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专题02 《相交线与平行线》解答题、证明题重点题型分类
专题简介：本份资料专攻《相交线与平行线》中“利用平行线的性质求角”、“利用平行
线的判定及性质证明平行”、“利用平行线的判定及性质证明角相等”、“平行线中构造
平行线”解答题、证明题重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时
使用。
考点1：利用平行线的性质求角
方法点拨：题目中出现两直线平行的条件时，应立即想到平行线的三个性质，
要注意分析图形特征，明确角与角的位置关系从而明确角与角之间的数量关系
是相等还是互补。平行线还通常会和角平分线、垂线等知识结合，求角的度数
时需要根据已知条件综合利用角平分线、垂线的定义以及对顶角、领补角互补
等性质求解！
1．如图，已知：DE//BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=80°，∠A=50°，求：∠EDC与
∠BDC的度数．
【答案】∠BDC=75°，∠EDC =25°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB =50°，再由角平分线的定义求出
，则由三角形内角和定理可求出∠BDC=180°-∠B-
∠BCD=75°，再由平行线的性质即可得到∠EDC=∠BCD=25°．
【详解】解：∵∠A=50°，∠B=80°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=50°，
∵CD平分∠ACB，
∴ ，
∴∠BDC=180°-∠B-∠BCD=75°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠BCD=25°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关
键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
2．两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与
DF交于点M，BC EF，求∠BMD的度数．【答案】75°
【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可算出∠F和∠B的度数，再由“两直线平行，
内错角相等”，可求出∠MDB的度数，在△BMD中，利用三角形内角和可求出∠BMD的
度数．
【详解】解：如图，
在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，
∴∠B＝90°−∠C＝60°，
∠F＝90°−∠E＝45°，
∵BC EF，
∴∠MDB＝∠F＝45°，
在△BMD中，∠BMD＝180°−∠B−∠MDB＝75°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和，平行线的性质等内容，根据图形，结合定理求出每
个角的度数是解题关键．
3．如图所示，AB//CD，G为AB上方一点，E、F分别为AB、CD上两点，
∠AEG=4∠GEB，∠CFG=2∠GFD，∠GEB和∠GFD的角平分线交于点H，求∠G+∠H的
值．
【答案】∠G+∠H=36°．
【分析】先设 ， ，由题意可得 ， ，由
， ，从而求出 ；根据题意得 ，
， 从而得到 的值．
【详解】解：设 ， ，
由题意可得， ， ，
由 ， ，解得 ， ；
由靴子图AEGFC知， ，即
由靴子图AEHFC知， ，即
即 ， ，【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是设 ， ，由题意得到
的关系式，正确将 表示成 的形式．
4．如图所示，AB//CD，点E为两条平行线外部一点，F为两条平行线内部一点，G、H分
别为AB、CD上两点，GB平分∠EGF，HF平分∠EHD，且2∠F与∠E互补，求∠EGF的
大小．
【答案】∠EGF=120°．
【分析】过点F作FM∥AB，设AB于EH的交点为N，先设 ，则
，由题意及平行线的性质得 ，
，得到 ， ，由于 与 互补，得到
，最终问题可求解
【详解】解：过点F作FM∥AB，设AB于EH的交点为N，如图所示：
设 ，
∵GB平分∠EGF，HF平分∠EHD，
∴ ，
∵AB//CD，
∴FM∥AB∥CD，
∴ ，
∴ ， ，
即 ， ，
∵ 与 互补，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查平行线的性质及三角形外角的性质，解题的关键是设，且由题意得到x，y的关系．
5．如图，CD AB，点O在直线AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，求∠DOF
的度数．
【答案】
【分析】根据平行线的性质求得 ，根据角平分线和垂直求解即可．
【详解】解：∵
∴
∵OE平分∠BOD
∴
又∵OF⊥OE
∴
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了平行线、角平分线以及垂直的性质，解题的关键是掌握并利用它们的
性质进行求解．
6．小明同学遇到这样一个问题：
如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
小亮帮助小明给出了该问的证明．
证明：
过点E作EF∥AB
则有∠BEF＝∠B
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠FED＝∠D
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D
请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：
（1）直线l∥l，直线EF和直线l、l 分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l、l 上，
1 2 1 2 1 2
猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．
（2）拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、
∠APB、∠PBD之间的数量关系．【答案】（1）55°；（2）当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC +∠PBD；当P在DC延长
线上时，∠APB=∠PBD-∠PAC；当P在CD延长线上时，∠APB=∠PAC-∠PBD；
【分析】（1）过点P作PG∥l，可得∠APG=∠PAC=15°，由l∥l，可得PG∥l，则
1 1 2 2
∠BPG=∠PBD=40°，即可得到∠APB=∠APG+∠BPG=55°；
（2）分当P在线段CD上时；当P在DC延长线上时；当P在CD延长线上时，三种情况
讨论求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，过点P作PG∥l，
1
∴∠APG=∠PAC=15°，
∵l∥l ，
1 2
∴PG∥l，
2
∴∠BPG=∠PBD=40°，
∴∠APB=∠APG+∠BPG=55°；
（2）由（1）可得当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC +∠PBD；
如图1所示，当P在DC延长线上时，过点P作PG∥l，
1
∴∠APG=∠PAC，
∵l∥l ，
1 2
∴PG∥l，
2
∴∠BPG=∠PBD=40°，
∴∠APB=∠BPG-∠APG=∠PBD-∠PAC；如图2所示，当P在CD延长线上时，过点P作PG∥l，
1
∴∠APG=∠PAC，
∵l∥l ，
1 2
∴PG∥l，
2
∴∠BPG=∠PBD=40°，
∴∠APB=∠APG-∠BPG=∠PAC-∠PBD；
∴综上所述，当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC +∠PBD；当P在DC延长线上时，
∠APB=∠PBD-∠PAC；当P在CD延长线上时，∠APB=∠PAC-∠PBD．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握
平行线的性质．
考点2：利用平行线的判定及性质证明平行
方法点拨：“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线
平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。
1．如图，已知a∥b，∠3＝∠4，那么直线c与直线d平行吗？请说明理由．
【答案】直线c与直线d平行，理由见解析
【分析】根据平行线的性质得出∠2＝∠4，进而得出∠3＝∠2，再根据平行线的判定证明
即可．
【详解】解：直线c与直线d平行，
证明：∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
∵∠3＝∠4，
∴∠4＝∠2，∴c∥d．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定进行
推理证明．
2．根据下列证明过程填空，请在括号里面填写对应的推理的理由．
如图，已知∠1+∠2＝180°，且∠1＝∠D，求证：BC∥DE．
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）
又∵∠1＝∠3________．
∴∠2+∠3＝180°（等量代换）
∴AB∥________．
∴∠4＝∠1________．
又∵∠1＝∠D（已知）
∴∠D＝________（等量代换）
∴BC∥DE（________）．
【答案】对顶角相等；CD；两直线平行同位角相等；∠4；内错角相等两直线平行
【分析】根据已知条件及对顶角相等的性质可得： ，依据平行线的判定定理：
同旁内角互补，两直线平行可得： ；由平行线的性质可得： ，根据等量
代换可得： ，由内错角相等，两直线平行即可证明．
【详解】证明：∵ （已知）
又∵ （对顶角相等）．
∴ （等量代换）
∴ ，
∴ （两直线平行，同位角相等）．
又∵ （已知）
∴ （等量代换）
∴ （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等；CD；两直线平行，同位角相等；∠4；内错角相等，两直线平行．
【点睛】题目主要考查平行线的判定定理和性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质
定理是解题关键．
3．已知：如图， ∥ ， ∥ ， ， ， 是直线a，b，c被直线d截出的同位角．
求证： ∥ ．【答案】证明见解析．
【分析】根据 ，两直线平行，同位角相等 ，同理． ．根据等量代换可
得 ．根据平行线判定定理同位角相等，两直线平行可得 即可．
【详解】证明：∵ （已知），
∴ （两直线平行，同位角相等）．
∵ （已知），
∴ （两直线平行，同位角相等）．
∴ （等量代换）．
∴ （同位角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查平行线性质定理与判定定理的综合应用，掌握平行线性质定理与判定定
理是解题关键．
4．完成下面的说理过程：如图，在四边形 中，E、F分别是 ，延长线上的
点，连接 ，分别交 ， 于点G、H．已知 ， ，对 和
说明理由．
理由：∵ （已知），
（ ），
∴ （等量代换）．
∴ （ ）．
∵ （ ）．
∵ （已知），
∴． （ ）．
∴ （ ）．【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；
内错角相等，两直线平行．
【分析】先根据同位角相等，两直线平行，判定AD∥BC，进而得到∠ADE=∠C，再根据内
错角相等，两直线平行，即可得到AB∥CD．
【详解】证明：∵∠1=∠2（已知）
∠1=∠AGH（对顶角相等）
∴∠2=∠AGH（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠ADE=∠C（两直线平行，同位角相等）
∵∠A=∠C（已知）
∴∠ADE=∠A
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系
判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
5．完成下列证明过程，并在括号内填上依据．
如图，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证AB∥CD．
证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4
∴∠2＝ （等量代换），
∴ ∥BF（ ），
∴∠3＝∠ （ ）．
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠3＝∠B
∴AB∥CD（ ）．
【答案】∠4；CE；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同位角相等；内错角相等，
两直线平行
【分析】根据平行线的判定和性质解答．
【详解】解∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（对顶角相等），
∴∠2＝∠4（等量代换），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠C （两直线平行，同位角相等）．
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠3＝∠B（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；
内错角相等，两直线平行．
【点睛】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定和性质解答．
6．如图，点 ， 分别在 ， 上， ，垂足为点 ．已知 ，
．
（1）求证： ；
（2）若 ， ， ，求点 到直线 的距离．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）
【分析】（1）应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案；
（2）设点 到直线 的距离为 ，根据等面积法可得 ，代入计算
即可得出 的值，即可得出答案．
【详解】（1）证明：因为 （已知），
所以 （同位角相等，两直线平行），
因为 （已知），
所以 （垂直的性质），
所以 （垂直的定义），
又因为 （平角的定义）．
即 ，
又因为 ，
所以 （同角的余角相等），
所以 （内错角相等，两直线平行）；
（2）解：因为 （已证），且 ， ， ．
设点 到直线 的距离为 ．
所以 ，
所以 ，即 ，
所以点 到直线 的距离为 ．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，解题的关键是熟练应用
平行线的判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算．
考点3：利用平行线的判定及性质证明角相等
方法点拨：判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。“由线定
角”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。
1．填写推理理由： 如图，CD∥EF，∠1=∠2，求证：∠3=∠ACB．
证明：∵CD∥EF，
∴∠DCB=∠2
∵∠1=∠2，∴∠DCB=∠1．
∴GD∥CB ．
∴∠3=∠ACB ．
【答案】两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，
同位角相等．
【分析】根据两直线平行，同位角相等可以求出∠DCB=∠2，等量代换得出∠DCB=∠1，
再根据内错角相等，两直线平行得出GD∥CB，最后根据两直线平行，同位角相等，所以
∠3=∠ACB．
【详解】证明：∵CD∥EF，
∴∠DCB=∠2（两直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠2，
∴∠DCB=∠1（等量代换）．
∴GD∥CB（内错角相等，两直线平行）．
∴∠3=∠ACB（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，
同位角相等．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，并准确识图是解题的关键．
2．如图，在下列解答中，填写适当的理由或数学式：
（1）∵∠A=∠CEF，（ 已知 ）
∴________∥________； （________）
（2）∵∠B+∠BDE=180°，（ 已知 ）
∴________∥________；（________）
（3）∵DE∥BC，（ 已知 ）
∴∠AED=∠________； （________）
（4）∵AB∥EF，（ 已知 ）
∴∠ADE=∠________．（________）
【答案】（1）AB；EF；同位角相等，两直线平行；（2）DE；BC；同旁内角互补，两直
线平行；（3）C；两直线平行，同位角相等；（4）DEF；两直线平行，内错角相等
【分析】（1）根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，即可得；
（2）根据平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行，即可得；
（3）根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，即可得；
（4）根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，即可得．
【详解】解：（1）∵ ，（已知）
∴ ，（同位角相等，两直线平行）；
（2）∵ ，（已知）
∴ ，（同旁内角互补，两直线平行）；
（3）∵ ，（已知）
∴ ，（两直线平行，同位角相等）
（4）∵ ，（已知）
∴ （两直线平行，内错角相等）．
故答案为：（1）AB；EF；同位角相等，两直线平行；（2）DE；BC；同旁内角互补，两
直线平行；（3）C；两直线平行，同位角相等；（4）DEF；两直线平行，内错角相等．
【点睛】题目主要考查平行线的判定定理和性质，熟练掌握理解平行线的性质定理并结合
图形是解题关键．
3．请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：
已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠D．
求证：∠B＝∠C．证明：∵∠1＝∠2，（已知）
又：∵∠1＝∠3，（ ）
∴∠2＝____________（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠BFD（ ）
∵∠A＝∠D（已知）
∴∠D＝_____________（等量代换）
∴____________∥CD（ ）
∴∠B＝∠C（ ）
【答案】对顶角相等；∠3；两直线平行，同位角相等；∠BFD；AB；内错角相等，两直
线平行；两直线平行，内错角相等
【分析】根据对顶角相等，平行线的性质与判定定理填空即可．
【详解】证明：∵∠1＝∠2，（已知）
又：∵∠1＝∠3，（对顶角相等）
∴∠2＝∠3（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等）
∵∠A＝∠D（已知）
∴∠D＝∠BFD（等量代换）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
4．完成下面的证明．
如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2，求证：∠BAC+∠AGD＝180°．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°（ ），
∴∠EFB＝∠ADB（等量代换），
∴EF AD（ ），
∴∠1＝∠BAD（ ），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠ （等量代换），∴DG BA（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠AGD＝180°（ ）．
【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；BAD；两直
线平行，同旁内角互补
【分析】先由垂直的定义得出两个90°的同位角，根据同位角相等判定两直线平行，根据
两直线平行，同位角相等得到 ，再根据等量代换得出 ，根据内错角
相等，两直线平行，最后根据两直线平行，同旁内角互补即可判定．
【详解】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°（垂直的定义），
∴∠EFB＝∠ADB（等量代换），
∴EF AD（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠BAD（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠BAD（等量代换），
∴DG BA（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；BAD；两
直线平行，同旁内角互补
【点睛】本题考查的是平行线的性质及判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是关
键．
5．如图，∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．
（1）求证：BD∥CE；
（2）求证：∠A＝∠F．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由∠AGB＝∠1，∠AGB＝∠EHF，可得∠1＝∠EHF，则BD∥CE；（2）由BD∥CE，可得∠D＝∠2，则∠2＝∠C，推出AC∥DF，则∠A＝∠F．
【详解】证明：（1）∵∠AGB＝∠1，∠AGB＝∠EHF，
∴∠1＝∠EHF，
∴BD∥CE；
（2）∵BD∥CE，
∴∠D＝∠2，
∵∠D＝∠C，
∴∠2＝∠C，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质与判
定条件是解题的关键．
6．如图所示，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3＝∠C，则∠1和∠2什么关系?并说明理由．
【答案】相等，理由见解析
【分析】根据题目已知得出 ，由平行线的性质可得 ，由 可证明
，故可得 ，等量代换即可得出答案．
【详解】 ．理由如下：
, ，
，
(同位角相等，两直线平行)，
(两直线平行，同位角相等)，
，
(同位角相等，两直线平行)，
(两直线平行，内错角相等)，
(等量代换)．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
考点4：平行线中构造平行线
方法点拨：平行线的构造主要解决的是 平行线间的折线问题。而构造的方法大
致有三种：过拐点做已知直线的平行线、做延长线、做封闭图形。最基本的两
种图形，是铅笔模型和猪蹄模型。
1．如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°，
（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图2，当∠E=90°且AB与CD的位置关系保持不变，移动直角顶点E，使
∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？
并说明理由；
（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保
持不变，当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？
猜想结论并说明理由．
【答案】（1）平行，理由见解析；（2）∠BAE+ ∠MCD=90°，理由见解析；（3）
∠BAC=∠PQC+∠QPC，理由见解析．
【分析】（1）先根据CE平分∠ACD，AE平分∠BAC可得∠BAC=2∠EAC，
∠ACD=2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE=90°可知∠BAC+∠ACD=180，根据平行线的判定定理
即可得出结论；
（2）如图，过E作EF∥AB，由AB//CD可得EF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得
∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，可得∠BAE+∠ECD=90°，再由∠MCE=∠ECD即可得出结
论；
（3）如图，过点C作CM//PQ，可得∠PQC=∠MCN，∠QPC=∠PCM，根据AB∥CD可知
∠BAC+∠ACD=180°，根据∠PCQ+∠PCM+∠MCN=180°，可得
∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，即可得出∠BAC=∠PQC+∠QPC．
【详解】（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴AB∥CD（2）∠BAE+ ∠MCD=90°；理由如下：
如图，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
∵∠MCE=∠ECD= ∠MCD，
∴∠BAE+ ∠MCD=90°．
（3）如图，过点C作CM//PQ，
∴∠PQC=∠MCN，∠QPC=∠PCM，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠PCQ+∠PCM+∠MCN=180°，
∴∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，
∴∠BAC=∠PQC+∠QPC．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质及角平分线的定义，两直线平行，同位角相等；两
直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键．
2．直线 ，直线 分别交 、 于点 、 ， 平分 ．（1） 如图1，若 平分 ，则 与 的位置关系是 ．
（2） 如图2，若 平分 ，则 与 有怎样的位置关系？请说明理由．
（3） 如图3，若 平分 ，则 与 有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3） ，理由见解析
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等可得 ，根据角平分线的意义可
得 ，进而可得 ，即可判断 ；
（2）根据两直线平行，内错角相等，角平分线的意义可得 ，即可判断
；
（3）设 交于点 ，过点 作 根据两直线平行，同旁内角互补，角平分线
的意义，可得 ，进而可得 ，进而判断 ．
【详解】（1）如题图1，
平分 ， 平分 ．
；
（2）如题图2，
平分 ， 平分 ．
；
（3）如图，设 交于点 ，过点 作，
平分 ， 平分 ．
；
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的意义，掌握平行线的性质与判定是
解题的关键．
3．已知：AB CD．点E在CD上，点F，H在AB上，点G在AB，CD之间，连接FG，
EH，GE，∠GFB＝∠CEH．
（1）如图1，求证：GF EH；
（2）如图2，若∠GEH＝α，FM平分∠AFG，EM平分∠GEC，试问∠M与α之间有怎样
的数量关系（用含α的式子表示∠M）？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】（1）见解析；（2） ，证明见解析．
【分析】（1）由平行线的性质得到 ，等量代换得出 ，即可根据
“同位角相等，两直线平行”得解；
（2）过点 作 ，过点 作 ，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
；
（2）解： ，理由如下：
如图2，过点 作 ，过点 作 ，
，
，
， ，
，
同理， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
由（1）知， ，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质及作出合理的辅助线
是解题的关键．
4．已知AB∥CD，点是AB，CD之间的一点．
（1）如图1，试探索∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系；
以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：
解：过点E作PE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．
∵AB∥CD（已知），∴PE∥CD（ ），
∴∠BAE＝∠1，∠DCE＝∠2（ ），
∴∠BAE+∠DCE＝ + （等式的性质）．
即∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系是 ．
（2）如图2，点F是AB，CD之间的一点，AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．
①若∠AEC＝74°，求∠AFC的大小；
②若CG⊥AF，垂足为点G，CE平分∠DCG，∠AEC+∠AFC＝126°，求∠BAE的大小．
【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等，∠1，∠2，
∠AEC＝∠BAE+∠DCE；（2）①37°；②52°
【分析】（1）结合图形利用平行线的性质填空即可；
（2）①过F作FG∥AB，由（1）得：∠AEC＝∠BAE+∠DCE，根据AB∥CD，FG∥AB，
CD∥FG，得出∠AFC=∠AFG+∠GFC＝∠BAF+∠DCF，根据AF平分∠BAE，CF平分
∠DCE，可得∠BAF＝ ∠BAE，∠DCF＝ ∠DCE，根据角的和差∠AFC＝
∠BAF+∠DCF= ∠AEC即可；
②由①得：∠AEC＝2∠AFC，可求∠AFC＝42°，∠AEC＝82°，根据CG⊥AF，求出
∠GCF=90-∠AFC=48°，根据角平分线计算得出∠GCF＝3∠DCF，求出∠DCF＝16°即可．
【详解】解：（1）平行于同一条直线的两条直线平行，
两直线平行，内错角相等，
∠1，∠2，
∠AEC＝∠BAE+∠DCE，
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等，∠1，∠2，
∠AEC＝∠BAE+∠DCE，
（2）①过F作FG∥AB，
由（1）得：∠AEC＝∠BAE+∠DCE，
∵AB∥CD，FG∥AB，
∴CD∥FG，
∴∠BAF=∠AFG，∠DCF=∠GFC，
∴∠AFC=∠AFG+∠GFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，∴∠BAF＝ ∠BAE，∠DCF＝ ∠DCE，
∴∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
＝ ∠BAE+ ∠DCE，
= （∠BAE+∠DCE），
＝ ∠AEC，
＝ ×74°，
＝37°；
②由①得：∠AEC＝2∠AFC，
∵∠AEC+∠AFC＝126°，
∴2∠AFC+∠AFC＝126°
∴3∠AFC＝126°，
∴∠AFC＝42°，∠AEC＝84°，
∵CG⊥AF，
∴∠CGF＝90°，
∴∠GCF=90-∠AFC=48°，
∵CE平分∠DCG，
∴∠GCE＝∠ECD，
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCE＝2∠DCF＝2∠ECF，
∴∠GCF＝3∠DCF，
∴∠DCF＝16°，
∴∠DCE＝32°，
∴∠BAE＝∠AEC﹣∠DCE＝52°．【点睛】本题考查平行线性质，角平分线有关的计算，垂直定义，角的和差倍分，简单一
元一次方程，掌握平行线性质，角平分线有关的计算，垂直定义，角的和差倍分，简单一
元一次方程是解题关键．
5．在数学综合实践活动课上，老师让同学们以“两条平行直线 ， 和一块含45°的直
角三角板 （ ）”为背景，开展数学探究活动．如图，将三角板的顶点 放
置在直线 上．
（1）如图①，在 边上任取一点 （不同于点 ， ），过点 作 ，且
，求 的度数；
（2）如图②，过点 作 ，请探索并说明 与 之间的数量关系；
（3）将三角板绕顶点 旋转，过点 作 ，并保持点 在直线 的上方．在旋转
过程中，探索 与 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）①当点 在直线 的上方时，
；②当点 在直线 与直线 之间时， ；③当
点 在直线 的下方时， ．
【分析】（1）根据平行线的性质可知 ，依据 ，可求
出 的度数；
（2）过点 作 ，得到 ，通过平行线的性质把 和 转化到
上即可；
（3）分三种情形：①如图 中，当点 在直线 的上方时，②当点 在直线 与直
线 之间时， ．③当点 在直线 的下方时，分别利用平行线的
性质解决问题即可．
【详解】解：（1）如图1中，
，，
， ，
，
解得 ．
（2） ，理由如下：
如图，过点 作 ，
，
，
， ，
，
，
；
（3）①如图 中，当点 在直线 的上方时，过点 作 ．
， ，
，
， ，
，
．
②当点 在直线 与直线 之间时， ，
如下图：，
，
，
；
③当点 在直线 的下方时，过点 作 ．
， ，
，
， ，
，
．
综上所述，①当点 在直线 的上方时， ．②当点 在直线 与直
线 之间时， ．③当点 在直线 的下方时， ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，特殊三角形的性质等知识，解
题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，需要用分类讨论的思想思考问题．
6．已知AB CD，点E、F分别在AB、CD上，点G为平面内一点，连接EG、FG．
（1）如图1，当点G在AB、CD之间时，请直接写出∠AEG、∠CFG与∠G之间的数量关
系 ；
（2）如图2，当点G在AB上方时，且∠EGF＝90°，求证：∠BEG –∠DFG＝90°；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作直线HK交直线CD于K，使∠HEG与∠GEB互
补，∠EKD的平分交与直线GE交于点L，请你判断FG与KL的位置关系，并证明．【答案】（1）∠G＝∠AEG＋∠CFG；（2）90°；（3）FG KL，见解析
【分析】（1）过点G作，GH∥AB，则由平行线的性质可得∠AEG=∠EGH，
∠CFG=∠FGH，即可推出∠EGF＝∠AEG＋∠CFG；
（2）过点E作MN∥GF交CD于N，则∠GFN＝∠MND，∠G＝∠GEM＝90º，再由
AB∥CD，得到∠MND＝∠MEB，即可得到∠BEG－∠DFG＝∠BEG－∠MEB＝∠GEM＝
90º；
（3）先证明∠AEG＝∠HEG，从而得到∠BEL＝∠KEL＝ ∠BEK，再由角平分线的定义
和平行线的性质即可得到∠ELK＝90º，从而可以利用同旁内角互补，两直线平行得证．
【详解】解：（1）∠EGF＝∠AEG＋∠CFG，理由如下：
如图所示，过点G作，GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GH，
∴∠AEG=∠EGH，∠CFG=∠FGH，
∴∠AEG+∠CFG=∠EGH+∠FGH=∠EGF，
∴∠EGF＝∠AEG＋∠CFG；
（2）过点E作MN∥GF交CD于N，则∠GFN＝∠MND，∠G＝∠GEM＝90º，
∵AB∥CD，
∴∠MND＝∠MEB，
∴∠BEG－∠DFG＝∠BEG－∠MEB＝∠GEM＝90º；（3） FG∥KL．理由如下：
∵∠HEG＋∠GEB＝180º ，∠AEG＋∠GEB＝180º，
∴∠AEG＝∠HEG，
∵∠BEL＝∠AEG，∠HEG＝∠KEL，
∴∠BEL＝∠KEL＝ ∠BEK，
∵KL平分∠EKD，
∴∠EKL＝ ∠EKD，
∵AB∥CD，
∴∠BEK＋∠EKD＝180º，
∴∠KEL＋∠EKL＝ (∠BEK＋∠EKD)＝90º，
∴∠ELK＝90º，
∵∠G＝90º，
∴FG∥KL．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角的性质，角平分线的定义，解题的
关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
7．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．小明的思路
是：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．
问题迁移：
（1）如图3．AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，
∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．猜想∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由：
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重
合），请写出∠CPD、∠a、∠β之间的数量关系，选择其中一种情况画图并证明．【答案】（1）∠CPD=∠α+∠β，证明见解析；（2）当P在A左侧时，∠β=∠α+∠CPD；当
P在B、O之间时，∠α=∠β+∠CPD；证明见解析．
【分析】（1）先作辅助线，利用平行线的性质得到三个角的关系；
（2）分P在A的左边和P在B、O之间两种情况作图，利用平行线性质和三角形外角定理
得出三个角的关系．
【详解】解：（1）如图3：∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
过P作PE∥AD，交CD于E，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（2）如图，当P在A左侧时，∠β=∠α+∠CPD．
∵AD∥BC，
∴∠β=∠COD，
∵∠COD是△POD的外角，
∴∠COD=∠CPD+∠ADP，
∴∠β=∠α+∠CPD；
如图，当P在B、O之间时，∠α=∠β+∠CPD．∵AD∥BC，
∴∠α=∠BEP，
∵∠BEP是△PEC的外角，
∴∠BEP=∠PCB+∠CPD，
∴∠α=∠β+∠CPD．
【点睛】本题考查平行线性质，作辅助线，利用三角形的外角性质是求解本题的关键．
