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专题31 十字相乘法因式分解
1．下列式子中，因式分解正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据十字相乘法即可分解因式．
【详解】解： ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查用十字相乘法分解因式，掌握分解因式的方法是解题的关键．
2．将多项式x2－2x－8分解因式，正确的是（ ）
A．（x＋2）（x－4） B．（x－2）（x－4）
C．（x＋2）（x＋4） D．（x－2）（x＋4）
【答案】A
【分析】利用十字相乘法分解即可．
【详解】解： ，
故选：A．
【点睛】本题考查用十字相乘法进行因式分解，正确掌握十字相乘法是求解本题的关键．
3．分解因式x2-5x-14，正确的结果是（ ）
A．（x－5）（x－14） B．（x－2）（x－7） C．（x－2）（x＋7） D．
（x＋2）（x－7）
【答案】D
【分析】根据-14=-7×2，-5=-7+2，进行分解即可．
【详解】解：x2-5x-14=（x-7）（x+2），
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解-十字相乘法是解题的关键．
4．把多项式 分解因式，下列结果正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】利用公式 即可得答案．
【详解】解：
故选:D．
【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握公式
．
5．如果x2+kx﹣10＝（x﹣5）（x+2），则k应为（ ）
A．﹣3 B．3 C．7 D．﹣7
【答案】A
【分析】根据多项式乘以多项式把等号右边展开，即可得答案．
【详解】解：（x-5）（x+2）=x2-3x-10，
则k=-3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了因式分解，关键是掌握x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．
6．如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据十字相乘法进行因式分解的方法，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、 ，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；
B、 ，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；
C、 ，能用十字相乘法进行因式分解，符合题意；
D、 ，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；
故选C
【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握十字相乘法进行因式分解．
7．因式分解 =_________【答案】
【分析】先提公因式再利用十字相乘法进行因式分解即可；
【详解】解： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查分解因式．熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
8．分解因式： ______．
【答案】 ##
【分析】先提取公因数，再用十字相乘法分解因式即可；
【详解】解：原式= ；
故答案为： ；
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式：对于形如x2+px+q的二次三项式，若能找到两数a、b，
使a•b=q且a+b=p，那么x2+px+q= x2+（a+b）x+a•b=（x+a）（x+b）．
9．因式分解： ______________．
【答案】
【分析】根据二次三项式的特征，采取十字相乘因式分解法直接分解即可．
【详解】解：采取十字相乘因式分解法直接分解 ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查十字相乘法因式分解，根据代数式特征选择恰当的因式分解方法是解决问题的
关键．
10．因式分解： _______．【答案】
【分析】利用十字相乘法分解因式即可得．
【详解】解：因为 ，且 是 的一次项的系数，
所以 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题关键．
11．观察下列因式分解中的规律：① ；② ；③
；④ ；利用上述系数特点分解因式
__________．
【答案】
【分析】利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是明确二次项系数为1的十字相乘法公式：
．
12．分解因式：x2﹣7xy﹣18y2＝___．
【答案】
【分析】根据十字相乘法因式分解即可．
【详解】x2﹣7xy﹣18y2 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．三、解答题
13．阅读材料：
由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x²+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘
法”进行因式分解的公式：x²+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．
示例：分解因式：x2+5x+6＝x²+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）． 请用上述方法分解因式：
(1)x2-3x-4；
(2)x2-7x+12．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据-4=1×(−4)，1-4=-3即可分解因式；
（2）根据-3×(-4)=12，-3-4=-7即可分解因式．
（1）
解：x2−3x−4
=x2+(1-4)x+1×(−4)
=(x+1)(x−4)；
（2）
解：x2−7x+12
=x2+(−3−4)x+(−3)×(−4)
=(x−3)(x−4)．
【点睛】本题考查了十字相乘法，解题的关键是把常数项拆成两个数的积，而两个数的和正好等
于一次项的系数．
14．阅读理解题：由多项式乘法： ，将该式从右到左使用，即可
进行因式分解的公式： ．
示例：分解因式： ．
分解因式： ．
多项式 的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．(1)尝试：分解因式： ；
(2)应用：请用上述方法将多项式： 、 进行因式分解．
【答案】(1)2，4
(2) ，
【分析】（1）利用阅读材料的方法解答，即可求解；
（2）利用阅读材料的方法解答，即可求解；
(1)
；
故答案为：2，4
(2)
解：
；
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，理解阅读材料的因式分解方法是解题的关键．
15．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算： ；
．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
； ．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子 分解因式．这个式子的二次项系数是 ，常
数项 ，一次项系数 ，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉
线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．
这样，我们就可以得到： ．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
(1) __________；
(2) __________；
(3) __________；
(4) __________．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）仿照题意求解即可；
（2）仿照题意求解即可；
（3）仿照题意求解即可；
（4）仿照题意求解即可．
(1)
解：根据题意可知
(2)解：根据题意可知
(3)
解：根据题意可知
(4)
解：根据题意可知
【点睛】本题主要考查分解因式，正确理解题意是解题的关键．
16．阅读下列材料：根据多项式的乘法，我们知道， ．反过来，就得到
的因式分解形式，即 ．把这个多项式的二次项系数1分解为
，常数项10分解为 ，先将分解的二次项系数1，1分别写在十字交叉线的左上角和
左下角；再把 ， 分别写在十字交叉线的右上角和右下角，我们发现，把它们交叉相乘，再求
代数和，此时正好等于一次项系数 （如图1）．
像上面这样，先分解二次项系数，把它们分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，
把它们分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其正好等于一次项
系数，我们把这种借助“十字”方式，将一个二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
例如，将二次三项式 分解因式，它的“十字”如图2：
所以， ．
请你用十字相乘法将下列多项式分解因式：
(1) ；
(2) ；(3) ．
【答案】(1)（x+2）（x+3）
(2)（2x-1）（x-3）
(3)（x+2）（x-m）
【分析】根据阅读材料中的十字相乘法即可得出答案．
（1）
解：
由上图可知：x2+5x+6=（x+2）（x+3），
故答案为：（x+2）（x+3）；
（2）
解：
由上图可知：2x2-7x+3=（2x-1）（x-3），
故答案为：（2x-1）（x-3）；
（3）
解：
由上图可知：x2+（2-m）x-2m=（x+2）（x-m），
故答案为：（x+2）（x-m）．
【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，关键是读懂材料掌握十字相乘的基本步骤．
17．探究：如何把多项式x2+8x+15因式分解？（1）观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？ 答：________；
（2）（阅读与理解）：由多项式乘法，我们知道（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到
左地使用，即可对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解，即：x2+（a+b）x+ab=（x+a）
（x+b）
此类多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数
之和．
猜想并填空：x2+8x+15=x2+[（_____）+（_____）]x+（___）×（___）=（x+____）（x+_____）
（3）上面多项式x2+8x+15的因式分解是否符合题意，我们需要验证．请写出验证过程．
（4）请运用上述方法将下列多项式进行因式分解：x2-x-12
【答案】（1）不能；（2）3；5；3；5；3；5；（3）x2+8x+15；（4）（x-4）（x+3）
【分析】（1）根据完全平方公式的结构特征进行判断即可；
（2）将x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）即可得出答案；
（3）根据整式乘法计算（x+3）（x+5）的结果即可；
（4）将x2+[3+（-4）]x+[3×（-4）]即可得出答案．
【详解】解：（1）因为x2+8x+16=（x+4）2，
所以x2+8x+15不是完全平方公式，
故答案为：不能；
（2）∵x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）
∴x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）=（x+3）（x+5），
故答案为：3，5，3，5，3，5；
（3）∵（x+3）（x+5）=x2+5x+3x+15=x2+8x+15，
∴x2+8x+15=（x+3）（x+5）
因此多项式x2+8x+15的因式分解是符合题意的；
（4）x2-x-12=x2+[3+（-4）]x+[3×（-4）]=（x+3）（x-4）．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，掌握x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）的结构特征是正
确应用的前提．
18．由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相
乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．
示例：分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．
（1）尝试：分解因式：x2+6x+8＝（x+____）（x+____）；
（2）应用：请用上述方法解方程：
①x2﹣3x﹣4＝0；②x2﹣7x+12＝0．
【答案】（1）2，4；（2）① 或 ；② 或
【分析】（1）类比题干因式分解方法求解可得；
（2）①利用十字相乘法将左边因式分解为 后求解可得；②利用十字相乘法将左边因
式分解 后求解可得．
【详解】解：（1） ，
故答案为：2，4；
（2）① ，
，
，
则 或 ，
解得： 或 ，
② ，
，
，
则 或 ，
解得： 或 ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常
用方法中的因式分解法．
19．阅读材料：解方程 我们可以按下面的方法解答：
（1）分解因式 ，
①竖分二次项与常数项： ， ．
②交叉相乘，验一次项： ．
③横向写出两因式： ．（2）根据乘法原理：若 ，则 或 ，则方程 可以这样求解
方程左边因式分解得 所以原方程的解为 ， ．试用上述方
法和原理解下列方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ， ；（2） ，
【分析】（1）利用已知结合十字相乘法分解因式得出即可；
（2）利用已知结合十字相乘法分解因式得出即可．
【详解】解：（1） ，
，
，
， ．
（2） ，
，
，
， ．
【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式的应用，解题的关键是正确利用十字相乘法分解因
式．
20．阅读下列材料：
材料1：将一个形如x2＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n，则可以
把x2＋px＋q因式分解成（x＋m）（＋n）的形式，如x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；x2﹣4x﹣12
＝（x﹣6）（x＋2）
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1
解：将“x＋y”看成一个整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2，再将“A”还原，得原式＝（x＋y＋1）2
上述解题方法用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下
列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x＋8分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据材料1的方法，满足 ，进而进行因式分解即可；
（2）根据材料1的方法，满足 ，根据材料2将“ ” 看成一个整体，进而因
式分解即可
【详解】（1）
x2﹣6x＋8
（2）令 ,
则（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3
（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3
【点睛】本题考查了因式分解，运用整体思想是解题的关键．
