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专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（原卷版）
第一部分 典例精析+变式训练
类型一 分母有理化
技巧1 一般法：如果分母只含一个根号，先把分母化为最简二次根式，再将分子分母同乘分母的根号部分
即可。
√3a
典例1（2021秋•曲阳县期末）把 化去分母中的根号后得（ ）
√12ab
1 √b
A．4b B．2√b C． √b D．
2 2b
变式训练
1
1．（2022春•东莞市期中）化简： = ．
√8
√12
2．（2021春•龙山县期末）把 化成最简二次根式，结果是 ．
√2a
技巧2 平方差公式法：如果分母是两个根号的和或差，可以利用平方差公式有理化分母
典例2（2022春•乳山市期末）【材料阅读】
把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．
1
例如：化简 ．
√2+1
解： 1 1×(√2-1) ．
= =√2-1
√2+1 (√2+1)(√2-1)
上述化简的过程，就是进行分母有理化．
【问题解决】
1
（1）化简 的结果为： ；
2-√3
1
（2）猜想：若n是正整数，则 进行分母有理化的结果为： ；
√n+1+√n
a b
（3）若有理数a，b满足 + =2√2-1，求a，b的值．
√2-1 √2+1
变式训练1
1．（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简： = ．
2+√5
1
2．（2022秋•牡丹区期末）若 的整数部分是a，小数部分是b，则a2+（1+√7）ab＝ ．
3-√7技巧3 分解因式法：提取分子分母中的公因式，然后约分化简
典例3 化简：
变式训练：
1.化简：
技巧4 分解因式法：利用平方差公式和完全平方公式因式分解，然后约分化简。
x- y x-2√xy+ y 1
典例4 （2022秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值 + ，其中x＝5，y= ．
√x+√y √x-√y 5
针对训练：化简：
（1） （2）
技巧5 裂项相消法：将分子化为分母中两式子的和或差的形式，在约分。
24．观察下面式子的化简过程：
2√6 (2+2√6+3)-5 (√2+√3) 2-(√5) 2 ．
= = =√2+√3-√5
√2+√3+√5 √2+√3+√5 √2+√3+√5
4√10
化简 ，并将这一问题作尽可能的推广．
√5+√13+√8变式训练：
．化简：
1类型二 分子有理化
典例6（2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：
(√7-√6)(√7+√6) 1
√7-√6= = ．
√7+√6 √7+√6
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
1
比 较 √7-√6和 √6-√5的 大 小 ． 可 以 先 将 它 们 分 子 有 理 化 ． 如 下 ： √7-√6= ，
√7+√6
1
√6-√5= ．
√6+√5
因为√7+√6＞√6+√5，所以√7-√6＜√6-√5．
再例如：求y=√x+2-√x-2的最大值．做法如下：
4
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=√x+2-√x-2= ．
√x+2+√x-2
当x＝2时，分母√x+2+√x-2有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较3√2-4和2√3-√10的大小；
（2）求y=√1+x-√x的最大值．
针对训练
1．（青羊区校级期中）已知a=√2-1，b＝3﹣2√2，c=√3-√2，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b
2．（2020秋•武侯区校级月考）计算：
（1）比较√15-√14和√14-√13的大小；
（2）求y=√x+1-√x-1+3的最大值．第二部分 专题提优训练
√21
1．（2022秋•绥化期末）化简 的结果是 ．
√3
√8
2．（2021秋•阳城县期末）化简 的结果是 ．
√20
1
3．（2021秋•徐汇区校级期中）化简： = ．
√x-3-1
√1 1
4．（2021春•宁阳县期末）化简 = ， = ．
2 √2-1
1
5．（2012秋•珙县校级月考）化简： = ．
2-√3
-3√2
6．（2021春•江城区期末）化简 的结果是 ．
√27
√3+√2 √3-√2
7．（2022秋•宝山区校级期中）已知：x= ，y= ，求x2+xy+y2的平方根．
√3-√2 √3+√2
10 4
8．（2022春•普陀区校级期末）计算： - ．
√5 √5-1
1-√3 4
9．（2021秋•浦东新区校级月考）计算： - ．
2+√3 1+√3
10．（2021秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．
如：√2+1 (√2+1)(√2+1) 3+2 ．
= = √2
√2-1 (√2-1)(√2+1)
除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．
如：化简√2+√3-√2-√3．
解：设x=√2+√3-√2-√3，易知√2+√3＞√2-√3，故x＞0．
由于x2＝（ ）2＝2 2 2 2．
√2+√3-√2-√3 +√3+ -√3- √(2+√3)(2-√3)=
解得x=√2，即√2+√3-√2-√3=√23-2√2
根据以上方法，化简： +√3-√5-√3+√5．
3+2√211．（2022春•大连月考）阅读材料：
黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，
取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+√3）（2-√3）＝1，（
√5+√2）（√5-√2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是
1 1×√3 √3
另 一 个 的 有 理 化 因 式 ． 于 是 ， 二 次 根 式 除 法 可 以 这 样 理 解 ： 如 = = ，
√3 √3×√3 3
2+√3 (2+√3)(2+√3) ．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或
= =7+4√3
2-√3 (2-√3)(2+√3)
把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
2
（1）4+√7的有理化因式可以是 ， 分母有理化得 ．
3√2
（2）计算：
1 1 1 1
① + + +⋯+ ．
1+√2 √2+√3 √3+√4 √1999+√2000
√3-1 √3+1
②已知：x= ，y= ，求x2+y2的值．
√3+1 √3-1
12．（2022春•钢城区期末）阅读下列解题过程：
1 1×(√2-1) √2-1 1；
= = =√2-
√2+1 (√2+1)×(√2-1) (√2) 2-12
1 1×(√3-√2) √3-√2 ．
= = =√3-√2
√3+√2 (√3+√2)(√3-√2) (√3) 2-(√2) 2
请回答下列问题：
（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
1 1
① = ；② = ；
√7+√6 √n+√n-1
1 1 1 1 1
（2）应用：求 + + + +⋯+ 的值；
√2+1 √3+√2 √4+√3 √5+√4 √10+√91 1 1 1
（3）拓广： - + - = ．
√3-1 √5-√3 √7-√5 √9-√713．（2021春•广饶县期中）【阅读材料】
材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以
同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．
1
例如：化简
√3+√2
解： 1 1×(√3-√2)
= =√3-√2
√3+√2 (√3+√2)(√3-√2)
材料二：化简√a+2√b的方法：如果能找到两个实数 m，n，使 m2+n2＝a，并且 mn＝b，那么
m±n．
√a±2√b=√m2+n2±2mn=√(m±n) 2=
例如：化简√3±2√2
解： 1
√3±2√2=√ (√2) 2+12+2√2=√ (√2+1) 2=√2+
【理解应用】
√5+√3
（1）填空：化简 的结果等于 ．
√5-√3
（2）计算：
①√7-2√10；
1 1 1 1 1
② + + +⋯+ + ．
√2+1 √3+√2 2+√3 √2020+√2019 √2021+√202014．（2020春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一
个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．
(√7-√6)(√7+√6) 1
比如：√7-√6= = ．
√7+√6 √7+√6
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较
1 1
√7-√6和√6-√5的大小可以先将它们分子有理化如下：√7-√6= ，√6-√5= ．
√7+√6 √6+√5
因为√7+√6＞√6+√5，所以，√7-√6＜√6-√5．
再例如，求y=√x+2-√x-2的最大值、做法如下：
4
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=√x+2-√x-2= ．
√x+2+√x-2
当x＝2时，分母√x+2+√x-2有最小值2．所以y的最大值是2．
利用上面的方法，完成下述两题：
（1）比较√15-√14和√14-√13的大小；
（2）求y=√x+1-√x-1+3的最大值．
