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专题 14.4 因式分解及其应用
◆ 思想方法
整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的
联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未
知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解
决。
配方法：配方，主要指的是配成平方公式，或二数和的平方，或二数差的平方，将配成的“平方”视
作为一个整体，然后再根据已知条件进行运算，从而使题目简化得以解答。
配方的方法：
①根据已知条件的表现形式，去发现平方项和一次项的乘积形式，如果平方项互为倒数，则往往一次
项以常数出现，隐藏了一次项的乘积不易发现，此时，就要抓住平方公式的特点去发现和挖掘；
②从要求的结果方面去配方，将要求的表达式向着已知条件的表现形式去配方，利用已知条件达到解
题的目的.由于配方扩大了已知条件和要求解的范围，可能会产生不符合要求的结果，就要根据已知条件和
所要求解的结果进行讨论，舍去不符合题意的答案.
◆ 知识点总
结
一、因式分解
定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把
这个多项式分解因式。
以下公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法
分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法
分解因式。（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
◆ 典例分析
【典例1】分解因式：
（1）3a(b2+9) 2−108ab2；
（2）2b3−b2−6b+5a−10ab+3；
( 24+ 1)( 44+ 1)( 64+ 1)
4 4 4
（3）计算： ；
( 14+ 1)( 34+ 1)( 54+ 1)
4 4 4
（4）4x2−14xy+6 y2−7x+ y−2．
【思路点拨】
（1）综合利用提公因式法和公式法进行因式分解即可得；
（2）利用分组分解法进行因式分解即可得；
1
(x+1) 4+
1 1 4
（3）先利用公式法分解x4+ 和(x+1) 4+ ，从而可得 的值，再代入计算即可得；
4 4 1
x4+
4
（4）先利用十字相乘法分解4x2−14xy+6 y2，再利用提公因式法进行因式分解即可得．
【解题过程】
解：（1）原式=3a[(b2+9) 2−36b2)
=3a(b2+9+6b)(b2+9−6b)
=3a(b+3) 2 (b−3) 2；
（2）原式=(2b3−b2)+(5a−10ab)−(6b−3)
=b2(2b−1)−5a(2b−1)−3(2b−1)
=(2b−1)(b2−5a−3)；（3）∵x4+ 1 = ( x2+ 1) 2 −x2= ( x2+x+ 1)( x2−x+ 1) ，
4 2 2 2
2
(x+1) 4+
1
=
[
(x+1) 2+
1)
−(x+1) 2
4 2
=
[
(x+1) 2+(x+1)+
1)[
(x+1) 2−(x+1)+
1)
2 2
= ( x2+3x+ 5)( x2+x+ 1) ，
2 2
(x+1) 4+ 1 ( x2+3x+ 5)( x2+x+ 1) x2+3x+ 5
4 2 2 2
∴ = = ，
x4+ 1 ( x2+x+ 1)( x2−x+ 1) x2−x+ 1
4 2 2 2
( 24+ 1)( 44+ 1)( 64+ 1)
4 4 4
∴
( 14+ 1)( 34+ 1)( 54+ 1)
4 4 4
5 5 5
12+3×1+ 32+3×3+ 52+3×5+
2 2 2
= × ×
1 1 1
12−1+ 32−3+ 52−5+
2 2 2
13 41 85
2 2 2
= × ×
1 13 41
2 2 2
=85；
（4）原式=(x−3 y)(4x−2y)−7x+ y−2
=(x−3 y)(4x−2y)+(x−3 y)−8x+4 y−2
=(x−3 y)(4x−2y+1)−2(4x−2y+1)
=(4x−2y+1)(x−3 y−2)．
◆ 学霸必刷
1．（2024七年级·全国·竞赛）若a、b是正整数，且756a=b3，则a的最小值是 ．
【思路点拨】本题主要考查了因式分解、有理数乘方等知识点，掌握因式分解的应用是解题的关键．
先将756因式分解，然后表示出a的最小值即可解答．
【解题过程】
解：∵756=33×22×7，756a=b3，
b3 b3
∴a= = ，
756 33×22×7
∴a =2×72=98．
min
故答案为98．
2．（2024八年级·全国·竞赛）若x=1，则
1+x+x(1+x)+x(1+x) 2+x(1+x) 3+⋅⋅⋅+x(1+x) 2013+x(1+x) 2014= ．
【思路点拨】
本题考查了提取公因式法，整式化简求值，熟练掌握提取公因式法是解答本题的关键．将所求代数式反复
提取公因式(x+1)，得到(1+x) 2015，再将x=1代入即得答案．
【解题过程】
解：当x=1时，
原式=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x) 2+x(1+x) 3+⋅⋅⋅+x(1+x) 2012+x(1+x) 2013 ]
=(1+x) 2 [1+x+x(1+x)+x(1+x) 2+x(1+x) 3+⋅⋅⋅+x(1+x) 2011+x(1+x) 2012 ]
=⋯
=(1+x) 2015
=22015．
故答案为：22015．
3．（23-24八年级上·四川内江·期中）设a、b、c、d为正整数，且a7=b6,c3=d2,c−a=17，则d−b
等于 ．
【思路点拨】
将a7=b6，c3=d2转化为关于同一底数幂的形式，再代入c−a=17中试解即可．
【解题过程】解：因为a7=b6，所以a只能是m6，b只能是m7．（m为整数）
同理c=n2，d=n3（n为整数）．
由c−a=17，得
n2−m6=17，
(n+m3 )(n−m3 )=17，
故n+m3=17，n−m3=1，
所以n=9，m=2．
因此a=64，b=128，c=81．d=729，
d−b=601．
故答案为：601．
4．（22-23八年级上·福建泉州·期中）已知：a，b，c都是正整数，且a+b+c=342，a−bc=331．abc的
最大值为M，最小值为N，则M+N= ．
【思路点拨】
由已知条件整理出b+c+bc=11，再利用因式分解法转化为求(b+1)(c+1)=12的正整数解，据此得到
{b=1) {b=2) {b=3) {b=5)
或 或 或 ，据此解得a的值，最后代入计算即可．
c=5 c=3 c=2 c=1
【解题过程】
解：∵a+b+c=342，
∴a=342−b−c，
∵a−bc=331，
∴342−b−c−bc=331，
∴b+c+bc=11，
∴b+c+bc+1=12，
∴(b+1)(c+1)=12，
∵a，b，c都是正整数，
{b=1) {b=2) {b=3) {b=5)
∴ 或 或 或 ，
c=5 c=3 c=2 c=1
∴a=336，b=1,c=5或a=336，b=5,c=1或a=337，b=2,c=3或a=337，b=3,c=2，
∴abc=1680或abc=2022，
即abc的最大值为2022，最小值为1680，即M=2022，m=1680，
∴M+N=2022+1680=3702，故答案为：3702．
5．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知a2(b+c)=b2(a+c)=2023，且a、b、c互不相等，则
c2(a+b)−2024= ．
【思路点拨】
通过已知条件，找到a、b、c的关系：ab+ac=−bc，ac+bc=−ab，abc=−2023，即可获得答案．
【解题过程】
解：∵a2(b+c)=b2(a+c)，
∴a2b+a2c−ab2−b2c=0，
∴ab(a−b)+c(a+b)(a−b)=0，
∴(a−b)(ab+ac+bc)=0，
∵a≠b，
∴a−b≠0，
∴ab+ac+bc=0，即ab+ac=−bc，ac+bc=−ab，
∵a2(b+c)=a(ab+ac)=2023，
∴a(−bc)=2023，
∴−abc=2023，
∴abc=−2023，
∴c2(a+b)−2024=c(ac+bc)−2024=c(−ab)−2024=−abc−2024=−1
故答案为：−1．
6．（22-23七年级下·全国·单元测试）若2x2+7xy−15y2+ax+by+3可以分解成两个一次整系数多项式
的乘积，其中a、b为整数，那么a+b的最小值是 ．
【思路点拨】
先分解因式得到2x2+7xy−15 y2=(2x−3 y)(x+5 y)，则可设2x2+7xy−15 y2+ax+by+3分解因式的
结果为(2x−3 y+m)(x+5 y+n)，再根据多项式乘以多项式的乘法展开，得到2n+m=a，5m−3n=b，
mn=3，再根据m、n都是整数进行讨论求解即可．
【解题过程】
解：∵2x2+7xy−15 y2=(2x−3 y)(x+5 y)，
∴可设2x2+7xy−15 y2+ax+by+3=(2x−3 y+m)(x+5 y+n)，
∵(2x−3 y+m)(x+5 y+n)
=2x2+10xy+2nx−3xy−15 y2−3ny+mx+5my+mn
＝2x3+7xy−15 y2+(2n+m)x+(5m−3n)y+mn，∴2n+m=a，5m−3n=b，mn=3，
又∵m、n都是整数，
{m=1) {m=3) {m=−1) {m=−3)
∴ 或 或 或 ，
n=3 n=1 n=−3 n=−1
{ a=7 ) {a=5 ) {a=−5 ) {a=−7)
∴ 或 或 或
b=−4 b=12 b=−12 b=4
{a=−5
)
∴当 时，a+b的最小值为−17，
b=−12
故答案为：−17．
7．（2023·重庆巴南·一模）一个三位数，若满足百位数字与个位数字之和为10，则称它为“合十数”．
例如，对于258，因为2+8=10，所以258是“合十数”． 在“合十数”n中，十位数字的2倍与个位数
字之和再减去百位数字的差记为F(n)，百位数字与十位数字之和再减去个位数字的差记为G(n)，若“合
十数”n满足F2(n)−G2(n)=144，则满足条件的“合十数”n的值为 ．
【思路点拨】
根据“合十数”定义，我们可以设一个“合十数”n 的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c , 则有
a+c=10, 然后根据题意得到 F(n)=2b+c−a, G(n)=a+b−c，然后通过F²(n)−G²(n)=144,进行
因式分解，然后讨论可得对应的值，就可求出n的值.
【解题过程】
解：设一个“合十数”n的百位数字是a，十位数字是b, 个位数字是c, 则有a+c=10,
则F(n)=2b+c−a,G(n)=a+b−c,
∵F²(n)−G²(n)=144,
∴(2b+c−a)²−(a+b−c)²=144,
(2b+c−a+a+b−c)(2b+c−a−a−b+c)=144,
3b(b+2c−2a)=144,
b[b+2c−2(10−c)]=48,
b(b+4c−20)=48,
∵a、b、c都是一位正整数,
∴b+4c−20也是正整数,
当b=2时, c=10.5(不符合条件, 舍去),
当b=3时, c=8.25(不符合条件, 舍去),
当b=4时, c=7,
当b=6时, c=5.5(不符合条件, 舍去),当b=8时,c=4.5(不符合条件, 舍去),
故b=4,c=7, 符合题意, 则
a=10−7=3,
故答案为: 347.
8．（23-24八年级上·全国·课时练习）利用因式分解计算：
（1）76×20.22+43×20.22−19×20.22；
（2）3.14×8.752−3.14×7.752；
（3）50×9.52−100×9.5×7.5+50×7.52；
( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )
（4） 1− 1− 1− ⋅⋅⋅ 1− ．
22 32 42 20222
【思路点拨】
（1）提公因式后再进行计算即可；
（2）提公因式后，再用平方差公式计算即可；
（3）提公因式后，再用完全平方公式进行计算即可；
（4）先利用平方差公式法进行因式分解，再进行计算．
【解题过程】
（1）解：76×20.22+43×20.22−19×20.22
=20.22×(76+43−19)
=20.22×100
=2022；
（2）3.14×8.752−3.14×7.752
=3.14×(8.752−7.752)
=3.14×(8.75+7.75)×(8.75−7.75)
=3.14×16.5×1
=51.81；
（3）50×9.52−100×9.5×7.5+50×7.52
=50×(9.52−2×9.5×7.5+7.52)
=50×(9.5−7.5) 2
=50×4=200；
( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )
（4） 1− 1− 1− ⋅⋅⋅ 1−
22 32 42 20222
( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)( 1) ( 1 )( 1 )
= 1− 1+ 1− 1+ 1− 1+ ⋅⋅⋅ 1− 1+
2 2 3 3 4 4 2022 2022
1 3 2 4 3 5 2021 2023
= × × × × × ×⋅⋅⋅× ×
2 2 3 3 4 4 2022 2022
1 2023
= ×
2 2022
2023
= ．
4044
9．（22-23八年级上·福建泉州·期中）因式分解
（1）ax2−4a
（2）4x3y+4x2y2+x y3
（3）x2−9 y2−18x+81
（4）x2−2xy−35 y2−2x+14 y
【思路点拨】
（1）先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式xy，再利用完全平方公式分解因式即可；
（3）把原式分组得到(x2−18x+81)−9 y2，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式；
（4）把原式分组得到(x2−49 y2)+(14 y2+14 y)−(2xy+2x)，再利用平方差公式和提公因式法分解因式
即可．
【解题过程】
（1）解：ax2−4a
=a(x2−4)
=a(x+2)(x−2)；
（2）解：4x3y+4x2y2+x y3
=xy(4x2+4xy+ y2)=xy(2x+ y) 2；
（3）解：x2−9 y2−18x+81
=(x2−18x+81)−9 y2
=(x−9) 2−9 y2
=(x−3+3 y)(x−3−3 y)；
（4）解：x2−2xy−35 y2−2x+14 y
=(x2−49 y2)+(14 y2+14 y)−(2xy+2x)
=(x−7 y)(x+7 y)+14 y(y+1)−2x(y+1)
=(x−7 y)(x+7 y)+(14 y−2x)(y+1)
=(x−7 y)(x+7 y)−2(x−7 y)(y+1)
=(x−7 y)(x+7 y−2y−2)
=(x−7 y)(x+5 y−2)．
10．（22-23八年级·重庆·阶段练习）因式分解：
（1）−2x3+16x2−24x；
（2）(a2+b2−c2
)
2−4a2b2；
（3）(x2−x−3)(x2−x−5)−3；
（4）(x+ y) 3−x3−y3；
（5）x3−9x+8．
【思路点拨】
（1）先提公因式，再运用十字相乘法进行因式分解．
（2）运用公式法进行因式分解．
（3）先化简，再运用十字相乘法进行因式分解．
（4）先化简，再运用提公因式法进行因式分解．
（5）先分组，再提公因式进行因式分解．
【解题过程】
（1）解：（1）−2x3+16x2−24x＝−2x(x2−8x+12)
＝−2x(x−2)(x−6)．
（2）(a2+b2−c2
)
2−4a2b2
＝(a2+b2−c2+2ab)(a2+b2−c2−2ab)
＝[(a+b) 2−c2)[(a−b) 2−c2)
＝(a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(a−b−c)．
（3）(x2−x−3)(x2−x−5)−3
＝(x2−x) 2 −8(x2−x)+15−3
＝(x2−x) 2 −8(x2−x)+12
＝(x2−x−2)(x2−x−6)
＝(x+1)(x−2)(x+2)(x−3)
（4）(x+ y) 3−x3−y3
＝(x+ y) 2 (x+ y)−x3−y3
＝(x2+ y2+2xy)(x+ y)−x3−y3
＝x3+x2y+x y2+ y3+2x2y+2x y2−x3−y3
＝3x2y+3x y2
＝3xy(x+ y)．
（5）x3−9x+8
＝x3−x−8x+8
＝x(x2−1)−8（x−1）
＝x(x+1)(x−1)−8(x−1)
＝(x−1)(x2+x−8)．11．（22-23七年级下·全国·单元测试）分解因式：(x+ y−2xy)(x+ y−2)+(xy−1)(xy−1)
【思路点拨】
先去括号，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解题过程】
解：(x+ y−2xy)(x+ y−2)+(xy−1)(xy−1)
=(x+ y) 2−2(xy+1)(x+ y)+4xy+x2y2−2xy+1，
=(x+ y) 2−2(xy+1)(x+ y)+x2y2+2xy+1，
=(x+ y) 2−2(xy+1)(x+ y)+(xy+1) 2，
2
=[(x+ y)−(xy+1)) ，
=(x+ y−xy−1) 2，
2
=[x(1−y)−(1−y)) ，
=(x−1) 2 (y−1) 2．
12．（23-24九年级上·湖北·周测）因式分解：
（1）(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+x(x+5)
（2）a4+2a3+3a2+2a+1
【思路点拨】
本题考查了因式分解，
（1）本题先利用多项式乘以多项式计算得到两组多项式，再利用十字相乘法进行因式分解；
（2）本题先分组依次提公因式，再利用公式法进行因式分解．
【解题过程】
（1）解：(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+x(x+5)
=[(x+2)(x+3))[(x+1)(x+4))+x(x+5)
=(x2+5x+6)(x2+5x+4)+(x2+5x)
=(x2+5x) 2 +10(x2+5x)+24+(x2+5x)=(x2+5x) 2 +11(x2+5x)+24
=(x2+5x+3)(x2+5x+8)；
（2）解：a4+2a3+3a2+2a+1
=(a4+a3)+(a3+a2)+(2a2+2a)+1
=a3(a+1)+a2(a+1)+2a(a+1)+1
=[a3(a+1)+a2(a+1))+2a(a+1)+1
2
=[a(a+1)) +2a(a+1)+1
2
=[a(a+1)+1)
=(a2+a+1) 2 ．
13．（22-23九年级上·广东·阶段练习）因式分解：
（1）2(x2+6x+1) 2 +5(x2+1)(x2+6x+1)+2(x2+1) 2
（2）x2(y−z) 3+ y2(z−x) 3+z2(x−y) 3
【思路点拨】
（1）先将x2+6x+1和x2+1分别看作一个整体，利用十字相乘法因式分解，再利用提公因式法因式分解，
最后利用公式法中的完全平方公式因式分解；
（2）原式是关于x、y、z的轮换式，若将原式视为关于x的多项式，则当x=y时，原式=0，故原式含有因
子x−y，又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子y−z，z−x，又因为原式为x，y，z
的五次式，因此可以设x2(y−z) 3+ y2(z−x) 3+z2(x−y) 3
=(x−y)(y−z)(z−x) [A(x2+ y2+z2)+B(xy+ yz+zx))，利用待定系数法即可求解．
【解题过程】
（1）解：2(x2+6x+1) 2 +5(x2+1)(x2+6x+1)+2(x2+1) 2=(2x2+12x+2+x2+1)(x2+6x+1+2x2+2)
=9(x2+4x+1)(x2+2x+1)
=9(x2+4x+1)(x+1) 2
（2）解：当x= y时，原式等于0，故原式含有因子x−y，
又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子y−z，z−x，
又因为原式为x，y，z的五次式，故可设x2(y−z) 3+ y2(z−x) 3+z2(x−y) 3
=(x−y)(y−z)(z−x) [A(x2+ y2+z2)+B(xy+ yz+zx))
令x=−1，y=0，z=1得2A−B=−1，
令x=0，y=1，z=2得5A+2B=2，
解得A=0，B=1，
所以x2(y−z) 3+ y2(z−x) 3+z2(x−y) 3=(x−y)(y−z)(z−x)(xy+ yz+zx)．
14．（23-24七年级上·广东广州·期中）求解下列问题：
（1）试确定a和b，使x4+ax2−bx+2能被x2+3x+2整除．
（2）已知关于x、y的二次式x2+7xy+a y2−5x−45 y−24可分解为两个一次因式的乘积，求a．
（3）已知x+ y=1,x2+ y2=2，求x7+ y7的值．
【思路点拨】
（1）由整除知可设商式为x2+mx+n，与x2+3x+2 相乘得出一个多项式，与原多项式形成恒等式即可得
解；
（2）可设两个一次式分别为x+my−8和x+ny+3，利用多项式的乘法展开形成一个多项式，与原多项式
形成恒等式即可得解；
（3）由x+ y=1,x2+ y2=2得出xy和x3+ y3的值，再由(x4+ y4)(x3+ y3)=x7+ y7+x3y3(x+ y)得出x7+ y7
的表达式，从而求出它的值．
【解题过程】
（1）∵x4+ax2−bx+2能被x2+3x+2，
∴可设商式为 x2+mx+n，∴x4+ax2−bx+2=(x2+3x+2)(x2+mx+n)，
∴x4+ax2−bx+2=x4+(m+3)x3+(n+3m+2)x2+(3n+2m)x+2n，
{m+3=0)
∴ ，
2n=2
{m=−3)
∴ ，
n=1
∴a=n+3m+2=1+3×(−3)+2=−6，b=−(3n+2m)=−[3×1+2×(−3))=3
∴a=−6，b=3时，x4+ax2−bx+2能被 x2+3x+2整除；
（2）∵关于x,y的二次式x2+7xy+a y2−5x−45 y−24可分解为两个一次因式的乘积，
又∵x2−5x−24=(x−8)(x+3)
∴可设两个一次式分别为x+my−8和x+ny+3，
∴x2+7xy+a y2−5x−45 y−24=(x+my−8)(x+ny+3)，
∴x2+7xy+a y2−5x−45 y−24=x2+(m+n)xy+mny2−5x+(3m−8n)y−24，
{ m+n=7 )
∴
3m−8n=−45
{m=1)
∴ ，
n=6
∴a=mn=6
∴a的值为6；
（3）∵x+ y=1,x2+ y2=2，
1
∴xy=− ，
2
∴x3+ y3=(x+ y)(x2+ y2−xy)=1× ( 2+ 1) = 5 ，
2 2
∵(x4+ y4)(x3+ y3)=x7+ y7+x3y3(x+ y)，
∴x7+ y7=(x4+ y4)(x3+ y3)−x3y3(x+ y)
=[(x2+ y2) 2 −2x2y2)(x3+ y3)−x3 y3(x+ y)
= [ 22−2× ( − 1) 2 ) × 5 − ( − 1) 3 ×1
2 2 271
= ，
8
71
∴x7+ y7的值为 ．
8
15．（23-24八年级上·福建泉州·期末）【实践探究】
小青同学在学习“因式分解”时，用如图1所示编号为①②③④的四种长方体各若干块，进行实践探究：
（1）现取其中两个拼成如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式：
；
（2）【问题解决】
若要用这四种长方体拼成一个棱长为x+2y的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个?试通
过计算说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图3，在一个棱长为y的正方体中挖出一个棱长为x的正方体，请根据体积的不同表示方法，直接写出
y3−x3因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知a与2n分别是两个大小不同正方体的棱长，且
a3−8n3=(a−2n)(4−4an)，当a−2n为整数时，求an的值．
【思路点拨】
（1）根据图2立方体的体积求法即可；
（2）根据题中的给定的长方体组合把(x+2y) 3计算即可；
（3）先把y3−x3因式分解，然后据此分解
a3−8n3=a3−(2n) 3=(a−2n)[a2+2an+(2n) 2)=(a−2n)(a2+2an+4n2)=(a−2n)(4−4an)即可；
此题考查了因式分解的应用，解题的关键是利用几何体的体积进行因式分解及数形结合思想的应用．
【解题过程】
（1）根据题意可知：(x+ y)·y·y=x y2+ y3，
故答案为：(x+ y)·y·y=x y2+ y3；
（2）②号长方体需要6个，③号长方体需要12个，(x+2y) 3=x3+3x2·2y+3x·(2y) 2+(2y) 3=x3+6x2y+12x y2+8 y3；
（3）由题意得：y3−x3=(y−x)(y2+xy+x2)，
由上可知：a3−8n3=a3−(2n) 3=(a−2n)[a2+2an+(2n) 2)=(a−2n)(a2+2an+4n2)=(a−2n)(4−4an)，
∴(a−2n)(a2+2an+4n2−4+4an)=0，整理得：(a−2n)(a2+6an+4n2−4)=0，
∵且a与2n两个大小不同正方体的棱长，
∴a−2n≠0，
∴a2+6an+4n2−4=0，则(a−2n) 2=4−10an，
∵a−2n为整数，则4−10an为平方数，
∴4−10an=1，
∴an=0.3．
16．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
①(x+2)(x+3)=x2+5x+6；
②(x−4)(x+1)=x2−3x−4；
③(y−5)(y−3)= y2−8 y+15．
通过以上计算发现，形如(x+p)(x+q)的两个多项式相乘，其结果一定为x2+(p+q)x+pq(p,q为整数)
因为因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，所以一定有x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)，即可将形如
x2+(p+q)x+pq的多项式因式分解成(x+p)(x+q)(p,q为整数)．
例如：x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2)．
【初步应用】（1）用上面的方法分解因式：x2+6x+8= ______；
【类比应用】（2）规律应用：若x2+mx+8可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是______；
【拓展应用】（3）分解因式：(x2−4x) 2−2(x2−4x)−15．
【思路点拨】
本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式．
（1）按照已知条件中方法进行分解因式即可；（2）先找出乘积为8的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出m的值即可；
（3）按照已知条件中的方法，先把−15分解成−5×3，然后把多项式进行第一次分解因式，再把−5分解
成−5×1，3分解成(−3)×(−1)，进行第二次分解因式即可．
【解题过程】
解：（1）x2+6x+8
=x2+(2+4)x+2×4，
=(x+2)(x+4)，
故答案为：(x+2)(x+4)；
（2）∵8=1×8=2×4=(−1)×(−8)=(−2)×(−4)，
∴x2+(8+1)x+8=(x+8)(x+1)，
x2+(2+4)x+8=(x+2)(x+4)，
x2+(−1−8)x+8=(x−1)(x−8)，
x2+(−2−4)x+8=(x−2)(x−4)，
∴m=8+1=9或 2+4=6或−1−8=−9或−2−4=−6 ，
∴整数m的值可能是±6或±9，
故答案为：±6或±9；
（3）(x2−4x) 2−2(x2−4x)−15，
=(x2−4x) 2+(−5+3)(x2−4x)+(−5)×3，
=(x2−4x−5)(x2−4x+3)，
=[x2+(−5+1)x+(−5)×1][x2+(−3−1)x+(−3)×(−1)]，
=(x−5)(x+1)(x−3)(x−1)．
17．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）通过课堂的学习知道，我们把多项式a2+2ab+b2及
a2−2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的
项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x−3=(x2+2x+1)−4=(x+1) 2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)；
再例如求代数式2x2+4x−6的最小值，2x2+4x−6=2(x2+2x−3)=2(x+1) 2−8．
可知当x=−1时，2x2+4x−6有最小值，最小值是−8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）代数式−a2+2a+3的最大值为： ；
（2）若M=a2+b2+11与N=6a−2b，判断M、N的大小关系，并说明理由；
（3）已知：a−b=2，ab+c2−4c+5=0，求代数式a+b+c的值．
【思路点拨】
本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用，解题时要注意配方法的步骤，注意在
变形的过程中不要改变式子的值．
（1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可；
（2）先表示出M−N=(a2−6a+9)+(b2+2b+1)+1，然后由完全平方式的非负性可得M−N≥1，由此
即可得解；
(a+b) 2−4 (a+b) 2
（3）由完全平方公式可得ab= ，代入ab+c2−4c+5=0可得 +(c−2) 2=0，然后由完
4 4
全平方式的非负性可得a+b=0，c−2=0，求出c=2，代入进行计算即可．
【解题过程】
（1）解：−a2+2a+3=−(a2−2a−3)=−(a2−2a+1−1−3)=−(a2−2a+1)+4=−(a−1) 2+4，
∴当a=1时，−a2+2a+3由最大值，为4，
∴代数式−a2+2a+3的最大值为4，
故答案为：4；
（2）解：∵M=a2+b2+11，N=6a−2b，
∴M−N=a2+b2+11−(6a−2b)
=a2+b2+11−6a+2b
=(a2−6a+9)+(b2+2b+1)+1
=(a−3) 2+(b+1) 2+1，
∵(a−3) 2≥0，(b+1) 2≥0，∴M−N≥1，
∴M>N；
（3）解：∵(a+b) 2=a2+2ab+b2，(a−b) 2=a2−2ab+b2，
(a+b) 2−(a−b) 2 (a+b) 2−22 (a+b) 2−4
∴ab= = = ，
4 4 4
∵ab+c2−4c+5=0，
(a+b) 2−4
∴ +c2−4c+5=0，
4
(a+b) 2
∴ −1+(c−2) 2+1=0，
4
(a+b) 2
∴ +(c−2) 2=0，
4
(a+b) 2
∵ ≥0，(c−2) 2≥0，
4
∴a+b=0，c−2=0，
∴c=2，
∴a+b+c=2．
18．（23-24八年级上·福建福州·期末）材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是
分组分解法．
例如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)．
（1）分解因式：ab+a+b+1；
（2）若a，b(a>b)都是正整数且满足ab−a−b−4=0，求a+b的值；
（3）若a，b为实数且满足ab−a−b−5=0 ，S=2a2+3ab+b2+5a−b ，求S的最小值．
【思路点拨】
本题考查了分组分解法因式分解，完全平方的非负性质，整体代入是解题的关键．
（1）根据题意分组分解即可；
（2）将ab−a−b−4=0变形为ab−a−b+1=5，再按照分组分解法可得(a−1)(b−1)=5，根据a，
b(a>b)都是正整可求出a、b的值，进而可求出a+b的值；
（3）先由ab−a−b−5=0得ab=a+b+5，然后整体代入S中得S=2a2+b2+8a+2b+15，再将S分组，
然后转化成S=2(a+2) 2+(b+1) 2+6，根据完全平方的非负性，即可求出S的最小值．
【解题过程】（1）ab+a+b+1
=(ab+a)+(b+1)
=a(b+1)+(b+1)
=(a+1)(b+1)；
（2）由ab−a−b−4=0得，
ab−a−b+1=5，
a(b−1)−(b−1)=5，
(a−1)(b−1)=5，
∵a>b，
∴a−1>b−1，
∵5=5×1，
∴a−1=5，b−1=1，
解得a=6，b=2，
∴a+b=8；
（3）由ab−a−b−5=0得，
ab=a+b+5，
∴S=2a2+3ab+b2+5a−b
=2a2+3(a+b+5)+b2+5a−b
=2a2+3a+3b+15+b2+5a−b
=2a2+b2+8a+2b+15
=2a2+8a+8+b2+2b+1+6
=2(a+2) 2+(b+1) 2+6，
∵2(a+2) 2≥0，(b+1) 2≥0，
∴S≥6，
当a=−2，b=−1时，
S=6，
∴S的最小值为6．
19．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称
这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”．理由：因为5=22+12，所以5是“完美数”．【解决问题】
（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式______；
（2）若x2−6x+5可配方成(x−m) 2+n（m、n为常数），则mn=______；
【探究问题】
（3）已知x2+ y2−2x+4 y+5=0，则x+ y=______；
（4）已知S=x2+4 y2+4x−12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件
的一个k值，并说明理由．
【拓展结论】
5
（5）已知实数x、y满足−x2+ x+ y−5=0，求x−2y的最值．
2
【思路点拨】
（1）根据“完美数”可得答案；
（2）利用完全平方公式可得x2−6x+5=x2−6x+9−9+5=(x−3) 2−4，从而可得答案；
（3）利用完全平方公式把左边分组分解因式，再利用非负数的性质可得答案；
（4）利用完全平方公式可得S=x2+4 y2+4x−12y+k =(x+2) 2+(2y−3) 2+k−13，再利用新定义可得
答案；
（5）由条件可得y=x2− 5 x+5，代入计算可得：x−2y=x−2 ( x2− 5 x+5 ) =−2 ( x− 3) 2 − 11 ，再结
2 2 2 2
合非负数的性质可得最大值．
【解题过程】
（1）解：29=25+4=52+22；
（2）x2−6x+5=x2−6x+9−9+5=(x−3) 2−4；
∴m=3，n=−4，
∴mn=3×(−4)=−12；
（3）∵x2+ y2−2x+4 y+5=0，
∴x2−2x+1+ y2+4 y+4=0
∴(x−1) 2+(y+2) 2=0，
∴x−1=0，y+2=0，解得：x=1，y=−2，
∴x+ y=1−2=−1；
（4）S=x2+4 y2+4x−12y+k
=x2+4x+4+4 y2−12y+9−13+k
=(x+2) 2+(2y−3) 2+k−13，
当S为完美数时，
∴k−13=0，
解得：k=13．
5
（5）∵−x2+ x+ y−5=0，
2
5
∴y=x2− x+5，
2
∴x−2y=x−2 ( x2− 5 x+5 )
2
=−2x2+6x−10
=−2(x2−3x)−10
=−2
[
x2−3x+
(3) 2
−
(3) 2 )
−10
2 2
( 3) 2 11
=−2 x− − ，
2 2
( 3) 2
∵−2 x− ≤0，
2
( 3) 2 11 11
∴−2 x− − ≤− ；
2 2 2
11
∴x−2y的最大值为：− ．
2
20．（22-23八年级下·广东深圳·期中）阅读以下材料：
目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于x2+3x+2，它不是完全平方式，所以无法
用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解：
第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，x2+3x+2最高含有x的二次项，所以看作由(ax+b)(cx+d)得
到；第二步，去括号，(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd和x2+3x+2对比发现，
二次项系数为1，二次项由ax和cx相乘得出，所以a=c=1（为了计算简便，往往取整数）；
第三步，继续把x2+(b+d)x+bd和x2+3x+2对比，发现b，d两数之积为2，和为3，就不难凑出b=1，
d=2，检验一下：(x+1)(x+2)=x2+3x+2，换个方向写就是因式分解了．
请使用上述方法回答下列问题：
（1）因式分解：
①x2−5x+6；
②2y2+ y−36；
（2）对关于x的多项式因式分解：mx2−(3m−1)x+2m−1．
【思路点拨】
本题考查了新定义“凑数法”因式分解，正确理解阅读材料中的思维方法是解答本题的关键．
（1）①根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得a=c=1，进一步推理后又可凑得
b=−2，d=−3，即得答案；
②根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得a=1，c=2，进一步推理后又可凑得b=−4，
d=9，即得答案；
（2）设(ax+b)(cx+d)=mx2−(3m−1)x+2m−1，则
acx2+(ad+bc)x+bd=mx2−(3m−1)x+2m−1，同样可先凑答案a=1，c=m，代入关系式得
mx2+(d+mb)x+bd=mx2−(3m−1)x+2m−1，比较系数可得d+mb=−(3m−1)，bd=2m−1，针
对b，d，可进行讨论，并逐一验证，可得b=−1，d=1−2m符合题意，即得答案．
【解题过程】
（1）①由题意得，a=c=1，b+d=−5，bd=6，
所以可凑数b=−2，d=−3，
故x2−5x+6=(x−2)(x−3)；
②由题意得，ac=2，ad+bc=1，bd=−36，所以可凑数a=1，c=2，
则d+2b=1，bd=−36，
又可凑数b=−4，d=9，
故2y2+ y−36=(y−4)(2y+9)；
（2）设(ax+b)(cx+d)=mx2−(3m−1)x+2m−1，
则acx2+(ad+bc)x+bd=mx2−(3m−1)x+2m−1，
凑数a=1，c=m，
∴mx2+(d+mb)x+bd=mx2−(3m−1)x+2m−1，
∴d+mb=−(3m−1)，bd=2m−1，
分四种情况讨论：
当b=1，d=2m−1时，代入d+mb=−(3m−1)，不成立，舍去；
当b=2m−1，d=1时，代入d+mb=−(3m−1)，不成立，舍去；
当b=−1，d=1−2m时，代入d+mb=−(3m−1)，成立，符合题意；
当b=1−2m，d=−1时，代入d+mb=−(3m−1)，不成立，舍去；
所以只有b=−1，d=1−2m，
故mx2−(3m−1)x+2m−1=(x−1)(mx+1−2m)．
