文档内容
专题30 利用因式分解巧算
1．计算：20112-4022×2010+20102
【答案】1
【分析】本题把4022×2010可化为2×2011×2010的形式，则原式即为一个完全平方差式，可以运
用完全平方差公式 进行简便计算.
【详解】原式=
故答案为1
【点睛】本题首先考虑简便的计算方法，选择完全平方差公式 进行简便运算.
2．利用因式分解计算:
(1)2019× -2019× +2019×2;
(2)2072-414×297+2972.
【答案】（1）2019；（2）8100.
【分析】(1)提取公因式2019即可得；
(2)根据完全平方公式，可得答案；
【详解】（1）原式=2019× =2019.
（2）原式=2072-2×207×297+2972
=(207-297)2=(-90)2=8100.
【点睛】本题考查了因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因
式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
3．计算：
【答案】
【分析】根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：原式＝．
【点睛】本题考查了平方差公式因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
4．（1）用简便方法计算：3.14×5.52-3.14×4.52；
（2）分解因式： ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）灵活运用提取公因式法和公式法分解因式，即可简便求解；
（2）分组分解，然后根据完全平方公式和平方差公式，进行因式分解即可．
【详解】（1）用简便方法计算：
解：原式=
=
=
= ；
（2）分解因式：
解：原式=
=
= ；
【点睛】本题考查了公式法，提取公因式法进行因式分解，以及因式分解的应用，熟练掌握公式
法、提取公因式法，以及正确地分组是本题的关键．
5．解下列各题：
(1)分解因式： ；
(2)利用因式分解简便计算： ．
【答案】(1)（x-y）（x+1）（x-1）；
(2)1．【分析】（1）根据提公因式法和公式法可以将式子因式分解；
（2）根据完全平方公式解答即可．
（1）
解： x2（x-y）+（y-x）
=（x-y）（x2-1）
=（x-y）（x+1）（x-1）；
（2）
解：20222-2022×4042+20212
=20222-2×2022×2021+20212
=（2022-2021）2
=12
=1．
【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式的简便运算，解答本题的关键是掌握完全平方公式的
结构特征．
6．利用因式分解计算
(1)
(2)
【答案】(1)36
(2)31.4
【分析】（1）先将 变形为 的形式，再利用平方差公式求解；
（2）先提取公因式 ，再进行计算即可．
(1)
解：
(2)
解：【点睛】本题考查通过因式分解进行简化计算，解题关键是提取公因式或根据数字特点将所求式
子进行变形后利用公式求解．
7．利用乘法公式简便计算．
(1)4.3212＋8.642×0.679＋0.6792；
(2)2020×2022－20212．
【答案】(1)25
(2)-1
【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；
（2）根据平方差公式计算即可
(1)
4.3212＋8.642×0.679＋0.6792
(2)
2020×2022－20212
【点睛】本题考查了利用乘法公式简便计算，掌握乘法公式是解题的关键．
8．同学们，我们以前学过乘法公式，你一定熟练掌握了吧!想办法计算：
【答案】
【分析】根据平方差公式进行计算即可【详解】原式
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，掌握平方差公式是解题的关键．
9．利用因式分解把下列各式化成乘积形式：
（1） ；（2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】利用提取公因式法进行计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是了解提取公因式法的特点．
10．利用因式分解计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）314；（2）508000
【分析】（1）利用提取公因式法计算；
（2）应用平方差公式计算．
【详解】解：（1）原式 ；（2）原式 ．
【点睛】本题考查因式分解的应用，属于基础题型．
11．利用因式分解进行简便运算：
（1） （2）
【答案】（1）2021；（2）40000
【分析】（1）观察式子，利用提公因式法进行求解；
（2）根据式子的特点，利用完全平方公式进行求解．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是根据每个式子中的特点选择适当的因式分解的
方法（如提公因式法、公式法等），从而简化计算．
12．利用因式分解进行简便计算：
（1）3×852﹣3×152；
（2）20212﹣4042×2019+20192．
【答案】（1）21000；（2）4
【分析】（1）提取公因式，利用平方差公式进行因式分解计算即可；
（2）对原式进行变形，利用完全平方公式直接分解因式计算即可．
【详解】解：（1）3×852﹣3×152
=3×（852-152）
=3×（85+15）×（85-15）
=3×100×70
=21000；
（2）20212﹣4042×2019+20192
=20212-2×2021×2019+20192=（2021-2019）2
=22
=4．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
13．利用因式分解计算： ．
【答案】3120000
【分析】先提取24，再利用平方差公式即可求解．
【详解】
=
=
=
=3120000．
【点睛】此题主要考查因式分解的运用，解题的关键是熟知平方差公式的运用．
14．计算：991×1009
【答案】
【分析】本题可以把991写成（1000-9），把1009写成（1000+9）的形式，然后运用平方差公式
进行简便运算.
【详解】原式=
故答案为
【点睛】本题首先考虑简便的计算方法，选择平方差公式 进行简便运算.
15．计算：
【答案】100
【分析】根据完全平方公式写成 ，即可求解．
【详解】解：．
【点睛】本题考查了利用因式分解进行有理数的简便运算，掌握完全平方公式是解题的关键．
16．用简便方法进行计算．
（1）21.4×2.3+2.14×27+214×0.5．
（2） ．
（3）（ ）× …×（ ）．
（4）1952+195×10+52．
【答案】（1）214；（2）2；（3） ；（4）40000
【分析】（1）把2.14×27、214×0.5化为21.4×2.7、21.4×5的形式，逆运用乘法的分配律比较简便；
（2）把分母因式分解后，再约分；
（3）先把每个括号利用平方差公式写成积的形式，再约分；
（4）把195×10写成2×195×5，再利用完全平方公式求解．
【详解】解：（1）原式＝21.4×2.3+21.4×2.7+21.4×5，
＝21.4×（2.3+2.7+5），
＝21.4×10，
＝214；
（2）原式＝ ，
＝ ，
＝2；
（3）原式＝（1+ ）×（1﹣ ）×（1+ ）×（1﹣ ）×（1+ ）×（1﹣ ）×...×（1+ ）×（1﹣
），
＝ ，
＝ ，＝ ；
（4）原式＝1952+2×195×5+52，
＝（195+5）2，
＝2002，
＝40000．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，准确分析计算是解题的关键．
17．（1）按下表已填的完成表中的空白处代数式的值：
， 1
，
46
，
（2）比较两代数式计算结果，请写出你发现的 与 有什么关系？
（3）利用你发现的结论，求： 的值．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）1
【分析】（1）把每组 的值分别代入 与 进行计算，再填表即可；
（2）观察计算结果，再归纳出结论即可；
（3）利用结论 可得 再代入进行简便运算即可.
【详解】解：（1）填表如下：
， 1 1
， 16 16
， 9 9
（2）观察上表的计算结果归纳可得：（3）
=
= =1
【点睛】本题考查的是代数式的求值，运算规律的探究，完全平方公式的应用，熟练的利用完全
平方公式进行简便运算是解本题的关键.
18．计算：（要求：应用因式分解巧算，写明计算过程）
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）已知 ， ，求 的值．
【答案】（1）7；（2）10；（3）0.999；（4）
【分析】（1）根据因式分解的方法，提出公因数 ，进而计算即可；
（2）提出公因数 ，再进行计算即可；
（3）提出公因数 ，再进行计算即可；
（4）提出公因式 ，进而代入求值即可；
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）当 ， 时，
原式 ．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是解题的关键．
