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专题 11 整式的乘法与因式分解压轴题真题分类-高分必刷题（原卷
版）
专题简介：本份资料包含《整式的乘法与因式分解》这一章中五种种类型的常考压轴题，所选题目源自
各
名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：幂的运算的压轴题、整式乘法的压轴题、与平
方差公式完全平方公式相关的的压轴题、配方法的压轴题、因式分解的压轴题。适合于培训机构的老师
给学生作复习培训时使用或者学生冲刺高分刷题时使用。
题型一：幂的运算的压轴题
1．（2021春•岳麓区）定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D
（n）．
（1）根据D数的定义，填空：D（2）＝ ，D（16）＝ ．
（2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（ ）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．
根据运算性质，计算：
①若D（a）＝1，求D（a3）；
②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（ ），D（108），D（ ）的值（用
a、b、c表示）．
2．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b
为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：
①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：
（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．
②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称
这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．
根据材料回答：
（1）填空：i3＝ ，i4＝ ；
（2）求（2+i）2的共轭复数；（3）已知（a+i）（b+i）＝1+3i，求a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）的值．3．（雨花区校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．我
们叫（a，b）为“雅对”．
例如：因为23＝8，所以 （2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 （3，3）+（3，5）＝
（3，15）成立．证明如下：
设 （3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，
故3m⋅3n＝3m+n＝3×5＝15，
则 （3，15）＝m+n，
即 （3，3）+（3，5）＝（3，15）．
（1）根据上述规定，填空：（2，4）＝ ； （5，1）＝ ； （3，27）＝ ．
（2）计算 （5，2）+（5，7）＝ ，并说明理由．
（3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立．
题型二：整式乘法的压轴题
4．（2021•天心区开学）对于任意四个有理数 a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，
d）．我们规定：（a，b） （c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2） （3，4）＝2×3﹣1×4＝2．
根据上述规定解决下列问题⊙： ⊙
（1）有理数对（3，﹣5） （4，﹣2）＝ ；
（2）当满足等式（﹣2，3⊙x﹣1） （k，x+k）＝5+k的x是整数时，求正整数k的值；
（3）若（s+2t，2s+t） （x，﹣y⊙）＝2t﹣s对于任意有理数s，t均成立，求x+y的值．
⊙5．（2020秋•开福区月考）好学的小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（ x+4）（2x+5）（3x
﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为： x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那
么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结她发现：一次项
系数就是： ×5×（﹣6）+2×4×（﹣6）+3×4×5＝﹣3，即一次项为﹣3x．
请你认真领会小东同学解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘
法法则的理解，解决以下问题．
（1）计算（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的一次项系数为 ．
（2）若计算（x2+x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式不含一次项，求a的值．
（3）若（x+1）2021＝a x2021+a x2020+a x2019+…+a x+a ，则a ＝ ．
0 1 2 2020 2021 2020
6．（2014秋•雨花区校级月考）你能求（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）的值吗？
遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．分别计算下列各式的值：
（1）（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（2）（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（3）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
由此我们可以得到：
（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）＝ ；
请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：
（1）299+298+297+…+2+1；
（2）（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1．
题型三：与平方差公式、完全平方公式相关的的压轴题
7．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．
如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍
数吗？为什么？（3）①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数．
②在①的条件下，面积是否为神秘数？为什么？
8．一个正整数m能写成m＝（a﹣b）（a+b）（a、b均为正整数，且a≠b），则称m为“美满数”，
a、b为m的一个完美变形，在m的所有完美变形中，若a2+b2最大，则称a、b为m的最佳完美变形，
此时F（m）＝a2+b2．例如：12＝（4+2）（4﹣2），12为“完美数”，4和2为12的一个完美变形，
32＝（9+7）（9﹣7）＝（6+2）（6﹣2），因为92+72＞62+22，所以9和7是32的最佳完美变形，所
以F（32）＝130．
（1）8 （填“是”或“不是”）完美数；
10 （填“是”或“不是”）完美数；
13 （填“是”或“不是”）完美数；
（2）求F（48）；
（3）若一个两位数n的十位数字和个位数字分别为x，y（1≤x≤y≤9），n为“完美数”且x+y能被
8整除，求F（n）的最小值．9．（2018秋•天心区校级期中）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代
数恒等式．
例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）根据图2，写出一个代数恒等式： ．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝
．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长
方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝ ．
【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图 4表示的是一个
边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写
出一个代数恒等式： ．
题型四：配方法的压轴题
10．（2020秋•长沙县校级月考）阅读下面文字内容并解决问题：
对于形如x2+2ax+a2的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成（x+a）2的形式．但x2+4x﹣5
＝（x2+4x+4）﹣4﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3），对于二次三项式x2+4x﹣5就不能直接用
完全平方公式分解了，对此，我们可以填上一项4，使它与x2+4x构成一个完全平方式、然后再减去
4，这样整个多项式的值不变，即＝（x+5）（x﹣1）．
像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法．
请用配方法来解下列问题：
（1）用配方法因式分解：x2﹣6x+5；
（2）已知：x2+y2﹣8x+12y+52＝0，求（x+y）2的值；（3）求x2+8x+7的最小值．
11．配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为 3a2≥0，所以
3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此时a＝0；同样，因为﹣3（a+1）2≤0，所以﹣3（a+1）2+6≤6，
即﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时a＝﹣1．
（1）当x＝ 时，代数式2（x﹣1）2+3有最 （填写大或小）值为 ．
（2）当x＝ 时，代数式﹣x2+4x+3有最 （填写大或小）值为 ．
（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是 16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，
花园的面积最大？最大面积是多少？12．（2021秋•天心区校级月考）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用
后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结
出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）知识再现：当x＝ 时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 ；
（2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是
；
（3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．
13．（2021秋•开福区校级期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方
式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个
看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题．
例如：求代数式：x2﹣12x+2020的最小值
解：原式＝x2﹣12x+62﹣62+2020
＝（x﹣6）2+1984
∵（x﹣6）2≥0，
∴当x＝6时，（x﹣6）2的值最小，最小值为0，
∴（x﹣6）2+1984≥1984，
∴当（x﹣6）2＝0时，（x﹣6）2+1984的值最小，最小值为1984，
∴代数式：x2﹣12x+2020的最小值是1984．
例如：分解因式：x2﹣120x+3456
解：原式＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456
＝（x﹣60）2﹣144＝（x﹣60）2﹣122
＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）
＝（x﹣48）（x﹣72）．
（1）分解因式x2﹣46x+520；
（2）若y＝﹣x2+2x+1313，求y的最大值；
（3）当m，n为何值时，代数式m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2030有最小值，并求出这个最小值．
14．（雨花区校级月考）对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形
式．但对于二次三项式x2+2xa﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式 x2+2xa﹣
3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是
有：
x2+2xa﹣3a2＝（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2
＝（x+a）2﹣4a2
＝（x+a）2﹣（2a）2
＝（x+3a）（x﹣a）
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为
“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣6a+8；
（2）若x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0，求xy的值．
题型五：因式分解的压轴题
15.阅读，已知 ，ab=3，求 的值。
解：因为已知 ，ab=3，
所以
请你根据上述解题思路解答下列问题：
（1）已知 ， ，求 的值；（2）已知 ， ，求 的值。
16．先阅读下列材料，然后回答后面问题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常
有
四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“ ”分法、“ ”分法、“ ”分法及“ ”
分
法等．
如“ ”分法：
如“ ”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式： ；
（2）分解因式： ；
（3）分解因式： ．17．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的
分组分解法有四种形式，即“ ”分法、“ ”分法、“ ”分法及“ ”分法等．
如“ ”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式： ；
（2）分解因式： ；
（3）分解因式： ．
18．（2019秋•雨花区校级月考）“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如 ax2+bxy+cy2的关
于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a ，a 的积，即a＝a •a ，把
1 2 1 2
y2项系数c分解成两个因数c ，c 的积，即c＝c •c ，并使a •c +a •c 正好等于xy项的系数b，那么可
1 2 1 2 1 2 2 1
以直接写成结果：ax2+bxy+cy2＝（a x+c y）（a x+c y）．
1 1 2 2
例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2．
解：如图1，其中1＝1×1，﹣8＝（﹣4）×2，而﹣2＝1×2+1×（﹣4）．
∴x2﹣2xy﹣8y2＝（x﹣4y）（x+2y）
而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解
成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np＝b，
pk+qj＝e，mk+nj＝d，即第 1，2 列、第 2，3 列和第 1，3 列都满足十字相乘规则，则原式＝
（mx+py+j）（nx+qy+k）；
例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2
解：如图3，其中1＝1×1，﹣3＝（﹣1）×3，2＝1×2；
而2＝1×3+1×（﹣1），1＝（﹣1）×2+3×1，3＝1×2+1×1；
∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2＝（x﹣y+1）（x+3y+2）
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：
①6x2﹣17xy+12y2＝
②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12＝
③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y＝
（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．
19．阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于 3的多项式只单
纯用上述方法就无法分解，如 ，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方
公 式 ， 进 行 变 形 后 可 以 与 第 四 项 结 合 再 运 用 平 方 差 公 式 进 行 分 解 ． 过 程 如 下 ：
，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组
的思想方法解决下列问题：
1．知识运用：
试用“分组分解法”分解因式： ；
2．解决问题：
（1）已知 ， ， 为 的三边，且 ，试判断 的形状．
（2）已知四个实数 ， ， ， ，满足 ， ，并且 ， ， ，
，同时成立．
①当 时，求 的值；
②当 时，用含有 的代数式分别表示 ， ， （直接写出答案即可）．20．（2017秋•岳麓区校级期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则
原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题：
（1）因式分解：9+6（x﹣y）+（x﹣y）2＝ ．
（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣8）+16．
（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1的值一定是某一个整数的平方．
21．（2021秋•长沙县期末）方法探究：
已知二次多项式x2﹣4x﹣21，我们把x＝﹣3代入多项式，发现x2﹣4x﹣21＝0，由此可以推断多项式
中有因式（x+3）．设另一个因式为（x+k），多项式可以表示成x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x+k），则有
x2﹣4x﹣21＝x2+（k+3）x+3k，因为对应项的系数是对应相等的，即 k+3＝﹣4，解得k＝﹣7，因此多
项式分解因式得：x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．
问题解决：
（1）对于二次多项式x2﹣4，我们把x＝ 代入该式，会发现x2﹣4＝0成立；
（2）对于三次多项式x3﹣x2﹣3x+3，我们把x＝1代入多项式，发现x3﹣x2﹣3x+3＝0，由此可以推断
多项式中有因式（x﹣1），设另一个因式为（x2+ax+b），多项式可以表示成x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）
（x2+ax+b），试求出题目中a，b的值；
（3）对于多项式x3+4x2﹣3x﹣18，用“试根法”分解因式．
