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专题02 《相交线与平行线》解答题、证明题重点题型分类
专题简介：本份资料专攻《相交线与平行线》中“利用平行线的性质求角”、“利用平行
线的判定及性质证明平行”、“利用平行线的判定及性质证明角相等”、“平行线中构造
平行线”解答题、证明题重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时
使用。
考点1：利用平行线的性质求角
方法点拨：题目中出现两直线平行的条件时，应立即想到平行线的三个性质，
要注意分析图形特征，明确角与角的位置关系从而明确角与角之间的数量关系
是相等还是互补。平行线还通常会和角平分线、垂线等知识结合，求角的度数
时需要根据已知条件综合利用角平分线、垂线的定义以及对顶角、领补角互补
等性质求解！
1．如图，已知：DE//BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=80°，∠A=50°，求：∠EDC与
∠BDC的度数．
2．两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与
DF交于点M，BC EF，求∠BMD的度数．
3．如图所示，AB//CD，G为AB上方一点，E、F分别为AB、CD上两点，
∠AEG=4∠GEB，∠CFG=2∠GFD，∠GEB和∠GFD的角平分线交于点H，求∠G+∠H的
值．
4．如图所示，AB//CD，点E为两条平行线外部一点，F为两条平行线内部一点，G、H分
别为AB、CD上两点，GB平分∠EGF，HF平分∠EHD，且2∠F与∠E互补，求∠EGF的
大小．5．如图，CD AB，点O在直线AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，求∠DOF
的度数．
6．小明同学遇到这样一个问题：
如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
小亮帮助小明给出了该问的证明．
证明：
过点E作EF∥AB
则有∠BEF＝∠B
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠FED＝∠D
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D
请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：
（1）直线l∥l，直线EF和直线l、l 分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l、l 上，
1 2 1 2 1 2
猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．
（2）拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、
∠APB、∠PBD之间的数量关系．
考点2：利用平行线的判定及性质证明平行
方法点拨：“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线
平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。1．如图，已知a∥b，∠3＝∠4，那么直线c与直线d平行吗？请说明理由．
2．根据下列证明过程填空，请在括号里面填写对应的推理的理由．
如图，已知∠1+∠2＝180°，且∠1＝∠D，求证：BC∥DE．
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）
又∵∠1＝∠3________．
∴∠2+∠3＝180°（等量代换）
∴AB∥________．
∴∠4＝∠1________．
又∵∠1＝∠D（已知）
∴∠D＝________（等量代换）
∴BC∥DE（________）．
3．已知：如图， ∥ ， ∥ ， ， ， 是直线a，b，c被直线d截出的同位角．
求证： ∥ ．
4．完成下面的说理过程：如图，在四边形 中，E、F分别是 ，延长线上的
点，连接 ，分别交 ， 于点G、H．已知 ， ，对 和说明理由．
理由：∵ （已知），
（ ），
∴ （等量代换）．
∴ （ ）．
∵ （ ）．
∵ （已知），
∴． （ ）．
∴ （ ）．
5．完成下列证明过程，并在括号内填上依据．
如图，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证AB∥CD．
证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4
∴∠2＝ （等量代换），
∴ ∥BF（ ），
∴∠3＝∠ （ ）．
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠3＝∠B
∴AB∥CD（ ）．
6．如图，点 ， 分别在 ， 上， ，垂足为点 ．已知 ，
．（1）求证： ；
（2）若 ， ， ，求点 到直线 的距离．
考点3：利用平行线的判定及性质证明角相等
方法点拨：判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。“由线定
角”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。
1．填写推理理由： 如图，CD∥EF，∠1=∠2，求证：∠3=∠ACB．
证明：∵CD∥EF，
∴∠DCB=∠2
∵∠1=∠2，∴∠DCB=∠1．
∴GD∥CB ．
∴∠3=∠ACB ．
2．如图，在下列解答中，填写适当的理由或数学式：
（1）∵∠A=∠CEF，（ 已知 ）
∴________∥________； （________）
（2）∵∠B+∠BDE=180°，（ 已知 ）
∴________∥________；（________）
（3）∵DE∥BC，（ 已知 ）∴∠AED=∠________； （________）
（4）∵AB∥EF，（ 已知 ）
∴∠ADE=∠________．（________）
3．请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：
已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠D．
求证：∠B＝∠C．
证明：∵∠1＝∠2，（已知）
又：∵∠1＝∠3，（ ）
∴∠2＝____________（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠BFD（ ）
∵∠A＝∠D（已知）
∴∠D＝_____________（等量代换）
∴____________∥CD（ ）
∴∠B＝∠C（ ）
4．完成下面的证明．
如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2，求证：∠BAC+∠AGD＝180°．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°（ ），
∴∠EFB＝∠ADB（等量代换），
∴EF AD（ ），
∴∠1＝∠BAD（ ），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠ （等量代换），
∴DG BA（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠AGD＝180°（ ）．5．如图，∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．
（1）求证：BD∥CE；
（2）求证：∠A＝∠F．
6．如图所示，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3＝∠C，则∠1和∠2什么关系?并说明理由．
考点4：平行线中构造平行线
方法点拨：平行线的构造主要解决的是 平行线间的折线问题。而构造的方法大
致有三种：过拐点做已知直线的平行线、做延长线、做封闭图形。最基本的两
种图形，是铅笔模型和猪蹄模型。
1．如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°，
（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图2，当∠E=90°且AB与CD的位置关系保持不变，移动直角顶点E，使
∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？
并说明理由；
（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保
持不变，当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？
猜想结论并说明理由．2．直线 ，直线 分别交 、 于点 、 ， 平分 ．
（1） 如图1，若 平分 ，则 与 的位置关系是 ．
（2） 如图2，若 平分 ，则 与 有怎样的位置关系？请说明理由．
（3） 如图3，若 平分 ，则 与 有怎样的位置关系？请说明理由．
3．已知：AB CD．点E在CD上，点F，H在AB上，点G在AB，CD之间，连接FG，
EH，GE，∠GFB＝∠CEH．
（1）如图1，求证：GF EH；
（2）如图2，若∠GEH＝α，FM平分∠AFG，EM平分∠GEC，试问∠M与α之间有怎样
的数量关系（用含α的式子表示∠M）？请写出你的猜想，并加以证明．
4．已知AB∥CD，点是AB，CD之间的一点．
（1）如图1，试探索∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系；
以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：
解：过点E作PE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．
∵AB∥CD（已知），
∴PE∥CD（ ），
∴∠BAE＝∠1，∠DCE＝∠2（ ），
∴∠BAE+∠DCE＝ + （等式的性质）．
即∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系是 ．（2）如图2，点F是AB，CD之间的一点，AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．
①若∠AEC＝74°，求∠AFC的大小；
②若CG⊥AF，垂足为点G，CE平分∠DCG，∠AEC+∠AFC＝126°，求∠BAE的大小．
5．在数学综合实践活动课上，老师让同学们以“两条平行直线 ， 和一块含45°的直
角三角板 （ ）”为背景，开展数学探究活动．如图，将三角板的顶点 放
置在直线 上．
（1）如图①，在 边上任取一点 （不同于点 ， ），过点 作 ，且
，求 的度数；
（2）如图②，过点 作 ，请探索并说明 与 之间的数量关系；
（3）将三角板绕顶点 旋转，过点 作 ，并保持点 在直线 的上方．在旋转
过程中，探索 与 之间的数量关系，并说明理由．
6．已知AB CD，点E、F分别在AB、CD上，点G为平面内一点，连接EG、FG．
（1）如图1，当点G在AB、CD之间时，请直接写出∠AEG、∠CFG与∠G之间的数量关
系 ；
（2）如图2，当点G在AB上方时，且∠EGF＝90°，求证：∠BEG –∠DFG＝90°；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作直线HK交直线CD于K，使∠HEG与∠GEB互
补，∠EKD的平分交与直线GE交于点L，请你判断FG与KL的位置关系，并证明．7．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．小明的思路
是：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．
问题迁移：
（1）如图3．AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，
∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．猜想∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由：
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重
合），请写出∠CPD、∠a、∠β之间的数量关系，选择其中一种情况画图并证明．
