文档内容
专题27 和三角板有关的角度计算
1．如图，直线 与 相交于点 ， ，将一直角三角尺的直角顶点与 重合，直
角边 与 重合， 在 内部．操作：将三角尺绕点 以每秒 的速度沿顺时针方向旋
转一周，设运动时间为 ．
（1）当 为何值时，直角边 恰好平分 ？此时 是否平分 ？请说明理由；
（2）若在三角尺转动的同时，直线 也绕点 以每秒 的速度顺时针方向旋转一周，当一方先
完成旋转一周时，另一方同时停止转动．
①当 为何值时， 平分 ？
② 能否平分 ？若能请直接写出 的值；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1） 当直角边 恰好平分 时， ，
，
解得： ．
此时 ，
此时 平分 ．
（2）① 平分 ，
依题意有 ，
解得 ；
平分 ，
依题意有 ，
解得 ．
故当 为 或 时， 平分
② 在 上面，依题意有 ，
解得 ；
在 下面，
依题意有 ，
解得 ．
故 能平分 ， 的值为14或 ．
2．点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ，将一直角三角板的直角顶点放在
点 处．
（1）如图①，将三角板 的一边 与射线 重合时，则 ；
（2）如图②，将三角板 绕点 逆时针旋转一定角度，此时 是 的角平分线，求旋
转角 和 的度数；
（3）将三角板 绕点 逆时针旋转至图③时， ，求 的度数．
【解答】解：（1） ， ，
．
故答案为： ．
（2） ， 是 的角平分线，
．
．
．
即 ， ；（3） ，
．
，
．
，
．
．
．
．
3．将一副三角板 和三角板 按不同的位置
摆放．
（1）如图1，若边 、 在同一直线上，则 ；
（2）如图2，若 ，那么 ；
（3）如图3，若 ，求 的度数．
【解答】解：（1） ；
故答案为： ；（2） ；
故答案为： ；
（3） ．
的度数为： ．
4．已知将一副三角板（直角三角板 和直角板 ， ， ，
，
（1）如图1摆放，点 、 、 在一条直线上， 的度数是 ；
（2）如图2，变化摆放位置将直角三角板 绕点 逆时针方向转动，若要 恰好平分 ，
则 的度数是 ；
（3）如图 3，当三角板 摆放在 内部时，作射线 平分 ．射线 平分
，如果三角板 在 内绕点 任意转动， 的度数是否发生变化？如果不变，
求其值；如果变化，说明理由．
【解答】解：（1） ， ，
，
故答案为： ；
（2） 恰好平分 ，
，
；
故答案为： ；
（3） 的度数不发生变化， ．理由如下：平分 ， 平分 ，
， ，
，
．
5．如图1，点 为直线 上一点，过 点作射线 ，使 ，将一直角三角板
的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 在直线 的下方．
（1）将图1中的三角板绕点 按逆时针方向旋转至图2的位置，使得 落在射线 上，此时
三角板旋转的角度为 9 0 度；
（2）继续将图2中的三角板绕点 按逆时针方向旋转至图3的位置，使得 在 的内部．
试探究 与 之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）在上述直角三角板从图1开始绕点 按 每秒的速度逆时针旋转 的过程中，是否存在
所在直线平分 和 中的一个角， 所在直线平分另一个角？若存在，直接写出
旋转时间 ，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）根据旋转的性质可知：
旋转角为 ．
故答案为90．
（2）如图 ，理由如下：
，
，
，
，
，①
，
，②
② ①，得 ．（3）
如图4，当 平分 时， 所在直线平分 ，
，
三角板绕点 逆时针旋转 ，
此时 （秒 ；
如图5，当 平分 时， 所在直线平分 ，
，
三角板绕点 逆时针旋转 ，
此时 （秒 ．
当 旋转150度时也符合要求，此时旋转了5秒．
答：旋转时间为2秒或5秒或8秒．
6．将一副三角板按图1摆放在直线 上， 平分 ， 平分 ．
（1） ； ；
（2）如图2，若将三角板 绕 点以 秒的速度顺时针旋转 秒 ，求 的度数；
（3）如图3，三角板 绕 点以 秒的速度顺时针旋转，同时，三角板 绕 点以
秒的速度逆时针旋转，当 与 边首次重合时两三角板都停止运动，若运行 秒时，有
成立，试求此时 与 的关系．
【解答】解：（1）如图1．
；
平分 ， 平分 ，， ，
．
故答案为 ； ；
（2）如图2，
由题意可知：
；
；
平分 ， 平分 ，
，
，
；
（3）如图3．
，
．
当 时，有 ，
解得 ．
即当 时，有 成立．
7．如图，将一副三角尺的两个直角顶点 重合在一起，在同一平面内旋转其中一个三角尺．
（1）如图1，若 ，则 ．
（2）如图2，若 ，则 ．
（3）如图1，请猜想 与 的关系，并写出理由．【解答】解：（1） ， ，
，
．
故答案为 ．
（2） ，又 ，
，
．
故答案为 ．
（3）结论： ．
理由：
， ，
，
．
8．如图，两个形状．大小完全相同的含有 、 的三角板如图放置， 、 与直线 重
合，且三角板 ，三角板 均可以绕点 逆时针旋转．
（1）试说明： ；
（2）如图，若三角板 的边 从 处开始绕点 逆时针旋转一定角度， 平分 ，
平分 ，求 ；
（3）如图，若三角板 的边 从 处开始绕点 逆时针旋转，转速为 秒，同时三角板的边 从 处开始绕点 逆时针旋转，转速为 秒，在两个三角板旋转过程中 转
到与 重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为 秒，则
， （用含有 的代数式表示，并化简）；以下两个结论：① 为定值；②
为定值，正确的是
（填写你认为正确结论的对应序号）．
【解答】解：（1） ， ， ，
；
（2）设 ， ，
则 ，
，
，
（3）①正确．
设运动时间为 秒，则 ，
，
运动之前 ，两个三角板运动的速度差为 秒
．
．
② ，可以看出 随着时间在变化，不为定
值，结论错误．
故答案为： ； ；①．
9．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点 按如图方式叠放在一起：
（1）若 ，则 的度数为 ；
（2）若 ，求 的度数；（3）猜想 与 的大小关系，并说明理由；
（4）三角尺 不动，将三角尺 的 边与 边重合，然后绕点 按顺时针或逆时针．方
向任意转动一个角度，当 等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂
直，直接写出 角度所有可能的值，不用说明理由．
【解答】解：（1） ，
．
（2） ，
．
（3） ．
，
，即 与 互补．
（4） 、 、 、 ．
10．将一副三角尺的两个直角顶点 重合在一起，如图那样摆放．
（1）如果重叠在一起时， ，则 11 0 度；
（2）如果重叠在一起时， ，则 度；
（3）请猜想：不论旋转道何种位置，只要重叠在一起（重叠部分的角度大于 且小于 ，
和 的和始终等于 度，并试说明理由．
【解答】解：（1）因为 和 互余，且 ，故 ，所以 ；
（2）同（1）， ， ；
（3） ；
理由： ， ，
，
，
11．如图 1，直线 上有一点 ，过点 在直线 上方作射线 ．将一直角三角板
的直角顶点放在点 处，一条直角边 在射线 上，另一边 在直线
上方．将直角三角板绕着点 按每秒 的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为 秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时， 恰好平分 ，此时， 与 之间有
何数量关系？并说明理由．
（2）若射线 的位置保持不变，且 ．
①则当旋转时间 7 或 2 5 秒时，边 所在的直线与 平行？
②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线 ， 与 中的某一条射线是另两条射线
所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的 的取值．若不存在，请说明理由．
③在旋转的过程中，当边 与射线 相交时（如图 ，求 的值．
【解答】解：（1） ，
，
， ，
平分 ，
，
；（2）① ，
，
如图1，当 在直线 上方时，
，
，
，即 ；
如图2，当 在直线 下方时，
，
，
，
则 ，
，
故答案为：7或25；
②当 平分 时， ，即 ，解得 ；
当 平分 时， ，即 ，解得 ；
当 平分 时， ，即 ，解得： ；
综上， 的值为2、8、32；
③ ， ，，
的值为 ．
12．如图 1，点 为直线 上一点，过 点作射线 ，使 ，将一直角
的直角顶点放在点 处，边 在射线 上，另一边 在直线 的下方，绕点 逆时
针旋转 ，其中旋转的角度为
（1）将图1中的直角 旋转至图2的位置，使得 落在射线 上，此时 为 9 0 度．
（2）将图1中的直角 旋转至图3的位置，使得 在 的内部，试探究 与
之间满足什么样的等量关系，并说明理由．
（3）若直角 绕点 按每秒 的速度顺时针旋转，当直角 的直角边 所在直线恰
好平分 时，求此时直角 绕点 的运动时间 的值．
【解答】解： ， ，
，
（1）由 落在射线 上，可知旋转角为： ；
故答案为90．
（2） ， ，
；
（3） 所在直线恰好平分 ，
，
此时旋转角为：
（秒 ，
或 （秒
所以直角 绕点 的运动时间是22.5秒或58.5秒．
13．如图1，点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ，将直角三角板
的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 在直线 的下方．（1）在图1中， ， ．
（2）将图1中的三角板按图2的位置放置，使得 在射线 上，则 ；
（3）将上述直角三角板按图3的位置放置，使得 在 的内部，求 的度
数．
【解答】解：（1） 点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ，
，
，
故答案为： ， ；
（2） 由（1）可知： ， ， ，
，
故答案为： ；
（ 3 ） 由 图 可 知 ： ， ， ，
，
则， ，
即 的度数是 ．
14．如图，两个形状，大小完全相同的含有 ， 的三角板如图①放置， ， 与直线
重合，且三角板 与三角板 均可绕点 逆时针旋转．
（1）试说明： ；（2）如图②，若三角板 的边 从 处开始绕点 逆时针旋转一定度数， 平分 ，
平分 ，求 ．
（3）如图③，若三角板 的边 从 处开始绕点 逆时针旋转，转速为 ．同时三角板
的边 从 处开始绕点 逆时针旋转，转速为 ，在两个三角板旋转过程中 转到
与 重合时，三角板都停止转运），问 的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说
明理由．
【解答】解：（1） ， ， ，
；
（2）设 ， ，
则 ，
，
，
（3）不变．
设运动时间为 秒，则 ，
， ．
，
．
15．如图1， 为直线 上一点，过点 作射线 ， ，将一直角三角板
的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 与 都在直线 的上方．
（1）将图1中的三角板绕点 以每秒 的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过 秒后，恰好平分 ．
①此时 的值为 3 ；（直接填空）
②此时 是否平分 ？请说明理由；
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线 也绕 点以每秒 的速度沿顺时针
方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间 平分 ？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，经过多长时间 平分 ？请画图并说明理由．
【解答】解：（1）① ， ，
，
平分 ，
，
．
②是，理由如下：
转动3秒， ，
，
，
即 平分 ．
（2）三角板旋转一周所需的时间为 （秒 ，
射线 绕 点旋转一周所需的时间为 （秒 ，
设经过 秒时， 平分 ，
由题意：① ，
解得： ，
② ，
解得： ，不合题意，③ 射线 绕 点旋转一周所需的时间为 （秒 ，45秒后停止运动，
当 旋转到 的位置后再旋转 时， 平分 ，
此时 旋转了 ，
（秒 ，
综上所述， 秒或69秒时， 平分 ．
（3）如图3中，由题意可知， 旋转到与 重合时，需要 （秒 ，
旋转到与 重合时，需要 （秒 ，
所以 比 早与 重合，
设经过 秒时， 平分 ，
由题意： ，
解得： ，
所以经 秒时， 平分 ．
16．如图1，点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ．将一直角三角板的直
角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 在直线 的下方．
（1）将图1中的三角板绕点 逆时针旋转至图2，使一边 在 的内部，且恰好平分．问：此时直线 是否平分 ？请说明理由．
（2）将图1中的三角板绕点 以每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒
时，直线 恰好平分锐角 ，求 的值．
（3）将图1中的三角板绕点 顺时针旋转至图3，使 在 的内部，试探索：在旋转过程
中， 与 的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范
围．
【解答】解：（1）直线 平分 ．
理由：如图所示，设 的反向延长线为 ．
平分 ，
．
又 ，
．
．
又 （对顶角相等），
．
平分 ，即直线 平分 ．
（2） ，
．
．
即旋转 或 时直线 平分 ．
由题意得， 或240．
解得： 或40；
（3） 的差不变．
， ，
、 ．
．
17．如图 1， 为直线 上一点，过点 作射线 ， ，将一直角三角板的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 与 都在直线 的上
方．
（1）将图1中的三角板绕点 以每秒 的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过 秒后
恰好平分 ，则 5 秒或 11 5 秒 （直接写结果）
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线 也绕 点以每秒 的速度沿顺时针
方向旋转一周，如图3，那么经过多少秒后 平分 ？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，那么经过多少秒 ？请说明理由．
【解答】解：（1） ， ，
，
，
，
，
，
解得： 秒；
（2）5秒或115秒时， 平分角 ，理由如下：
当 运动时，
， ，
，
，
三角板绕点 以每秒 的速度，射线 也绕 点以每秒 的速度旋转，
设 为 ， 为 ，
，
可得： ，
解得： 秒；停止运动， 运动 时，此时， 也平分 ，
（秒 ；
（3）当 运动时，
如上图： 平分
可能在 内侧也可能在外侧，由题意得：
或 ，
解得： 或32秒；
当 停止运动时，
运动到 下方 时， ，
（秒 ，
运动到 下方 时， ，
（秒
答：经过8或32秒或112秒或88秒．
18．如图，点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ，将一个含 角的直角
三角尺的一个顶点放在点 处，斜边 与直线 重合，另外两条直角边都在直线 的下方．
（1）将图1中的三角尺绕着点 逆时针旋转 ，如图2所示，此时 ；在图2
中， 是否平分 ？请说明理由；
（2）紧接着将图2中的三角板绕点 逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得 在 的内
部，请探究： 与 之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点 按每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时，直线 恰好平分锐角 ，则 的值为 （直接写出结果）．
【解答】解：（1）如图2， ，
平分 ．理由如下：
，
，
而 ，
；
故答案为 ；
平分 ．
理由如下：
三角尺绕着点 逆时针旋转 得到 （如图 ，
，
，
而 ，
平分 ；
（2） ．
理由如下：如图3，
，
，
，
，
；
（3） （秒 或 （秒 ．
故答案为4.5秒或40.5秒．
