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必考点 13 因式分解常见题型
●题型一 因式分解---提公因式法
【例题1】因式分解：
（1）9abc﹣6a2b2+12abc2． （2）﹣24x3+12x2﹣28x
【分析】（1）直接找出公因式3ab，进而提取公因式得出答案；
（2）先把负号提到括号外面，在找出公因式4x，进而提取公因式得出答案；
【解答】解：（1）9abc﹣6a2b2+12abc2＝3ab（3c﹣2ab+4c2）；
（2）﹣24x3+12x2﹣28x＝﹣（24x3﹣12x2＋28x）＝﹣4x（6x2﹣3x+7）；
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【例题2】（2022秋•东城区校级月考）分解因式：y（2a﹣b）+x（b﹣2a）．
【分析】将原式变形，进而提取公因式（2a﹣b）分解因式即可．
【解答】解：原式＝y（2a﹣b）﹣x（2a﹣b）
＝（2a﹣b）（y﹣x）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【例题3】（2022春•乐安县期中）分解因式：
（1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）；
（2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2．
【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可解答；
（2）利用提公因式法，进行分解即可解答．
【解答】解：（1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）
＝a（x﹣2y）+b（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（a+b）；
（2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2．
＝x（x+y）[x﹣y﹣（x+y）]
＝x（x+y）（x﹣y﹣x﹣y）
＝﹣2xy（x+y）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解﹣提公因式法是解题的关键．【例题4】（2022秋•杨浦区期中）分解因式：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）．
【分析】原式变形可得a2（a+2b）+2ab（a+2b），再提公因式a（a+2b）因式分解即可．
【解答】解：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）
＝a2（a+2b）+2ab（a+2b）
＝a（a+2b）（a+2b）
＝a（a+2b）2．
【点评】本题考查了提公因式法因式分解，正确找出公因式是解答本题的关键．
【例题5】（2022春•济阳区校级期末）因式分解：（2a+1）2﹣（2a+1）（﹣1+2a）．
【分析】直接提取公因式进而分解因式得出即可．
【解答】解：（2a+1）2﹣（2a+1）（﹣1+2a）
＝（2a+1）[2a+1﹣（﹣1+2a）]
＝2（2a+1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【解题技巧提炼】
因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因
式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，
而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
3、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：
●题型二 因式分解---运用公式法
★★★1、 用平方差公式因式分解
【例题6】用平方差公式因式分解：
（1）36﹣x2； （2）﹣a2+b2；
（3）25（a+b）2﹣4（a﹣b）2； （4）a4﹣16；
（5）m4﹣16n4； （6）（x2﹣2y）2﹣（1﹣2y）2；
【分析】根据平方差公式可分解因式．
【解答】解：（1）原式＝（6+x）（6﹣x）；
（2）原式＝（b+a）（b﹣a）；（3）原式＝[5（a+b）+2（a﹣b）][5（a+b）﹣2（a﹣b）]＝（7a+3b）（3a+7b）；
（4）原式＝（a+4）（a﹣4）；
（5）原式＝（m2+4n2）（m2﹣4n2）＝（m2+4n2）（m+2n）（m﹣2n）；
（6）原式＝[（x2﹣2y）+（1﹣2y）][（x2﹣2y）﹣（1﹣2y）]＝（x2+1﹣4y）（x2﹣1）＝（x2+1﹣4y）
（x+1）（x﹣1）；
【点评】本题考查了因式分解，利用了平方差公式分解因式，注意分解要彻底．
【例题7】（2022春•城阳区期中）分解因式：a4﹣81b4＝ ．
【分析】先用平方差公式，再用平方差公式分解因式．
【解答】解：原式＝（a2+9b2）（a2﹣9b2）
＝（a2+9b2）（a+3b）（a﹣3b）；
故答案为：（a2+9b2）（a+3b）（a﹣3b）；
【点评】本题考查了与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果
可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解因式，分解因式要彻底是解题关键．
【例题8】（2022春•柯桥区期末）计算：20232﹣20222＝ ．
【分析】根据平方差公式进行因式分解便可简便运算．
【解答】解：原式＝（2023+2022）×（2023﹣2022）
＝4045．
故答案为：4045．
【点评】本题主要考查了有理数的运算，因式分解的应用，应用平方差公式进行因式分解是解题的关
键．
★★★2、 用完全平方公式因式分解
【例题9】（2022•咸丰县模拟）因式分解：
（1） ； （2）﹣a2﹣4b2+4ab ； （3）（m+n）2﹣6（m+n）+9
【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式．
（2）先提取“﹣”号，再根据完全平方公式分解因式即可得出答案．
（3）将m+n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．
1
【解答】解：（1）原式＝(a− ) 2 ．
2
（2）原式＝﹣（a2﹣4ab+4b2）
＝﹣（a﹣2b）2．
故答案为：﹣（a﹣2b）2．
（3）原式＝（m+n）2﹣2•（m+n）•3+32＝（m+n﹣3）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，掌握a2±2ab+b2＝（a±b）2是解题的关键．
【例题10】（2022春•覃塘区期末）因式分解：
（1）9x2﹣6xy+y2．
（2）（x+1）（x﹣3）+4．
【分析】（1）原式利用完全平方公式分解即可；
（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）9x2﹣6xy+y2
＝（3x）2﹣6xy+y2
＝（3x﹣y）2；
（2）（x+1）（x﹣3）+4
＝x2﹣2x+1
＝（x﹣1）2．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【例题11】（2022•绥化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝ ．
【分析】将m+n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．
【解答】解：原式＝（m+n）2﹣2•（m+n）•3+32
＝（m+n﹣3）2．
故答案为：（m+n﹣3）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，考查整体思想，掌握a2±2ab+b2＝（a±b）2是解题的关键．
【解题技巧提炼】
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的
形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
●题型三 因式分解---提公因式法与公式法的综合运用
【例题12】（2021秋•泌阳县期末）把下列多项式进行因式分解（要写出必要的过程）：（1）﹣x2y+6xy﹣9y；
（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【分析】（1）先提取负号，再提取公因式，再用完全平方公式分解因式；
（2）先提取公因式，再用平方差公式分解因式．
【解答】解：（1）﹣x2y+6xy﹣9y
＝﹣（x2y﹣6xy+9y）
＝﹣y（x2﹣6x+9）
＝﹣y（x﹣3）2；
（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
＝a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一
般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
【例题13】（2021秋•汉滨区期末）因式分解：
（1）a2b﹣10ab+25b；
（2）4a2（a﹣b）+（b﹣a）．
【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解即可；
（2）先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：（1）a2b﹣10ab+25b
＝b（a2﹣10a+25）
＝b（a﹣5）2；
（2）4a2（a﹣b）+（b﹣a）
＝（a﹣b）（4a2﹣1）
＝（a﹣b）（2a+1）（2a﹣1）．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法、公式法法是因式分解的关键．
【例题14】（2022春•涟源市校级期末）因式分解：（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）．
【分析】首先提取（a﹣b）进而利用平方差公式以及提取公因式法分解因式即可．
【解答】解：（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）
＝（a﹣b）[（3a+b）2﹣（a+3b）2]，
＝（a﹣b）[9a2+b2+6ab﹣（a2+9b2+6ab）]，
＝（a﹣b）（8a2﹣8b2），＝8（a﹣b）（a2﹣b2），
＝8（a﹣b）2（a+b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，根据已知正确提取公因式是解题关键．
【解题技巧提炼】
要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
●题型四 因式分解---分组分解法
【例题15】（2021秋•永吉县期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用
提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式
分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
（1）利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （直接写出结果）．
【分析】（1）①直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；
②直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；
（2）将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）①原式＝（3m﹣3y）+（am﹣ay）
＝3（m﹣y）+a（m﹣y）
＝（m﹣y）（3+a）；
②原式＝（a2x+a2y）+（b2x+b2y）
＝a2（x+y）+b2（x+y）
＝（x+y）（a2+b2）；
（2）a2+2ab+b2﹣1
＝（a+b）2﹣1
＝（a+b+1）（a+b﹣1）．故答案为：（a+b+1）（a+b﹣1）．
【点评】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式，正确分组再运用公式法分
解因式是解题关键．
【例题16】（2021秋•奉贤区期末）分解因式：a2﹣b2+2a2b﹣2ab2．
【分析】前两项一组，后两项一组，再分别运用平方差公式和提公因式，最后再提公因式即可．
【解答】解：原式＝（a2﹣b2）+（2a2b﹣2ab2）
＝（a+b）（a﹣b）+2ab（a﹣b）（3分）
＝（a﹣b）（a+b+2ab）（3分）．
【点评】本题考查了用分组分解法分解因式，要熟练掌握完全平方公式、平方差公式以及提公因式．
【例题17】（2021秋•金山区期末）分解因式：25﹣4x2+4xy﹣y2．
【分析】首先将原式进行分组得到原式＝25﹣（4x2﹣4xy+y2），再利用公式法分解因式即可．
【解答】解：25﹣4x2+4xy﹣y2，
＝25﹣（4x2﹣4xy+y2），
＝52﹣（2x﹣y） 2，
＝（5+2x﹣y）（5﹣2x+y）．
【点评】此题主要考查了利用分组分解法分解因式，解题关键是首先把多项式变为 25﹣（4x2﹣
4xy+y2），然后依次利用公式法即可解决问题，注意分解因式要彻底．
【解题技巧提炼】
因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因
式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
●题型五 因式分解---十字相乘法
【例题18】（2022春•兰州期末）阅读材料：
由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行
因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．
示例：分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．
请用上述方法分解因式：
（1）x2﹣3x﹣4；
（2）x2﹣7x+12．【分析】（1）仿照题中分解因式的方法进行因式分解即可；
（2）根据“十字相乘法”进行因式分解的方法进行因式分解即可．
【解答】解：（1）x2﹣3x﹣4
＝x2+（1﹣4）x+1×（﹣4）
＝（x+1）（x﹣4）；
（2）x2﹣7x+12
＝x2+（﹣3﹣4）x+（﹣3）（﹣4）
＝（x﹣3）（x﹣4）．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法和十字相乘法解一元二次方程，熟练掌握十字相乘的方法是
解本题的关键．
【例题19】分解因式：（x﹣y）2+5（x﹣y）﹣50．
【分析】把原式看作为x﹣y的二次三项式，再把﹣50分解为10与﹣5的积，然后运用十字相相乘法分解
即可．
【解答】解：原式＝（x﹣y+10）（x﹣y﹣5）．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相相乘法：借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项
式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．如x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
【例题20】（x2﹣3x）2﹣8（x2﹣3x）+16．
【分析】x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是 1；常数项是
两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是 1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）
（x+q），进而得出即可．
【解答】解：（x2﹣3x）2﹣8（x2﹣3x）+16
＝（x2﹣3x﹣4）2
＝（x﹣4）2（x+1）2．
【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，根据已知正确分解常数项是解题关键．
【解题技巧提炼】
因式分解-十字相乘法：
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1
的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a ，a 的积a •a ，把常数项c分解成两个因数c ，c 的
1 2 1 2 1 2积c •c ，并使a c +a c 正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a x+c ）（a x+c ）．
1 2 1 2 2 1 1 1 2 2
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●题型六 实数范围内分解因式
【例题21】在实数范围内因式分解下列多项式：
（1）4x2﹣5；
（2）4x2+8x﹣5；
（3）﹣x2﹣xy+y2．
【分析】（1）利用平方差公式，进行分解即可解答；
（2）利用十字相乘法，进行分解即可解答；
（3）先利用完全平方公式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：（1）4x2﹣5＝（2x+√5）（2x−√5）；
（2）4x2+8x﹣5＝（2x+5）（2x﹣1）；
（3）﹣x2﹣xy+y2．
1 1
= x2﹣xy+y2− x2﹣x2
4 4
1 5
＝（ x﹣y）2− x2
2 4
1 √5 1 √5
＝（ x﹣y+ x）（ x﹣y− x）
2 2 2 2
1+√5 1−√5
＝（ x+y）（ x﹣y）．
2 2
【点评】本题考查了实数范围内分解因式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【解题技巧提炼】
实数范围内分解因式
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），
一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解
x2﹣2＝x2﹣（√2）2＝（x+√2）（x−√2）
●题型七 因式分解的应用
★★★1、 利用因式分解简化计算问题．
【例题22】利用因式分解计算下列各式：
（1）872+87×26+132；（2）20192﹣4036×2019+20182．
【分析】利用完全平方公式分解因式进行计算．
【解答】解：（1）872+87×26+132＝872+2×87×13+132＝（87+13）2＝1002＝10000；
（2）20192﹣4036×2019+20182＝20192﹣2×2018×2019+20182＝（2019﹣2018）2＝1．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，因式分解，关键是掌握完全平方式进行因式分解．
9
【例题23】先分解因式，再求值：已知a+b＝2，ab= ，求a3b+2a2b2+ab3的值．
2
【分析】由观察，分析多项式可先提取公因式，再完全平方公式，最后待定系数法求出多项式的值为
18．
【解答】解：a3b+2a2b2+ab3
＝ab（a2+2ab+b2）
＝ab（a+b）2
9
∵a+b＝2，ab= ，
2
9
∴原式= ×22= 18．
2
【点评】本题综合考查因式分解中提取公因式法，完全平方公式法和待定系数法，重点掌握因式分解的
应用，难点灵活运用因式分解，能提取公因式的先提取公因式．
★★★2、 用利用因式分解解决证明问题．
【例题24】（2022秋•永春县期中）已知a、b、c是△ABC的三边长，且a、b、c满足a2+2b2+c2﹣2ab﹣
2bc＝0，请判断△ABC的形状．
【分析】由a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0整理可得，（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，由非负数的性质可求得a、b、
c的关系，即可判断出三角形的形状．
【解答】解：∵a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
{a−b=0
∴ ，
b−c=0
解得a＝b＝c，
∴△ ABC是等边三角形．
【点评】此题主要考查了非负性，等边三角形的判定，配方法，解本题的根据是求出a，b，c的关系．
★★★3、 利用因式分解解决求值问题．
【例题25】（2022春•平阴县期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的
值；
（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．
【分析】（1）根据x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，应用因式分解的方法，判断出（x﹣y）2+（y+3）2＝0，求出
x、y的值各是多少，再把它们相乘，求出xy的值是多少即可；
（2）首先根据a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，求出
a、b的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出△ABC的最大边c的值是多少即可；
（3）首先根据a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，求
出a、c、b的值各是多少；然后把a、b、c的值求和，求出a+b+c的值是多少即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+3＝0，
∴x＝﹣3，y＝﹣3，
∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，
即xy的值是9．
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，
∴a＝5，b＝6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）∵a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2＝0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，
∴a﹣4＝0，c﹣8＝0，
∴a＝4，c＝8，b＝a﹣8＝4﹣8＝﹣4，
∴a+b+c＝4﹣4+8＝8，即a+b+c的值是8．
【点评】（1）此题主要考查了因式分解方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分
解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
（2）此题还考查了三角形的三条边之间的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任意两边之和
大于第三边；任意两边之差小于第三边．
【解题技巧提炼】
因式分解的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具
体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部
分．
◆◆◆题型一 因式分解---提公因式法
1．（2022春•云岩区期中）把下列各式分解因式：
（1）5xy﹣10x； （2）m（a2+b2）﹣n（a2+b2）．
【分析】（1）提取公因式分解因式；
（2）提取公因式分解因式．
【解答】解：（1）5xy﹣10x＝5x（y﹣2）；
（2）m（a2+b2）﹣n（a2+b2）＝（a2+b2）（m﹣n）．
【点评】本题主要考查了提取公因式分解因式法，掌握提公因式法基本步骤是解题关键．
2．（2021秋•梅里斯区期末）因式分解
（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy5； （2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）．
【分析】（1）直接提取公因式即可；
（2）先利用相反数把（b﹣a）转化为（a﹣b），再提取公因式．
【解答】解：（1）原式＝﹣3xy2（x2﹣2xy+y3）
（2）原式＝3x（a﹣b）+6y（a﹣b）
＝3（a﹣b）（x+2y）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的方法是解决本题的关键．3．（2022春•萍乡期中）因式分解：
（1）a（m﹣n）+b（n﹣m）； （2）（a﹣3）2+2a﹣6．
【分析】（1）提取公因式（m﹣n）即可得到答案；
（2）提取公因式（a﹣3）即可得到答案．
【解答】解：（1）原式＝a（m﹣n）﹣b（m﹣n）
＝（m﹣n）（a﹣b）；
（2）原式＝（a﹣3）2+2（a﹣3）
＝（a﹣3）（a﹣3+2）
＝（a﹣3）（a﹣1）．
【点评】此题考查的是提取公因式分解因式，找准公因式是解决此题的关键．
4．（2022秋•嘉定区期中）因式分解：6（x+y）2﹣2（x+y）（x﹣y）
【分析】直接提取公因式进而分解因式得出答案．
【解答】解：6（x+y）2﹣2（x+y）（x﹣y）
＝2（x+y）[3（x+y）﹣（x﹣y）]
＝2（x+y）（2x+4y）
＝4（x+y）（x+2y）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确掌握公因式是解题关键．
◆◆◆题型二 因式分解---运用公式法
5．用平方差公式因式分解：
（1）x2﹣16y2； （2）x2y2﹣z2；
（3）（x+2）2﹣9； （4）（x+a）2﹣（y+b）2；
（5）5（x2+1）﹣20x2； （6）（a2+b2）2﹣4a2b2．
【分析】根据平方差公式可分解因式．
（1）原式＝（x+4y）（x﹣4y）；
（2）原式＝（xy+z）（xy﹣z）；
（3）原式＝[（x+2）+3][（x+2）﹣3]＝（x+5）（x﹣1）；
（4）原式＝[（x+a）+（y+b）][（x+a）﹣（y+b）]＝（x+a+y+b）（x+a﹣y﹣b）；
（5）原式＝5x2+5﹣20x2＝﹣5（3x2﹣1）；
（6）原式＝a4+2a2b2+b4﹣4a2b2＝a4﹣2a2b2+b4＝（a2﹣b2）2＝（a+b）2（a﹣b）2．
【点评】本题考查了因式分解，利用了平方差公式分解因式，注意分解要彻底．
6．把下列各式分解因式（1）3x﹣12x3
（2）﹣a2﹣49b2+14ab
（3）x2（x﹣y）+y2（y﹣x）
（4）9（a﹣b）2﹣30（a2﹣b2）+25（a+b）2．
【分析】（1）根据提公因式法，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案；
（2）根据提公因式法，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案；
（3）根据提公因式法，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案；
（4）根据完全平方公式，可得答案．
【解答】解：（1）原式＝3x（1﹣4x2）＝3x（1+2x）（1﹣2x）；
（2）原式＝﹣（a2+﹣14ab+49b2）＝﹣（a﹣7b）2；
（3）原式＝（x﹣y）（x2﹣y2）＝（x﹣y）（x+y）（x﹣y）＝（x﹣y）2（x+y）；
（4）原式＝[3（a﹣b）﹣5（a+b）]2＝（2a+8b）2＝4（a+2b）2．
【点评】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底．
7．（2022•苏州）已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝ ．
【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．
【解答】解：∵x+y＝4，x﹣y＝6，
∴x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
＝4×6
＝24．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查了公式法因式分解，正确将原式变形是解题关键．
8．（2022秋•西城区校级期中）已知a﹣2b＝10，ab＝5，则a2+4b2的值是 ．
【分析】利用完全平方公式的变形a2+4b2＝（a﹣2b）2+4ab进行求解即可．
【解答】解：∵a﹣2b＝10，ab＝5，
∴（a﹣2b）2＝100，4ab＝20，
∴a2+4b2＝（a﹣2b）2+4ab＝100+20＝120，
故答案为：120．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，正确得到a2+4b2＝（a﹣2b）2+4ab是解题的关键．
◆◆◆题型三 因式分解---提公因式法与公式法的综合运用
9．（2021秋•隆昌市校级月考）因式分解
（1）3xy3﹣6x2y2+3x3y； （2）m2（7﹣m）+9（m﹣7）．【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解即可；
（2）先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：（1）3xy3﹣6x2y2+3x3y
＝3xy（y2﹣2xy+x2）
＝3xy（x﹣y）2；
（2）m2（7﹣m）+9（m﹣7）
＝m2（7﹣m）﹣9（7﹣m）
＝（7﹣m）（m2﹣9）
＝（7﹣m）（m+3）（m﹣3）．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法，公式法因式分解的方法是解题的关键．
◆◆◆题型四 因式分解---分组分解法
10．（2022秋•青浦区校级期中）因式分解：2ac﹣6ad+bc﹣3bd．
【分析】首先将前两项以及后两项提取公因式，进而分解因式得出即可．
【解答】解：2ac﹣6ad+bc﹣3bd
＝2a（c﹣3d）+b（c﹣3d）
＝（c﹣3d）（2a+b）．
【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组得出是解题关键．
11．（2021秋•浦东新区期末）分解因式：xy2﹣x﹣y2+1．
【分析】先分组，再提公因式分解．
【解答】解：原式＝（xy2﹣x）﹣（y2﹣1）
＝x（y2﹣1）﹣（y2﹣1）
＝（y2﹣1）（x﹣1）
＝（y﹣1）（y+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查因式分解，根据多项式特征确定正确的分组方式是求解本题的关键．
12．（2021秋•宝山区期末）分解因式：x3+2x2y﹣9x﹣18y．
【分析】先分组各自提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．
【解答】解：x3+2x2y﹣9x﹣18y
＝x2（x+2y）﹣9（x+2y）
＝（x+2y）（x2﹣9）
＝（x+2y）（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，一定要注意把每一个多项式分解到不能再分解为止．
13．（2021秋•普陀区期末）因式分解：1﹣a2﹣4b2+4ab．【分析】先分组，再逆用完全平方公式、平方差公式进行因式分解．
【解答】解：1﹣a2﹣4b2+4ab
＝1﹣（a2+4b2﹣4ab）
＝1﹣（a﹣2b）2
＝（1+a﹣2b）[1﹣（a﹣2b）]
＝（1+a﹣2b）（1﹣a+2b）．
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握公式法以及分组分解法是解决本题的关键．
◆◆◆题型五 因式分解---十字相乘法
14．（2022春•来宾期末）在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数
的积，而它的一次项系数是这两个因数的和，则我们可以把它分解成：x2+（m+n）x+mn＝（x+m）
（x+n）．
例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．
（1）运用上述方法分解因式：
①x2+7x+12；
②x2﹣3x﹣10；
③x2﹣5xy+6y2．
（2）请你结合上述的方法，对多项式x3﹣2x2﹣3x进行因式分解．
【分析】（1）根据题干信息，模仿其运算步骤分解即可；
（2）根据题意，运算即可．
【解答】解：（1）①x2+7x+12＝x2+（4+3）x+4×3＝（x+3）（x+4）；
②x2﹣3x﹣10＝x2+（2﹣5）x+2×（﹣5）＝（x+2）（x﹣5）；
③x2﹣5xy+6y2＝x2+x（﹣2y﹣3y）+2y×3y＝（x﹣2y）（x﹣3y）；
（2）x3﹣2x2﹣3x＝x（x2﹣2x﹣3）＝x【x2+（1﹣3）x+1×（﹣3）】＝x（x+1）（x﹣3）．
【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它
实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．
15．（2021秋•杨浦区期中）分解因式：（a2﹣a）2+2（a2﹣a）﹣8．
【分析】先变形，局部逆用完全平方公式，再使用十字相乘法．
【解答】解：（a2﹣a）2+2（a2﹣a）﹣8
＝（a2﹣a）2+2（a2﹣a）+1﹣9
＝（a2﹣a+1）2﹣9
＝（a2﹣a+1+3）（a2﹣a+1﹣3）＝（a2﹣a+4）（a2﹣a﹣2）
＝（a2﹣a+4）（a﹣2）（a+1）．
【点评】本题主要考查运用公式法、十字相乘法进行因式分解，熟练掌握公式法、十字相乘法是解决本
题的关键．
16．（2022春•乾县期末）阅读理解：
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，巧
妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．
例如：x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）．
观察上述因式分解的过程，回答下列问题：
（1）因式分解x2+2x﹣3；
（2）试说明多项式x2﹣6x+12的值总是一个正数．
【分析】（1）仿照阅读材料中的方法将原式分解即可；
（2）原式配方后，利用非负数的性质判断即可．
【解答】解：（1）原式＝x2+2x+1﹣4
＝（x+1）2﹣4
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）；
（2）原式＝x2﹣6x+9+3
＝（x﹣3）2+3，
∵（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2+3≥3＞0，
则多项式x2﹣6x+12的值总是一个正数．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键．
◆◆◆题型六 实数范围内分解因式
17．实数范围内分解因式：
（1）5x2﹣3； （2）a4﹣9．
【分析】（1）原式变形后，利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用平方差公式即可得到结果．
【解答】解：（1）5x2﹣3＝（√5x+√3）（√5x−√3）；
（2）a4﹣9
＝（a2+3）（a2﹣3）＝（a2+3）（a+√3）（a−√3）．
【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
18．在实数范围内因式分解
（1）x2﹣7； （2）4a4﹣9．
【分析】根据平方差公式，可得答案．
【解答】解：原式＝x2﹣（√7）2＝（x+√7）（x−√7）；
原式＝（2a2+7）（2a2﹣7）
＝（2a2+7）（√2a+√7）（√2a−√7）．
【点评】本题考查了因式分解，利用平方差公式是解题关键．
◆◆◆题型七 因式分解的应用
19．利用分解因式方法计算：
（1）39×37﹣13×34； （2）29×19.99+72×19.99+13×19.99﹣19.99×14．
【分析】（1）先把34化为3×33，再利用提公因式的方法得到原式＝39×37﹣39×33＝39×（37﹣27），然
后进行有理数运算；
（2）利用提公因式的方法得到原式＝19.99（29+72+13﹣14），然后进行有理数运算．
【解答】解：（1）原式＝39×37﹣39×33＝39×（37﹣27）＝390；
（2）原式＝19.99（29+72+13﹣14）＝19.99×100＝1999．
【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用
因式分解简化计算问题．
20．阅读材料：要把多项式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它进行分组再因式分解．
解：原式＝（am+an）+（bm+bn）
＝a（m+n）+b（m+n）
＝（m+n）（a+b）
这种因式分解的方法叫做分组分解法．请利用此方法解答：
已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足a2+c2﹣2b（a﹣b+c）＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】展开后利用分组分解法因式分解后利用非负数的性质确定三角形的三边的关系即可．
【解答】解：△ABC的形状是等边三角形，理由如下：
a2+c2﹣2b（a﹣b+c）＝0，
a2+c2﹣2ba+2b2﹣2bc＝0，
（a2﹣2ba+b2）+（c2+b2﹣2bc），
（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC的形状是等边三角形．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细阅读材料理解分组分解的方法，难度较大．
21．根据条件，求下列代数式的值：
x2+ y2
（1）若x（y﹣1）﹣y（x﹣1）＝4，求 −xy的值；
2
（2）若a+b＝5，ab＝3，求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．
x2+ y2
【 分 析 】 （ 1 ） 先 由 已 知 条 件 得 到 x﹣y ＝ ﹣ 4 ， 再 把 −xy通 分 后 分 解 得 到 原 式
2
x2+ y2−2xy (x−y) 2
= = ，然后利用整体代入的方法计算即可；
2 2
（2）先提公因式得到原式＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab（a﹣b）2，然后利用完全平方公式得原式＝
ab{（a+b）2﹣4ab]，再利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：（1）x（y﹣1）﹣y（x﹣1）＝4，
∴xy﹣x﹣xy+y＝4，
∴x﹣y＝﹣4，
x2+ y2−2xy (x−y) 2 (−4) 2
∴原式= = = =8；
2 2 2
（2）原式＝ab（a2﹣2ab+b2）
＝ab（a﹣b）2
＝ab{（a+b）2﹣4ab]
当a+b＝5，ab＝3，原式＝3×（52﹣4×3）＝39．
【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用
因式分解简化计算问题．
22．先阅读下面的内容，再解答问题．
【阅读】例题：求多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值．
解；m2+2mn+2n2﹣6n+13＝（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）+4＝（m+n）2+（n﹣3）2+4，
∵（m+n）2≥0，（n﹣3）2≥0
∴多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值是4．
【解答问题】（1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是 ；
（2）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求第三边c的取值范围；
（3）求多项式﹣2x2+4xy﹣3y2﹣6y+7的最大值．
【分析】（1）由题意得，运用的是完全平方公式；
（2）原式即为：（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，即可求解；
（3）原式＝﹣2x2+4xy﹣2y2﹣y2﹣6y﹣9+16＝﹣2（x﹣y）2﹣（y+3）2+16，即可求解．
【解答】解：（1）完全平方公式．
（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0．
∵（a﹣5）2≥0，（b﹣4）2≥0，∴a＝5，b＝4．
∴1＜c＜9．
（3）原式＝﹣2x2+4xy﹣2y2﹣y2﹣6y﹣9+16
＝﹣2（x﹣y）2﹣（y+3）2+16，
∵﹣2（x﹣y）2≤0，﹣（y+3）2≤0，
∴多项式﹣2x2+4xy﹣3y2﹣6y+7 的最大值是 16．
【点评】本题考查了完全平方公式分解因式，熟记完全平方公式的结构特点是解题的关键．
1．（2022秋•泰山区校级月考）利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的长方形可拼成一
个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式 ．
【分析】分析题意，观察拼接后的图形的构成，发现它是由1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个
a×b的矩形构成的，所以这个图形的面积是这几个图形的面积之和；根据拼接后的图形是一个边长为a+b
的正方形，结合正方形的面积公式可求出该图形的面积．
【解答】解：根据面积计算公式可得a2+2ab+b2＝（a+b）2．
故答案为：a2+2ab+b2＝（a+b）2．
【点评】本题侧重考查因式分解的应用，掌握正方形和矩形的面积公式是解决此题的关键．
2．（2022秋•永春县校级期中）已知x2+x＝4，那么代数式x3+5x2的值为 ．【分析】用降次的方法计算，由x2+x＝4，可得x2＝5﹣x，将其代入x3+5x2，进而可得x3+5x2的值．
【解答】解：∵x2+x＝4，
∴x2＝4﹣x，
x3+5x2
＝x（4﹣x）+5x2
＝4x﹣x2+5x2
＝4x+4x2
＝4（x2+x）
＝4×4
＝16，
∴x3+5x2的值为16．
故答案为：16
【点评】本题考查了因式分解的应用，用降次的方法计算是解本题的关键，在对式子的变形中要特别细
心，综合性较强，难度较大．
3．（2022春•雅安期末）已知x＝y+3，则代数式x2﹣2xy+y2﹣20的值为 ．
【分析】利用完全平方公式把x2﹣2xy+y2﹣20写成（x﹣y）2﹣20，再把x﹣y＝3代入计算即可．
【解答】解：由x＝y+3，得x﹣y＝3，
∴x2﹣2xy+y2﹣20
＝（x﹣y）2﹣20
＝32﹣20
＝9﹣20
＝﹣11．
故答案为：﹣11．
【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握完全平方公式是解答本题的关键．
4．（2022春•海曙区校级期中）已知a+b＝3，则a2﹣a+b2﹣b+2ab+2022的值为 ．
【分析】先把所求的代数式配方变形，再整体带入求解．
【解答】解：∵a+b＝3，
∴a2﹣a+b2﹣b+2ab+2022
＝（a2+b2+2ab）﹣（a+b）+2022
＝（a+b）²﹣（a+b）+2022
＝3²﹣3+2022
＝2028；
故答案为：2028．【点评】本题考查了因式分解的应用，配方法是解题的关键．
5．（2022春•娄底期中）因式分解：
（1）9abc﹣6a2b2+12abc2．
（2）3x2（x﹣y）+6x（y﹣x）．
【分析】（1）直接找出公因式3ab，进而提取公因式得出答案；
（2）直接将原式变形找出公因式3x（x﹣y），进而提取公因式分解因式即可．
【解答】解：（1）9abc﹣6a2b2+12abc2
＝3ab（3c﹣2ab+4c2）；
（2）3x2（x﹣y）+6x（y﹣x）
＝3x2（x﹣y）﹣6x（x﹣y）
＝3x（x﹣y）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
6．（2022秋•丰泽区校级期中）因式分解
（1）2x3y﹣4x2y+2xy；
（2）4（x﹣y）3+y2（y﹣x）3；
（3）（x2+9）2﹣36x2；
（4）（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8．
【分析】（1）先提公因式，再利用公式法；
（2）先整理变形，提公因式，再利用平方差公式；
（3）先利用平方差公式，再利用十字相乘法；
（4）连续两次利用十字相乘法分解因式．
【解答】解：（1）2x3y﹣4x2y+2xy
＝2xy（x2﹣2x+1）
＝2xy（x﹣1）2；
（2）4（x﹣y）3+y2（y﹣x）3
＝4（x﹣y）3﹣y2（x﹣y）3
＝（x﹣y）3（4﹣y2）
＝（x﹣y）3（2﹣y）（2+y）；
（3）（x2+9）2﹣36x2；
＝[（x2+9）﹣6x][（x2+9）+6x]
＝（x2+9﹣6x）（x2+9+6x）＝（x﹣3）2（x+3）2；
（4）（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8
＝（x2﹣3x﹣4）（x2﹣3x+2）
＝（x﹣4）（x+1）（x﹣1）（x﹣2）．
【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的各种方法．
7．（2022秋•闵行区校级期中）因式分解：x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y．
【分析】先把多项式按三、二分组，再分别因式分解，最后提取公因式．
【解答】解：x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y
＝（x2+9xy+18y2）﹣（3x+9y）
＝（x+3y）（x+6y）﹣3（x+3y）
＝（x+3y）（x+6y﹣3）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式和十字相乘法是解决本题的关键．
8．（2021秋•昭阳区校级期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（5x﹣7y）+（5x﹣7y）2．
（2）因式分解：（x+y）（x+y﹣4）+4．
【分析】（1）把（5x﹣7y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（2）令A＝x+y，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解．
【解答】解：（1）1+2（5x﹣7y）+（5x﹣7y）2
＝（5x﹣7y+1）2；
（2）令A＝x+y，则原式变为A（A﹣4）+4＝A2﹣4A+4＝（A﹣2）2，
故（x+y）（x+y﹣4）+4＝（x+y﹣2）2．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方
法．
9．已知a+b＝2，a•b＝﹣8，求a2（a+b）﹣ab（a+b）+b2（a+b）的值．
【分析】先提取公因式再利用完全平方公式将原式边形为（a+b）[（a+b）2﹣3ab]，代入a+b＝2、a•b＝
﹣8即可求出结论．
【解答】解：原式＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＝（a+b）[（a+b）2﹣3ab]，
∵a+b＝2，a•b＝﹣8，
∴原式＝2×[22﹣3×（﹣8）]＝56．【点评】本题考查了因式分解的应用，将原式分解成（a+b）[（a+b）2﹣3ab]是解题的关键．
a
10．如图，在一块边长为acm的正方形纸板四角，各剪去一个边长为bcm（b＜ ）的正方形，利用因式
2
分解计算当a＝13.2，b＝3.4时，剩余部分的面积．
【分析】阴影部分的面积等于正方形的面积减去4角的4个小正方形的面积，利用因式分解可使计算简
便．
【解答】解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝20×6.4＝128（cm2）．
【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学
思想和正确运算的能力．
11．（1）已知x2+4x+y2﹣2y+5＝0，求x，y．
（2）a，b满足a（a+1）﹣（a2+2b）＝1，求a2﹣4ab+4b2﹣2a+4b的值．
（3）已知a2+b2＝5，a+b＝3，求（a﹣b）2．
（4）已知x2﹣y2＝20，求[（x﹣y）2+4xy][（x+y）2﹣4xy]的值．
【分析】（1）先对原式变形，可得两个平方项的和，由非负数的性质可得x、y的值．
（2）首先将原始整理a﹣2b＝1，然后代入后面的代数式求解即可；
（3）首先根据a2+b2＝5，a+b＝3求得ab的值，然后代入（a﹣b）2求解即可．
（4）将代数式变形后代入已知条件即可求解．
【解答】解：（1）x2+4x+y2﹣2y+5＝0，
变形为：（x2+4x+4）+（y2﹣2y+1）＝0，
即（x+2）2+（y﹣1）2＝0，
又因（x+2）2与（y﹣1）2皆是非负数，
所以（x+2）2＝0且（y﹣1）2＝0，
即x+2＝0，y﹣1＝0，
解得x＝﹣2，y＝1；
答：x＝﹣2，y＝1．
（2）∵a（a+1）﹣（a2+2b）＝1，
∴a﹣2b＝1，∴a2﹣4ab+4b2﹣2a+4b＝（a﹣2b）2﹣2（a﹣2b）＝1﹣2＝﹣1；
（3）∵a2+b2＝5，a+b＝3，
∴ab＝2
∴（a﹣b）2．＝（a+b）2﹣4ab＝9﹣8＝1
（4）已知x2﹣y2＝20，求[（x﹣y）2+4xy][（x+y）2﹣4xy]的值．
解：[（x﹣y）2+4xy][（x+y）2﹣4xy]
＝（x+y）2（x﹣y）2
＝[（x+y）（x﹣y）]2
＝[x2﹣y2]2
＝400
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是对代数式进行正确的因式分解．
12．（2022春•市中区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ，共用了 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则结果是 ．
（3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可解答；
（2）仿照已知的计算过程，即可解答；
（3）仿照已知的计算过程，即可解答．
【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共用了2次，
故答案为：提公因式法，2；
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，
则需要用上述方法2021次，结果是（1+x）2022，
故答案为：（1+x）2022；
（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）
＝（1+x）[1+x+x（x+1）+...+x（x+1）n﹣1]
＝（1+x）2[（1+x+x（x+1）+...+x（x+1）n﹣2]
..．
＝（1+x）n+1．【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，理解已知的计算过程是解题的关键．
13．（2022春•昌图县期末）甲、乙两个同学因式分解x2+ax+b时，甲看错了a，分解结果为（x+4）（x
﹣8），乙看错了b，分解结果为（x﹣2）（x+6）．求多项式x2+ax+b分解因式的正确结果．
【分析】根据题意可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项的系数，利用多
项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，代入原多项式进行因式分解．
【解答】解：∵甲看错了a，分解结果为（x+2）（x+4），但b是正确的，
（x+4）（x﹣8）＝x2﹣4x﹣32，
∴b＝﹣32，
∵（x﹣2）（x+6）＝x2+4x﹣12，乙看错了b，但a是正确的，
∴a＝4，
∴x2+ax+b＝x2+4x﹣32＝（x+8）（x﹣4）．
【点评】本题主要考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法和多项式相乘法
则．
14．（2021春•清远期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘
数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是 4的倍数
吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？
【分析】（1）试着把28、2012写成平方差的形式，即可判断是否是神秘数；
（2）化简两个连续偶数为2k+2和2k的平方差，再判断；
（3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，则（2k+1）2（2k﹣1）2＝8k，即可判断两个连续奇数的平方差不
是神秘数．
【解答】解：（1）28＝4×7＝82﹣62；2012＝4×503＝5042﹣5022，
所以是神秘数；
（2）（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）＝4（2k+1），
∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数．
（3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，
则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k，
由（2）可知：神秘数是4的奇数倍，不是偶数倍，
∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．【点评】此题考查的知识点是因式分解的应用，同时考查了阅读能力、探究推理能力．对知识点的考
查，主要是平方差公式的灵活应用．
15．（2021秋•交口县期末）阅读以下材料，并解决问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分
解，比如多项式．x2﹣4y2﹣2x+4y．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四
项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因
式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的
因式分解．具体过程如下：
例1：x2﹣4y2﹣2x+4y
＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）……………………分成两组
＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）………………分别分解
＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）………………………提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或
四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
（1）材料例1中，分组的目的是 ．
（2）若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？x2﹣y2+x+y＝ ；
2a+a2﹣2b﹣2ab+b2＝ ．
（3）利用分组分解法进行因式分解：x2﹣2xy+y2﹣4＝ ．
【分析】（1）根据阅读材料解答即可；
（2）运用分组分解法直接作答即可；
（3）运用分组分解法直接作答即可．
【解答】解：（1）分组后能出现公因式，分组后能运用公式；
故答案为：分组后能出现公因式，分组后能运用公式；
（2）（x2﹣y2）+（x+y），（2a﹣2b）+（a2﹣2ab+b2）；
故答案为：（x2﹣y2）+（x+y），（2a﹣2b）+（a2﹣2ab+b2）；
（3）x2﹣2xy+y2﹣4＝（x﹣y）2﹣4＝（x﹣y+2）（x﹣y﹣2）．
故答案为：（x﹣y+2）（x﹣y﹣2）．
【点评】本题考查了因式分解，能够灵活运用分组分解法进行因式分解是解答本题的关键．
16．（2022春•郴州期末）材料1：由多项式乘法，（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式子从右到
左地使用，即可对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．
多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为某两数之积，一次项系数为这两数之和．
材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1，将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将“A”还原得：原式＝（x+y+1）2．
上述用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．
请你根据以上阅读材料解答下列问题：
（1）根据材料1将x2+4x+3因式分解；
（2）根据材料2将（x﹣y）2﹣10（x﹣y）+25因式分解；
（3）结合材料1和材料2，将（m2﹣2m）（m2﹣2m﹣3）﹣4因式分解．
【分析】（1）仿照材料一分解即可；
（2）把（x﹣y）看成一个整体，利用材料一的方法分解即可；
（3）把（m2﹣2m）看成一个整体，先算乘法再利用材料一因式分解．
【解答】解：（1）x2+4x+3＝（x+3）（x+1）；
（2）（x﹣y）2﹣10（x﹣y）+25＝（x﹣y﹣5）2；
（3）（m2﹣2m）（m2﹣2m﹣3）﹣4
＝（m2﹣2m）2﹣3（m2﹣2m）﹣4
＝（m2﹣2m﹣4）（m2﹣2m+1）
＝（m2﹣2m﹣4）（m﹣1）2．
【点评】本题考查了整式的因式分解，读懂题目给出的材料，会运用题目给出材料的方法是解决本题的
关键．
17．（2022春•东海县期中）阅读与理解：
（1）先阅读下面的解题过程：
分解因式：a2﹣6a+5
解：方法（1）原式＝a2﹣a﹣5a+5
＝（a2﹣a）+（﹣5a+5）
＝a（a﹣1）﹣5（a﹣1）
＝（a﹣1）（a﹣5）
方法（2）原式＝a2﹣6a+9﹣4
＝（a﹣3）2﹣22
＝（a﹣3+2）（a﹣3﹣2）
＝（a﹣1）（a﹣5）．
请你参考上面一种解法，对多项式x2+4x﹣12进行因式分解；
（2）阅读下面的解题过程：
已知m2+n2﹣4m+6n+13＝0，试求m与n的值．
解：由已知得m2﹣4m+4+n2+6n+9＝0因此得到（m﹣2）2+（n+3）2＝0
所以只有当m﹣2＝0并且n+3＝0上式才能成立．
因而得：m＝2并且n＝﹣3．
请你参考上面的解题方法解答下面的问题：
已知：x2+y2+8x﹣12y+52＝0．试求（x+y）x的值．
【分析】（1）把﹣12写成4与﹣16和的形式，仿照题例先套用完全平方公式，再套用平方差公式；
（2）把52写成16与36和的形式，仿照题例利用完全平方公式把方程写成两个代数式平方和的形式，先
利用非负数的和为0求出x、y，再代入求代数式的值．
【解答】解：（1）x2+4x﹣12
＝x2+4x+4﹣16
＝（x+2）2﹣42
＝（x+2+4）（x+2﹣4）
＝（x+6）（x﹣2）；
（2）x2+y2+8x﹣12y+52＝0，
x2+8x+16+y2﹣12y+36＝0，
（x+4）2+（y﹣6）2＝0，
∴x+4＝0，y﹣6＝0．
∴x＝﹣4，y＝6．
∴（x+y）x＝（﹣4+6）×（﹣4）＝﹣8．
【点评】本题考查了整式的因式分解和求值，看懂题例理解题例解法，掌握完全平方公式、平方差公式
是解决本题的关键．
18．（2021秋•周至县期末）阅读并解决问题：
材料1：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次
项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．
例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．
材料2：分解因式：（a+b）2+2（a+b）+1．
解：设a+b＝x，则原式＝x2+2x+1＝（x+1）2＝（a+b+1）2．
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，
从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．
（1）运用上述方法分解因式：①x2+6x+8＝ ，②x2﹣x﹣6＝ ；
（2）请用“换元法”进行因式分解：（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4．
【分析】（1）仿照题中的方法，得到十字相乘法，分别将各多项式分解即可；（2）设x2﹣4x+2＝y，先把原多项式换元后因式分解，代入后再用完全平方公式因式分解．
【解答】解：（1）①原式＝（x+2）（x+4），
②原式＝（x+2）（x﹣3）；
故答案为：（x+2）（x+4），（x+2）（x﹣3）；
（2）设x2﹣4x+2＝y，
则原式＝y（y+4）+4
＝y2+4y+4
＝（y+2）2
＝（x2﹣4x+2+2）2
＝[（x﹣2）2]2
＝（x﹣2）4．
【点评】本题考查了因式分解的十字相乘法和换元法．看懂和理解题例是解决本题的关键．解（2）亦可
设x2﹣4x＝y或设x2﹣4x+6＝y或设x2﹣4x+4＝y．
19．（2022秋•汝阳县期中）对于某些二次三项式可以采用“配方法”来分解因式，阅读下列材料：例
如：把x2+6x﹣16分解因式，我们可以这样进行：
x2+6x﹣16
＝x2+2•x•3+32﹣32﹣16（加上32，再减去32）
＝（x+3）2﹣52（运用完全平方公式）
＝（x+3+5）（x+3﹣5）（运用平方差公式）
＝（x+8）（x﹣2）（化简）
运用此方法解决下列问题：
（1）把x2﹣8x﹣9分解因式．
（2）已知：a2+b2﹣6a+10b+34＝0，求多项式4a2+12ab+9b2的值．
【分析】（1）根据例题先加上42，再减去42，运用完全平方公式和平方差公式分解，最后化简即可；
（2）根据例题进行配方，由一个数的平方是一个非负数即可求得a、b的值，代入多项式计算即可．
【解答】解：（1）x2﹣8x﹣9
＝x2﹣2•x•4+42﹣42﹣9
＝（x﹣4）2﹣52
＝（x﹣4+5）（x﹣4﹣5）
＝（x+1）（x﹣9）；
（2）a2+b2﹣6a+10b+34
＝a2﹣6a+9+b2+10b+25﹣9﹣25+34＝（a﹣3）2+（b+5）2，
∵a2+b2﹣6a+10b+34＝0，
∴（a﹣3）2+（b+5）2＝0，
∴（a﹣3）2＝0且（b+5）2＝0，
∴a﹣3＝0且b+5＝0，
解得：a＝3，b＝﹣5，
4a2+12ab+9b2＝（2a+3b）2，
将a＝2，b＝﹣3代入多项式得：
4a2+12ab+9b2＝（2a+3b）2＝[2×2+3×（﹣5）]2＝（﹣9）2＝81．
【点评】本题考查了整式的混合运算—化简求值，因式分解，熟练掌握公式法，分组分解法进行因式分
解，理解题意是解题的关键．
20．（2022春•射阳县校级月考）数学教科书中这样写道：
“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做
如下变形：先添加一个适当的项，使式⼦中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式⼦的值不变，这
种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式
分解因式，还能解决一些与⾮负数有关的问题或求代数式最⼤值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x
﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料⽤配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5 ．
（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．
（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+30有最小值，并求出这个最小值．
【分析】（1）将多项式加4再减4，利用配方法可得；
（2）将多项式配方后可得结论；
（3）将多项式配方后可得结论．
【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5
＝m2﹣4m+4﹣9
＝（m﹣2）2﹣9
＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）
＝（m+1）（m﹣5），
故答案为：（m+1）（m﹣5）；
（2）∵a2+b2﹣4a+6b+18＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5；
（3）∵a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+30
＝a2﹣2ab+b2﹣2（a﹣b）+1+b2﹣6b+9+20
＝（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+20，
∴当a＝4，b＝3时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+30有最小值20．
【点评】本题主要考查了因式分解﹣十字相乘法，配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利
用非负数的性质解答是解题的关键．
