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七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》
专题 与相交线有关的角度计算
题型一 直接利用相交线的性质求角度
【例题1】（2022秋•合川区校级期末）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，OG平分∠BOC，∠DOF
＝90°．
（1）写出∠AOE的余角和补角；
（2）若∠BOF＝30°，求∠AOE和∠COG的度数．【变式1-1】（2022秋•江北区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOD
＝88°，求∠BOD的度数．
【变式1-2】（2022秋•天河区校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，
如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：2：4．求∠BOE和∠DOF的度数．
【变式1-3】（2022秋•清水县校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠COE＝80°，∠COF：∠AOC＝2：3，射线OE平分∠BOF，求∠BOD的度数．
【变式1-4】（2022春•华阴市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果
∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：3：5．求∠EOF的度数．
【变式1-5】（2022秋•永兴县期末）如图，直线AB和直线CD相交于点O，OB平分∠EOD．
（1）若∠EOC＝110°，求∠BOD的度数；
（2）若∠DOE：∠EOC＝2：3，求∠AOC的度数．
【变式 1-6】（2022秋•夏邑县期末）如图，直线 AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分
∠COE，∠AOD＝2∠BOD．
（1）求∠DOE的度数；（2）求∠BOF的度数．
【变式1-7】（2022秋•江夏区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC．
（1）若∠BOD＝38°，求∠EOD的度数；
4
（2）若∠EOC= ∠EOD，求∠BOD的度数．
5
【变式1-8】（2022秋•荣昌区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OC平分∠AOM，且∠AOM＝
90°，射线ON在∠BOM内部．
（1）求∠AOD的度数；
（2）若∠BOC＝5∠NOB，求∠MON的度数．
题型二 利用垂线的性质求角度
【例题2】（2022秋•兴化市校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）图中与∠COE互余的角是 ；（把符合条件的角都写出来）
2
（2）如果∠AOC= ∠EOF，求∠EOF的度数．
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【变式2-1】（2022春•惠州期末）如图所示，直线AB，CD相交于点O，射线OE、OF在∠AOD内，
且OD平分∠BOE，OF⊥CD，已知∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
【变式2-2】（2022秋•绿园区期末）如图：已知直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD．
（1）若∠AOC＝34°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC＝1：4，求∠AOE的度数．
【变式2-3】（2022秋•南关区校级期末）如图，OB⊥OD，OC平分∠AOD，∠BOC＝40°，求∠AOB的
大小．【变式2-4】（2022春•长垣市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD．
（1）如果∠AOC＝60°，求∠DOE的度数；
（2）如图，作OF⊥OE，试说明OF平分∠BOD．
【变式2-5】（2022春•道外区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC．
（1）若∠DOE＝130°，求∠BOC的度数；
（2）过点O作OF⊥OE，请直接写出和∠BOF互补的角．
【变式2-6】（2021秋•玄武区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O，OM平分
∠BOE，∠AOC＝50°．
（1）求∠DOM的度数；
（2）在∠AOM的内部画射线ON，使得∠MON＝45°，那么ON是∠AOD的平分线吗？请说明理由．【变式2-7】（2022春•蚌埠期末）已知，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）如图1，若OA⊥OB，∠BOC＝60°，求∠MON的度数；
（2）如图2，若∠AOB＝80°，∠MON：∠AOC＝2：7，求∠AON的度数．
题型三 通过计算说明两角的数量关系
【例题3】（2022春•渭城区期中）将下面的解答过程补充完整：
已知：如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOF，∠COE＝90°．试说明：∠FOB＝2∠AOC．
解：因为OE平分∠AOF，
所以∠AOE＝∠EOF．（ ）因为∠COE＝90°，
所以∠AOC+∠AOE＝90°．
因为直线AB，CD相交于点O，
所以∠EOD＝180°﹣∠COE＝90°，
所以∠EOF+∠FOD＝90°．
所以∠AOC＝ （ ）．
因为直线AB，CD相交于点O，
所以 （ ），
所以∠FOB＝∠FOD+∠BOD＝2∠AOC．
【变式3-1】（2021秋•莲都区期末）如图，直线AE与CD相交于点B，BF⊥AE．
（1）若∠DBE＝60°，求∠FBD的度数；
（2）猜想∠CBE与∠DBF的数量关系，并说明理由．
【变式3-2】如图，直线AB与CD相交于O．OF是∠BOD的平分线，OE⊥OF．
（1）若∠BOE比∠DOF大38°，求∠DOF和∠AOC的度数；
（2）试问∠COE与∠BOE之间有怎样的大小关系？请说明理由．
（3）∠BOE的余角是 ，∠BOE的补角是 ．【变式3-3】直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O．
（1）若∠EOF＝54°，求∠AOC的度数；
（2）①在∠AOD的内部作射线OG⊥OE；
②试探索∠AOG与∠EOF之间有怎样的关系？并说明理由．
【变式3-4】（2022春•香坊区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOM＝∠DON＝90°．
（1）如图1，若∠COM＝35°，求∠BON的度数；
（2）如图1，请直接写出图中所有互余的角；
1
（3）如图2，若射线OE在∠MOB的内部，且 ∠MON﹣∠BOE＝45°，请比较∠MOE与∠DOE的大小
2
并说明理由．【变式3-5】已知：如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O，OF平分∠BOD，对∠EOF
1
= ∠BOC说明理由．
2
题型四 通过计算说明两直线垂直
【例题4】（2022春•南昌期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．
（1）判断OF与OD的位置关系，并证明；
（2）若∠AOC＝30°，求∠EOF的度数．【变式4-1】（2022秋•拱墅区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1＝∠2，证明：ON⊥CD；
1
（2）若∠1= ∠BOC，求∠BOD的度数．
3
【变式4-2】（2022春•墨玉县期末）如图，直线AB．CD相交于点O．∠AOC＝28°．OE平分∠AOD，
OF平分∠BOD．
（1）求∠BOF的度数：
（2）判断射线OE与OF之间的位置关系．并说明理由．【变式 4-3】（2022春•香洲区期末）如图，直线 AB与CD相交于点O，OF、OD分别是∠AOE、
∠BOE的平分线．
（1）若∠DOE＝28°，求∠AOD的度数；
（2）请写出射线OD与OF之间有什么特殊的位置关系，并说明理由．
【变式4-4】如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD＝20°，∠DOF：∠FOB＝1：7，射线OE平分
∠BOF．
（1）求∠EOB的度数；
（2）射线OE与直线CD有什么位置关系？请说明理由．【变式4-5】（2022春•沂水县期中）直线AB，CD相交于点O．OE，OF，OG分别是
∠AOC，∠BOD，∠AOD的平分线．
（1）画出这个图形．
（2）射线OE，OF在同一条直线上吗？为什么？
（3）OE与OG有什么位置关系？说明理由．
题型五 与相交线有关的角度计算综合题
【例题5】（2022秋•渠县期末）若直线AB和直线ED相交于点O，OC为∠BOE内部的射线，OE平分
∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）若∠BOD＝58°，求∠AOF和∠EOF的度数？（2）若∠BOD是任意角α（0°＜α＜90°），求∠EOF的度数？
（3）请猜想，∠EOF度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则∠EOF度数是多少？
【变式 5-1】（2022春•大足区期末）如图，直线AB和CD交于点O，射线OE平分
∠AOD，∠BOD＝46°．
（1）求∠COE的度数；
（2）若射线OF⊥AB于点O，请补全图形，并求∠EOF的度数．
【变式5-2】（2022春•潜山市月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠DOE，
（1）如图1，若∠COE＝110°，求∠BOD的度数
（2）如图2，若∠BOE：∠COE＝1：3，求∠AOC的度数；
（3）在（2）的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数．【变式5-3】（2022春•麒麟区期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在
∠AOE的内部．
（1）①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD＝20°，∠BOE＝130°，求∠EOF的度数；
②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明OC平分∠AOE．
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【变式5-4】（2021秋•鄞州区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．
【基础尝试】
（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
【画图探究】
（2）作射线OF⊥OC，设∠AOC＝x°，请你利用图2画出图形，探究∠AOC与∠EOF之间的关系，结果
用含x的代数式表示∠EOF．【拓展运用】
（3）在第（2）题中，∠EOF可能和∠DOE互补吗？请你作出判断并说明理由．
【变式5-5】（2021秋•罗湖区期末）如图①，直线AB与直线CD相交于点O，∠COE＝90°，过点O
作射线OF．
（1）若射线OF平分∠AOC且∠BOF＝130°，求∠BOE的度数；
（2）若将图①中的直线CD绕点O逆时针旋转至图②，∠COE＝90°，当射线OE平分∠BOF时，射线
OC是否平分∠AOF，请说明理由；
（3）若∠BOE＝20°，∠BOF＝130°，将图①中的直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转α度（0°＜
α＜180°），∠COE始终保持为90°，设旋转的时间为t秒，当∠AOC+∠EOF＝90°时，求t的值．
【变式5-6】如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重
合，OA平分∠COE．
（1）求∠BOD的度数；（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋
转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；
②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．
