专题23难点探究专题：线段上的动点与几何图形动角问题之六大类型（原卷版）_初中数学人教版_7上-初中数学人教版_7上-初中数学人教版（旧版）赠送_07专项讲练

专题 23 难点探究专题：线段上的动点与几何图形动角问题之六大类 型 【考点导航】 目录 【典型例题】..................................................................................................................................................1 【类型一 线段和与差问题】....................................................................................................................................1 【类型二 线段上动点定值问题】............................................................................................................................6 【类型三 线段上动点求时间问题】......................................................................................................................11 【类型四 几何图形中动角定值问题】..................................................................................................................18 【类型五 几何图形中动角数量关系问题】..........................................................................................................23 【类型六 几何图形中动角求运动时间问题】......................................................................................................30 【典型例题】 【类型一 线段和与差问题】 例题：（2023秋·广东佛山·七年级统考期末）如图， ，点C在线段 上，点D，E分别在线段 、 上． (1)若C是 中点， ，求 ； (2)若C是 上任意一点，且 ， ，求 ．【变式训练】 1．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考开学考试）已知A，B，C，D四点在同一直线上， 点D在线段 上． (1)如图，若线段 ，点C是线段 的中点， ，求线段 的长度； (2)若线段 ，点C是直线 上一点，且满足 ， ，求线段 的长度（用含 a的式子表示）． 2．（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）如图1，已知点A、B在直线l上，且线段 ． (1)如图2，当点C在线段 上，且 ，点M是线段 的中点，求线段 的长； (2)若点C在直线AB上，且 ． ①线段 ________； ②若点M是线段 的中点，点N是线段 的中点，则线段 ________，线段 ________． 3．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点 在线段 上， ， 分别是 ， 的中点．若 ， ，求 的长．(1)根据题意，小明求得 ______． (2)小明在求解（1）的过程中，发现 的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开 始深入探究． 设 ， 是线段 上任意一点（不与点 ， 重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解 答． ①如图1， ， 分别是 ， 的中点，则 ______． ②如图2， ， 分别是 ， 的三等分点，即 ， ，求 的长． ③若 ， 分别是 ， 的 等分点，即 ， ，则 ______． 【类型二 线段上动点定值问题】 例题：（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）如图，已知线段 ， ， 是线段 的中点， 是线段 的中点． (1)若 ，求线段 的长度． (2)当线段 在线段 上从左向右或从右向左运动时，试判断线段 的长度是否发生变化，如果不变， 请求出线段 的长度；如果变化，请说明理由． 【变式训练】 1．（2023春·山东烟台·六年级统考期末）如图，点C在线段 上，点M、N分别是 的中点．(1)若 ，求线段 的长； (2)若C为线段 上任一点，满足 ，其他条件不变，你能猜想 的长度吗？请直接写出你 的答案． (3)若C在线段 的延长线上，且满足 ，M 、N分别为 的中点，你能猜想MN的长 度吗？请在备用图中画出图形，写出你的结论，并说明理由． 2．（2023秋·河北承德·七年级统考期末）应用题：如图，已知线段 ，点 为线段 上的一个 动点，点 、 分别是 和 的中点． (1)若 ，求 的长； (2)若 为 的中点，则 与 的数量关系是______； (3)试着说明，不论点 在线段 上如何运动，只要不与点 和 重合，那么 的长不变． 3．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）探究题：如图①，已知线段 ，点 为 上的一个动 点，点 、 分别是 和 的中点． (1)若点 恰好是 中点，则 ____________ ； (2)若 ，求 的长； (3)试利用“字母代替数”的方法，设 “ ” ，请说明不论 取何值（ 不超过 ）， 的长 不变．【类型三 线段上动点求时间问题】 例题：（2023秋·云南临沧·七年级统考期末）如图，C是线段 上一点， ， ，点P 从A出发，以 的速度沿 向右运动，终点为B；点Q同时从点B出发，以 的速度沿 向左 运动，终点为A，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 s (1)当P、Q两点重合时，求t的值； (2)是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点?若存在，求 出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 1．（2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图，已知点 、点 是直线上的两点， 厘米，点 在线段 上，且 厘米．点 、点 是直线 上的两个动点，点 的速度为1厘米/秒，点 的 速度为2厘米/秒．点 、 分别从点 、点 同时出发在直线上运动，则经过 秒时线段 的长为6 厘米． 2．（2023秋·河南安阳·七年级统考期末）A，B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为 ，点B对应的有理数为8．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动 时间为t秒（ ）． (1)当 时， 的长为______，点P表示的有理数为______； (2)若点P为 的中点，则点P对应的有理数为______；(3)当 时，求t的值． 3．（2023春·吉林长春·七年级统考开学考试）如图，点 在线段 上， ， ，动点 从点 出发，沿线段 以每秒 个单位长度的速度向终点 匀速运动；同时，动点 从点 出发，沿线段 以每秒 个单位长度的速度向终点 匀速运动．当点 到达终点时，点 也随之停止运动． 设点 的运动时间为 秒． (1)线段 的长为______． (2)当点 与点 相遇时，求 的值． (3)当点 与点 之间的距离为 个单位长度时，求 的值． (4)当 时，直接写出 的值． 4．（2023秋·河北唐山·七年级校考期末）如图， 是线段 上一动点，沿 以 的速度往 返运动 次， 是线段 的中点， ，设点 的运动时间为 秒（ ）． (1)当 时， ① ； ②求线段 的长度； (2)用含 的代数式表示运动过程中 的长；(3)当 时，求 的值； (4)在运动过程中，若 的中点为 ，则 的长是否变化？若不变，求出 的长；若发生变化，请说明 理由． 【类型四 几何图形中动角定值问题】 例题：（2023秋·湖南怀化·七年级统考期末）已知如图 是 的平分线， 是 的平分线， ， (1)求 的度数. (2)当射线 在 的内部线绕点 转动时，射线 、 的位置是否发生变化？说明理由. (3)在（2）的条件下， 的大小是否发生变化？如果不变，求其度数；如果变化，说出其变化范围. 【变式训练】 1．（2022秋·陕西延安·七年级校考期末）已知 ， ， 平分 ， 平分 .（1）如图，当 、 重合时，求 的值； （2）若 从上图所示位置绕点 以每秒 的速度顺时针旋转 秒（ ），在旋转过程中 的值是否会因 的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由. 2．（2023春·湖北十堰·七年级校考开学考试）如图，过点O在 内部作射线 ． ， 分别平 分 和 ， 与 互补， ． (1)如图1，若 ，则 ______°， ______°， ______°； (2)如图2，若 平分 ．试探索： 是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是， 请说明理由． 3．（2023秋·江西抚州·七年级统考期末）将一副三角板中含有60°角的三角板的顶点和另一块含有45°角的 三角板的顶点重合于一点 ，绕着点 转动含有60°角的三角板，拼成如图的情况，请回答问题：(1)如图1，当点 在射线 上时，直接写出 的度数是____________度； (2)①如图2，当 为 的角平分线时，求出此时 的度数； ②如图3，当 为 的角平分线时，求出此时 的度数； (3)若 只在 内部旋转，作 平分线 交 于点 ，再作 的平分线 交 于点 ， 在转动过程中 的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由． 【类型五 几何图形中动角数量关系问题】 例题：（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB 上方，OD在OE的左侧，AOC 120，DOE80． (1)如图1，当OD平分AOC时，求EOB的度数； (2)点F 在射线OB上，若射线OF 绕点O逆时针旋转n（0n180且n60），FOA3AOD．当 DOE在AOC内部（图2）和DOE的两边在射线OC的两侧（图3）时，FOE和EOC的数量关系 是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 【变式训练】 1．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，点O在直线AB上，COD在直线AB上方，且 COD60，射线OE在COD内部，AOE2DOE．(1)如图1，若OD是BOC的平分线，求COE的度数； (2)如图2，探究发现：当BOD的大小发生变化时，COE与BOD的数量关系保持不变．请你用等式 表示出COE与BOD的数量关系，并说明理由． 2．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）如图，AOB100，COD40，射线OE平分AOC，射 线OF 平分BOD（本题中的角均为大于0且小于180的角）． (1)如图，当OB，OC重合时，求EOF的度数； 0n40 COD AOEBOF (2)当 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 时， 的值是否为定值？若是 定值，求出AOEBOF 的值，若不是，请说明理由． 0n220 COD AOE BOF (3)当 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 时， 与 具有怎样的数量关系？ 3．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）如图， ， ，射线 平分 ，射 线 平分 （本题中的角均为大于 且小于 的角）．(1)如图，当 ， 重合时，求 的度数； (2)当 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 时， 的值是否为定值？若是 定值，求出 的值，若不是，请说明理由． (3)当 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 时， 与 具有怎样的数量关系？ 【类型六 几何图形中动角求运动时间问题】 例题：（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如图1， ， ， 三点在一条直线上，且 ， ，射线 ， 分别平分 和 ．如图2，将射线 以每秒 的速度绕点 逆时针 旋转一周，同时将 以每秒 的速度绕点 逆时针旋转，当射线 与射线 重合时， 停止运 动．设射线 的运动时间为 秒． (1)运动开始前，如图1， ______ ， ______ ； (2)旋转过程中，当 为何值时，射线 平分 ? (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练】1．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）如图，O为直线 上一点，过点O作射线 ， ， 将一直角三角板（ ）的直角顶点放在点O处，一边 在射线 上，另一边 与 都在直线 的上方． (1)将图1中的三角板绕点O以每秒 的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后， 恰好平分 ．求t的值；并判断此时 是否平分 ？说明理由； (2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线 也绕O点以每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周， 那么经过多长时间 平分 ？请说明理由． 2．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）已知， 是 内部的一条射线，且 ． (1)如图1所示，若 ， 平分 ， 平分 ，求 的度数； (2)如图2所示， 是直角，从点O出发在 内引射线 ，满足 ，若 平分 ，求 的度数； (3)如图3所示， ，射线 ，射线 分别从 出发，并分别以每秒 和每秒 的速度绕 着点O逆时针旋转， 和 分别只在 和 内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出 和 的数量关系； ②若 ，当 ，求t的值．3．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）解答下列问题． (1)【探索新知】 如图1，射线 在 的内部，图中共有 个角： ， 和 ，若其中有一个角的度 数是另一个角度数的两倍，则称射线 是 的“巧分线”． ①一个角的平分线 这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”） ②如图2，若 ，且射线 是 的“巧分线”，则 ．（用含 的代数式表示出所 有可能的结果） (2)【深入研究】 如图2，若 ，且射线 绕点 从 位置开始，以每秒 的速度逆时针旋转，当与 与 成 时停止旋转，旋转的时间为 秒． ①当 为何值时，射线 是 的“巧分线”． ②若射线 同时绕点 以每秒 的速度逆时针旋转，并与 同时停止．请直接写出当射线PQ是 MPN 的“巧分线”时t的值．