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专题4.18 角（知识讲解）
【学习目标】
1．掌握角的概念及角的表示方法；
2. 借助三角尺画一些特殊角，能进行角度的互换；
3．掌握角的分类．
【要点梳理】
要点一、角的概念
1.角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，
这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
图1 图2
（2）定义二：一条射线绕着它的端 点旋转而形成的图
形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB
的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
特别说明：
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短
无关．
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一
条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做
周角．
2. 角的表示法：
角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
特别说明：
用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．
要点二、方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线 OA的方向是北偏
东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方
向的角，就叫做方位角．
特别说明：
（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏
北30°”；
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字
线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
要点三、钟面角问题
钟表中共有 12个大格，把周角 12等分、每个大格对应 30°的角，分针 1分钟转
6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角
度的计算问题．
【典型例题】
知识点一、角的概念
1．如图，下列说法错误的是（ ）
A． 也可用 来表示
B． 与 是同一个角
C．图中共有三个角： ， ，
D． 与 是同一个角
【答案】A
【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字
母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，
∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示进行分析即可．
解：A、∠1与∠AOB是同一个角，不可用∠O来表示，说法错误；
B、∠β与∠BOC是同一个角，说法正确；
C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，说法正确；
D、∠1与∠AOB是同一个角，说法正确；
故选：A．
【点拨】此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法．
举一反三：
【变式1】 下列说法中，正确的个数是（ ）
（1）两条射线所组成的图形叫做角；
（2）角是有公共端点的两条射线；
（3）角的大小与边的长短无关；
（4）两条射线，它们的端点重合时可以形成角；
（5）有一个公共端点的两条线段组成的图形叫做角．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据角的定义及性质逐项判断即可．
解：（1）有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，故（1）错误；
（2）角是有公共端点的两条射线组成的图形，故（2）错误；
（3）角的大小与边的长短无关，说法正确；
（4）两条射线，它们的端点重合时可以形成角，说法正确；
（5）有一个公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故（5）错误．
即正确的个数为2个，
故选：B．
【点拨】本题考查了角的定义及性质，紧扣角的定义即可作答．角的定义：有公共端
点的两条射线所组成的图形叫做角；一条射线绕着它的端点从一个位置旋转至另一个位置
所形成的图形．
【变式2】如图，已知四个点A、B、C、D和∠MON的位置关系，那么下列说法中，
错误的是（ ）A．点A在∠MON的外部 B．点B在∠MON的外部
C．点C在∠MON的内部 D．点D在∠MON的内部
【答案】B
【分析】根据角的概念和点与角的位置关系分别对每一项进行分析即可．
解：A选项：点A在∠MON的外部，正确；
B选项：因为点B在∠MON上，不是在∠MON的外部，所以本选项错误；
C选项：点C在∠MON的内部，正确；
D选项：点D在∠MON的内部，正确．
故选B．
【点拨】此题考查了角的概念，掌握点与角的位置关系是解题的关键．
知识点二、角的表示方法
2．在下列四个图形中，能用 、 、 三种方法表示同一个角的图形是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据角的表示方法和图形逐个判断即可．
解：A、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故A选项不合题意；
B、能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故B选项符合题意；
C、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故C选项不合题意；
D、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故D选项不合题意；故选：B．
【点拨】本题考查了角的表示方法的应用，角可以用一个大写字母表示，也可以用三
个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶
点处的一个大写字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．
举一反三：
【变式1】将图中的角用不同的方法表示出来，并填写下表：
_____ _____
_____ _____ _____
【答案】
【分析】根据角的表示方法分析即可，角的两个基本元素中，边是两条射线，顶点是
这两条射线的公共端点．是同一个角必须满足顶点相同，角的两边必须分别是指同一条射
线．
解： 可以表示为 ，
可以表示为 ，
可以表示为 ，
可以表示为 ，
可以表示为 ，
故答案为： ， ， ， ， ．
【点拨】本题考查了角的表示方法，理解角的表示方法是解题的关键．
【变式2】 如图，用三个大写字母表示 为________； 为________； 为
________．【答案】
【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表
示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字
母来记这个角．
解：用三个大写字母表示∠1为 ；∠2为 ；∠3为 ；
故答案为： ； ； ．
【点拨】此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法．
知识点三、角的分类
3、如图所示，图中共有_______个小于180°的角，其中最大的角是_____．
【答案】 6
【分析】根据角的表示准确计算即可；
解：根据已知图形可得，小于180°的角有： ， ， ， ，
， 共有6个；其中最大的是 ；
故答案是6； ．
【点拨】本题主要考查了角的意义和表示，准确计算是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，锐角的个数共有_______个.
【答案】5
解：以OA为一边的角∠AOB=20°，∠AOC=20°+30°=50°，∠AOD=20°+30°+50°=100°
（钝角舍去），以OB为一边的角∠BOC=30°，∠BOD=50°+30°=80°，
以OC为一边的角∠COD=50°．
锐角共有∠AOB，∠AOC，∠BOC，∠BOD，∠COD．
故答案为：5．
【变式2】如图所示，∠BOD＝45°，那么不大于90°的角有___个，它们的度数之和是
____．
【答案】 10 450°
【分析】(1)∠AOE＝90°，故图中所有的角都是不大于90°的角；
(2)将所有的角相加，发现有的角相加等于∠EOA，即和为90°，而有的角相加等于
∠BOD，即和为45°，将这样的角凑在一起计算，即可求出所有角的度数.
解：不大于 90°的角有∠EOD，∠EOC，∠EOB，∠EOA，∠DOC，∠DOB，
∠DOA，∠COB，∠COA，∠BOA共10个；
它们的度数之和是(∠EOD＋∠DOA)＋(∠EOC＋∠COA)＋(∠ EOB＋∠BOA)＋
[(∠DOC＋∠COB)＋∠DOB]＋∠EOA＝90°＋90°＋90°＋(45°＋45°)＋90°＝450°.
故答案为10；450°.
【点拨】此题主要考查角的表示与和差关系，解题的关键是熟知角的定义运算法则.
知识点四、钟面角
4、（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数．
（2）每经过 ，时针转过多少度？每经过 ，分针转过多少度？
（3）当时钟指向上午 ，时针与分针的夹角是多少度？（4）请你的同伴任意报一个时间（精确到分），你来确定时针与分针的夹角．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）答案不唯一，见分析．
【分析】（1）时针的12个小时把360°分解成12份，每份30°，按照这个度数关系对
每个时钟表进行计算即可．
（2）时针1小时走总度数的 ，分针60分钟把360°分解成60份，每份6°，分针一
分钟走一格，故是6°．
（3）先求出此时时针与10点整时时针的夹角，再用30°减去这个夹角，再加上3个
30°即可．
（4）方法与（3）相同，任选一个时间进行计算即可．
解：（1）巴黎时间：12到1夹角为360°的 ，是30°
伦敦时间：夹角为0°
北京时间：4个30°，故为120°
东京时间：3个30°，故为90°
（2）时针每经过1小时，转过360°÷12=30°，分针每分钟转过360°÷60=6°
（3）此时分针走过了360°的 ，所以时针移动的角度占30°的 ，是5°，所以剩余
25°，
故夹角为：25°+30°+30°+30°=115°
（4）9:20时此时时针与分针夹角是多少？
解：此时分针走过了360°的 ，时针移动的角度占30°的 ，是10°，20°+30°+30°
+30+30°+30°+30°=200°
故夹角为：360°-200°=160°.
【点拨】本题考查时针分针在转动过程中的夹角的求解，熟练掌握时针每小时走
30°，分针每分钟走6°是本题关键．
举一反三：
【变式1】已知时钟在5点到6点之间，分析时钟的时针与分针成直角时的时间可能是
几点几分？
【答案】5时 分或5时 分【分析】根据对钟表的认识，可得时针每分钟走0.5度，而分针每分钟走6度，5点时
针和分针的角度为150°，设5点x分，时针和分针所成的角度为90°，根据情况分类讨论，
即可得出答案.
解：5点时针和分针的角度为150°，设5点x分，时针和分针所成的角度为90°，
（1）时针在分针的前面时，
150+0.5x﹣6x=90，
解得：x ；
（2）时针在分针的后面时，6x﹣150﹣0.5x=90，
解得：x .
故答案为：5时 分或5时 分.
【点拨】本题考查了时针和分针所成的角度问题，考查了分类讨论思想的应用，解答
此题的关键要明确：时针每分钟走0.5度，分针每分钟走6度.
【变式2】（1）钟表上2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？
（2）若时针由2点30分走到2点55分，问分针转过多大的角度？
【答案】（1）22.5°；（2）150°
【分析】（1）利用钟表的钟面上每一格的度数为30度，然后利用时针从数字2开始
转动的角度为15×0.5°＝7.5°，然后用30°减去7.5°得到时针与分针所成的锐角的度数；
（2）利用分针每分钟转动6°求解．
解：（1）2点15分时分针指向数字3，而时针从数字2开始转动的角度为15×0.5°＝
7.5°，
所以钟表上2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数为30°﹣7.5°＝22.5°；
（2）分针转过的角度为25×6°＝150°．
【点拨】本题考查了钟面角：分针每分钟转动的角度为：360°÷60=6°；时针每分钟转
动的角度为：360°÷12÷60=0.5°．
知识点五、方位角
5、如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的东北方向（北偏东45°）
有一艘船．同时，从B地发现这艘船在它的北偏西60°方向．在图中画出这艘船的位置O．
（保留作图痕迹）【答案】见分析
【分析】利用方向角分别得出北偏东45°方向以及北偏西60°方向的位置产生的交点即
为所求．
解：如图所示：先作北偏东45°方向的射线AO，然后作北偏西60°方向的射线BO，两
条射线交于点O，点O即为这艘船的位置．
【点拨】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握方向角的确定方法是解题关键．
举一反三：
【变式1】如图，射线 表示的方向是北偏东 ，射线 表示的方向是北偏东 ，
已知图中 ．
(1) 求∠AOB的度数；
(2) 写出射线OC的方向．
【答案】(1) (2)北偏西【分析】（1）根据方向角的定义，结合图形中角的和差关系得出答案；
（2）根据角的和差关系求出 即可．
(1)解：如图，
射线 表示的方向是北偏东 ，即 ，
射线 表示的方向是北偏东 ，即 ，
，
即 ；
(2)解： ， ，
，
，
，
射线 的方向为北偏西 ．
【点拨】本题考查方向角，解题的关键是理解方向角的定义以及角的和差关系．
【变式2】根据描述标出每个同学家的位置
(1) 小红家在学校东偏北30°方向150米处．
(2) 学校在小平家北偏西45°方向200米处．
(3) 小华家在学校南偏西60°方向100米处．
(4) 小刚家在学校西偏北30°方向150米处．
【答案】(1)见分析(2)见分析(3)见分析(4)见分析【分析】（1）利用方向角的定义即可解答；
（2）利用方向角的定义即可解答；
（3）利用方向角的定义即可解答；
（4）利用方向角的定义即可解答．
解：(1)如图所示，
(2)如图所示，
(3)如图所示，
(4)如图所示，【点拨】本题考查了用坐标表示地理位置，正确掌握方向角的定义是解题的关键．
知识点六、方位角的计算
6、如图，学校A在小蕾家B南偏西 的方向上，点C表示核酸检测点所在的
位置， ，则核酸检测点在小蕾家什么方向？
【答案】核酸检测点在小蕾家北偏东71°方向
【分析】由题意易得∠ABC=136°，∠DBE=90°，∠ABD=27°，则有∠EBC=19°，然后
问题可求解．
解：如图，
∵∠ABC=136°，∠DBE=90°，∠ABD=27°，
∴∠EBC=136°- 27°- 90°=19°，
∵∠EBF=90°，
∴∠CBF=71°，∴核酸检测点在小蕾家北偏东71°方向．
【点拨】本题主要考查方位角，熟练掌握方位角是解题的关键．
举一反三：
【变式1】垃圾打捞船 和 都停驻在湖边观测湖面，从 船发现它的北偏东60°方向
有白色漂浮物，同时，从 船也发现该白色漂浮物在它的北偏西45°方向．
（1）试在图中确定白色漂浮物 的位置；
（2）点 在点 的北偏东60°的方向上，那么点 在点 的______方向上．
A．南偏东30° B．南偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°
（3）猜想 度数为______．
【答案】（1）见分析；（2）D；（3）105°
【分析】（1）根据题意构建方位，然后可得出点C的位置；
（2）由方位图可直接进行排除选项；
（3）过点C作直线CD与正北方向平行，由方位角可得点A在点C的南偏西60°方向
上，点B在点C的南偏东45°方向上，即∠ACD=60°，∠DCB=45°，进而问题可求解．
解：（1）由题意可作如图所示：
（2）由（1）及方位角可得点A在点C的南偏西60°方向上；
故选D；
（3）过点C作直线CD与正北方向平行，如图所示：
由方位角可得点A在点C的南偏西60°方向上，点B在点C的南偏东45°方向上，∴∠ACD=60°，∠DCB=45°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=105°；
故答案为105°．
【点拨】本题主要考查方位角，熟练掌握方位角是解题的关键．
【变式2】如图，P点是灯塔所在位置，轮船A位于灯塔南偏东40°方向，轮船B位于
灯塔北偏东30°方向，轮船C位于灯塔北偏西70°方向，航线PE（射线）平分∠BPC．
（1）求∠APE的度数；
（2）航线PE上的轮船D相对于灯塔P的方位是什么？
（以正北、正南方向为基准）．
【答案】（1）160°；（2）轮船D在灯塔P北偏西20°的方位上
【分析】（1）先求出∠BPC的度数，根据角平分线的定义，得∠BPE的度数，再求
出∠APB的度数，进而即可求解；
（2）求出∠MPD的度数，进而即可求解．
解：（1）∵∠NPA = 40°， ∠MPB = 30°，∠MPC = 70°，
∴∠BPC = ∠MPB + ∠MPC = 30°+70°= 100°，
∵PE平分∠BPC，
∴∠BPE = ∠BPC = ×100°=50°，
∴∠APB =180°-∠NPA-∠MPB = 180°-40°-30°=110°，
∴∠APE = ∠BPE + ∠APB = 50°+ 110°= 160° ，
（2）∵∠MPD = ∠BPE -∠MPB = 50°-30°= 20°，
∴轮船D在灯塔P北偏西20°的方位上 ．【点拨】本题主要考查方位角的概念以及角的和差倍分，熟练掌握角平分线的定义
以及角度的和差倍分运算，是解题的关键．
