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专题 14.7 整式的乘法与因式分解（满分 100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2022春•丹徒区月考）下列运算正确的是（ ）
1 1
A．x2×x3＝x5 B．（− xy2）3=− x3y6
2 2
C．（x﹣y）6÷（x﹣y）6＝0 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
【思路点拨】
根据同底数幂的乘法的运算法则、积的乘方的运算法则、同底数幂的除法的运算法则、完全平方公式进行
解答即可．
【解题过程】
解：A、x2×x3＝x5，原计算正确，故本选项符合题意；
1 1
B、（− xy2）3=− x3y6，原计算错误，故本选项不符合题意；
2 8
C、（x﹣y）6÷（x﹣y）6＝1，原计算错误，故本选项不符合题意；
D、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．（2021秋•齐河县期末）下列变形属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6 B．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）
C．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6 D．x2﹣5x+6＝（x+2）（x+3）
【思路点拨】
依据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也
叫做分解因式判断即可．
【解题过程】
解：A、x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6，右边不是几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
B、x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）是因式分解，故此选项符合题意；C、（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6，从左边到右边的变形属于整式的乘法，故此选项不符合题意；
D、x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
3．（2021秋•仁怀市期末）如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后用剩余的部
分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）
A．a2+ab＝a（a+b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【思路点拨】
用代数式分别表示左图、右图的涂色部分的面积即可．
【解题过程】
解：左图，涂色部分的面积为a2﹣b2，拼成右图的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a
﹣b），
因此有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
4．（2021秋•绵阳期末）若x2+2（b﹣1）x+4是完全平方式，且a＝﹣3，则ab＝（ ）
1 1
A．﹣27 B．﹣27或27 C．27或− D．﹣27或−
3 3
【思路点拨】
根据完全平方公式计算，注意分情况讨论．
【解题过程】
解：∵x2±4x+4＝（x±2）2，
∴2（b﹣1）＝±4，
解得b ＝3或b ＝﹣1，
1 2
1
∴ab＝﹣27或− ，
3
故选：D．
5．（2022春•牡丹区月考）已知a＝344，b＝433，c＝522，则a、b、c的大小关系为（ ）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a
【思路点拨】
根据幂的乘方法则，a＝344＝（34）11＝8111，b＝433＝（43）11＝6411，c＝522＝（52）11＝2511，再比较底
数，即可得出答案．
【解题过程】
解：∵a＝344＝（34）11＝8111，
b＝433＝（43）11＝6411，
c＝522＝（52）11＝2511，
∵81＞64＞25，
∴8111＞6411＞2511，
∴a＞b＞c，
故选：B．
6．（2022•安徽模拟）已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则ab可表示为（ ）
1 1
A．c2− B．2c2﹣1 C．c2+ D．2c2+1
2 2
【思路点拨】
把第一个式子中的c移项到等号的右侧，等式两边同时平方，经过变形为2ab＝c2﹣a2﹣b2，再结合第二个
式子即可．
【解题过程】
解：∵a+b+c＝0，
∴﹣c＝a+b，
两边同时平方得：c2＝a2+b2+2ab，
移项得：2ab＝c2﹣（a2+b2），
又∵a2+b2+c2＝1，
∴a2+b2＝1﹣c2，
∴2ab＝2c2﹣1，
1
∴ab=c2− ，
2
故选：A．
7．（2021秋•仓山区校级期末）已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝7，则代数式（2021﹣a）（a﹣2020）
的值是（ ）A．2 B．1 C．﹣3 D．3
【思路点拨】
设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，可得x+y＝1，再由已知可得x2+y2＝7，先求出xy＝﹣3，再求（2021﹣a）
（a﹣2020）＝﹣3即可．
【解题过程】
解：设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，
∴x+y＝1，
∵（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝7，
∴x2+y2＝7，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，
∴2xy＝1﹣（x2+y2）＝1﹣7＝﹣6，
解得：xy＝﹣3，
∴（2021﹣a）（a﹣2020）＝﹣3．
故选：C．
8．（2022 春•电白区月考）式子（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21010+1）+1 化简的结果为
（ ）
A．21010 B．21010+1 C．22020 D．22020+1
【思路点拨】
利用添项法，构造平方差公式计算即可．
【解题过程】
解：设S＝（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21010+1）
∴（2﹣1）S＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21010+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21010+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（21010+1）
＝（21010﹣1）（21010+1）
＝22020﹣1，
∴（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21010+1）+1
＝S+1
＝22020﹣1+1
＝22020．
故选：C．9．（2021秋•龙泉市期末）把五张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个大长方
形（长为m，宽为n）内（如图②），大长方形未被卡片覆盖的部分用阴影表示．当m不变，n变长时，阴
影部分的面积差总保持不变，则a，b应满足的关系为（ ）
3
A．a＝5b B．a＝3b C．a＝2b D．a= b
2
【思路点拨】
先用字母a、b、m、n表示出阴影部分的面积差，再由阴影部分的面积差总保持不变，得出字母n的系数
为0，进而即可得出a，b应满足的关系．
【解题过程】
解：阴影部分的面积差为：
（m﹣3b）（n﹣2b）﹣（m﹣a）（n﹣a）
＝mn﹣2mb﹣3bn+6b2﹣（mn﹣ma﹣an+a2）
＝mn﹣2mb﹣3bn+6b2﹣mn+ma+an﹣a2
＝m（a﹣2b）+n（a﹣3b）+a2+6b2，
∵当m不变，n变长时，阴影部分的面积差总保持不变，
∴a﹣3b＝0，
∴a＝3b，
故选：B．
10．（2020•田家庵区校级自主招生）已知 a2（b+c）＝b2（a+c）＝2017，且a、b、c互不相等，对c2
（a+b）﹣2016＝（ ）
A．0 B．1 C．2016 D．2017
【思路点拨】
先对已知条件进行变形和因式分解，得到ab+ac+bc＝0，然后再将2016看成是2017﹣1，即看成a2（b+c）
﹣1代入即可求解．
【解题过程】解：∵a2（b+c）＝b2（a+c），
∴a2b+a2c﹣ab2﹣cb2＝0，
∴ab（a﹣b）+c（a+b）（a﹣b）＝0，
即：（a﹣b）（ab+ac+bc）＝0，
∵a，b，c互不相等，
∴ab+ac+bc＝0，
∴c2（a+b）﹣2016
＝c2（a+b）﹣[a2（b+c）﹣1]
＝ac2+bc2﹣a2b﹣a2c+1
＝ac（c﹣a）+b（a+c）（c﹣a）+1
＝（c﹣a）（ac+ab+bc）+1
＝（c﹣a）×0+1
＝0+1
＝1．
故选：B．
评卷人 得 分
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2021秋•原阳县期末）已知 a，b，c是△ABC的三边的长，且满足2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，则
△ABC的形状为 等边 三角形．
【思路点拨】
运用完全平方公式将等式化简，可求a＝b＝c，则△ABC是等边三角形．
【解题过程】
解：∵2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）＝0，
∴（a﹣b）2+（a﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0且a﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC的形状为等边三角形．
故答案为：等边．12．（2022•德城区校级开学）请看图（1）杨辉三角，并观察图（2）中等式，根据图（2）各式的规律，
则（a+b）6＝ a 6 + 6 a 5 b +1 5 a 4 b 2 +2 0 a 3 b 3 +1 5 a 2 b 4 + 6 a b 5 + b 6 ．
【思路点拨】
第五行系数规律依次是：1，5，10，10，5，1；第六行系数规律依次是：1，6，15，20，15，6，1，
（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，由此解答即可．
【解题过程】
解：根据题意，第五行系数规律依次是：1，5，10，10，5，1；
第六行系数规律依次是：1，6，15，20，15，6，1，
∴（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．
故答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．
13．（2021秋•昌江区校级期末）若a3+2a2+2a+1＝0，则a2021+a2022+a2023＝ ﹣ 1 或 0 ．
【思路点拨】
根据已知等式得到（a+1）（a2+a+1）＝0，再整体代入所求式子，求值即可．
【解题过程】
解：∵a3+2a2+2a+1＝0，
∴（a+1）（a2+a+1）＝0，
∴a+1＝0或a2+a+1＝0，
当a+1＝0时，a2021+a2022+a2023＝﹣1+1+（﹣1）＝﹣1；
当a2+a+1＝0时，
a2021+a2022+a2023＝a2021（1+a+a2）＝0．
故答案为：﹣1或0．
1
x3+ +7
1 x3 1
14．（2021秋•虹口区校级月考）若，x+ =3，则 = ．
x 1 2
x4+ +3
x4【思路点拨】
1 1 1
在x+ =3的基础上，两次利完全平方公式，可得到x4+ =47，同样在x+ =3的基础上，利用和的立方
x x4 x
1
的公式，可求出x3+ =18，然后都代入所求代数式计算即可．
x3
【解题过程】
1
解：∵x+ =3，
x
1
∴（x+ ）2＝9，
x
1
即x2+ =7，
x2
1
∴（x2+ ）2＝49，
x2
1
∴x4+ =47，
x4
1
（x+ ）3＝27，
x
1 1 1
∴x3+ +3（x2• + •x）＝27，
x3 x x2
1
即x3+ =18，
x3
1
x3+ +7
x3 18+7 1
∴ = = ．
1 47+3 2
x4+ +3
x4
1
故答案为： ．
2
15．（2021秋•潮安区期末）已知正整数a，b，c（其中a≠1）满足abc＝ab+50，则a+b+c的最小值是 1 0
，最大值是 5 3 ．
【思路点拨】
由已知abc＝ab+50可化为ab（c﹣1）＝50，因为a、b、c都是正整数，a只能取5的倍数且最大值只能取
50，即可得出b、c的值，计算即可得出答案．
【解题过程】
解：因为abc＝ab+50，所以abc﹣ab＝50，
即ab（c﹣1）＝50，
因为a、b、c都是正整数，
所以当a＝50时，b＝1，c＝2，a+b+c＝53，
当a＝25时，b＝1，c＝3，a+b+c＝28，
当a＝10时，b＝1，c＝6，a+b+c＝17，
当a＝5时，b＝2，c＝3，a+b+c＝10，
当a＝5时，b＝1，c＝11，a+b+c＝17，
所以则a+b+c的最小值是 10，最大值是53．
故答案为：10，53．
评卷人 得 分
三．解答题（本大题共8小题，满分55分）
16．（2021秋•昌江区校级期末）分解因式：
（1）3a（b2+9）2﹣108ab2；
（2）2b3﹣b2﹣6b+5a﹣10ab+3；
（3）x3﹣6x2+11x﹣6；
1 1 1
(24+ )(44+ )(64+
)
4 4 4
（4）计算： ．
1 1 1
(14+ )(34+ )(54+
)
4 4 4
【思路点拨】
（1）综合利用提公因式法和公式法进行因式分解即可；
（2）利用分组分解法进行因式分解可得；
（3）首先将11x拆项，进而利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案；
1
（4）先利用公式法将x4+ 分解因式，再代入计算即可．
4
【解题过程】
解：（1）原式＝3a[（b2+9）﹣36b2]
＝3a（b2+9+6b）（b2+9﹣6b）
＝3a（b+3）2（b﹣3）2；（2）原式＝（2b3﹣b2）+（﹣6b+3）+（﹣10ab+5a）
＝b2（2b﹣1）﹣3（2b﹣1）﹣5a（2b﹣1）
＝（2b﹣1）（b2﹣3﹣5a）；
（3）原式＝x3﹣6x2+9x+2x﹣6
＝x（x2﹣6x+9）+2（x﹣3）
＝x（x﹣3）2+2（x﹣3）
＝（x﹣3）[x（x﹣3）+2]
＝（x﹣3）（x2﹣3x+2）
＝（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）；
1
（4）∵x4+
4
1
=x4+x2+ −x2
4
1
=(x2+
)
2−x2
2
1 1
=(x2+x+ )(x2−x+ )，
2 2
1 1 1 1 1 1
(22+2+ )(22−2+ )(42+4+ )(42−4+ )(62+6+ )(62−6+
)
2 2 2 2 2 2
∴原式=
1 1 1 1 1 1
(12+1+ )(12−1+ )(32+3+ )(32−3+ )(52+5+ )(52−5+
)
2 2 2 2 2 2
13 5 41 25 85 61
× × × × ×
2 2 2 2 2 2
=
5 1 25 13 61 41
× × × × ×
2 2 2 2 2 2
85
2
=
1
2
＝85．
17．（2021秋•东坡区期末）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷（﹣
1
2x），其中x=− ，y＝1．
2
【思路点拨】
先根据完全平方公式，平方差公式和单项式乘多项式算括号里面的，再合并同类项，算除法，再代入求出答案即可．
【解题过程】
解：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷（﹣2x）
＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy）÷（﹣2x）
＝（﹣2x2﹣2xy）÷（﹣2x）
＝x+y，
1 1 1
当x=− ，y＝1时，原式=− +1= ．
2 2 2
18．（2020秋•温江区校级期末）已知 ax2+bx+1与2x2﹣3x+1的积不含 x3项和 x项，求关于 x的方程
a+2b 3a−b
x+ =0的解．
a b
【思路点拨】
由题意列出算式，利用多项式乘以多项式法则计算，合并后令三次项与一次项系数为 0，即可求出a与b
的值，然后代入方程解方程即可．
【解题过程】
根据题意列得：（ax2+bx+1）（2x2﹣3x+1）＝2ax4+（2b﹣3a）x3+（a+2﹣3b）x2+（b﹣3）x+1，
∵不含x3的项，也不含x的项，
∴2b﹣3a＝0，b﹣3＝0，
解得a＝2，b＝3，
a+2b 3a−b
将a＝2，b＝3代入 x+ =0，
a b
得4x+1＝0，
1
解得x=− ．
4
19．（2022春•驻马店月考）（1）填空：
（a﹣b）（a+b）＝ a 2 ﹣ b 2 ；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝ a 3 ﹣ b 3 ；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝ a 4 ﹣ b 4 ；
…
（a﹣b）（a2022+a2021b+…+ab2021+b2022）＝ a 202 3 ﹣ b 202 3 ．
（2）猜想：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝ a n ﹣ b n （其中n为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）中猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．
【思路点拨】
（1）利用多项式乘以多项式的运算法则计算前面简单的式子，观察规律可得结论；
（2）利用（1）中的规律直接得出结论即可；
1
（3）将式子乘以 [2﹣（﹣1）]，并将式子适当变形，利用（2）中猜想的结论运算即可．
3
【解题过程】
解：（1）∵（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4，
•••
∴（a﹣b）（a2022+a2021b+…+ab2021+b2022）＝a2023﹣b2023，
故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4，a2023﹣b2023；
（2）由（1）的运算结论猜想：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn（其中n为正整数，且n≥2）．
故答案为：an﹣bn；
（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2
1
= [2﹣（﹣1）]（29﹣28+27﹣…+23﹣22+2）
3
1
= [2﹣（﹣1）]（29+28×（﹣1）+27×（﹣1）2…+23×（﹣1）6+22×（﹣1）7+2×（﹣1）8+（﹣1）9+1）
3
1
= [2﹣（﹣1）][29+28×（﹣1）+27×（﹣1）2…+23×（﹣1）6+22×（﹣1）7+2×（﹣1）8+（﹣1）9]+1
3
1
= [210﹣（﹣1）10]+1
3
1
= ×（1024﹣1）+1
3
＝341+1
＝342．
20．（2021秋•西城区校级期末）给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式
ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式．
（1）关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为 （ 3 ， 2 ，﹣ 1 ） ；
（2）求有序实数对（1，4，4）的特征多项式与有序实数对（1，﹣4，4）的特征多项式的乘积；（3）若有序实数对（p，q，﹣1）的特征多项式与有序实数对（m，n，﹣2）的特征多项式的乘积的结果
为2x4+x3﹣10x2﹣x+2，直接写出（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值为 ﹣ 6 ．
【思路点拨】
（1）根据特征系数对的定义即可解答；
（2）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可；
（3）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再令x＝﹣2即可得出答案．
【解题过程】
解：（1）关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为 （3，2，﹣1），
故答案为：（3，2，﹣1）；
（2）∵有序实数对（1，4，4）的特征多项式为：x2+4x+4，
有序实数对（1，﹣4，4）的特征多项式为：x2﹣4x+4，
∴（x2+4x+4）（x2﹣4x+4）
＝x4﹣4x3+4x2+4x3﹣16x2+16x+4x2﹣16x+16
＝x4﹣8x2+16；
（3）根据题意得（px2+qx﹣1）（mx2+nx﹣2）＝2x4+x3﹣10x2﹣x+2，
令x＝﹣2，
则（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝2×16﹣8﹣10×4+2+2，
∴（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝32﹣8﹣40+2+2，
∴（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝﹣12，
∴（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）＝﹣6，
故答案为：﹣6．
21．（2021秋•长沙县期末）方法探究：
已知二次多项式x2﹣4x﹣21，我们把x＝﹣3代入多项式，发现x2﹣4x﹣21＝0，由此可以推断多项式中有
因式（x+3）．设另一个因式为（x+k），多项式可以表示成x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x+k），则有x2﹣4x﹣
21＝x2+（k+3）x+3k，因为对应项的系数是对应相等的，即k+3＝﹣4，解得k＝﹣7，因此多项式分解因式
得：x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．
问题解决：
（1）对于二次多项式x2﹣4，我们把x＝ ± 2 代入该式，会发现x2﹣4＝0成立；
（2）对于三次多项式x3﹣x2﹣3x+3，我们把x＝1代入多项式，发现x3﹣x2﹣3x+3＝0，由此可以推断多项
式中有因式（x﹣1），设另一个因式为（x2+ax+b），多项式可以表示成 x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）
（x2+ax+b），试求出题目中a，b的值；（3）对于多项式x3+4x2﹣3x﹣18，用“试根法”分解因式．
【思路点拨】
（1）将x＝±2代入即可；
（2）由题意得x3﹣x2﹣3x+3＝x3﹣（1﹣a）x2﹣（a﹣b）x﹣b，再由系数关系求a、b即可；
（3）多项式有因式（x﹣2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2﹣3x﹣18＝x3+（a﹣2）x2﹣（2a﹣
b）x﹣2b，再由系数关系求a、b即可．
【解题过程】
解：（1）当x＝±2时，x2﹣4＝0，
故答案为：±2；
（2）由题意可知x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）（x2+ax+b），
∴x3﹣x2﹣3x+3＝x3﹣（1﹣a）x2﹣（a﹣b）x﹣b，
∴1﹣a＝1，b＝﹣3，
∴a＝0，b＝﹣3；
（3）当x＝2时，x3+4x2﹣3x﹣18＝8+16﹣6﹣18＝0，
∴多项式有因式（x﹣2），
设另一个因式为（x2+ax+b），
∴x3+4x2﹣3x﹣18＝（x﹣2）（x2+ax+b），
∴x3+4x2﹣3x﹣18＝x3+（a﹣2）x2﹣（2a﹣b）x﹣2b，
∴a﹣2＝4，2b＝18，
∴a＝6，b＝9，
∴x3+4x2﹣3x﹣18＝（x﹣2）（x2+6x+9）＝（x﹣2）（x+3）2．
22．（2021春•丹阳市期末）如图，有长为m，宽为n的长方形卡片A（m＞n），边长为m的正方形卡片
B，边长为n的正方形卡片C，将卡片C按如图1放置于卡片A上，其未叠合部分（阴影）面积为S ，将卡
1
片A按如图2放置于卡片B上，其未叠合部分（阴影）面积为S ．
2（1）S ＝ m n ﹣ n ² ，S ＝ m ²﹣ m n ；（用含m、n的代数式表示）
1 2
（2）若S +S ＝18，则图3中阴影部分的面积S ＝ 1 8 ；
1 2 3
（3）若m﹣n＝6，mn＝10，求图4中阴影部分的面积S ．
4
【思路点拨】
（1）如图1，阴影面积S ＝卡面A面积﹣卡片C面积；
1
如图2，阴影面积S ＝卡片B面积﹣卡片A面积；
2
（2）如图3，阴影面积S ＝卡片B面积﹣卡片C面积＝m²﹣n²，而由已知S +S ＝18，可解出18＝S +S ＝
3 1 2 1 2
m²﹣n²，即可依此解答；
1
（3）由于已知若m﹣n＝6，mn＝10，有代数式m﹣n，mn，所以在运算S 过程中出现： （m²+n²+mn）
4
2
1
= [（m﹣n）²+3mn]，要转化成m﹣n，mn，才能用已知条件的数值代入．
2
【解题过程】
解：卡片A面积＝mn，卡片B面积＝m²，卡片C面积＝n²，
（1）S ＝A﹣C＝mn﹣n²，
1
S ＝B﹣A＝m²﹣mn，
2
故答案为：mn﹣n²，m²﹣mn，
（2）∵S ＝mn﹣n²，S ＝m²﹣mn，
1 2
∴S +S ＝（mn﹣n²）+（m²﹣mn），
1 2
S +S ＝m²﹣n²，
1 2∵S +S ＝18，
1 2
∴m²﹣n²＝18
∴S ＝B﹣C＝m²﹣n²＝18，
3
故答案为：18，
1 1
（3）S = BC•AC= m（m+n），
△ABC
2 2
1 1
S梯形ACDE = （n+m+n）n= n（2n+m），
2 2
1
S = n（m+n），
△BDE
2
图4中阴影部分的面积S
4
＝S四边形ABDE ﹣S
△BDE
＝（S
△ABC
+S梯形ACDE ）﹣S
△BDE
1 1 1
= m（m+n）+ n（2n+m）− n（m+n）
2 2 2
1 1 1
= m²+ n²+ mn
2 2 2
1
= （m²+n²+mn）
2
1
= [（m﹣n）²+3mn]
2
∵m﹣n＝6，mn＝10，
1
∴S = [（m﹣n）²+3mn]
4
2
1
= （6²+3×10）
2
＝33，
答：图4中阴影部分的面积S 是33．
423．（2021秋•乐昌市期末）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方
式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平
方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些与非负数有关的问题或求
代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式＝x²+2x﹣3
＝（x²+2x+1）﹣4
＝（x+1）²﹣2²
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）
例如．求代数式2x²+4x﹣1的最小值．
原式＝2x²+4x﹣1
＝2（x²+2x+1﹣1）﹣1
＝2（x+1）²﹣3．
可知当x＝﹣1时，2x²+4x﹣1有最小值，最小值是﹣3．
（1）分解因式：a²﹣2a﹣3＝ （ a ﹣ 3 ）（ a + 1 ） ．
（2）试说明：x、y取任何实数时，多项式x²+y²﹣4x+2y+6的值总为正数．
（3）当m，n为何值时，多项式m²﹣2mn+2n²﹣4m﹣4n+25有最小值，并求出这个最小值．
【思路点拨】
（1）把a²﹣2a﹣3化为a²﹣2a+1﹣4的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解；
（2）首先把x²+y²﹣4x+2y+6配方写成（x﹣2）2+（y+1）2+1，根据平方的非负性即可求解；
（3）用拆项的方法首先把多项式化为m2﹣2m（n+2）+（n+2）2+n2﹣8n+16+5的形式，进一步分解因式，
再根据平方的非负性求出多项式最小值．
【解题过程】
解：（1）a²﹣2a﹣3
＝a²﹣2a+1﹣4
＝（a﹣1）2﹣4
＝（a﹣1﹣2）（a﹣1+2）
＝（a﹣3）（a+1）；
（2）多项式x²+y²﹣4x+2y+6的值总为正数，理由：
x²+y²﹣4x+2y+6＝x²﹣4x+4+y²+2y+1+1
＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，
∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，
∴（x﹣2）2+（y+1）2+1≥1，
∴多项式x²+y²﹣4x+2y+6的值总为正数；
（3）m²﹣2mn+2n²﹣4m﹣4n+25
＝m2﹣2m（n+2）+（n+2）2+n2﹣8n+16+5
＝（m﹣n﹣2）2+（n﹣4）2+5，
当m﹣n﹣2＝0，n﹣4＝0时代数式有最小值，
解得m＝6，n＝4，最小值为5．
