文档内容
专题32 因式分解的应用（和拼图有关）
1．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：可用图1来解释
（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）请你写出图2所表示的代数恒等式；
（2）试在图3的方框中画出一个几何图形，使它的面积等于a2+4ab+3b2．
【答案】（1）（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；（2）见解析
【分析】（1）根据大矩形面积等于各小图形的面积和求解即可；
（2）将原式进行因式分解，然后得到一边长（a+b），另一边长（a+3b），据此作出图形即可．
【详解】（1）图2所表示的代数恒等式为（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；
（2）由题意得：a2+4ab+3b2＝（a+b）（a+3b），所以得到下图
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何证明，因式分解的几何应用，根据面积相等写出恒等式
是本题的关键．
2．我们已经知道，乘法公式可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释其正确性，实际上还有很多
代数恒等式也可用这种形式说明其正确性．例如图1可以用来解释：2a(a+b)=2a2+2ab．
（1）试写出图2所表示的代数恒等式： ；
（2）试在图3的方框内画出一个平面图形，使它的面积能表示： (2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2．【答案】（1）(a+b)(a+2b)= a2+3ab+2b2；（2）见解析
【分析】（1）根据图2中长方形面积的两种求法即可得出结论；
（2）先画一个长方形，将长方形的一边分成一条长为a，两条长为b的线段，然后从这三条线段
的端点处在长方形的内部画竖线，再将长方形的另一边分成两条长为a，一条长为b的线段，然后
从这三条线段的端点处在长方形的内部画横线即可．
【详解】解：（1）由图2可知：图中长方形的面积等于长×宽，也等于这些小长方形的面积之和
(a+b)(a+2b)= a2+ab+ab +ab +b2+b2= a2+3ab+2b2
故答案为：(a+b)(a+2b)= a2+3ab+2b2；
（2）先画一个长方形，将长方形的一边分成一条长为a，两条长为b的线段，然后从这三条线段
的端点处在长方形的内部画竖线，再将长方形的另一边分成两条长为a，一条长为b的线段，然后
从这三条线段的端点处在长方形的内部画横线，如下图所示，该平面图形即为所求．
【点睛】此题考查的是整式乘法的几何意义，掌握利用面积法推导整式的乘法是解决此题的关键．
3．阅读材料并回答问题：我们已经知道，完全平方公式，平方差公式可以用几何图形的面积来表
示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，比如图②可以解释为：(a+2b)
(a+b)=a2+3ab+2b2．
（1）请写出图③可以解释的代数等式：____________________________；
（2）在下面虚线框中用图①中的基本图形若干块，拼成一个长方形（每种至少用一次，卡片之间
不能有缝隙或重叠），使拼出的长方形面积为3a2+7ab+2b2，并写出这个长方形的长和宽是
________________________．【答案】（1） (a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2；（2）见解析，a+2b，3a+b
【分析】（1）根据图形即可得出所求的式子；
（2）现将原式写成（3a+b）（a+2b）的形式，然后画出一个长3a+b，宽a+2b的长方形即可．
【详解】解：（1）有图形可得：2a2+5ab+2b2=（a+2b）（2a+b）
故答案为：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2；
（2）由3a2+7ab+2b2=（3a+b）（a+2b）
所以其可以表示成一个长3a+b，宽a+2b的长方形，故如图：
【点睛】本题考查了利用图形面积研究因式分解、多项式乘多项式与图形面积，弄清关键、弄清
图形和代数式的关系是解答本题的关键．
4．如图，有足够多的边长为a的小正方形(A类)、长为a宽为b的长方形(B类)以及边长为b的大
正方形(C类)，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．
比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2(1)取图①中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为(2a+b)(a+2b)，在虚框中画
出图形，并根据图形回答(2a+b)(a+2b)=_____________
(2)若取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．根据你画的长
方形，可得到恒等式_____________
(3)如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长
（x>y），观察图案，指出以下正确的关系式___________填写选项）．
A．xy = B．x+y=m C．x2－y2=m·n D．x2+y2 =
【答案】(1)图见解析；2a2+5ab+2b2; （2）a2+5ab+6b2=（a+2b)(a+3b);(3) ABCD
【详解】试题分析：（1）根据题意画出图形，如图所示，即可得到结果．
（2）根据图形和面积公式得出即可；
（3）根据题意得出x+y=m，m2-n2=4xy，根据平方差公式和完全平方公式判断即可．
试题解析：（1）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2，
画图如下：
（2）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2，
（3）根据图③得：x+y=m，∵m2-n2=4xy，
∴xy= ，
x2-y2=（x+y）（x-y）=mn，
∴x2+y2=（x+y）2-2xy=m2-2× = ，
∴选项A、B、C、D都正确．
【点睛】本题考查了分解因式，长方形的面积，平方差公式，完全平方公式的应用，主要考查学
生的观察图形的能力和化简能力．
5．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图（1）可以
用来解释 ，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进
行因式分解．
如图（2），将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为 的大正方形，两
块是边长都为 的小正方形，五块是长为 ，宽为 的全等小长方形，且 ．（以上长度单位：
）
（1）观察图形，可以发现代数式 可以分解因式为_________
（2）若每块小长方形的面积为 ，四个正方形的面积和为 试求图中所有裁剪线（虚线
部分）长之和．【答案】（1） ；（2）42cm．
【分析】（1）根据图形的面积直接可以得到；
（2）根据 ， ，可得 ，可求得 ，根据图形可知，图中所
有裁剪线（虚线部分）长之和是 ，据此求解即可．
【详解】（1）根据图形，依题意可得：
（2）依题意得 ，
，
根据图形可知，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是：
图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为 ．
【点睛】本题考查完全平方公式和因式分解的应用，理解题意，从题目中获取信息，列出正确的
代数式，再由图形的特点求解是解题的关键．
6．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2
+2ab + b2＝(a+b)2．现有足够多的正方形卡片1号，2号和长方形卡片3号，如图C．
（1）根据图B完成因式分解： ；
（2）现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张．在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大
正方形，则这个大正方形的边长为 ；
（3）现要拼出一个面积为 的长方形，则需要 号卡片 张， 号卡片 张，号卡片 张．
（4）比较图A中的两个正方形面积之和 与两个长方形面积之和 的大小关系，并说明理由 ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ， ， ；（4） ，理由见详解．
【分析】（1）观察图象可知大正方形面积等于两个小正方形的面积和加上两个长方形面积和，即
可得到结论；
（2）观察图象可知大长方形面积等于两个正方形面积加上两个长方形面积，即可得到结论；
（3）根据所给图象画出图形，即可得到结论；
（4）由完全平方公式的非负性可得结论．
【详解】解：（1）根据图形可知图形面积为： ，
故答案为：
（2）如图，
，
∴正方形边长为 ，
故答案为： ．
（3）如图，
根据图形可知： =
故答案为： ， ，
（4）根据题意得： ， ，则理由：
∵
∴
即 ．
【点睛】本题考查完全平方公式和几何图形的应用，主要考查学生的画图能力和计算能力．
7． 我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释
，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解.
（1）图B可以解释的代数恒等式是 ；
（2）现有足够多的正方形和矩形卡片，如图C：
①若要拼出一个面积为（3a+b）（a+2b）的矩形，则需要1号卡片 张，2号卡片 张，3号卡片
张；
②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为
6a2+7ab+2b2，并利用你画的图形面积对6a2+7ab+2b2进行因式分解.
【答案】（1）（2n）2=4n2或2n·2n=4n2；（2）① 3，2 ,7；② 6a2+7ab+2b2=（2a+b）（3a+2b），
图见解析
【分析】（1）根据正方形的面积求出结果即可解决；
（2）①求出（3a+b）（a+2b）的值，即可得出答案；
②根据题意先判断出需要分别需要几块1号、2号、3号的图形，然后拼摆画出图形，即可得出答
案，根据图形和矩形面积公式求出即可.
【详解】解：⑴(2n)2=4n2或2n·2n=4n2
⑵① ，故需要1号卡片3张，2号卡片2张，3号卡片7张；
②根据题意，需要6块1号图形，需要2块2号图形，需要7块3号图形，进行拼摆，如下图是一
个两边长分别为（2a+b）和（3a+2b）的长方形；6a2+7ab+2b2=（2a+b）（3a+2b）
【点睛】本题考查了整式运算和因式分解，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握整式的运
算法则，掌握长方形的面积计算公式.
8．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释
，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
（1）图B可以解释的代数恒等式是 ；
（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3
号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），
使该矩形的面积为 ，并利用你所画的图形面积对 进行因式分解．
【答案】（1） ；（2）
【详解】试题分析：（1）根据图所示，可以得到长方形长为2a，宽为a+b，面积为：2a
（a+b），或四个小长方形和正方形面积之和；
（2）①根据题意，可以画出相应的图形然后完成因式分解.
试题解析：（1）
（2）①根据题意，可以画出相应的图形，如图所示②因式分解为：
9．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具
有可操作性，从而帮助我们解决问题．初中数学中有一些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形
面积来解释．某同学在学习的过程中动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
(1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②），根据这个图形的面积关
系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 ；
(2)如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片 张，3号卡片
张；
(3)当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把
多项式 分解因式，其结果是 ；
(4)请你依照该同学的方法，在指定位置画出拼图并利用拼图分解因式 ＝ ．
【答案】(1)（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
(2)2；3
(3)（a＋2b）（a＋b）
(4)（a＋2b）（a＋3b）
【分析】（1）把完全平方式和图形的面积相联系，从而得出乘法公式；
（2）利用乘法公式把（a＋2b）（a＋b）进行展开，找出b2和ab项的系数，也就是对应的卡片数
量；
（3）观察图形可以得出a2＋3ab＋2b2等于大长方形的面积（a＋2b）（a＋b）；
（4）根据1号、2号、3号卡片的数量进行画图，从而得出结果．
（1）解：大正方形的面积＝（a＋b）2，
也等于各部分面积之和，即a2＋2ab＋b2，
∴（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2．
故答案为：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2．
（2）
解：把（a＋2b）（a＋b）展开得：a2＋3ab＋2b2，
∴需要2号卡片数量是2张，3号卡片数量是3张．
故答案为：2；3．
（3）
解：由图③根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积，
∴a2＋3ab＋2b2＝（a＋2b）（a＋b）．
故答案为：（a＋2b）（a＋b）．
（4）
解：如图所示：
∴a2＋5ab＋6b2＝（a＋2b）（a＋3b）．
故答案为：（a＋2b）（a＋3b）．
【点睛】考查了完全平方式和因式分解以及多项式乘多项式，找出多项式与几何图形的面积关系，
是解题关键．
10．阅读下列材料，并解答问题．
面积与代数恒等式
通过学习，我们知道可以用图1的面积来解释公式 ，人们经常称作用面积解
释代数恒等式实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如可用图2表示
．
请根据阅读材料，解答下列问题:（1）请写出图3所表示的代数恒等式： ；
（2）试画一个几何图形，使它的面积表示： ；
（3）请仿照上述方法另写一个含有 ， 的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
，图见解析．
【分析】（1）仔细观察图 ，大正方形的边长为 ，大正方形里面有九个小图形，分别是
一个 、一个 、一个 、两个 、两个 和两个 ，即可写出代数恒等式．
（2）根据题意可知，等号左边表示的是一个长方形面积，等号的右边表示的是长方形里面的小图
形的面积和，从而顺利解答．
（3）仿照前面的做法，即可解答本题．
【详解】（1）
（2）答案不唯一，如答图1．（3）答案不唯一，如等式 ．
如答图2．
【点睛】本题主要考查了代数公式可以用几何图形中的面积来表示，根据几何图形进行代数恒等
式的推导，本题的解答，需注意观察图形和等式的关系．先用不同的形式表示图形面积，再由面
积不变列出等式即可．本题十分新颖，充分考查了学生学以致用的能力，同时也加深了对整式乘
法的理解．
11．利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，如图1可以验证一个代数恒等式（a+b）2＝（a
﹣b）2+4ab．
（1）如图2，用若干张A，B，C的卡片拼成一个长方形面积为（2a+b）（a+b），那么需要A，
B，C卡片各多少张？
（2）如果用1张A，5张B，6张C拼成一个长方形，那么这个长方形的边长分别是 和
．
【答案】（1）需要A卡片2张，B卡片3张，C卡片1张；（2）（a+2b）；（a+3b）．
【分析】（1）按照多项式乘法的运算法则将（2a+b）（a+b）展开，则可得需要的A，B，C纸片
的张数；
（2）先算出用1张A，5张B，6张C拼成一个长方形的面积，再将其因式分解，则可得这个长方
形的边长．
【详解】（1）∵（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2
而图片A，B，C的面积分别为：a2，ab，b2
∴需要A卡片2张，B卡片3张，C卡片1张．
（2）如果用1张A，5张B，6张C拼成一个长方形则其面积为：a2+5ab+6b2；
∵a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b）
∴这个长方形的边长分别是（a+2b）和（a+3b）．
故答案为：（a+2b）；（a+3b）．
【点睛】本题考查了整式乘法的几何背景，数形结合，根据图形正确列式并计算，是解题的关键．
12．如图，有足够多的边长为 的小正方形（ 类），长为 、宽为 的长方形（ 类）及边长为
的大正方形（ 类）． 发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，
比如图②可以解释为 ．
(1)取图①中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为 ，画出
图形，并根据图形回答： ______________．
(2)若取其中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为 ，
①你画的图中需 类卡片___________张；
②可将多项式 分解因式为_______________；
(3)如图③，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ．若用 表示四个相同的长方形的两边长
，观察图形并判断下列关系式：① ；② ；③ ；④
，其中正确的是____________．
【答案】(1)画图见解析，2a2+5ab+2b2；
(2)①6；②a2+5ab+6b2=（a+3b）（a+2b）；
(3)①②
【分析】（1）先画出拼图，再根据拼图计算（2a+b）（a+2b）的结果即可；（2）①根据a2+5ab+6b2可得用A型的1张，B型的5张，C型的6张，可以拼图需要C型数量，
②根据拼图可得到分解因式后得到结果；
（3）根据m、n与x、y之间的关系，利用恒等变形，可得结论．
（1）
解：拼图如图所示：
所以（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2，
故答案为：2a2+5ab+2b2；
（2）
①a2+5ab+6b2即用A型的1张，B型的5张，C型的6张，
故答案为：6
可以拼成如图所示的图形，
因此可得等式：a2+5ab+6b2=（a+3b）（a+2b），
故答案为：a2+5ab+6b2=（a+3b）（a+2b）；
（3）
由图③可知，m=x+y，n=x-y，故②符合题意；
因此有m+n=2x，m-n=2y，
故①符合题意；
mn=（x+y）（x-y）=x2-y2；故③不符合题意；
故④不符合题意；
故答案为：①②．
【点睛】考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，理解拼图原理是得出关系式的前提．13．一天小明和小丽玩纸片拼图游戏，他们发现利用图1中的三种类型的纸片可以拼出一些图形
来解释某些等式，例如，由图2，我们可以得到 ．
(1)由图3可以解释的等式是_________；
(2)用边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的长方形卡片6张，边长为b的正方形卡片9
张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为_________；
(3)小丽用5个长为b，宽为a的长方形按照图4方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中
未被覆盖的两个部分，设左上角的面积为S，右下角的面积为S，当BC的长变化时，S﹣S 的值
1 2 2 1
始终保持不变，求a与b的数量关系．
【答案】(1)(a+2b)(2a+b) =2a2+5ab+2b2 ；
(2)a+3b
(3)2a=b
【分析】（1）根据图形面积可得等式；
（2）先计算出这16张卡片的总面积，其和为一完全平方式，据此解答即可；
（3）设AD=x，由图可知S=b(x－3a) ，S=2a(x－b)，得到劲S- S=2a(x－b)－b(x－3a)=(2a－
1 2 2 1
b)x+ab，根据取值与x可得2a=b．
（1）
根据图可知长方形面积有（2a+b）（2b+a）=2a2+5ab+2b2；
故答案为(a+2b)(2a+b) =2a2+5ab+2b2（2）
设拼成后大正方形的边长为x，
∴a2+6ab+9b2=x2，
∴（a+3b）2=x2，
∴该正方形的面积：（a+3b）2，
∴该正方形的边长：a+3b，
故答案为：a+3b；
（3）
设AD=x，
S=b(x-3a)
1
S=2a(x-b)
2
S- S=2a(x-b)-b(x-3a)=(2a-b)x+ab
2 1
当2a-b=0时，S- S 不变
2 1
即2a=b
【点睛】本题考查了完全平方公式，整式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力和观察图
形的能力．
14．【数学实验】如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B
类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干个可以拼出一些长方形
来解释某些等式．例如图②可以解释为：（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2．
【初步运用】
（1）仿照例子，图③可以解释为： ；
（2）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的边长分别为（2a＋3b）、
（a＋5b），不画图形，试通过计算说明需要C类卡片多少张；
【拓展运用】
若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的面积为2a2＋5ab＋3b2，通过操
作你会发现拼成的长方形的长宽分别是 ，将2a2＋5ab＋3b2改写成几个整式积的形式为
．【答案】（1）a2+2ab+b2；（2）15张；（3）2a+3b，a+b，（2a+3b）（a+b）．
【分析】（1）根据图②结合图形的面积即可得到结论；
（2）根据多项式乘多项式的法则即可得到结论；
（3）根据已知条件可画出图形，于是得到矩形的两边．
【详解】（1）图③可以解释为：（a+b）（a+b）=a2+2ab+b2；
故答案为：a2+2ab+b2；
（2）∵（2a+3b）（a+5b）=2a2+13ab+15b2，
∴需要C类卡片15张；
（3）如图：
长方形的长是2a+3b，宽是a+b，2a2+5ab+3b2=（2a+3b）（a+b）．
故答案为：2a+3b，a+b，（2a+3b）（a+b）．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，
然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．
15．阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实
际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如 就可以用如下
的图形面积来表示．
（1）试画出一个几何图形，使它的面积能表示： ；
（2）请仿照上述方法另写出一个含有a，b的代数恒等式（要求不同于上述多项式），并画出与
之对应的几何图形．
【答案】（1）见解析；（2）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2，画图见解析
【分析】（1）设计一个长方形的长为a+3b，宽为a+b的大长方形即可；
（2）设计一个长方形的长为2a+b，宽为a+2b的大长方形即可．
【详解】解：（1）如图所示．（2）如图所示：（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式
的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
16．数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，如图1可以解释完全平方公
式： ．
（1）如图2（图中各小长方形大小均相等），请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（不
化简）：
方法1： _________________；
方法2∶ _________________．
（2）由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式?
（3）①已知 ， ，请利用（2）中的等式，求 的值．
②已知 ， ，请利用（2）中的等式，求 的值．【答案】（1） ， ；（2） ；（3）① ；②1
【分析】（1）根据阴影部分的面积=4个小长方形的面积=大正方形的面积-小正方形的面积即可解
答；
（2）根据（1）求得的结果，利用两种方法求得的阴影面积相等即可解答；
（3）①根据 即可得到 ，由此求解即可；
②根据 可得 ，由此求解即可．
【详解】解：（ ）方法1：阴影部分面积为4个相同的小长方形的面积之和，
∴阴影部分面积= ；
方法2：阴影部分面积=大正方形的面积-小正方形面积
∴阴影部分面积= ．
故答案为： ， ；
（ ）∵（1）中两种方法求得的阴影部分面积相等，
∴ ；
（ ）①∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
② ， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据阴影部分的面积与大正方形的面积-小正方形
的面积相等列式计算是解题的关键．
17．阅读理解：数形结合作为一种数学思想方法，应用可分为两种情形：第一种情形是“以数解
形”，借助于数（式）的计算来说明图形的某些性质；第二种情形是“以形助数”，借助图形的
直观性来说明数（式）之间数量关系．本学期学习的整式乘法法则，可借助图形的面积，分别从
整体、局部来计算同一个图形的面积来构建等式，进而解释、验证整式乘法法则．解决问题：如图1，利用A、B、C三种纸片各若干，可以拼出一些图形来解释某些等式，比如图2
可以解释等式 ．
(1)图3可以解释等式： ；
(2)观察图4，请你写出 、 和 之间的数量关系是 ；
(3)利用5张B种纸片拼成如图5的大长方形，记长方形ABCD的面积与长方形EFGH的面积差为
S．
①若CD＝7时，试用含a、b的代数式表示S；
②设CD＝x，且当x取不同数值时，S永远为定值，求a与b之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)① ；②
【分析】（1）根据题意可得大长方形的长为a+2b，宽为a+2b，大长方形还可以看成是由2个边长
为a的正方形，5个长为b，宽为a的小长方形，2个边长为b的正方形组成的，即可求解；
（2）根据题意可得阴影部分为边长为a-b的小正方形，阴影部分的面积还可以看成是边长为a+b
的大正方形的面积减去4个长b，宽为a的小长方形的面积，即可求解；
（3）①根据题意可得BC＝ ，DE＝ ，EH＝CF＝ ，从而得到EF＝ ，再由S＝S
长方
ABCD－S EFGH，可得S＝CD·BC－EH·EF，再代入，即可求解；②由①可得EF＝
形 长方形
，从而得到S＝ ，再根据当x取不同数值时，S永远为定值，可得 ，即
可求解．
（1）解：根据题意得：大长方形的长为a+2b，宽为a+2b，
大长方形还可以看成是由2个边长为a的正方形，5个长为b，宽为a的小长方形，2个边长为b的
正方形组成的，
∴ ，
故答案为：
（2）
解：根据题意得：阴影部分为边长为a-b的小正方形，
阴影部分的面积还可以看成是边长为a+b的大正方形的面积减去4个长b，宽为a的小长方形的面
积，
∴ ，
故答案为：
（3）
解：①由题意知，BC＝ ，DE＝ ，EH＝CF＝ ，
EF＝CD＋CF－DE＝ ，
因为S＝S ABCD－S EFGH，
长方形 长方形
所以S＝CD·BC－EH·EF＝7· － · ，
即S＝ ．
②由①知EF＝ ，
则S＝CD·BC－EH·EF＝ · － · ，
即S＝ ＝ ，
又因为当x取不同数值时，S为定值，
所以 ，
即 ．
【点睛】本题主要考查了多项式的乘法与面积恒等式，利用数形结合思想解答是解题的关键．
18．【知识生成】我们已经知道，多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．例如利用图1的
面积可以得到 ，基于此，请解答下列问题：（1）请你写出图2所表示的一个等式：________．
（2）小明同学用图3中 张边长为 的正方形， 张边长为 的正方形， 张宽、长分别为 、
的长方形纸片拼出一个面积为 长方形，则 ________．
【知识迁移】（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些等式，图4表示的是一个边
长为 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写
出一个代数恒等式：________．
【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）9；（3）x3-x=x（x+1）（x-1）
【分析】（1）依据正方形的面积=（a+b+c）2；正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；
（2）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5b2+2ab，
即可得到x，y，z的值．
（3）根据原几何体的体积=新几何体的体积，列式可得结论．
【详解】解：（1）由图2得：正方形的面积=（a+b+c）2；
正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）由题意得：（2a+b）（a+2b）=xa2+yb2+zab，
∴2a2+5ab+2b2=xa2+yb2+zab，
∴ ， ， ，
∴ ；
故答案为：9.（3）∵原几何体的体积=x3-1×1•x=x3-x，新几何体的体积=x（x+1）（x-1），
∴x3-x=x（x+1）（x-1）．
故答案为：x3-x=x（x+1）（x-1）．
【点睛】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面
积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．
