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专项 21 因式分解常用方法（六大类型）
类型一：提公因式法提公因式
提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式；
第二步是提取公因式并确定另一因式．
需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这
一点可用来检验是否漏项．
注意：
①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；
②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项
的系数是正的．
类型二：公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
常用的公式：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
类型三：先提公因式，再用公式法
类型四：先展开，再用公式法
类型五：十字相乘法
考点2：十字相乘法
1. x² p qx pq （x+p ）（x+q ）
2. 在二次三项式 ax bx c(a 0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，
2
即 a a a ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c c c ，把 a ， a ，c ，
1 2 1 2 1 2 1
c 排列如下：
2
按斜线交叉相乘，再相加，得到 a c a c ，若它正好等于二次三项式 ax bx c 的
1 2 2 1 2
一次项系数b ，即 a c a c b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 ax c 与
1 2 2 1 1 1
a x c 之积，即 ax bx c (ax c)(a x c ) ．
2 2 2 1 1 2 2类型六：分组分解法
【类型一：提公因式法提公因式】
【典例1】（2021春•罗湖区校级期末）因式分解：
（1）﹣20a﹣15ax； （2）（a﹣3）2﹣（2a﹣6）．
【解答】解：（1）﹣20a﹣15ax
＝﹣5a（4+3x）；
（2）（a﹣3）2﹣（2a﹣6）
＝（a﹣3）2﹣2（a﹣3）
＝（a﹣3）（a﹣5）．
【变式1-1】（2022•中山市三模）因式分解：3ax﹣9ay＝ ．
【答案】 3 a （ x ﹣ 3 y ）
【解答】解：原式＝3a（x﹣3y）．
故答案为：3a（x﹣3y）．
【变式1-2】（2022•滨海县模拟）将多项式2a2﹣6ab因式分解为 ．
【答案】 2 a （ a ﹣ 3 b ）
【解答】解：原式＝2a（a﹣3b）．
故答案为：2a（a﹣3b）．
【变式1-3】（2019秋•西城区校级期中）因式分解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）
【解答】解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）
＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）
＝（a﹣b）（2m+3n）．
【变式1-4】（2021秋•虹口区校级月考）分解因式：x（a﹣b）+y（b﹣a）﹣3（b﹣a）．
【解答】解：原式＝x（a﹣b）﹣y（a﹣b）+3（a﹣b）＝（a﹣b）（x﹣y+3）．
【类型二：公式法】
【典例2】（2021秋•富裕县期末）因式分解：
（1） ． （2）（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2．【解答】解：（1）原式＝52﹣（ ）2＝（5+ m）（5﹣ m）．
（2）（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2
＝（a﹣2b+3a﹣2b）（a﹣2b﹣3a+2b）
＝（4a﹣4b）•（﹣2a）
＝﹣8a（a﹣b）．
【变式2-1】（2022春•来宾期末）把多项式9a2﹣1分解因式，结果正确的是（ ）
A．（3a﹣1）2 B．（3a+1）2
C．（9a+1）（9a﹣1） D．（3a+1）（3a﹣1）
【答案】D
【解答】解：9a2﹣1＝（3a）2﹣1＝（3a﹣1）（3a+1）．
故选：D．
【变式2-2】（2022•菏泽）分解因式：x2﹣9y2＝ ．
【答案】 （ x ﹣ 3 y ）（ x + 3 y ）
【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）．
故答案为：（x﹣3y）（x+3y）．
【变式2-3】（2021•槐荫区一模）分解因式：4a2﹣9b2．
【解答】解：4a2﹣9b2＝（2a+3b）（2a﹣3b）．
【变式5-4】（2021秋•闵行区期末）分解因式：（3m﹣1）2﹣（2m﹣3）2．
【解答】解：原式＝[（3m﹣1）+（2m﹣3）][（3m﹣1）﹣（2m﹣3）]＝（5m﹣4）
（m+2）．
【考点5 因式分解-完全平方】
【典例3】（2022春•攸县期末）分解因式：y2+4y+4＝（ ）
A．y（y+4）+4 B．（y+2）2 C．（y﹣2）2 D．（y+2）（y﹣
2）
【答案】B
【解答】解：y2+4y+4＝（y+2）2，
故选：B．
【变式3-1】（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（ ）
A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2
【答案】D【解答】解：原式＝（x﹣2）2．
故选：D．
【变式3-2】（2022•富阳区二模）分解因式4y2+4y+1结果正确的是（ ）
A．（2y+1）2 B．（2y﹣1）2 C．（4y+1）2 D．（4y﹣1）2
【答案】A
【解答】解：4y2+4y+1＝（2y+1）2．
故选：A．
【变式3-3】（2020秋•海淀区校级期中）分解因式（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9．
【答案】（x﹣2）2（x+2）2
【解答】解：原式＝（x2﹣1）2﹣6（x2﹣1）+9
＝（x2﹣1﹣3）2＝（x﹣2）2（x+2）2．
【类型三：先提公因式，再用公式法】
【典例4】（2022春•巨野县期末）因式分解：
（1）x3﹣2x2y+xy2
（2）a2（x﹣3y）+9b2（3y﹣x）
【解答】解：（1）x3﹣2x2y+xy2
＝x（x2﹣2xy+y2）
＝x（x﹣y）2；
（2）a2（x﹣3y）+9b2（3y﹣x）
＝（x﹣3y）（a2﹣9b2）
＝（x﹣3y）（a+3b）（a﹣3b）．
【变式4-1】（2022春•济阳区期末）因式分解：2x3﹣8x2y+8xy2．
【解答】解：2x3﹣8x2y+8xy2
＝2x（x2﹣4xy+4y2）
＝2x（x﹣2y）2．
【变式4-2】（2022春•辰溪县期末）因式分解：
（1）2ax2﹣2ay2；
（2）3a3﹣6a2b+3ab2．
【解答】解：（1）原式＝2a（x2﹣y2）
＝2a（x+y）（x﹣y）；
（2）原式＝3a（a2﹣2ab+b2）＝3a（a﹣b）2．
【变式4-3】（2022•南京模拟）因式分解：4a2（x+7）﹣9（x+7）．
【解答】解：原式＝（x+7）（4a2﹣9）＝（x+7）（2a+3）（2a﹣3）．
【变式4-4】（2022春•新城区校级期末）因式分解：﹣3a+12a2﹣12a3．
【解答】解：原式＝﹣3a（1﹣4a+4a2）
＝﹣3a（1﹣2a）2．
【类型四：先展开，再用公式法】
【典例5】（2021春•苏州期末）分解因式
（1）（a﹣b）（a﹣4b）+ab． （2）（a﹣b）2+4ab．
【答案】（1）（a﹣2b）2 （2）（a+b）2
【解答】解：（1）原式＝a2﹣4ab﹣ab+4b2+ab＝a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2．
（2）原式＝a2﹣2ab+b2+4ab＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．
【类型五：十字相乘法】
【典例6】（2021•北碚区校级开学）分解因式
（1）x2﹣4x﹣12； （2）x2﹣4x﹣5．
（3）﹣2x3﹣6x2y+20xy2． （4） 3x2﹣19x﹣14．
【答案】（1）（x﹣6）（x+2） （2）（x﹣5）（x+1） （3）﹣2x（x+5y）（x﹣
2y）
（4）（x﹣7）（3x+2）
【解答】（1）原式＝x2+（﹣6+2）x+（﹣6×2）＝（x﹣6）（x+2）；
（2）原式＝（x﹣5）（x+1）．
（3）原式＝﹣2x（x2+3xy﹣10y2）
＝﹣2x（x+5y）（x﹣2y）．
（1）原式=（x﹣7）（3x+2）．
【变式6】（2021春•岑溪市期末）分解因式
（1）m2﹣4m﹣5． （2）x2+2x﹣3 （3）x2﹣2x﹣8
【答案】（1）（m﹣5）（m+1） （2）（x+3）（x﹣1） （3）（x﹣4）（x+2）
【解答】（1）原式＝（m﹣5）（m+1）．（2）原式＝（x+3）（x﹣1）．
（3）原式＝（x﹣4）（x+2）．
【类型六：分组分解法】
【典例7】（2022春•新田县期中）先阅读材料：
分解因式：a2b﹣3a2+2b﹣6．
解：a2b﹣3a2+2b﹣6
＝（a2b﹣3a2）+（2b﹣6）
＝a2（b﹣3）+2（b﹣3）
＝（b﹣3）（a2+2）
以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方
法对下面多项式分解因式：x2+3x﹣y2+3y．
【解答】解：x2+3x﹣y2+3y
＝x2﹣y2+（3x+3y）
＝（x+y）（x﹣y）+3（x+y）
＝（x+y）（x﹣y+3）．
【变式7-1】（2020秋•上海期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．
【解答】解：原式＝（a4﹣a2b2）﹣（4a2c2﹣4b2c2）
＝a2（a2﹣b2）﹣4c2（a2﹣b2）
＝（a2﹣b2）（a2﹣4c2）
＝（a+b）（a﹣b）（a+2c）（a﹣2c）．
【变式7-2】（2020秋•嘉定区期末）分解因式：x2﹣y2﹣2x﹣2y．
【解答】解：原式＝（x2﹣y2）﹣（2x+2y）
＝（x+y）（x﹣y）﹣2（x+y）
＝（x+y）（x﹣y﹣2）．
1.（2021秋•江津区月考）分解因式
（1）﹣20a﹣15ax； （2）xy3﹣10xy2+25xy
【答案】（1）﹣5a（4+3x） （2）xy（y﹣5）2
【解答】解：（1）﹣20a﹣15ax
＝﹣5a（4+3x）；（2）xy3﹣10xy2+25xy＝xy（y2﹣10xy+25）＝xy（y﹣5）2．
2.（2021春•铁西区期末）分解因式
(1)2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m） （2）2m（x﹣y）﹣3n（x﹣y）．
【答案】（1）2m（m﹣n）（5m﹣n） （2）（x﹣y）（2m﹣3n）；
【解答】解：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）
＝2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m]
＝2m（m﹣n）（5m﹣n）．
（2）原式= （x﹣y）（2m﹣3n）；
3.（2021春•惠山区期中）分解因式：
（1）a3﹣4a2+4a； （2） a2b﹣16b．
【答案】（1）a（a﹣2）2 （2）b（a+4）（a﹣4）
【解答】（1）原式＝a（a2﹣4a+4）＝a（a﹣2）2；
（2）原式＝b（a2﹣16）＝b（a+4）（a﹣4）
4、（2021秋•姜堰区月考）分解因式：（3m﹣1）2﹣（2m﹣3）2．
【答案】（5m﹣4）（m+2）．
【解答】解：原式＝[（3m﹣1）+（2m﹣3）][（3m﹣1）﹣（2m﹣3）]＝（5m﹣4）
（m+2）．
5.（2021春•肃州区校级期中）分解因式：
（1）x2﹣10x+16； （2）x2﹣2x﹣3．
【解答】解：（1）x2﹣10x+16
＝（x﹣8）（x﹣2）；
（2）x2﹣2x﹣3
＝（x﹣3）（x+1）．
6.（2021•市南区校级开学）分解因式：
（1）（x﹣2）（x﹣4）+1． （2）3m（2x﹣y）2﹣3mn2；
【答案】（1）（x﹣3）2 （2）3m（2x﹣y+n）（2x﹣y﹣n）
【解答】（1）（x﹣2）（x﹣4）+1＝x2﹣4x﹣2x+8+1＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2；
（2）原式＝3m[（2x﹣y）2﹣n2]＝3m（2x﹣y+n）（2x﹣y﹣n）；7．（2022春•富平县期末）因式分解：x2（m+n）﹣4y2（m+n）．
【解答】解：原式＝（m+n）（x2﹣4y2）
＝（m+n）（x+2y）（x﹣2y）．
8.（2022春•新田县期末）因式分解：
（1）﹣3y2+12y﹣12；
（2）a2（a﹣b）+b2（b﹣a）．
【解答】解：（1）原式＝﹣3（y2﹣4y+4）
＝﹣3（y﹣2）2；
（2）原式＝a2（a﹣b）﹣b2（a﹣b）
＝（a﹣b）（a2﹣b2）
＝（a﹣b）2（a+b）．
9．（2022春•清江浦区期末）因式分解：
（1）a2﹣9；
（2）3x2+6xy+3y2．
【解答】解：（1）a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）；
（2）3x2+6xy+3y2．
＝3（x2+2xy+y2）
＝3（x+y）2．
10．（2022春•海陵区期末）把下列各式因式分解：
（1）x2﹣25； （2）﹣4x2+24x﹣36．
【解答】解：（1）x2﹣25＝（x+5）（x﹣5）；
（2）﹣4x2+24x﹣36
＝﹣4（x2﹣6x+9）
＝﹣4（x﹣3）2．
11．（2022春•东台市期中）因式分解：
（1）4a2b﹣6ab2 （2）4x2﹣4x+1
（3）a2（x﹣y）+4（y﹣x） （4）（x+2）（x﹣8）+25
【解答】解：（1）4a2b﹣6ab2＝2ab（2a﹣3b）；
（2）4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2；
（3）a2（x﹣y）+4（y﹣x）
＝a2（x﹣y）﹣4（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣4）
＝（x﹣y）（a+2）（a﹣2）；
（4）（x+2）（x﹣8）+25
＝x2﹣6x﹣16+25
＝x2﹣6x+9
＝（x﹣3）2．
12.（2021秋•奉贤区期中）因式分解：x2+4y2+4xy﹣1．
【解答】解：原式＝（x2+4y2+4xy）﹣1
＝（x+2y）2﹣1
＝（x+2y+1）（x+2y﹣1）．
13.（2021秋•徐汇区月考）因式分解：4﹣m2﹣9n2﹣6mn．
【解答】解：原式＝4﹣（m2+9n2+6mn）
＝22﹣（m+3n）2
＝（2+m+3n）（2﹣m﹣3n）．
