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专题 28.10 解直角三角形（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．已知 ABC 中， ∠C=90°，tanA= ，D 是 AC 上一点， ∠CBD=∠A， 则
△
cos∠CDB的值为（ ）
A． B． C． D．2
2．如图，将边长6cm的正方形纸片沿虚线剪开，剪成两个全等梯形．已知裁剪线与
正方形的一边夹角为60°，则梯形纸片中较短的底边长为（ ）
A．（3﹣ ）cmB．（3﹣2 ）cm C．（6﹣ ）cm D．（6﹣2 ）cm
3．在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，将
绕 点逆时针旋转到如图 的位置， 的对应点 恰好落在直线 上，连接
，则 的长度为（ ）
A． B． C．2 D．4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠B＝60°，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E为AB
边的中点，连接DE交AC于F．若CD＝1，则线段AF的长度为（ ）
A． B． C．1 D．
5．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，
AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在 处测得点 在北偏东 方向上，在 处测得点 在北偏东 方向上，
若 千米，则点 两点的距离为（）千米．
A．4 B． C．2 D．6
7．如图，在等腰 中， 于点 ，则 的值
（ ）A． B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中， ， ，M是CD上的一点，将 沿直
线AM对折得到 ，若AN平分 ，则CN的长为（ ）
A． B． C． D．3
9．如图，无人机于空中 处测得某建筑顶部 处的仰角为 ，测得该建筑底部 处
的俯角为 ．若无人机的飞行高度 为 ，则该建筑的高度 为（ ） ．（参考
数据： ， ， ）
A． B． C． D．
10．某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度．他从点 出发沿着坡度为
的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端 的仰角为37°，建
筑物底端 的俯角为30°，若AF为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则
此建筑物的高度DE约为(精确到 米，参考数据： ，)（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
二、填空题
11．如图，在 中， ，D是边 上的一点， ，
则AB _______. △
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，交BD
于点E，若AE ，则矩形ABCD的周长为 _____．
13．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，AC＝2 ，则AB＝___．
14．如图，一艘船由A港沿北偏东 方向航行 至B港，然后再沿北偏西 方
向航行至C港，C港在A港北偏东 方向，则A，C两港之间的距离为______ ．15．如图，等腰直角 ABC的面积为16，点D在斜边AC的延长线上，∠BDC＝30°，
则 BDC的面积是__. △
△
16．如图所示，在平面直角坐标系中， ， ，则 点的坐标是
__________．
17．如图，AC⊥BC，AD＝a，BD＝b，∠A＝α，∠B＝β，则AC等于 _______．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点A（-4，0），与 轴夹角为
，将 沿直线 翻折，点 的对应点 恰好落在双曲线 上，则 的值为______．
三、解答题
19．如图，Rt△ABC中， ，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧
作等腰三角形ADE．使 ，连接CE．则：
(1) 求证： ；
(2) 若 ，求证： ．
20．如图，已知矩形 的对角线 的垂直平分线与边 分别交于点 ．
(1) 求证：四边形 是菱形．
(2) 若 ， ，则 ______．21．如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，点D、点E分别为线段
AC、AB上的点，连结DE．将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC的延长线上的点F处，
此时恰好有∠BFE＝30°，则CF的长度为 _____．
22．如图，在港口 处的正东方向有两个相距 的观测点 ， ，一艘轮船从
处出发沿东偏北 方向航行至 处，在 ， 处分别测得 ， ，求轮
船航行的路程 ．（参考数据： ， ， ， ，结果保留整数）
23．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处．
(1) 渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
(2) 渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行 nmile到点C处时突然发
生事故，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少
（结果保留根号）？
24．江阴芙蓉大道城市快速路在2020年5月份通车，在安装路灯过程中，工人师傅发
现垂直于地面的灯柱OA与灯杆AB相交成一定的角度才能产生光照效果，路灯采用锥形灯
罩，在地面上的照射区域OC长为8m，从O、C两处测得路灯B的仰角分别为∠BOC和∠BCO，且tan∠BOC＝4，tan∠BCO＝ ．
（1）求路灯B到地面的距离；
（2）若∠OAB＝120°，求灯柱OA的高度（结果保留根号）．
参考答案
1．B
【分析】由已知条件 ，可得 ，设 ，由题意可
得 ，即可算出 ，在 中，根据勾股定理可得
，由余弦定义进行计算即可得出答案．
解： ，
，
设 ，
，
，
在 中，
，
．
故选：B
【点拨】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．
2．A
【分析】过M点作ME⊥AD于E点，根据四边形ABCD是正方形，有AD=CD=6，
∠C=∠D=90°，由裁剪的两个梯形全等，可得AN=MC；再证明四边形MCDE是矩形，即有
MC=ED，ME=CD=6，进而有AN=ED，在Rt△MNE中，解直角三角形可得 ，则可
得 ，问题得解．
解：如图，过M点作ME⊥AD于E点，
∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴AD=CD=6，∠C=∠D=90°，
∵裁剪的两个梯形全等，
∴AN=MC，
∵ME⊥AD，
∴四边形MCDE是矩形，
∴MC=ED，ME=CD=6，
∴AN=ED，
根据题意有∠MNE=60°，
∴在Rt△MNE中， ，
∴ ，
∴ ，
即梯形中较短的底为 （cm），
故选：A．
【点拨】本题主要考查了正方形的、矩形的判定与性质、解直角三角形的应用等知识，根据梯形全等得出AN=MC是解答本题的关键．
3．B
【分析】先求出点A、B的坐标，可求得OA、OB，进而可求得∠OAB=60°，利用旋转
的性质和等边三角形的判定与性质证明 和 为等边三角形得到 即可
求解.
解：对于 ，
当 时， ，当 时，由 得： ，
则A（1，0），B（0， ），
∴ ， ，
∴ ，则∠OAB=60°，
由旋转性质得： ， ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，又
∴ 是等边三角形，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、旋转性质、等边三角形的判定
与性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用，证得 是等边三角形是解
答的关键．
4．D
【分析】延长AD、BC交于点G，将图形补充成等边三角形，利用△ACD和△ABC都
是含30°角的直角三角形得出AC，AD，AB的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半得出EC的长度，用等边三角形的性质推导EC AD，继而得出
△EFC∽△DFA， ，最后结合CF=AC-AF利用这个比例式得到关于AF的方程，解
出即可．
解：∵∠DAB＝∠B＝60°，AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB＝30°，
∵AD⊥CD，CD＝1，
∴AD＝ ，AC＝2，
延长AD、BC交于点G，如图，
∵∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠G＝60°，
∴△ABG为等边三角形，
∵AC平分∠DAB，
∴C为GB的中点，且AC⊥GB，
∴AB＝ ，
连接EC，
∵E为AB边的中点，AC⊥GB
∴EC＝ AB＝ ，
∵C为GB的中点，
∴EC AD，
∴△EFC∽△DFA，
∴ ，即
∴
∴AF＝ ．故选：D．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，相似
三角形的判定与性质，利用判定△EFC∽△DFA并用其列出关于AF的方程是解题的关键．
5．C
【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，
利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得．
解：取格点E，连接AE、BE，如图：
设网格中的小正方形的边长为1，
则BE＝ ，
AE＝ ，
AB= ．
∵BE2+AE2＝2+8＝10，
AB2＝10，
∴BE2+AE2＝AB2．
∴∠AEB＝90°．
由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°．
∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD，
∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD，
∴∠APD＝∠ABE．
在Rt△ABE中，cos∠ABE＝ ．
∴cos∠APD＝ ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键．
6．D
【分析】根据题意可知， ， 千米，则根据三角函数可求 、
，再根据 ，利用三角函数可求BC，则 ．
解：由题意可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义，正确标注方
向角是解题的关键．
7．D
【分析】先由 ，易得 ，由 可得 ，进而用勾股
定理分别将BD、BC长用AB表示出来，再根据 即可求解．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，在 中， ，
∴ ，
故选：D
【点拨】本题主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性质和勾股定理以及三角函数
的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
8．C
【分析】过点N作CD的垂线交 于点E，根据对折和平分线可以得到
，再利用三角函数可以求出 ， ，最后
利用勾股定理可以求出CN的长．
解：如图，过点N作CD的垂线交 于点E
由折叠可知：
， ，
∵AN平分
∴
∴
∵
∴ ，
∴
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴在 中，由勾股定理可得：故选：C
【点拨】本题考查了折叠的性质、解直角三角形以及勾股定理，正确作出辅助线是解
题关键．
9．C
【分析】由题意作AE⊥BC于E，根据正切的定义求出AE，根据等腰直角三角形的性
质求出BE，结合图形计算即可．
解：作AE⊥BC于E，
则四边形ADCE为矩形，
∴EC=AD=62，
在Rt△AEC中， ，
则 ，
在Rt△AEB中，∠BAE=45°，
∴BE=AE=200，
∴BC=200+62=262（m），
则该建筑的高度BC为262m．
故选：C．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟
记锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．C
【分析】如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，根据坡度及AB的长可求出
BN的长，进而可求出CN的长，即可得出ME的长，利用∠MBE的正切可求出CM的长，
利用∠DCM的正切可求出DM的长，根据DE=DM+ME即可得答案．
解：如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，
∵沿着坡度为 的斜坡AB步行26米到达点B处，
∴ ，
∴AN=2.4BN，
∴BN2+（2.4BN）2=262，
解得：BN=10（负值舍去），
∴CN=BN+BC=11.6，
∴ME=11.6，
∵∠MCE=30°，
∴CM= =11.6 ，
∵∠DCM=37°，
∴DM=CM·tan37°=8.7 ，
∴DE=ME+DM=11.6+8.7 ≈26.7（米），
故选：C．
【点拨】本题考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形并熟练掌握三角函数的
定义及特殊角的三角函数值是解题关键．
11． ##【分析】如图，过点 作 ，利用共用直角边列方程求出 ，再利用三角函数
求出 即可．
解：如图，过点 作 ，设 的长为
则： ， ，
∴ ，
整理得： ，解得： 或 （舍），
又∵
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查解直角三角形．解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，利用公
共直角边别方程进行求解．
12． ##
【分析】根据矩形的性质和线段垂直平分线的性质可证明△ABO是等边三角形，解直
角三角形求出AB、AD即可求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC=BO=OD，∠BAD=90°，
∵AE垂直平分BO，
∴AO=AB，∠AEB=90°，
∴AO=AB=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABO=60°，
在Rt△ABE中，AE ，∴ ，
在Rt△ABD中，AD=AB·tan60°= ，
∴矩形ABCD的周长为2（AB+AD）= ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查矩形的性质、线段垂直平分线 的性质、等边三角形的判定与性质、
解直角三角形，熟练掌握矩形的性质和线段垂直平分线的性质，证得△ABO是等边三角形
是解答的关键．
13．4
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，得到一个30°和一个45°的直角三角形，再利用锐
角三角形函数求解即可．
解：过点A作AD⊥BC于点D
∴∠ADC=∠ADB=90°
∵AC＝2 ，∠ACB＝45°
∴sin∠ACB＝ =
∴AD=2
∵∠ABC＝60°
∴sin∠ABC= =
∴AB=4
故答案为：4．
【点拨】本题考查解直角三角形，锐角三角函数，利用特殊角60°和45°构造直角三角形是解决问题的关键．
14．
【分析】根据题意得， ， ， ，过 作
于 ，解直角三角形即可得到结论．
解：根据题意得， ， ， ，
过 作 于 ，
，
在 中， ， ，
，
在 中， ，
，
，
， 两港之间的距离为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知
识比较简单．
15．
【分析】作BH⊥AC于H．想办法求出AD．BH即可解决问题．
解：如图，作BH⊥AC于H．∵等腰直角 ABC的面积为16,
△
∴BA=BC= ，
∵BA=BC= ，∠ABC=90°，BH⊥AC，
,
在Rt BDH中，
∵∠BH△D=90°，∠BDC =30°，
,
,
.
【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造
直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
16．
【分析】可过C点作CA⊥x轴于点A，由题可知∠COA=30°，再运用三角函数即可求
解C点坐标.
解：过C点作CA⊥x轴于点A，
由题可知，∠COA=180°-150°=30°，则AC=sin30°×OC= ，AO= cos30°×OC= ，
则C点坐标为： ，
故答案为 .
【点拨】本题考查了特殊角的三角函数，熟记几个特殊角的三角函数值是解题关键.
17．acosα＋bsinβ
【分析】过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，可得四边形DFCE是矩形，从而利用
三角函数表示出AE,DF的长，即可求出AC的长.
解：过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，
∵AC⊥BC,
∴四边形DFCE是矩形，
∴DF=CE,
∵AE=AD× cosα= acosα,
CE=DF=BD× sinβ= bsinβ,
∴AC=AE+EC= acosα＋bsinβ.
故答案为acosα＋bsinβ.
【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义和矩形的性质和判定，熟练掌握相关定义和
性质是解题的关键.
18．
【分析】设点 的坐标为 ，过点 作 轴，作 轴，根据折叠的性质
可得 ， ， ，用锐角三角函数的定义求
出 ， 的长，则求出点 的坐标，即可得出 的值．
解：设点 的坐标为 ，如图，过点 作 轴，作 轴，将 沿直线 翻折，
， ， ，
∴∠CAD=60°， ∠ACD=30°，
，
，
，
，
，
点 在第二象限，
，
点 恰好落在双曲线 上，
．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了翻折的性质，锐角三角函数的知识，反比例函数的解析式的
求法，理解翻折的性质，求出点 的坐标是解答本题的关键．
19．(1)见分析(2)见分析
【分析】（1）由直角三角形斜边中线的性质可知 ，即得出 ，再
结合题意 ，即得出 ，从而证明 ；
（2）过点E作 于点H，由 ，即得出 ， ，从
而得出 ，得出 ．根据平行线的性质得出 ，从而得出 ．又易证 ，得出 ，即可证明
．
解：（1）∵ ，点D是边BC的中点，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，过点E作 于点H，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，DE=DE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
【点拨】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解直角三角形以及全等三角形的判定和性质．正确作出辅助线是解题关键．
20．(1)见分析(2)
【分析】（1）证明四边形 是平行四边形，进而证明是菱形即可；
（2）根据三角函数和勾股定理解答即可．
（1）证明：在矩形 中， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵
∴平行四边形 是菱形．
（2）∵ ， ，∠B=90°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质以及解三角形的知识，关键是掌
握菱形的判定和性质．
21．【分析】过点 作 于 ，根据勾股定理求得 的长，继而求得
，设 ，则 ，则 ，根据
，解得 ，在 中， ，根据
即可求解．
解：过点 作 于 ，如图，
∠BFE＝30°，
，
∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ， ，
，
解得 ，
， ，
，在 中， ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，勾
股定理，求得 的长是解题的关键．
22． ．
【分析】过点 作 于点 ，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离 ．
解：如图，过点 作 于点 ，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
∴ ，
，
，
，
解得 ，
在 中， ，
，
即 ．答：轮船航行的路程 约为 ．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用 方向角问题，锐角三角函数的应用，熟悉
相关性质是解题的关键．
23．(1)渔船航行 nmile距离小岛B最近；(2)援队从B处出发沿点B的南偏东45°
的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是 nmile．
【分析】（1）过B作BM⊥AC于M，解直角三角形即可得到结论；
（2）在Rt△BCM中，解直角三角形求得∠MBC＝60°，即可求得∠CBG＝45°，
nmile，可得到结论．
（1）解：过B作BM⊥AC于M，
由题意可知：∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°，
在Rt△ABM中，
∵∠BAM＝45°，
∴ ，
∴渔船航行 nmile距离小岛B最近；
（2）解：∵ nmile，
∴
∴∠MBC＝60°，∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，
在Rt△BCM中，
∵∠MBC＝60°，
∴ nmile．
故救援队从B处出发沿点B的南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短，最短航
程是 nmile．
【点拨】本题考查解非直角三角形，解题的关键是构造直角三角形，掌握解直角三角
形的知识点．
24．（1）路灯B到地面的距离8m；（2）灯柱OA的高度为（8﹣ ）m．
【分析】（1）过点B作BF⊥OC于F，设BF＝x．解直角三角形求得OF＝ x，CF＝
x，由OC＝8求得x＝8，据此知BF＝8m；
（2）再过点A作AG⊥BF于点G，求得∠BAG＝∠OAB﹣∠OAG＝30°．解直角三角形
可得BG，进而即可求得OA．
解：（1）过点B作BF⊥OC于F，设BF＝x．
在Rt△BOF中，∵tan∠BOC＝ ＝4，
∴OF＝ x，
在Rt△BCF中，∵tan∠BCO＝ ，
∴CF＝ x，
∵OC＝8，
∴ x+ x＝8，
∴x＝8，
∴BF＝8m，
即路灯B到地面的距离8m；（2）过点A作AG⊥BF于点G，可知四边形AGFO是矩形，
∵∠OAB＝120°，
∴∠BAG＝∠OAB﹣∠OAG＝120°﹣90°＝30°．
∵OF＝ ×8＝2，
∴AG＝OF＝2，
在Rt△BAG中，∵tan∠BAG＝ ，
∴BG＝tan30°×2＝
∴OA＝GF＝（8﹣ ）（m），
即灯柱OA的高度为（8﹣ ）m．
【点拨】本题主要考查解直角三角形 仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直
角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．
