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专题 14.7 整式乘法与因式分解（满分 100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2022春•丹徒区月考）下列运算正确的是（ ）
1 1
A．x2×x3＝x5 B．（− xy2）3=− x3y6
2 2
C．（x﹣y）6÷（x﹣y）6＝0 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
2．（2021秋•齐河县期末）下列变形属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6 B．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）
C．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6 D．x2﹣5x+6＝（x+2）（x+3）
3．（2021秋•仁怀市期末）如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后用剩余的部
分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）
A．a2+ab＝a（a+b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
4．（2021秋•绵阳期末）若x2+2（b﹣1）x+4是完全平方式，且a＝﹣3，则ab＝（ ）
1 1
A．﹣27 B．﹣27或27 C．27或− D．﹣27或−
3 3
5．（2022春•牡丹区月考）已知a＝344，b＝433，c＝522，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a
6．（2022•安徽模拟）已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则ab可表示为（ ）1 1
A．c2− B．2c2﹣1 C．c2+ D．2c2+1
2 2
7．（2021秋•仓山区校级期末）已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝7，则代数式（2021﹣a）（a﹣2020）
的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣3 D．3
8．（2022 春•电白区月考）式子（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21010+1）+1 化简的结果为
（ ）
A．21010 B．21010+1 C．22020 D．22020+1
9．（2021秋•龙泉市期末）把五张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个大长方
形（长为m，宽为n）内（如图②），大长方形未被卡片覆盖的部分用阴影表示．当m不变，n变长时，阴
影部分的面积差总保持不变，则a，b应满足的关系为（ ）
3
A．a＝5b B．a＝3b C．a＝2b D．a= b
2
10．（2020•田家庵区校级自主招生）已知 a2（b+c）＝b2（a+c）＝2017，且a、b、c互不相等，对c2
（a+b）﹣2016＝（ ）
A．0 B．1 C．2016 D．2017
评卷人 得 分
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2021秋•原阳县期末）已知 a，b，c是△ABC的三边的长，且满足2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，则
△ABC的形状为 三角形．12．（2022•德城区校级开学）请看图（1）杨辉三角，并观察图（2）中等式，根据图（2）各式的规律，
则（a+b）6＝ ．
13．（2021秋•昌江区校级期末）若a3+2a2+2a+1＝0，则a2021+a2022+a2023＝ ．
1
x3+ +7
1 x3
14．（2021秋•虹口区校级月考）若，x+ =3，则 = ．
x 1
x4+ +3
x4
15．（2021秋•潮安区期末）已知正整数a，b，c（其中a≠1）满足abc＝ab+50，则a+b+c的最小值是
，最大值是 ．
评卷人 得 分
三．解答题（本大题共8小题，满分55分）
16．（8分）（2021秋•昌江区校级期末）分解因式：
（1）3a（b2+9）2﹣108ab2； （2）2b3﹣b2﹣6b+5a﹣10ab+3；
1 1 1
(24+ )(44+ )(64+
)
4 4 4
（3）x3﹣6x2+11x﹣6； （4）计算： ．
1 1 1
(14+ )(34+ )(54+
)
4 4 417．（4分）（2021秋•东坡区期末）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷
1
（﹣2x），其中x=− ，y＝1．
2
18．（4分）（2020秋•温江区校级期末）已知ax2+bx+1与2x2﹣3x+1的积不含x3项和x项，求关于x的方
a+2b 3a−b
程 x+ =0的解．
a b
19．（6分）（2022春•驻马店月考）（1）填空：
（a﹣b）（a+b）＝ ；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝ ；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝ ；
…
（a﹣b）（a2022+a2021b+…+ab2021+b2022）＝ ．
（2）猜想：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝ （其中n为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）中猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．20．（6分）（2021秋•西城区校级期末）给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二
次多项式ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多
项式．
（1）关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为 ；
（2）求有序实数对（1，4，4）的特征多项式与有序实数对（1，﹣4，4）的特征多项式的乘积；
（3）若有序实数对（p，q，﹣1）的特征多项式与有序实数对（m，n，﹣2）的特征多项式的乘积的结果
为2x4+x3﹣10x2﹣x+2，直接写出（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值为 ．
21．（9分）（2021秋•长沙县期末）方法探究：
已知二次多项式x2﹣4x﹣21，我们把x＝﹣3代入多项式，发现x2﹣4x﹣21＝0，由此可以推断多项式中有
因式（x+3）．设另一个因式为（x+k），多项式可以表示成x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x+k），则有x2﹣4x﹣
21＝x2+（k+3）x+3k，因为对应项的系数是对应相等的，即k+3＝﹣4，解得k＝﹣7，因此多项式分解因式
得：x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．
问题解决：
（1）对于二次多项式x2﹣4，我们把x＝ 代入该式，会发现x2﹣4＝0成立；
（2）对于三次多项式x3﹣x2﹣3x+3，我们把x＝1代入多项式，发现x3﹣x2﹣3x+3＝0，由此可以推断多项
式中有因式（x﹣1），设另一个因式为（x2+ax+b），多项式可以表示成 x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）
（x2+ax+b），试求出题目中a，b的值；
（3）对于多项式x3+4x2﹣3x﹣18，用“试根法”分解因式．
22．（9分）（2021春•丹阳市期末）如图，有长为m，宽为n的长方形卡片A（m＞n），边长为m的正方
形卡片B，边长为n的正方形卡片C，将卡片C按如图1放置于卡片A上，其未叠合部分（阴影）面积为S ，将卡片A按如图2放置于卡片B上，其未叠合部分（阴影）面积为S ．
1 2
（1）S ＝ ，S ＝ ；（用含m、n的代数式表示）
1 2
（2）若S +S ＝18，则图3中阴影部分的面积S ＝ ；
1 2 3
（3）若m﹣n＝6，mn＝10，求图4中阴影部分的面积S ．
4
23．（9分）（2021秋•乐昌市期末）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完
全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现
完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式＝x²+2x﹣3
＝（x²+2x+1）﹣4
＝（x+1）²﹣2²
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）
例如．求代数式2x²+4x﹣1的最小值．
原式＝2x²+4x﹣1
＝2（x²+2x+1﹣1）﹣1
＝2（x+1）²﹣3．
可知当x＝﹣1时，2x²+4x﹣1有最小值，最小值是﹣3．
（1）分解因式：a²﹣2a﹣3＝ ．
（2）试说明：x、y取任何实数时，多项式x²+y²﹣4x+2y+6的值总为正数．
（3）当m，n为何值时，多项式m²﹣2mn+2n²﹣4m﹣4n+25有最小值，并求出这个最小值．
