文档内容
第 02 讲 矩形的性质和判定
【题型1 矩形的概念和性质】
【题型2矩形和垂直平分线的综合应用】
【题型3直角三角形斜边上的中线】
【题型4矩形的判定】
【题型5 矩形的性质与判定综合】
考点 1：矩形的性质
※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质
（2）对角线相等
（3）四个角都是直角。
注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）
【题型1 矩形的概念和性质】
【典例1】（2023秋•兴宁市期末）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对边平行 D．对角相等
【答案】A
【解答】解：矩形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分且相等，两组对角相等；
平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，两组对角相等；
故选项B、C、D不符合题意，A符合题意；
故选：A．
【变式1-1】（2023秋•禅城区期末）如图，矩形ABCD两条对角线相交于点O，若∠AOD
＝60°，BC＝1，则BD的长是 2 ．【答案】2．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵∠AOD＝60°，
∴∠BOC＝60°，
∵BC＝1，
∴OC＝OB＝BC＝1，
∴BD＝2OB＝2．
故答案为：2．
【变式1-2】（2023秋•辽中区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3．在边AD上取
一点E，使BE＝BC．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 ．
【答案】 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝3，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠FBC，
∵BE＝BC．AB＝2，
∴AE＝ ．
∵CF⊥BE，
∴∠BFC＝90°，
在△ABE和△FCB中，
，∴△ABE≌△FCB（AAS），
∴BF＝AE＝ ．
故答案为： ．
【变式1-3】（2023秋•清远期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不
与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求
PE+PF＝ ．
【答案】 ．
【解答】解：连接OP，如图所示：
∵矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4，
∴ S 矩 形 ABCD ＝ AB• BC ＝ 12 ， OA ＝ OC ， OB ＝ OD ， AC ＝ BD ， AC ＝
＝5，
∴S△AOD ＝ S矩形ABCD ＝3，OA＝OD＝ ，
∴S△AOD ＝S△AOP +S△DOP ＝ OA•PE+ OD•PF＝ OA（PE+PF）＝ ×（PE+PF）
＝3，
∴PE+PF＝ ，
故答案为： ．
【题型2矩形和垂直平分线的综合应用】
【典例2】（2023•呼和浩特）如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意，连接BM，记BD与MN交于点O．
∵线段MN垂直平分BD，
∴BO＝DO，BM＝DM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠MDO＝∠NBO．
又∠DOM＝∠BON，
∴△DMO≌△BNO（ASA）．
∴DM＝BN＝BM＝2．
在Rt△BAM中，
∴AB＝ ＝ ．
∴在Rt△BAD中可得，BD＝ ＝2 ．
故选：A．
【变式2-1】（2023春•海口期末）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，CE垂直
平分DO，AB＝4，则BE等于（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OD＝OC，
∵CE垂直平分相等OD，
∴CO＝CD，
∴OC＝OD＝CD，
∵△OCD，△AOB都是等边三角形，
∴OB＝AB＝OD＝4，OE＝DE＝ CD＝2，
∴BE＝OB+OE＝4+2＝6，
故选：C．
【变式2-2】（2023春•新昌县期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，对角线AC的
垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【解答】解：如图，设AC与EF的交点为O，
∵EF是对角线AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，AC⊥EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，∠AEO＝∠CFO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形，
∴AF＝FC，
∵AD＝2AB＝8，
∴AB＝4，
∵AB2+BF2＝AF2，
∴16+（8﹣CF）2＝CF2，
∴CF＝5，
∵∠B＝90°，AB＝4，AD＝BC＝8，
∴AC＝4 ，
∵S菱形AFCE ＝CF•AB＝ ×AC•EF，
∴5×4＝ ×4 •EF，
∴EF＝2 ，
故选：B．
【变式2-3】（2023春•环翠区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC
的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE＝（ ）
A．3 B．3.5 C．2.8 D．2.5
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠D＝90°，
∵OE是AC的垂直平分线，∴CE＝AE，
设CE＝AE＝x，则DE＝4﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+DE2＝CE2，
即22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝ ，
∴CE＝ ；
故选：D．
考点2：直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
【题型3直角三角形斜边上的中线】
【典例1】（2023秋•榆阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边
上的中线，且AD＝4，则BC＝（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴BC＝2AD＝8．
故选：B．
【变式1-1】（2023秋•双桥区校级期末）如图，在Rt△ABC中、点D是AB的中点，连接
CD．若CD＝2，则AB的长是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中、点D是AB的中点，CD＝2，
∴AB＝2CD＝4，
故选：C．
【变式1-2】（2023秋•城固县期中）如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点，若∠B＝
25°，则∠ADC的度数为（ ）
A．50° B．48° C．55° D．25°
【答案】A
【解答】解：∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴AD＝BD＝CD，
∵∠B＝25°，
∴∠B＝∠BCD＝25°，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝25°+25°＝50°．
故选：A．
【变式1-3】（2023秋•建湖县期中）如图，△ABC中∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE
的两个端点D、E分别在边AC、BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是AB、DE的
中点，则MN的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
【答案】A
【解答】解：如图，连接CM、CN，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ ＝10，
∵DE＝6，点M、N分别是DE、AB的中点，
∴CN＝ DE＝3，CM＝ AB＝5，
当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为：5﹣3＝2．
故选：A．
考点3：矩形的判定
※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
（3）四个角都相等的四边形是矩形。
【题型4矩形的判定】
【典例4】（2023秋•兰州期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DF⊥BC于点
F，点E在边AD上，AE＝CF，连接BE．求证：四边形BFDE是矩形．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵ED＝AD﹣AE，BF＝BC﹣CF，AE＝CF，
∴ED＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
又∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°，
∴平行四边形BFDE是矩形．
【变式4-1】（2023秋•清远期末）木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木
板是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ）
A．测量两组对边是否相等
B．测量一组邻边是否相等
C．测量对角线是否相等
D．测量对角线是否互相垂直
【答案】C
【解答】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量对角线是否相等；
故选：C．
【变式4-2】（2023秋•白银期末）如图，建筑公司验收门框时要求是矩形．在 ABCD中，
对角线AC，BD相交于点O，下列验算方法错误的是（ ） ▱
A．AD⊥DC B．OA＝OB C．AC＝BD D．OA＝OC
【答案】D
【解答】解：A、∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴ ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、▱∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、▱∵AC＝BD，∴ ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、▱∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，不能判定 ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D． ▱
【变式4-3】（2023秋•凤城市期末）如图，四边形 ABCD的对角线AC与BD相交于点
O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB∥DC，AB＝CD B．AB∥CD，AD∥BC
C．AC＝BD，AC⊥BD D．OA＝OB＝OC＝OD
【答案】D
【解答】解：A、AB∥DC，AB＝CD，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边
形ABCD是矩形．故错误；
B、AB∥CD，AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩
形．故错误；
C、AC＝BD，AC⊥BD，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
D、OA＝OB＝OC＝OD可以判断四边形ABCD是矩形．正确；
故选：D．
【变式4-4】（2023秋•子洲县期末）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作
CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．求证：四边形OCED是矩形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵CE∥OD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，∴四边形OCED是矩形．
【题型5 矩形的性质与判定综合】
【典例5】（2023秋•振兴区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相
交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E，BD＝BE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠ABD＝60°，AC＝4，求矩形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；
（2） ．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
又∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC＝BE，
又∵BD＝BE，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∵∠ABD＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝BO＝2，
∴ ，
∴ ．
【变式5-1】（2022秋•焦作期末）如图，在 ABCD中，连接BD，E为边AD的中点，连
▱接BE并延长交CD的延长线于点F，连接BD，AF，已知∠BDF＝90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积．
【答案】（1）见解析；（2）18．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DFE，
∵AE＝DE，∠AEB＝∠DEF，
∴△AEB≌△DEF（AAS），
∴AB＝DF，
∵AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵∠BDF＝90°，
∴平行四边形ABDF是矩形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDF是矩形，
∴CD＝AB＝DF＝3，BF＝AD＝5，
∴CF＝CD+DF＝6，AB∥CF，
∵∠BDF＝90°，
∴BD＝ ＝ ＝4，BD⊥CF，
∴S梯形ABCF ＝ （AB+CF）•BD＝ ×（3+6）×4＝18，
即四边形ABCF的面积为18．
【变式5-2】（2023•大庆）如图，在平行四边形 ABCD中，E为线段CD的中点，连接
AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．
（1）求证：四边形ACFD是矩形；
（2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．【答案】（1）证明过程见解答；
（2）45．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE，
∵E为线段CD的中点，
∴DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AE＝FE，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∵∠ACF＝90°，
∴四边形ACFD是矩形；
（2）解：∵四边形ACFD是矩形，
∴∠CFD＝90°，AC＝DF，
∵CD＝13，CF＝5，
∴DF＝ ＝ ＝12，
∵△ADE≌△FCE，
∵△CEF的面积＝ △ACF的面积＝ 5×12＝15，
平行四边形ABCD的面积＝BC•AC＝5×12＝60，
∴四边形ABCE的面积＝平行四边形ABCD的面积﹣△CEF的面积＝60﹣15＝45．【变式5-3】（2023春•中山市期中）如图，在 ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE
＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接▱DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，
∵CE＝BC，
∴AD＝CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AB＝DC，AE＝AB，
∴AE＝DC，
∴四边形ACED是矩形；
（2）∵四边形ACED是矩形，
∴OA＝ AE，OC＝ CD，AE＝CD，
∴OA＝OC，
∵∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OC＝AC＝4，
∴CD＝8．
一．选择题（共12小题）
1．（2022秋•禅城区期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点．若∠AOB＝
60°，AC＝8，则AB的长为（ ）A．4 B． C．3 D．5
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝ AC，OB＝ BD＝4，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB＝4；
故选：A．
2．（2023秋•乌当区月考）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的
直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，AD＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO；
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴S△AOE ＝S△COF ，
∴S阴影 ＝S△AOE +S△BOF +S△COD ＝S△AOE +S△BOF +S△COD ＝S△BCD ；∵AB＝CD＝2，AB＝CD＝3，
∴S△BCD ＝ BC•CD＝3，故S阴影 ＝3．
故选：B．
3．（2023秋•新郑市校级月考）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC
＝3：2，则∠BDE的度数为（ ）
A．36° B．27° C．18° D．9°
【答案】C
【解答】解：∵矩形ABCD中，
∴∠ADC＝90°，OA＝OB＝OC＝OD，
∵∠ADE：∠EDC＝3：2，
∴∠ADE＝90°× ＝54°，
∵DE⊥AC于E，
∴∠DAE＝90°﹣54°＝36°，
∵OA＝OD，
∴∠BDA＝∠OAD＝36°，
∴∠BDE＝∠ADE﹣∠ADO＝54°﹣36°＝18°．
故选：C．
4．（2023春•澧县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB
＝12，则CD的长是（ ）
A．12 B．6 C．4 D．3
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝12，则CD＝ AB＝ ×12＝6，
故选：B．
5．（2023春•高邮市期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，
若添加一个条件，使四边BEFD为矩形，则下列添加的条件可以是（ ）
A．AB＝AC B．AB＝BC C．∠B＝90° D．∠C＝90°
【答案】C
【解答】解：添加的条件可以是∠B＝90°，理由如下：
∵D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，
∴DF、EF都是△ABC的中位线，
∴DF∥BC，EF∥AB，
∴四边形BEFD是平行四边形，
又∵∠B＝90°，
∴平行四边形BEFD为矩形，
故选：C．
6．（2023春•七星区校级期中）下列条件中，不能判定四边形为矩形的是（ ）
A．对角线相等且互相平分的四边形
B．有一组邻角相等的平行四边形
C．对角线相等且垂直的四边形
D．有一组对角互补的平行四边形
【答案】C
【解答】解：A、对角线相等且互相平分的四边形为矩形，故此选项不符合题意；
B、有一组邻角相等的平行四边形，可证明有一个角为直角，能判定四边形为矩形，故
此选项不符合题意；
C、对角线相等且垂直的四边形不能判定四边形为矩形，故此选项符合题意；
D、有一组对角互补的平行四边形，可证明有一个角为直角，能判定四边形为矩形，故此选项不符合题意；
故选：C．
7．（2023•衡水二模）依据所标数据，下列一定为矩形的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③
【答案】C
【解答】解：图①中有一组对边相等与一个直角，对边可能不平行，故不一定是矩形，
故①错误；
图②中，连接BD，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
∴∠CDB＝∠ABD，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故②正确；
图③中，
∵∠A+∠D＝90°+90°＝180°，∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故③正确．
故选：C．
8．（2023春•康巴什期末）为了研究特殊的四边形，老师制作了一个教具（如图 1）：用
钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用
一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），
观察这个变化过程和所得到的四边形，下列说法正确的是（ ）
①四边形ABCD由平行四边形变为矩形；②B、D两点之间的距离不变；③四边形
ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变．
A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④
【答案】B
【解答】解：①由有一个角是直角的四边形是矩形可知此时四边形 ABCD由平行四边
形变为矩形，
故①正确；
②B、D两点之间的距离不断变化，
故②错误；
③由底BC不变，高不断变化可知，四边形ABCD的面积不断变化，
故③错误；
④由四边形的长度不变可知四边形ABCD的周长不变，
故④正确．
所以正确的说法有①④．
故选：B．
9．（2023春•贵州期末）如图，已知在矩形 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，
AE⊥BD于点E．若∠DAE：∠BAE＝3：1，则∠EAC的度数是（ ）A．18° B．36° C．45° D．72°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD 矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝ AC，OB＝ BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO，
∵∠DAE：∠BAE＝3：1，
∴∠BAE＝ ×90°＝22.5°
∵AE⊥BO，
∴∠ABO+∠BAE＝90°，
∴∠BAO＝∠ABO＝90﹣22.5°＝67.5°，
∴∠EAO＝∠BAO﹣∠BAE＝67.5°﹣22.5°＝45°．
故选：C．
10．（2023春•寻乌县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、
F分别是AO、AD的中点，连接EF，若AB＝6，BC＝8，则EF的长是（ ）
A．5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ．
在Rt△BCD中， ．∴ ．
又∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴ ．
故选：C．
11．（2023•南开区一模）如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC长为（
）
A． B． C．5 D．4
【答案】A
【解答】解：如图，连接OB，
∵点B的坐标为（2，3），
∴OB＝ ＝ ，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AC＝OB＝ ，
故选：A．
12．（2023春•和县校级期末）如图，若正五边形ABCDE和矩形AFCG按如图方式叠放在
一起，则∠DCG的度数为（ ）A．8° B．18° C．24° D．28°
【答案】B
【解答】解：∵正五边形ABCDE内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠EAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝ ＝108°，
∵长方形AFCG中，∠AFC＝∠FCG＝∠CGA＝∠GAF＝90°，
∴∠DCG＝∠BCD﹣∠FCG＝108°﹣90°＝18°，
故选：B．
二．填空题（共4小题）
13．（2023秋•佛山期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝
2，则BD的长为 4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵ABCD是矩形
∴OC＝OA，BD＝AC
又∵OA＝2，
∴AC＝OA+OC＝2OA＝4
∴BD＝AC＝4
故答案为：4．
14．（2023秋•清远期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和
D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝
．【答案】 ．
【解答】解：连接OP，如图所示：
∵矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4，
∴ S 矩 形 ABCD ＝ AB• BC ＝ 12 ， OA ＝ OC ， OB ＝ OD ， AC ＝ BD ， AC ＝
＝5，
∴S△AOD ＝ S矩形ABCD ＝3，OA＝OD＝ ，
∴S△AOD ＝S△AOP +S△DOP ＝ OA•PE+ OD•PF＝ OA（PE+PF）＝ ×（PE+PF）
＝3，
∴PE+PF＝ ，
故答案为： ．
15．（2023秋•射洪市期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD上一点，把
△ADE沿直线AE翻折，D点恰好落在BC边上的F点处，则CE＝ 3 ．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝10，CD＝AB＝8．
∵△AEF是△ADE翻折得到的，
∴AF＝AD＝10，EF＝DE，
∴BF＝6，
∴FC＝4，
∵FC2+CE2＝EF2，
∴42+CE2＝（8﹣CE）2，
解得CE＝3．
故答案为3．
16．（2023秋•莲湖区期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边
OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不
变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是 3+ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图：取线段AB的中点E，连接OE，DE，OD，
∵AB＝6，点E是AB的中点，∠AOB＝90°，
∴AE＝BE＝3＝OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°，∴DE＝ ＝ ，
∵OD≤OE+DE，
∴当点D，点E，点O共线时，OD的长度最大．
∴点D到点O的最大距离＝OE+DE＝3+ ，
故答案为：3+ ．
三．解答题（共3小题）
17．（2023•平南县一模）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F
在CD边上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四边形BFDE的面积．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）20．
【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，
又∵DF＝EB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵DE⊥AB，
∵AF平分∠DAB，DC∥AB，
∴∠DAF＝∠FAB，∠DFA＝∠FAB，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝FD＝5，
∵AB＝CD，DF＝BE，
∴AE＝CF＝3，∴DE＝ ＝4，
∴矩形BFDE的面积是：DF•DE＝5×4＝20，
即矩形BFDE的面积是20．
18．（2022秋•楚雄州期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，
BD相交于点O，且OA＝OB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2） ．
【解答】（1）证明：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2OA，BD＝2OB．
∵OA＝OB，
∴AC＝BD．
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：由（1）可知，四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°．
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝2．
∴AC＝2OA＝4．
∴ ．
∴矩形ABCD的面积＝ ．
19．（2023秋•开封期中）如图：在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，AN是△ABC的外角
∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）连接DE，交AC于点F，直接写出DF与AB之间的关系为 DF ＝ AB ．
【答案】（1）证明见解析；
（2）DF＝ AB．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN，
∴∠CAD+∠CAN＝ ×180°＝90°，
即∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）解：DF＝ AB，理由如下：
由（1）知，四边形ADCE为矩形，
∴AC＝DE，DF＝EF＝ DE，
又∵AB＝AC，
∴AB＝DE，
∴DF＝ AB．
