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专题 11.4 三角形的外角性质
【典例1】阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下
列角度的度数．
如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；
如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O ，O ，连接O O ，则∠BO O ＝ ．
1 2 1 2 2 1
1
（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+ ∠A．
2
（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O ，O ，若∠1＝115°，∠2＝
1 2
135°，求∠A的度数．
【思路点拨】
（1）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分线，
利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案；
（2）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是角平分线，利用角平分线的
定义及三角形内角和定理可证得结论；
（3）先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数．【解题过程】
解：（1）如图1，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB
2 2
∴∠OBC+∠OCB
1
= （∠ABC+∠ACB）
2
1
= （180°﹣∠BAC）
2
1
= （180°﹣60°）
2
＝60°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°；
如图2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCD= ∠ACD
2 2
∵∠ACD＝∠ABC+∠A
1
∴∠OCD= （∠ABC+∠A）
2
∵∠OCD＝∠OBC+∠O
∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC
1 1 1
= ∠ABC+ ∠A− ∠ABC
2 2 2
1
= ∠A
2
＝30°
如图3，∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD
1 1
∴∠OBC= ∠EBC，∠OCB= ∠BCD
2 2
∴∠OBC+∠OCB
1
= （∠EBC+∠BCD）
21
= （∠A+∠ACB+∠BCD）
2
1
= （∠A+180°）
2
1
= （60°+180°）
2
＝120°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°
如图4，∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O ，O
1 2
2 2
∴∠O
2
BC=
3
∠ABC，∠O
2
CB=
3
∠ACB，O
1
B平分∠O
2
BC，O
1
C平分∠O
2
CB，O
2
O
1
平分BO
2
C
∴∠O
2
BC+∠O
2
CB
2
= （∠ABC+∠ACB）
3
2
= （180°﹣∠BAC）
3
2
= （180°﹣60°）
3
＝80°
∴∠BO
2
C＝180°﹣（∠O
2
BC+∠O
2
CB）＝100°
1
∴∠BO
2
O
1
=
2
∠BO
2
C＝50°
故答案为：120°，30°，60°，50°；
（2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
1
＝180°− （∠ABC+∠ACB）
2
1
＝180°− （180°﹣∠A）
2
1
＝90°+ ∠A．
2
（3）∵∠O BO ＝∠2﹣∠1＝20°
2 1∴∠ABC＝3∠O
2
BO
1
＝60°，∠O
1
BC＝∠O
2
BO
1
＝20°
∴∠BCO
2
＝180°﹣20°﹣135°＝25°
∴∠ACB＝2∠BCO
2
＝50°
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°
或由题意，设∠ABO ＝∠O BO ＝∠O BC＝α，∠ACO ＝∠BCO ＝β，
2 2 1 1 2 2
∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°
∴α＝20°，β＝25°
∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，
∴∠A＝70°．
1．（2021秋•双流区期末）如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，
连接DE．则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＞∠D B．∠D＞∠2 C．∠1＝∠2+∠3 D．∠3＝∠A
【思路点拨】
根据三角形的外角性质得出∠2＞∠D，∠1＞∠2，∠1＝∠A+∠2，∠2＝∠3+∠D，再逐个判断即可．
【解题过程】
解：A．∵∠2＞∠D，∠1＞∠2，
∴∠1＞∠D，故本选项符合题意；
B．∠2＞∠D，故本选项不符合题意；
C．∠1＝∠2+∠A＝∠D+∠3+∠A，∠2+∠3＝∠D+∠3+∠3＝2∠3+∠D，
又∵∠3和∠A不一定相等，
∴∠1和∠2+∠3不一定相等，故本选项不符合题意；
D．∠3和∠A不一定相等，故本选项不符合题意；
故选：A．2．（2020秋•秦都区期末）如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分
线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若∠MAC＝α，∠EFC＝β，∠ADC＝γ，则α、β、γ三者间的数
量关系是（ ）
A．β＝α+γ B．β＝2γ﹣α C．β＝α+2γ D．β＝2α﹣2γ
【思路点拨】
根据平行线的性质得到∠B＝∠EFC＝β，由角平分线的定义得到∠ACB＝2∠BCD，根据∠ADC是△BDC
的外角，得到∠ADC＝∠B+∠BCD，由三角形外角的性质得到∠MAC＝∠B+∠ACB，于是得到结果．
【解题过程】
解：∵EF∥AB，∠EFC＝β，
∴∠B＝∠EFC＝β，
∵CD平分∠BCA，
∴∠ACB＝2∠BCD，
∵∠ADC是△BDC的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD，
∵∠ADC＝γ，
∴∠BCD＝γ﹣β，
∵∠MAC是△ABC的外角，
∴∠MAC＝∠B+∠ACB，
∵∠MAC＝α，
∴α＝β+2（γ﹣β），
即β＝2γ﹣α，
故选：B．
3．（2021 秋•饶平县校级期中）如图，已知∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 为多少度
（ ）A．360° B．720° C．540° D．240°
【思路点拨】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A+∠C，∠B+∠D，再根据邻补角求出
∠EOF，然后求解即可．
【解题过程】
解：如图，根据三角形的外角性质，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，
∵∠BOF＝120°，
∴∠3＝180°﹣120°＝60°，
根据三角形内角和定理，∠E+∠1＝180°﹣60°＝120°，
∠F+∠2＝180°﹣60°＝120°，
所以，∠1+∠2+∠E+∠F＝120°+120°＝240°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．
故选：D．
4．（2021秋•江津区期末）将一副直角三角板按如图放置，使两直角重合，则∠1的度数为 ．【思路点拨】
由题意得出∠CAD＝60°、∠B＝45°、∠CAB＝120°，根据∠1＝∠B+∠CAB可得答案．
【解题过程】
解：如图，
由题意知，∠CAD＝60°，∠B＝90°﹣45°＝45°，
∴∠CAB＝120°，
∴∠1＝∠B+∠CAB＝45°+120°＝165°．
故答案为：165°．
5．（2021春•松北区期末）已知AH为△ABC的高，若∠B＝40°，∠ACH＝65°，则∠BAC的度数为
°．
【思路点拨】
当∠C是钝角三角形时，由三角形的外角性质即可求出∠BAC的度数，当∠C是锐角时，由三角形内角和
定理即可求出∠BAC的度数．
【解题过程】
解：如图，当△ABC是钝角三角形时，∵∠B＝40°，∠ACH＝65°，∠ACH＝∠BAC+∠B，
∴∠BAC＝∠ACH﹣∠B＝65°﹣40°＝25°；
如图，当△ABC是锐角三角形时，
∵∠B＝40°，∠ACH＝65°，∠BAC+∠ACH+∠B＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACH﹣∠B＝180°﹣65°﹣40°＝75°．
故答案为：25或75．
6．（2021秋•江岸区校级月考）如图，∠ABD的平分线与∠ACD的平分线相交于P．若∠A＝50°，∠D＝
10°，则∠P＝ ．
【思路点拨】
1 1
延长 DC，与 AB 交于点 E．设 AC 与 BP 相交于 O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P+ ∠ACD＝∠A+
2 2
∠ABD，代入计算即可．
【解题过程】
解：延长DC，与AB交于点E．
∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝50°，
∴∠ACD＝∠A+∠AEC＝50°+∠AEC．
∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC＝∠ABD+∠D＝∠ABD+10°，
∴∠ACD＝50°+∠AEC＝50°+∠ABD+10°，
整理得∠ACD﹣∠ABD＝60°．
设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，
1 1
∴∠P+ ∠ACD＝∠A+ ∠ABD，
2 2
1
即∠P＝50°− （∠ACD﹣∠ABD）＝20°．
2
故答案为：20°．
7．（2020秋•涿州市期中）如图，已知∠C＝54°，∠E＝30°，∠BDF＝130°，求∠A的度数．
【思路点拨】
先根据补角的定义求出∠EDF的度数，再由三角形外角的性质求出∠AFC的度数，根据三角形内角和定理
即可得出结论．
【解题过程】
解：∵∠BDF＝130°，
∴∠EDF＝180°﹣130°＝50°．
∵∠E＝30°，
∴∠AFC＝30°+50°＝80°．
∵∠C＝54°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠AFC＝180°﹣54°﹣80°＝46°．
8．（2020秋•成安县期末）如图，一条直线分别交△ABC的边及延长线于D、E、F，∠A＝20°，∠CED＝
100°，∠ADF＝35°，求∠B的大小．
【思路点拨】由三角形的内角和可得∠BCD＝45°，再利用外角性质即可求∠B的度数．
【解题过程】
解：∵∠CED＝100°，∠ADF＝35°，
∴∠BCD＝180°﹣∠CED﹣∠ADF＝180°﹣100°﹣35°＝45°，
∵∠BCD是△ABC的外角，
∴∠B＝∠BCD﹣∠A＝45°﹣20°＝25°．
故∠B的度数为25°．
9．（2021秋•成都期末）如图，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB
的度数．
【思路点拨】
根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠CAD，再根据三角形外角性质求出答案即
可．
【解题过程】
解：∵∠B＝38°，∠C＝62°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣38°﹣62°＝80°，
∵AD是△ABC的角平分线，
1
∴∠CAD= ∠BAC＝40°，
2
∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝62°+40°＝102°．
10．（2021秋•信州区校级期中）如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分
别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
（1）求∠DBE的度数．
（2）若∠A＝70°，求∠D的度数．【思路点拨】
1 1
（1）根据角平分线的定义得到∠DBG= ∠ABC，∠EBG= ∠CBF，根据平角的定义计算即可；
2 2
（2）根据三角形的外角性质得到∠ACG﹣∠ABC＝∠A＝70°，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计
算，得到答案．
【解题过程】
解：（1）∵BD，BE分别为∠ABC，∠CBF的平分线，
1 1
∴∠DBG= ∠ABC，∠EBG= ∠CBF，
2 2
1
∴∠DBE＝∠DBG+∠EBG= ×（∠ABC+∠CBF）＝90°；
2
（2）∵∠ACG是△ABC的外角，
∴∠ACG﹣∠ABC＝∠A＝70°，
∵BD，CD分别为∠ABC，∠ACG的平分线，
1 1
∴∠DBG= ∠ABC，∠DCG= ∠ACG，
2 2
1
∴∠D＝∠DCG﹣∠DBG= ×（∠ACG﹣∠ABC）＝35°．
2
11．（2021秋•朝阳期中）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究∠ADB与∠A、∠B、∠C
的数量关系并给出证明；
（2）模型应用：如图2，DE平分∠ADB，CE平分∠ACB，∠A＝24°，∠B＝66°，请直接写出∠E的度数．【思路点拨】
（1）连接CD并延长，利用三角形的外角性质可得∠ADE＝∠A+∠ACE，∠BDE＝∠B+∠BCE，再结合
∠ADB＝∠ADE+∠BDE，从而可求解；
（2）利用（1）中的结论可得∠ADB＝∠A+∠B+∠ACB，∠ADE＝∠A+∠E+∠ACE，再结合角平分线的定义
1 1
可得：∠ADE= ∠ADB，∠ACE= ∠ACB，从而可求解．
2 2
【解题过程】
解：（1）∠ADB＝∠A+∠B+∠ACB，
证明：连接CD并延长，如图，
由三角形的外角性质可得：
∠ADE＝∠A+∠ACE，∠BDE＝∠B+∠BCE，
∵∠ADB＝∠ADE+∠BDE，
∴∠ADB＝∠A+∠ACE+∠B+∠BCE，
则∠ADB＝∠A+∠B+∠ACB；
（2）由（1）可得：∠ADB＝∠A+∠B+∠ACB，∠ADE＝∠A+∠E+∠ACE，
∵DE平分∠ADB，CE平分∠ACB，
1 1
∴∠ADE= ∠ADB，∠ACE= ∠ACB，
2 2
1 1
∴ ∠ADB＝∠A+∠E+ ∠ACB，
2 2
即∠ADB＝2∠A+2∠E+∠ACB，
∴∠A+∠B+∠ACB＝2∠A+2∠E+∠ACB，
1
整理得：∠E= （∠B﹣∠A），
2
∵∠A＝24°，∠B＝66°，
1
∴∠E= ×（66°﹣24°）＝21°．
2
12．（2020秋•白银期末）（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．
【思路点拨】
（1）作射线AO，由三角形外角的性质可知∠1+∠B＝∠3，∠2+∠C＝∠4，两式相加即可得出结论；
（2）连接AD，由（1）的结论可知∠F+∠2+∠3＝∠DEF，∠1+∠4+∠C＝∠ABC，两式相加即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）作射线AO，
∵∠3是△ABO的外角，
∴∠1+∠B＝∠3，①
∵∠4是△AOC的外角，
∴∠2+∠C＝∠4，②
①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，
即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；
（2）连接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，
③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，
即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F＝230°．
13．（2021秋•西吉县期中）已知：如图，∠MON＝90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动（不与点O
重合），AC平分∠MAB，AC的反向延长线与∠ABO的平分线相交于点D．
（1）当∠ABO＝70°时、∠D的度数是多少？
（2）随着点A、B的移动，试问∠D的大小是否变化？请说出你的理由．【思路点拨】
（1）利用三角形的外角性质可求出∠MAB的度数，由AC平分∠MAB，BD平分∠ABO，利用角平分线的
定义可求出∠CAB和∠ABD的度数，再利用三角形的外角性质可求出∠D的度数；
（2）利用三角形的外角性质及角平分线的定义可用∠ABO表示出∠CAB和∠ABD的度数，再利用三角形
的外角性质可求出∠D的度数为固定值，进而可得出∠D的大小不发生变化．
【解题过程】
解：（1）∵∠MON＝90°，∠ABO＝70°，
∴∠MAB＝∠AOB+∠ABO＝90°+70°＝160°．
∵AC平分∠MAB，
1
∴∠CAB= ∠MAB＝80°．
2
∵BD平分∠ABO，
1
∴∠ABD= ∠ABO＝35°．
2
又∵∠CAB＝∠ABD+∠D，
∴∠D＝∠CAB﹣∠ABD＝80°﹣35°＝45°．
（2）∠D的大小不变，理由如下：
∵∠MAB＝∠AOB+∠ABO＝90°+∠ABO，AC平分∠MAB，
1 1
∴∠CAB= ∠MAB＝45°+ ∠ABO．
2 2
∵BD平分∠ABO，
1
∴∠ABD= ∠ABO．
2
又∵∠CAB＝∠ABD+∠D，
1 1
∴∠D＝∠CAB﹣∠ABD＝45°+ ∠ABO− ∠ABO＝45°，
2 2
∴∠D的大小不发生变化．14．（2021春•海口期末）如图1，直线m与直线n垂直相交于O，点A在直线m上运动，点B在直线n上
运动，AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线．
（1）∠ACB＝ ；
（2）如图2，若BD是△AOB的外角∠OBE的角平分线，BD与AC相交于点D，点A、B在运动的过程中，
∠ADB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；
（3）如图3，过C作直线与AB交于F，且满足∠AGO﹣∠BCF＝45°，求证：CF∥OB．
【思路点拨】
（1）根据直角三角形的性质得到∠BAO+∠ABO＝90°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得
到答案；
（2）根据三角形的外角性质得到∠OBE﹣∠OAB＝90°，再根据三角形的外角性质计算即可；
（3）根据邻补角的概念得到∠BCG＝45°，根据三角形的外角性质得到∠CBG＝∠BCF，根据平行线的判
定定理证明结论．
【解题过程】
（1）解：∵∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，
∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
1 1
∴∠CAB= ∠BAO，∠CBA= ∠ABO，
2 2
1
∴∠CAB+∠CBA= （∠BAO+∠ABO）＝45°，
2
∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135°；
（2）解：∠ADB的大小不发生变化，
∵∠OBE是△AOB的外角，∴∠OBE＝∠OAB+∠AOB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OBE﹣∠OAB＝90°，
∵BD平分∠OBE，
1
∴∠EBD= ∠OBE，
2
∵∠EBD是△ADB的外角，
∴∠EBD＝∠BAG+∠ADB，
1 1
∴∠ADB＝∠EBD﹣∠BAG= ∠OBE− ∠OAB＝45°；
2 2
（3）证明：∵∠ACB＝135°，∠ACB+∠BCG＝180°，
∴∠BCG＝180°﹣∠ACB＝180°﹣135°＝45°，
∵∠AGO是△BCG的外角，
∴∠AGO＝∠BCG+∠CBG＝45°+∠CBG，
∵∠AGO﹣∠BCF＝45°，
∴45°+∠CBG﹣∠BCF＝45°，
∴∠CBG＝∠BCF，
∴CF∥OB．
15．（2021秋•南岗区期末）已知：三角形ABC，过点B作直线DE∥AC，∠C+∠CBD＝180°．
（1）如图1，求证AC⊥BC；
（2）如图2，AF平分∠BAC交直线DE于点F，BG平分∠ABC交AF于点G，求∠BGF的度数；
4
（3）如图3，在（2）的条件下，点H在直线DE上，连接AH，且∠FAH＝2∠BGF，若∠BAH﹣∠BAF=
5
∠BAC，求∠ABC的度数．
【思路点拨】
（1）由平行线的性质可得∠CBD＝∠C，结合已知条件即可求解；1
（2）由（1）可得∠C＝90°，从而可得∠ABC+∠BAC＝90°，再由角平分线的定义可得∠BAF= ∠BAC，
2
1
∠ABG= ∠ABC，则有∠BAF+∠ABG＝45°，由三角形的外角性质可求∠BGF的度数；
2
（3）由已知条件不难求得∠FAH＝90°，则有∠BAH＝90°﹣∠BAF，由角平分线定义得∠BAC＝2∠BAF，
从而可求得∠BAF的度数，则得∠BAC的度数，可求∠ABC的度数．
【解题过程】
（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠CBD＝∠C，
∵∠C+∠CBD＝180°，
∴∠C＝90°，
∴AC⊥BC；
（2）解：由（1）可得∠C＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵AF平分∠BAC，BG平分∠ABC，
1 1
∴∠BAF= ∠BAC，∠ABG= ∠ABC，
2 2
1
∴∠BAF+∠ABG= （∠BAC+∠ABC）＝45°，
2
∵∠BGF是△ABG的外角，
∴∠BGF＝∠BAF+∠ABG＝45°；
（3）解：∵∠FAH＝2∠BGF，∠BGF＝45°，
∴∠FAH＝90°，
∴∠BAH＝90°﹣∠BAF，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAF，
4
∵∠BAH﹣∠BAF= ∠BAC，
5
4
∴90°﹣∠BAF﹣∠BAF= ×2∠BAF，
5
解得：∠BAF＝25°，
∴∠BAC＝50°，∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝40°．
16．（2020秋•本溪期末）已知点A在射线CE上，∠BDA＝∠C．
（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC；
（2）如图2，若BD⊥BC，请证明∠DAE+2∠C＝90°；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠BAC＝∠BAD，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠DFE＝
8∠DAE时，求∠BAD的度数．（直接写出结果）
【思路点拨】
（1）根据AC∥BD，可得∠DAE＝∠C，再根据∠C＝∠D，即可得到∠DAE＝∠D，则结论得证；
（2）根据∠CGB是△ADG是外角，即可得到∠CGB＝∠D+∠DAE，再根据△BCG中，∠CGB+∠C＝
90°，即可得到∠D+∠DAE+∠C＝90°，进而得出2∠C+∠DAE＝90°；
（3）设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，∠AFD＝180°﹣8α，根据DF∥BC，即可得到∠C＝∠AFD＝180°﹣
8α，再根据2∠C+∠DAE＝90°，即可得到2（180°﹣8α）+α＝90°，求得α的值，由三角形内角和定理得到
∠BAD的度数．
【解题过程】
（1）证明：∵AC∥BD，
∴∠DAE＝∠BDA，
∵∠BDA＝∠C，
∴∠DAE＝∠C，
∴AD∥BC；
（2）证明：如图2，设CE与BD相交于点G，∠BGA＝∠BDA+DAE，
∵BD⊥BC，∴∠BGA+∠C＝90°，
∴∠BDA+∠DAE+∠C＝90°，
∵∠BDA＝∠C，
∴∠DAE+2∠C＝90°；
（3）如图3，设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，
∵∠DFE+∠AFD＝180°，
∴∠AFD＝180°﹣8α，
∵DF∥BC，
∴∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，
又∵2∠C+∠DAE＝90°，
∴2（180°﹣8α）+α＝90°，
∴α＝18°，
∴∠C＝180°﹣8α＝36°＝∠ADB，
又∵∠C＝∠BDA，∠BAC＝∠BAD，
1
∴∠ABC＝∠ABD= ∠CBD＝45°，
2
△ABD中，∠BAD＝180°﹣45°﹣36°＝99°．
答：∠BAD的度数是99°．
17．（2021秋•恩施市期末）问题引入：
（1）如图1，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝ （用α表
1 1
示）；如图2，∠CBO= ∠ABC，∠BCO= ∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝ （用α表示）；
3 3
拓展研究：
1 1
（2）如图3，∠CBO= ∠DBC，∠BCO= ∠ECB，∠A＝α，猜想∠BOC度数（用α表示），并说明理由；
3 3
1
（3）BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点 O，∠CBO= ∠DBC，
n1
∠BCO= ∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝ （直接写出答案）．
n
【思路点拨】
1 1
（ 1 ） 由 角 平 分 线 的 定 义 得 ∠ OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB， 则
2 2
1
∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)，再利用三角形内角和定理可得答案；
2
1
（2）根据三角形内角和定理得∠BOC=180°− (∠DBC+∠ECB)，而∠DBC+∠BCE＝180°+∠A，代
3
入化简即可；
（3）由（2）同理可得答案．
【解题过程】
解：（1）∵点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
1
∴∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)，
2
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
1
＝180°− (∠ABC+∠ACB)
2
1
＝180°− (180°−∠A)
2
1
＝90°+ ∠A
2
1
＝90°+ α，
2
1
故答案为：90°+ α；
2在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
1
＝180°− (∠ABC+∠ACB)
3
1
＝180°− (180°−∠A)
3
1
＝120°+ ∠A
3
1
＝120°+ α，
3
1
故答案为：120°+ α；
3
1
（2）∠BOC=120°− ∠α，理由如下：
3
1 1
∵∠CBO= ∠DBC，∠BCO= ∠ECB，∠A＝∠α，
3 3
1
∴∠BOC=180°− (∠DBC+∠ECB)
3
1
=180°− [360°−(∠ABC+∠ACB)]
3
1
=180°− [360°−(180°−∠A)]
3
1
＝180°− （180°+α）
3
1
＝120°− α；
3
（3）在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
1
＝180°− (∠DBC+∠ECB)
n
1
＝180°− (∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)
n
1
＝180°− (∠A+180°)
n
(n−1)×180°−α
= ，
n
(n−1)×180°−α
故答案为： ．
n18．（2021秋•锦州期末）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是
“邻BA三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝45°，若∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，则
∠BDC的度数为 ；
（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，且∠BPC＝
135°，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的邻BC三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直
线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝60°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）
【思路点拨】
（1）根据题意可BD是“邻BC三分线”可求得∠ABD的度数，再利用三角形外角的性质可求解；
（2）结合（1）根据BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝135°，即可求
∠A的度数；
（3）分2种情况进行画图计算：情况一：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”
1
时，可得∠BPC= ∠A，可求解；情况二：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分
3
2 1
线”时，可得∠BPC= ∠A+ ∠ABC可求解．
3 3
【解题过程】
解：（1）∵∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝15°，
∵∠A＝70°，
∴∠BDC＝70°+15°＝85°，故答案为：85°；
（2）在△BPC中，∠BPC＝140°，
∴∠PBC+∠PCB＝40°，
又∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，
1 1
∴∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB，
3 3
∵∠BPC＝135°，
1 1
∴ ∠ABC+ ∠ACB＝180°﹣135°＝45°，
3 3
∴∠ABC+∠ACB＝135°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°；
（3）如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
1 1
∵∠CBP= ∠ABC，∠PCD= ∠ACD，∠PCD＝∠P+∠CBP，
3 3
1 1
∴ ∠ACD＝∠P+= ∠ABC，
3 3
即∠ACD＝3∠P+∠ABC，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A＝m°，
1 1
∴∠BPC= ∠A= m°；
3 3
如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，1 2
∵∠CBP= ∠ABC，∠PCD= ∠ACD，∠PCD＝∠P+∠CBP，
3 3
2 1
∴ ∠ACD＝∠P+ ∠ABC，
3 3
即2∠ACD＝3∠P+∠ABC，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A＝m°，
2 1 2
∴∠BPC= ∠A+ ∠ABC= m°+20°．
3 3 3
1 2
综上所述：∠BPC的度数为： m°或 m°+20°．
3 3
19．（2020春•雨花区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是△ABC的角平分线，CD⊥AB，
垂足为D，延长CE与外角∠ABG的平分线交于点F．
（1）若∠A＝60°，求∠DCE和∠F的度数；
（2）若∠A＝n°（0＜n＜90），请直接写出∠DCE和∠F的度数（用含n的代数式表示）；
（3）若△FCB高FH和∠DCB的角平分线交于点Q，在（2）的条件下求∠CQH的度数（用含n的代数式
表示）．
【思路点拨】
（1）利用三角形内角和定理，角平分线的定义，高的性质求解即可．
（2）解法类似（1）．
（3）根据要求画出图形，根据∠CQH＝90°﹣∠QCH，求出∠QCH即可解决问题．
【解题过程】
解：（1）∵CD⊥AB，∠A＝60°，
∴∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，
∵CF平分∠ACB，∠ACB＝90°，
1
∴∠ACE＝∠FCB= ∠ACB＝45°，
2
∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝45°﹣30°＝15°，∵∠ABG＝∠A+∠ACB＝150°，
∵BF平分∠ABG，
1
∴∠FBG= ∠ABG＝75°，
2
∵∠FBG＝∠F+∠FCB，
∴∠F＝75°﹣45°＝30°．
（2）∵CD⊥AB，∠A＝n°，
∴∠ADC＝90°，∠ACD＝90°﹣n°，
∵CF平分∠ACB，∠ACB＝90°，
1
∴∠ACE＝∠FCB= ∠ACB＝45°，
2
∴∠DCE＝|∠ACE﹣∠ACD|＝|45°﹣90°+n°|＝|n°﹣45°|，
∵∠ABG＝∠A+∠ACB＝90°+n°，
∵BF平分∠ABG，
1 1
∴∠FBG= ∠ABG＝45°+ n°
2 2
∵∠FBG＝∠F+∠FCB，
1
∴∠F= n°．
2
（3）如图，
∵FH⊥CG，
∴∠FHC＝90°，
∵∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°
∴∠A＝∠DCB＝n°，
∵CQ平分∠DCB，1
∴∠QCH= n°，
2
1
∴∠CQH＝90°− n°．
2
20．（2020春•海淀区校级期末）已知 AB∥CD，点M，N分别在直线AB、CD上，E是平面内一点，
∠AME和∠CNE的平分线所在的直线相交于点F．
（1）如图1，当E、F都在直线AB、CD之间且∠MEN＝80°时，∠MFN的度数为 140 ° ；
（2）如图2，当E在直线AB上方，F在直线CD下方时，探究∠MEN和∠MFN之间的数量关系，并证明
你的结论；
（3）如图3，当E在直线AB上方，F在直线AB和CD之间时，直接写出∠MEN和∠MFN之间的数量关
系 ．
【思路点拨】
（1）过E作EH∥AB，FG∥AB，根据平行线的性质得到结论；
（2）根据三角形的外角的性质得，平行线的性质，角平分线的定义即可得到结论；
（3）根据平行线的性质得到∠5＝∠END，根据角平分线的定义得到∠5＝∠END＝2∠4，∠BME＝2∠1＝
∠E+∠5＝∠E+2∠4，根据三角形的外角的性质和四边形的内角和即可得到结论．
【解题过程】
解：（1）如图1，过E作EH∥AB，FG∥AB，∵AB∥CD，
∴EH∥CD，FG∥CD，
∴∠BME＝∠MEH，∠DNE＝∠NEH，
∴∠BME+∠DNE＝∠MEH+∠NEH＝∠MEN＝80°，
∴∠AME+∠CNE＝360°﹣（∠BME+∠DNE）＝280°，
∵MF，FN分别平分∠AME和∠CNE，
1
∴∠AMF+∠CNF= ×280°＝140°，
2
∵AB∥FG∥CD，
∴∠AMF＝∠MFG，∠NFG＝∠CNF，
∴∠MFN＝∠MFG+∠NFG＝∠AMF+∠CNF＝140°，
故答案为：140°；
（2）∠MEN＝2∠MFN，
理由：如图2，
∵∠1＝∠EMH+∠E，
∵MF平分∠AME，1
∴∠4= ∠AME=∠HMG，
2
∴∠HMG＝180°﹣∠MHG﹣∠3＝180°﹣∠1﹣∠3，
∴∠4＝180°﹣∠MHG﹣∠3，
∵∠4＝∠E+∠3，
∴180°﹣∠MHG﹣∠3＝∠E+∠3，
∴∠MHG＝180°﹣∠E﹣2∠3，
∵FN平分∠CNH，
1
∴∠5= ∠CNH，
2
∴∠DNH＝180°﹣2∠5，
∵∠5＝∠2+∠F，
∴∠DNH＝180°﹣2∠2﹣2∠F，
∵AB∥CD，
∴∠MHG＝∠DNH，
∴180°﹣∠E﹣2∠3＝180°﹣2∠2﹣2∠F，
∵∠2＝∠3，
∴∠E＝2∠F；
1
（3） ∠E+∠MFN＝180°，
2
证明：如图3，
∵AB∥CD，
∴∠MGE＝∠ENC，
∵NF平分∠ENC，
∴∠MGE＝∠ENC＝2∠FNG，∵MF平分∠AME，
∴∠AME＝2∠1＝∠E+∠MGE＝∠E+2∠FNG，
1
∴∠FMG＝∠1= ∠E+∠FNG，
2
1
∵∠E+∠MFN ＝ 360°﹣∠FNG﹣∠FMG﹣∠EMG ＝ 360°﹣∠FNG﹣ （ 180°﹣∠E﹣2∠FNG ） ﹣ （
2
1
∠E+∠FNG）＝180°+ ∠E，
2
1
∴∠MFN+ ∠E＝180°．
2
1
故答案为： ∠E+∠MFN＝180°．
2
