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专题25 平方差公式与几何图形
1．如图，边长为a的正方形中挖掉边长为b的正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个矩形，通
过计算两处图形的面积，验证了一个等式，此等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由图可知，正方形剩下的面积为： ，矩形宽为 ；长为 ；得面积：
，根据两者面积相等，即可求出答案．
【详解】由图得，正方形剩下面积：
∵矩形边长为 ，
∴矩形面积：
又∵正方形面积等于矩形面积
∴
故选：A．
【点睛】本题考查整式乘法，平方差公式；解题的关键是掌握几何图形与整式乘法的运用．
2．在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．如图，从左图到右图的变化过
程中，解释的因式分解公式是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由面积相等列式可得答案．
【详解】解：从左图到右图的变化过程中，由面积相等可得 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，利用两个图形的面积相等列式是关键，属于基础题．
3．如图，在边长为 的正方形中央剪去一个边长为 的小正方形 ，将剩余部分剪开
密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据拼成的平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可
得解．
【详解】解： ，
，
，
，
故选：C．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．
4．如图①，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后
得到图②，根据面积相等，甲同学写出一个等式 乙同学也写出一个等式
则（ ）
A．甲乙都正确 B．甲乙都不正确 C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确
【答案】C
【分析】分别表示出两个图形的面积，再根据面积相等得出等式即可．
【详解】解：图①面积为： ，
图②的面积为： ，
∴ ，
∴甲同学写得正确，乙同学写得不正确，
故选：C．
【点睛】考查平方差公式的几何背景，用面积相等得出等式是常用的方法．
5．从图1到图2的变化过程可以发现的结论是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+2ab+b2＝（a+b）2
【答案】A
【分析】根据图1可知图形的面积为（a+b）（a﹣b），由图2可知图形的面积为a2﹣b2，进而问题可求解．
【详解】解：由图1可知图形的面积为（a+b）（a﹣b），由图2可知图形的面积为a2﹣b2，
∴从图1到图2的变化过程可以发现的结论是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
故选A．
【点睛】本题主要考查平方差公式，解题的关键是根据图形得到平方差公式．
6．如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴
影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列四种割拼方法，其中能够验证平方差公式的有（
）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】图①：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为 、宽为 ）的面积即可得；图
②：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得；图③：根据阴影部分的面积等
于1个长方形（长为 、宽为 ）的面积即可得；图④：根据阴影部分的面积等于1个平行
四边形的面积之和即可得．
【详解】解：图①：左边图中阴影部分面积为 ，右边图中阴影部分面积为 ，
则有 ；
图②：左边图中阴影部分面积为 ，右边图中阴影部分是一边长为 ，这条边上的高为
的平行四边形，其面积为 ，
则有 ；
图③：左边图中阴影部分面积为 ，右边图中阴影部分面积为 ，
则有 ；图④：左边图中阴影部分面积为 ，右边图中阴影部分是一边长为 ，这条边上的高为
的平行四边形，其面积为 ，
则有 ；
综上，能够验证平方差公式的有4个，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握各图形的面积之间的联系是解题关键．
7．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成
右边的长方形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式_______．
【答案】
【分析】分别求出左右两边图形中阴影部分的面积，即可求解．
【详解】解：左边图形中阴影部分的面积为 ，
右边图形中阴影部分的面积为 ，
∴验证了公式 ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平方差公式与面积恒等式，利用数形结合思想解答是解题的关键．
8．如图，大正方形 的边长为a，小正方形 的边长为b，点E在 上，大正方形与
小正方形的面积差为60，则阴影部分的面积为________．
【答案】30【分析】用含a、b的代数式先表示出两个正方形的面积差，再利用a、b表示出阴影部分的面积，
代入计算即可．
【详解】解：∵大正方形ABCM的边长为a，小正方形EBDN的边长为b，大正方形与小正方形的
面积差为60，
∴ ， ，
∴
，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，掌握正方形、三角形的面积公式是解决本题的关键．
9．如图，阴影部分是边长是 的大正方形剪去一个边长是 的小正方形后所得到的图形，将阴影
部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法中，其中能够验证平方差公式的有
___________（填序号）
【答案】①②③④
【分析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，进而可得出验证公式．
【详解】在图①中，左边的图形阴影部分的面积 ，右边的图形阴影部分的面积，故可得： ，可以验证平方差公式；
在图②中，左边的图形阴影部分的面积 ，右边的图形阴影部分的面积 ，故
可得： ，可以验证平方差公式；
在图③中，左边的图形阴影部分的面积 ，右边的图形阴影部分的面积
，故可得： ，可以验证平方差公式；
在图④中，左边的图形阴影部分的面积 ，右边的图形阴影部分的面积 ，故
可得： ，可以验证平方差公式．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用不同的方法表示出阴影部分的面积是解本题的关键．
10．如图，点D、C、H、G分别在长方形ABJI的边上，点E、F在CD上，若正方形ABCD的面
积等于15，图中阴影部分的面积总和为6，则正方形EFGH的面积等于___________．
【答案】3
【分析】设大、小正方形边长为a、b，则a2=15，然后利用图中阴影部分的面积总和为6，进而可
得正方形EFGH的面积．
【详解】解：设大、小正方形边长为a、b，
则有a2=15，阴影部分面积
，
即a2-b2=12，
可得b2=3，
即所求面积是3．
故答案为：3．【点睛】本题考查了平方差公式与图形的面积，解决本题的关键是找准图形间的面积关系．
11．数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成
新的图形．现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是_______．（请
填上正确的序号）
【答案】①②##②①
【分析】根据图形及平方差公式的特征可进行求解．
【详解】解：由图可知：
图①： ；
图②： ；
图③：第一个图阴影部分面积为： ，第二个图阴影部分的面积为：
；
∴综上所述：能够验证平方差公式的方案为①②；
故答案为①②．
【点睛】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
12．某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长
为 的正方形的花坛．学生会提出两个方案：方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的
“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为 ；方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字
形舞台（阴影部分），舞台的面积记为 ；具体数据如图所示，则 ______ ．（填“ ”，“
”或“ ”）【答案】
【分析】由题意直接根据正方形和长方形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：方案一：如图1， ，
方案二：如图2， ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了图形的面积，正确识别图形是解题的关键．
三、解答题
13．如图：边长为 的大正方形中有一个边长为 的小正方形．
(1)通过观察①、②两图的阴影部分面积，可以得到的乘法公式为 ；（用式子表达）
(2)运用你所得到的公式，计算： （不用公式计算不得分）
【答案】(1)
(2)【分析】（1）用两种方法求出阴影部分的面积即可建立等式求解；
（2）运用（1）的公式计算即可．
（1）
图①中，阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，即为： ，
图②中，阴影部分的面积为矩形的面积，
由图可知，矩形的长为： ，宽为： ，
则矩形的面积为： ，
即阴影部分的面积为： ，
根据阴影部分的面积不变，有： ，
故答案为： ；
（2）
．
【点睛】本题利用组合图形考查平方差公式，计算题较为简单，直接利用公式即可．做题时认真
观察图形，用两种方法求出阴影部分的面积是解决本题的关键．
14．如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼
成的一个长方形．(1)设图 中阴影部分面积为 ，图2中阴影部分面积为 ，请用含a、b的代数式表示：
______， ______；
(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______；
(3)运用（2）中得到的公式，计算： ．
【答案】(1) ，
(2)
(3)1
【分析】（1）结合图形写出此题结果；
（2）结合（1）题结果，可得乘法公式 ；
（3）将2021×2023变形为（2022+1）×（2022-1），再运用平方差公式进行计算．
（1）
解：由题意得， ， ，
故答案为： ， ；
（2）
解：由（1）题结果，可得乘法公式 ，
故答案为： ；
（3）
解：
=1．
【点睛】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确列式、计算、归纳．
15．根据下图所示，回答下列问题．(1)大正方形的面积S是多少？
(2)梯形Ⅱ，Ⅲ的面积 ，分别是多少．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图形可知边长即可求得；
（2）观察图形可得出梯形Ⅱ，Ⅲ的各个数值在进行求解即可．
（1）
解：根据图像可得大正方形的边长为：a，
大正方形的面积S为： ．
（2）
解：根据图像可得梯形Ⅱ，Ⅲ的上底为b，下底为a，高为b-a，
∴ ．
【点睛】本题考查了图形面积公式和平方差公式，解决本题的关键是仔细地观察图形从中获取信
息．
16．如图，在边长为a的正方形纸片的四角各剪去一个边长为b的正方形．
(1)余下纸片的面积为_____________(2)已知 ， ，你能利用所学的因式分解计算出剩余部分的面积吗？请写出利用因式分
解求解的过程．
【答案】(1)a2-4b2
(2)176
【分析】（1）利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可；
（2）利用平方差公式分解因式后代入计算即可．
（1）
解：余下纸片的面积是a2-4b2，
故答案为：a2-4b2；
（2）
解：能，
∵a=14.4，b=2.8，
∴a2-4b2
=（a+2b）（a-2b）
=（14.4+2×2.8）（14.4-2×2.8）
=20×8.8
=176．
【点睛】此题考查了平方差公式与几何图形，利用平方差公式分解因式，正确理解平方差公式及
因式分解的方法是解题的关键．
17．如图，将两个长方形用不同方式拼成图1和图2两个图形．
(1)若图1中的阴影部分面积为 ，则图2中的阴影部分面积为_________（用含字母 ， 的
代数式表示）；
(2)由（1）你可以得到的等式是_________；
(3)根据你所得到的等式解决下面的问题：
若 ， ，则 _________；②计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)①8 ；②3550
【分析】（1）根据图2，用代数式表示其长、宽，利用面积公式可得答案；
（2）由图1、图2的面积相等可得答案；
（3）利用（2）的结论，即平方差公式进行计算即可；
（4）利用平方差公式进行计算即可．
（1）
解：根据题意得∶
故答案为∶
（2）
解：得到的等式是
故答案为∶
（3）
解：①∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ；
故答案为∶8
②原式
．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．
18．如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片（如图1），然后将剩余部
分拼成一个长方形（如图2）．(1)探究：上述操作能验证的等式是 ．
(2)应用：利用（1）中得出的等式，计算： ．
【答案】(1)a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
(2)
【分析】（1）分别计算图1和图2中剩余部分的面积，根据面积相等即可得出答案；
（2）逆用平方差公式，中间项全部约分掉，只剩下第一项和最后一项，从而得出答案．
（1）解：第一个图形中剩余部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），则a2﹣
b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
（2）解：
【点睛】本题主要考查了平方差公式应用，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．
19．【观察发现】从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分
剪开并拼成一个长方形（如图②）．(1)【归纳结论】上述操作，能验证的等式是 ；（直接写结果）
(2)【问题解决】利用（1）中的结论，计算： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据边长为a的正方形的面积减去边长为b的正方形的面积等于剩余部分的面积，
即可求解；
（2）利用（1）（1）中的结论，把原原式变形为 ，可
得 ，即可求解．
(1)
解： ．
(2)
解：原式=
=
=
=
= ．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，根据题意得到平方差公式 是解
题的关键．
20．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（ ），把余下的部分剪拼成一个矩形．
(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：______．
A．
B．
C．
D．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知： ， ，求 的值；
②计算： ．
【答案】(1)B
(2)①7；②
【分析】（1）根据题意可得大正方形的面积减去小正方形的面积等于矩形的面积，即可求解；
（2）①利用平方差公式计算，即可求解；②利用平方差公式把原式变形为
，可
得 ，即可求解．
（1）解：左图阴影部分的面积为 ，右图中阴影部分的面积为 ，∴
，故B正确．故选：B．（2）解：①∵ ， ，∴ ，∴ ．②
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景和应用，利用平方差公式将代数式进行适当的变
形，从而达到简便运算的目的是解题的关键．
