−3)= y2−8 y+15
通过以上计算发现，形如 的两个多项式相乘，其结果一定为 ( 为整数
(x+p)(x+q) x2+(p+q)x+pq p,q )
因为因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，所以一定有x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)，即可将形如
x2+(p+q)x+pq的多项式因式分解成(x+p)(x+q)(p,q为整数)．
例如： ．
x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2)
【初步应用】（1）用上面的方法分解因式：x2+6x+8= ______；
【类比应用】（2）规律应用：若x2+mx+8可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是______；
【拓展应用】（3）分解因式： ．
(x2−4x) 2−2(x2−4x)−15
17．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）通过课堂的学习知道，我们把多项式a2+2ab+b2及
a2−2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的
项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一
些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式 ；
x2+2x−3=(x2+2x+1)−4=(x+1) 2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)
再例如求代数式 的最小值， ．
2x2+4x−6 2x2+4x−6=2(x2+2x−3)=2(x+1) 2−8
可知当x=−1时，2x2+4x−6有最小值，最小值是−8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）代数式−a2+2a+3的最大值为： ；
（2）若M=a2+b2+11与N=6a−2b，判断M、N的大小关系，并说明理由；
（3）已知：a−b=2，ab+c2−4c+5=0，求代数式a+b+c的值．18．（23-24八年级上·福建福州·期末）材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是
分组分解法．
例如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)．
（1）分解因式：ab+a+b+1；
（2）若a，b(a>b)都是正整数且满足ab−a−b−4=0，求a+b的值；
（3）若a，b为实数且满足ab−a−b−5=0 ，S=2a2+3ab+b2+5a−b ，求S的最小值．
19．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称
这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”．理由：因为5=22+12，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式______；
（2）若 可配方成 （m、n为常数），则 ______；
x2−6x+5 (x−m) 2+n mn=
【探究问题】
（3）已知x2+ y2−2x+4 y+5=0，则x+ y=______；
（4）已知S=x2+4 y2+4x−12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件
的一个k值，并说明理由．
【拓展结论】
5
（5）已知实数x、y满足−x2+ x+ y−5=0，求x−2y的最值．
220．（22-23八年级下·广东深圳·期中）阅读以下材料：
目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于x2+3x+2，它不是完全平方式，所以无法
用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解：
第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，x2+3x+2最高含有x的二次项，所以看作由(ax+b)(cx+d)得
到；
第二步，去括号， 和 对比发现，
(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd x2+3x+2
二次项系数为1，二次项由ax和cx相乘得出，所以a=c=1（为了计算简便，往往取整数）；
第三步，继续把 和 对比，发现 ， 两数之积为2，和为3，就不难凑出 ，
x2+(b+d)x+bd x2+3x+2 b d b=1
，检验一下： ，换个方向写就是因式分解了．
d=2 (x+1)(x+2)=x2+3x+2
请使用上述方法回答下列问题：
（1）因式分解：
①x2−5x+6；
②2y2+ y−36；（2）对关于 的多项式因式分解： ．
x mx2−(3m−1)x+2m−1
