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专题30 和角平分线有关的计算
1．已知 ，
（1）如图1， 、 分别平分 和 ，若 ，则 是 ；
（2）如图2， 、 分别平分 和 ，若 ，求 的度数（写推理过
程）．
（3）若 、 分别平分 和 ， ，则 的度数是
（在稿纸上画图分析，直接填空）．
2．我们学过角的平分线的概念．类比给出新概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成 的两
个角的射线，叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条，例如：如图 1，若
，则 是 的一条三分线．
（1）如图1，若 ，若 ，求 的度数；
（2）如图2，若 ，若 ， 是 的两条三分线．
①求 的度数；
②现以 为中心，将 顺时针旋转 度 得到 ，当 恰好是 的三分
线时，则求 的值．
（3）如图3，若 ， 是 的一条三分线， ， 分别是 与
的平分线，将 绕点 以每秒 的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若射线
恰好是 的三分线，则此时 绕点 旋转的时间是多少秒？（直接写出答案即可，
不必说明理由）3．如图，已知 内部有三条射线， 平分 ， 平分 ．
（1）若 ， ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数（写出求解过程）；
（3）若将条件中“ 平分 ， 平分 ．平分”改为“ ，
”，且 ，求 的度数（写出求解过程）．
4．如图，已知 ， ．
（1）求 的度数；
（2）若射线 绕点 以每秒旋转 的速度顺时针旋转，同时射线 以每秒旋转 的速度逆
时针旋转，设旋转的时间为 秒 ，试求当 时 的值；
（3）若 绕点 以每秒旋转 的速度逆时针旋转，同时 绕点 以每秒旋转 的速度
逆时针旋转，设旋转的时间为 秒 ， 平分 ， 平分 ，在旋转的过程
中， 的度数是否发生改变？若不变，求出其值：若改变，说明理由．
5．根据阅读材料，回答问题．材料：如图所示，有公共端点 的两条射线组成的图形叫做角 ．如果一条射线 把
一个角 分成两个相等的角 和 ，这条射线 叫做这个角的平分线．这时，
（或 ．
问题：平面内一定点 在直线 的上方，点 为直线 上一动点，作射线 ， ， ．
当点 在直线 上运动时，始终保持 ， ，将射线 绕点 顺时针
旋转 得到射线 ．
（1）如图1，当点 运动到使点 在射线 的左侧时，若 平分 ，求 的度数；
（2）当点 运动到使点 在射线 的左侧， 时，求 的值；
（3）当点 运动到某一时刻时， ，直接写出此时 的度数．
6．我们已学习了角平分线的概念，那么你会用它们解决有关问题吗？
（1）如图1所示，将长方形笔记本活页纸片的一角折过去，使角的顶点 落在 处， 为折痕．
若 ，求 的度数．
（2）在（1）条件下，如果又将它的另一个角也斜折过去，并使 边与 重合，折痕为 ，
如图2所示，求 的度数．7．如图，已知 ，以 为顶点， 为一边画 ，若 ， 与
的平分线分别为 ， ．
（1）如图1，若射线 在 的内部，求 的度数．
（2）如图2，若射线 在 的外部，求 的度数．
（3）由（1）、（2）题结果中的规律，若把“ 改为 为锐角）”，其余条
件不变， 的度数会发生变化吗？若变化，请求 的度数；若不变，请说明理由．
8．如图1， ， ， 平分
（1）若 ，则
（2）将 绕点 旋转至如图2位置，求 和 的数量关系
（3）在（2）的条件下，在 内部是否存在射线 ，使 ，且 ？
若存在，求 的值，若不存在，请说明理由．
9．如图1，已知 ， ， 是 内部的一条射线，且 平分 ．
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ；
（3）若 ，则 （用含 的式子表示）．
（4）当射线 绕点 逆时针旋转到如图2的位置时，请把图补充完整；此时， 与
有怎样的数量关系？请说明理由．10．已知 ， ，若射线 绕点 在 内部旋转， 平分 ．
（1）如图 1，当 时，请直接写出 和 的度数： ；
；
（2）请分别求出当 和 时， 的度数（利用备用图，画出图形并写出简要的
过程）；
（3）若 ，请用含 的式子表示 的度数（直接写出结果）．
11．在数学的学习过程中，我们要不断地归纳，思考和迁移，这样才能提高我们解决问题的能力：
规律发现：
在学完《数轴》这节课后，小明的作业有两道小题，请你帮他把余下的两空完成：
（1）点 表示的数是2，点 表示的数是6，则线段 的中点 表示的数为 ；
（2）点 表示的数是 ，点 表示的数是7，则线段 的中点 表示的数为 ；
发现：点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，则线段 的中点 表示的数为 ．
直接运用：
将数轴按如图（1）所示从某一点开始折出一个等边三角形 ，设点 表示的数为 ，点
表示的数为 ， 表示的数为 ，则 值为 ，若将 从图中位置向右滚动，则数字2014对应点将与 的顶点 重合．
类比迁移：
如图（2）： ， ， ，若射线 绕 点每秒 的速度顺时针旋转，
射线 绕 点每秒 的速度顺时针旋转，射线 以每秒 的速度逆时针旋转，三线同时
旋转，当一条射线与直线 重合时，三条射线同时停止运动，问：运动几秒时，其中一条射
线是另外两条射线夹角的平分线？
12．已知 ， ．
（1）如图1，当点 、 、 在同一条直线上时， 的度数是 ；
如图2，若 恰好平分 ，则 的度数是 ；
（2）当 从图1的位置开始，绕点 逆时针方向旋转 ，作射线 平分 ，射线
平分 ，在旋转过程中，发现 的度数保持不变．
① 的度数是 ；
②请选择下列图3、图4、图5、图6四种情况中的两种予以证明．
13．已知 ， 是锐角， 平分 ， 平分 ．
（1）如图1若 ，求 的度数？
（2）若射线 绕着点 运动到 的内部（如图 ，在（1）的条件下求 的度数；
（3）若 ， ，请用含有 ， 的式子直接表示上
述两种情况 的度数．14．已知 ，射线 从 出发，绕点 以 秒的速度逆时针旋转，旋转时间为
秒 ．射线 、 分别平分 、 ．
（1）如图①，如果 秒，求 的度数；
（2）如图①，若射线 旋转时间为 秒，求 的度数（用含 的代数式表示）；
（3）射线 从 出发时，射线 也同时从 出发，绕点 以 秒的速度逆时针旋转，射
线 、 在旋转过程中 ，若 ，请你借助图②和备用图进行分析后，直接
写出 的值．
15．已知如图1， 平分 ， 平分 ．
（1）如果 ， ，那么 是多少度？
（2）如果 ， ，那么 是多少度？
（3）通过（1）、（2）的计算，你发现了什么？
（4）拓展：
如图2，已知点 是 的中点，点 是 的中点，试判断线段 与线段 的数量关系，并
说明理由．16．【问题提出】已知 ， ， ，求
的度数．
【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决．
（1）当射线 在 的内部时，①若射线 在 内部，如图1，可求 的度数，
解答过程如下：设 ， ， ，
，
， ， ，
问：当射线 在 的内部时，②若射线 在 外部，如图2，请你求出 的度数；
【问题延伸】（2）当射线 在 的外部时，请你画出图形，并求 的度数．
【问题解决】综上所述： 的度数分别是 ．
17．如图1，将一副三角板的两个锐角顶点放到一块， ， ， ， 分
别是 ， 的角平分线．
（1）当 绕着点 逆时针旋转至射线 与 重合时（如图 ，则 的大小为 ；
（2）如图 3，在（1）的条件下，继续绕着点 逆时针旋转 ，当 时，求
的大小，写出解答过程；
（3）在 绕点 逆时针旋转过程中， ．18．一副三角尺（分别含 ， ， 和 ， ， 按如图1所示摆放在量角器上，边
与量角器 刻度线重合，边 与量角器 刻度线重合 ，将三角
尺 绕量角器中心点 以每秒 的速度顺时针旋转，当边 与 刻度线重合时停止运动，
设三角尺 的运动时间为 ．
（1）当 时，边 经过的量角器刻度线对应的度数是 度；
（2）如图2，若在三角尺 开始旋转的同时，三角尺 也绕点 以每秒 的速度逆时针旋
转，当三角尺 停止旋转时，三角尺 也停止旋转， ．
①用含 的代数式表示： ； ；当 为何值时， ？
②从三角尺 与三角尺 第一对直角边和斜边重叠开始起到另一对直角边和斜边重叠结束止
经过的时间 为 秒．
19．如图1，对于线段 和 ，点 是线段 上的任意一点，射线 在 内部，
如果 ，则称线段 是 的伴随线段， 是线段 的伴随角．例如：， ，若 ，则线段 的伴随角 ．
（1）当 ， 时，若 ，试求 的伴随线段 的长．
（2）如图2，对于线段 和 ， ， ．若点 是线段 上任一点， ，
分别是线段 ， 的中点， ， ， 分别是线段 ， ， 的伴随
角，则在点 从 运动到 的过程中（不与 ， 重合）， 的大小是否会发生变化？如
果会，请说明理由；如果不会，请求出 的大小．
（3）如图3，已知 是任意锐角，点 ， 分别是射线 ， 上的任意一点，连接 ，
的平分线 与线段 相交于点 ．对于线段 和 ，线段 是 的伴随
线段，点 和点 能否重合？如果能，请举例并用数学工具作图，再通过测量加以说明；如果不
能，请说明理由．20．已知 和 是直角．
（1）如图1，当射线 在 的内部时，请探究 和 之间的关系，并说明理由．
（2）如图 2，当射线 ， 都在 的外部时，过点 作射线 ， ，满足
， ，求 的度数．
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在射线 ，使得 ？若存在，求出
的度数；若不存在，请说明理由．
