文档内容
第 13 章 轴对称全章复习攻略与检测卷
【目录】
倍速学习六种方法
【2个概念】
1.轴对称图形的概念
2.成轴对称的概念
【5个性质】
1.成轴对称的性质
2.线段的垂直平分线的性质
3.等腰三角形的性质
4.等边三角形的性质
5.含30°角的直角三角形的性质
【3个判定】
1.线段的垂直平分线的判定
2.等腰三角形的判定
3.等边三角形的判定
【2个应用】
1.垂直平分线作图的实际应用
2.最短与最长路径问题的应用
【1个技巧】
添加辅助线的技巧
【2种思想】
1.方程思想
2.分类讨论思想
【检测卷】
【倍速学习六种方法】【2 个概念】
1.轴对称图形的概念
轴对称图形的定义
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它
的对称轴.
要点：
轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一
定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
【例1】（2022秋·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）下列标志中，可以看作是轴对称图
形的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义依次判断即可．
【详解】解：A选项图形不能找到一条直线，使它沿着该直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，故不是
轴对称图形，不符合题意；
B选项图形不能找到一条直线，使它沿着该直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，
不符合题意；
C选项图形不能找到一条直线，使它沿着该直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，
不符合题意；
D选项图形能找到一条直线，使它沿着该直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合
题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，解题关键是掌握如果一个图形能沿着一条直线折叠，直线两旁的
部分能够互相重合，那么这个图形是轴对称图形．
2.成轴对称的概念
两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
要点：
若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和
轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，
若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
【例2】下图中的两个图形成轴对称，如何画出它们的对称轴呢？
【答案与解析】
(1)联结 、 (2)取 的中点E ， 的中点F，（3）联结EF，则直线EF为所求的对称轴．
【5 个性质】
1.成轴对称的性质
【例3】（2022秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标
分别为A(2,4),B(3,1),C(-2,2)．
(1)请在平面直角坐标系内，画出△ABC关于y轴对称的图形，其中，点A、B、C的对应点分别为
A 、B 、C ；
1 1 1
(2)请写出A ,B ,C 的坐标分别是A （______________），B （______________）；C
1 1 1 1 1 1（______________）；
(3)请写出点M(a,b)关于直线n（直线n上各点的横坐标都为1）对称的点M 的坐标．
1
【答案】(1)见解析
(2)-2，4；-3，1；2，2
(3)M (-a+2，b)
1
【分析】（1）作出点A、B、C关于y轴的对称点A 、B 、C ，然后顺次连接即可；
1 1 1
（2）结合（1）所画的图形，即可得到答案；
（3）利用轴对称得出答案即可．
【详解】（1）解：先作出点A、B、C关于y轴的对称点A 、B 、C ，然后顺次连接，则△A B C
1 1 1 1 1 1
即为所求，如图所示：
（2）解：A ,B ,C 的坐标分别是A (-2,4)，B (-3,1)，C (2,2)．
1 1 1 1 1 1
故答案为：-2，4；-3，1；2，2．
（3）解：设点M (x,y)，
1
∵直线n=1，且平行于y轴，M(a,b)，
x+a
∴ =1，y=b，
2
∴x=-a+2，
∴点M(a,b)关于直线n对称的点M 的坐标为(-a+2，b)．
1
【点睛】本题主要考查了轴对称变换，解题的关键是数形结合，作出对应点的位置．
2.线段的垂直平分线的性质
【例4】（2022秋•太仓市期末）如图，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，AB的垂直平分线分别交AB，
BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，则∠EAG＝ ．【分析】由条件可求得∠EAB＝∠EBA，∠GAC＝∠GCA，且可求得∠BAC＝110°，则可求得∠EAB+∠GAC＝
70°，再利用角的和差可求得∠EAG．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠EBA＝50°，
同理∠GAC＝∠GCA＝20°，
∴∠GAC+∠EAB＝20°+50°＝70°，
∵∠B＝50°，∠C＝20°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣20°＝110°，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠GAC+∠EAB）＝110°﹣70°＝40°
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等是解题
的关键．
3.等腰三角形的性质
【例5】（2022•江口县三模）已知一个等腰三角形的两边长分别为3cm、7cm，则该三角形的周长是（
）
A．13cm B．13cm或17cm C．17cm D．16cm
【分析】题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否
组成三角形．
【解答】解：当3cm是腰时，3+3＜7，不符合三角形三边关系，故舍去；
当7cm是腰时，周长＝7+7+3＝17（cm）．
故它的周长为17cm．
故选：C．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要
想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题
的关键．
【变式】（2022春•五华县期末）若等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成了 15cm和18cm两部分，则它的腰长为 cm．
【分析】等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为15和6两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成
的两部分的长，哪个是15，哪个是18，因此，有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：根据题意画出图形，如图，
设等腰三角形的腰长AB＝AC＝2x，BC＝y，
∵BD是腰上的中线，
∴AD＝DC＝x，
若AB+AD的长为15，则2x+x＝15，解得x＝5，
则x+y＝18，解得y＝13，
所以2x＝10；
若AB+AD的长为18，则2x+x＝18，解得x＝6，
则x+y＝15，即6+y＝15，解得y＝9，
所以2x＝12，
10、10、13和12、12、9均能构成三角形，
所以等腰三角形的腰长为10或12．
故答案为：10或12．
【点评】主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中
线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长．最后要注意利用三边关系进行验证．
4.等边三角形的性质
【例6】(2022•博山区一模）如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，则∠BOC的度数是（ ）
A．135° B．125° C．120° D．110°【分析】利用手拉手模型﹣旋转性全等，证明△DAC≌△BAE，可得∠ADC＝∠ABE，最后利用三角形的外
角进行计算即可解答．
【解答】解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°，∠ADB＝DBA＝60°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ADC＝∠ABE，
∴∠BOC＝∠BDO+∠DBA+∠ABE
＝∠BDO+∠DBA+∠ADC
＝∠ADB+∠DBA
＝60°+60°
＝120°，
∴∠BOC的度数是120°，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型﹣旋转性全等是
解题的关键．
5.含30°角的直角三角形的性质
【例7】（2022春•神木市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，
∠DBC＝60°，BC＝4，则AD长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据三角形内角和可得∠BDC＝30°，进而得出∠ABD＝15°＝∠A，得到AD＝BD，Rt△BDC中，由
BC＝4，∠BDC＝30°，可求出BD＝2BC＝8＝AD即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，
∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠A＝15°，
∴∠ABD＝30°﹣15°＝15°＝∠A，
∴AD＝BD，在Rt△BDC中，BC＝4，∠BDC＝30°，
∴BD＝2BC＝8＝AD，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性
质，等角对等边的性质，熟记性质熟记解题的关键．
【变式】（2022•碑林区校级四模）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点
F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】连接BE，由等边三角形的性质可求得∠ABC＝60°，∠ABE＝∠CBE＝30°，结合直角三角形的性质
可求∠EBC＝∠D＝30°，BE＝2，由等腰三角形的性质可求得ED的长，进而可求解．
【解答】解：连接BE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵E为AC的中点，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，
∵EF⊥AB，EF＝1，
∴∠D＝90°﹣∠ABC＝30°，BE＝2EF＝2，
∴ED＝BE＝2，
∴DF＝ED+EF＝2+1＝3．
故选：C．【点评】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，证明BE＝
ED是解题的关键．
【3 个判定】
1.线段的垂直平分线的判定
【例8】（2023秋·八年级课时练习）如图， 为 的角平分线， ，请判断线段 所在的直
线是否为线段 的垂直平分线，如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
【分析】方法一 ：定义法：如图，设 与 的交点为O．通过证明 ，得到
， ．进而得出 ．即可得出线段 所在的直线是线段EF的垂直平分线．
方法二：判定定理法：通过证明 ，得出 ．则点D在线段EF的垂直平分线上．
根据 ，得出点A在线段 的垂直平分线上．即可得出线段 所在的直线是线段EF的垂直平分
线．
【详解】线段 所在的直线是线段EF的垂直平分线．
证明如下：
方法一：定义法：
如图，设 与 的交点为O．
∵ 是 的平分线，
∴ ．
在 和 中，
∴ ，
∴ （此处得到 后，也可根据判定定理法证明）， ．又∵ ，
∴ ，即 ．
∴线段 所在的直线是线段EF的垂直平分线．
方法二：判定定理法：
∵ 是 的平分线，
∴ ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
∴点D在线段 的垂直平分线上．
又∵ ，
∴点A在线段 的垂直平分线上．
∴线段 所在的直线是线段EF的垂直平分线．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形对
应边相等，对应角相等；垂直平分线上的点到两端距离相等．
【变式】（2023秋·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，已知 ，点P为 的平
分线上一点， ， ，垂足分别为E、F
(1)求证∶
(2)若 ，求证：点P在 的垂直平分线上．
【分析】（1）通过证明 ，即可求证；
（2）连接 、 ，通过证明 ，得到 ，即可求证．【详解】（1）证明：∵点P为 的平分线上一点
∴
∵ ，
∴
在 和 中
∴
∴
（2）证明：连接 、 ，如下图：
由（1）可得：
又∵ ，
∴
∴
∴点P在 的垂直平分线上
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的
判定方法与性质．
2.等腰三角形的判定
【例9】（2021秋•鼓楼区校级期末）如图在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交
边AC于点D．
求证：△BCD为等腰三角形．【分析】先利用三角形的内角和求出∠ABC＝70°，再利用角平分线的定义求出∠DBC＝35°，最后利用等边
对等角即可解答．
【解答】证明：∵∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝ ∠ABC＝35°，
∴∠DBC＝∠ACB＝35°，
∴DB＝DC，
∴△BCD为等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
3.等边三角形的判定
【例10】（2021秋•沐川县期末）如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝
CF，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．
【分析】利用“HL”证明△BED和△CFD全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠C，然后根据等
角对等边得到AB＝AC，再求得∠B＝60°，即可解答．
【解答】证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED和Rt△CFD中，，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC（等角对等边）．
∵∠BDE＝30°，DE⊥AB，
∴∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等角对等边的性质，等边三角形的判定，解题的关键
是证明△BED≌△CFD．
【2 个应用】
1.垂直平分线作图的实际应用
【例11】（2023春•渭南期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，EF垂直平分线段BC，P是直线EF
上的任意一点，则△ABP周长的最小值是 ．
【分析】如图，连接PC．求出PA+PB的最小值可得结论．
【解答】解：如图，连接PC．
∵EF垂直平分线段BC，
∴PB＝PC，
∴PA+PB＝PA+PC≥AC＝9，
∴PA+PB的最小值为9，
∴△ABP的周长的最小值为6+9＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
2.最短与最长路径问题的应用
【例12】如图，直线l ，l 表示一条河的两岸，且l ∥ l ．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互
1 2 1 2
垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据两点间直线距离最短，使EFP'P为平行四边形即可，即PP'垂直河岸且等于河宽，接连
QP'即可．
【详解】解：作PP'垂直于河岸l ，使PP'等于河宽，
2
连接QP'，与另一条河岸相交于F，作FE⊥l 于点E，
1
则EF∥PP'且EF=PP'，
∴四边形EFP'P为平行四边形，
∴P'F=PE，
根据“两点之间线段最短”，QP'最短，即PF+FQ最短．
∴C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】此题考查了轴对称-最短路径问题，解题的关键是利用“两点之间线段最短”．
【变式】如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列
四种方案中，最节省材料的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他
各点的连线而言．
【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之
间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
【1 个技巧】
添加辅助线的技巧
【例13】（2023•肇东市校级二模）如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，CD＝4，CD为△ABC的中线，
点E、点F分别为线段CD、CA上的动点，连接AE、EF，则AE+EF的最小值为（ ）
A．4.8 B．2.4 C．6 D．5
【分析】连接BF交CD于点I，连接BE、AI，作BG⊥AC于点G，由等腰三角形的性质得CD⊥AB，则点A与点B关于直线CD对称，所以AE＝BE，AI＝BI，由BE+EF≥BF，BF≥BG，可以证明当点E与
点I重合，且 BF与BG重合时，AE+EF＝BF＝BG，此时 AE+EF的值最小，由 ×5BG＝ ×6×4＝
S△ABC ，求得BG＝4.8，则AE+EF的最小值为4.8，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图，连接BF交CD于点I，连接BE、AI，作BG⊥AC于点G，
∵CD为△ABC的中线，AB＝6，CD＝4，
∴AD＝BD＝ AB＝ ×6＝3，
∵AC＝BC＝5，
∴CD⊥AB，
∴点A与点B关于直线CD对称，
∴AE＝BE，AI＝BI，
∴AE+EF＝BE+EF，
∵BE+EF≥BF，BF≥BG，
∴当点E与点I重合时，AE+EF＝AI+IF＝BI+IF＝BF，
∴当BF与BG重合时，AE+EF＝BF＝BG，此时AE+EF的值最小，
∵ AC•BG＝ AB•CD＝S△ABC ，
∴ ×5BG＝ ×6×4，
∴BG＝4.8，
∴AE+EF的最小值为4.8，
故选：A．
【点评】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、
根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
【3 种思想】
1.方程思想【例14】直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点 A落在直
角
边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，
探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，
并画出符合条件的折叠后的图形．
【答案】
解：若△CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.
设∠B为 度 ∠1＝45°，∠2＝∠A＝90°－
①当BD＝BE时
∠3＝ ，
45°＋90°－ ＋ ＝180°，
＝30° .
②经计算ED＝EB不成立.
③当DE＝DB时
∠3＝180°－2
45°＋90°－ ＋180°－2 ＝180°，
＝45°.
综上所述，∠B＝30°或45°.
2.分类讨论思想
【例15】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
【答案】D；
【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，
然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．(1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；
(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意；
(3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D．
【总结升华】这是等腰三角形按顶角分类问题，对于等腰三角形按顶角分：等腰锐角三角形、等腰直角三
角形和等腰钝角三角形，故解此题按分类画出相应的图形再作答.
【变式1】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．
【答案】
解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；
(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长 ．
这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．
而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．
∴ 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．
【变式2】在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．
【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”，别的三角形没有，然而此题没有指明
40°的角是顶角还是底角，所以要分类讨论.
【答案与解析】
解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：
两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，
又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，
故每个底角的度数 ；
(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，
则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．
∴其余各角为70°，70°或40°，100°．
【总结升华】条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情况都讨论到，别遗漏.【检测卷】
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋•南岗区校级月考）等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（ ）
A．50° B．65°或50° C．65° D．80°
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：这个等腰三角形的一个底角为：（180°﹣50°）÷2＝65°，
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
2．（2023秋•广陵区月考）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、
白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利
用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠
后可重合．
3．（2023秋•南岗区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点，BD＝AB，
DE⊥BC交AC于E，则图中等腰三角形的个数为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由已知条件，根据等腰三角形的定义及判定：等角对等边解答．
【解答】解：∵三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB＝∠EDC＝90°
∴∠DEC＝∠C＝45°，
∴△EDC是等腰三角形，
∵BD＝AB，
∴△ABD是等腰三角形，
∴∠BAD＝∠BDA，
而∠EAD＝90°﹣∠BAD，∠EDA＝90°﹣∠BDA，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴△EAD是等腰三角形，
因此图中等腰三角形共4个．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各
个角的度数是正确解答本题的关键．
4．（2023秋•江北区校级月考）在平面直角坐标系中，已知点A（2，m）和点B（n，﹣3）关于x轴对称，
则m+n的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得m、n的值，根据有理数的加
法，可得答案．
【解答】解：由点A（2，m）和点B（n，﹣3）关于x轴对称，得
n＝2，m＝3．
则m+n＝2+3＝5．
故选：C．【点评】本题考查了关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得出m、n的值是解题关键．
5．（2023春•西安月考）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．50° C．90° D．100°
【分析】根据△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，即可求出∠B的度数．
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，
∴∠C＝∠C′＝30°，
∵∠A＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°．
则∠B的度数为90°．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称的性质，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
6．（2023秋•广陵区月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，EF是边AB的垂直平分线，垂足为E，交
BC于F．MN是边AC的垂直平分线，垂足为M，交BC于N．连接AF、AN则∠FAN的度数是（ ）
A．70° B．55° C．40° D．30°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到FB＝FA，NC＝NA，根
据等腰三角形的性质得到∠FAB＝∠B，∠NAC＝∠C，计算即可．
【解答】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，
∵EF是边AB的垂直平分线，MN是边AC的垂直平分线，
∴FB＝FA，NC＝NA，
∴∠FAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∴∠FAB+∠NAC＝∠B+∠C＝70°，∴∠FAN＝∠BAC﹣（∠FAB+∠NAC）＝110°﹣70°＝40°，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到
线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7．（2023秋•东阿县校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点 D，过点 D作
EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．若AB＝12，AC＝8，BC＝13，则△AEF的周长是（ ）
A．15 B．18 C．20 D．22
【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义可得到∠EBD＝∠EDB，所以可得ED＝EB，同理可得
DF＝FC，所以△AEF的周长即为AB+AC，可得出答案．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴ED＝EB，
同理可证得DF＝FC，
∴AE+AF+EF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝20，
即△AEF的周长为20，
故选：C．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由条件得到ED＝EB，DF＝FC是解题的关键．
8．（2023秋•南岗区校级月考）下列说法中，正确的有（ ）个．
①两个全等的三角形一定关于某直线对称；
②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；
③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
④到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点；
⑤△ABC的三边为a，b，c，且满足关系（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，则△ABC为等边三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形中线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①两个全等三角形不一定关于某条直线对称，故①错误；
②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，故②正确；
③等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故③错误；
④到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点，故④正确；
⑤△ABC的三边为a，b，c，且满足关系（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，则△ABC为等腰三角形，故
⑤错误；
∴正确的有2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性
质、等边三角形的判定，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
9．（2023秋•海门市校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN
分别交AB、BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为
（ ）
A．115° B．116° C．117° D．118°
【分析】根据三角形的内角和得到∠BMN+∠BNM＝128°，根据线段的垂直平分线的性质得到AM＝
PM，PN＝CN，由等腰三角形的性质得到∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN，由“三角形的一个外角等
于和它不相邻的两个内角的和”得∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠CPN+∠PCN，可得∠MPA＝
∠BMN，∠CPN＝ ∠BNM，推出∠MPA+∠CPN＝ ∠BMN+ ∠BNM＝ ×128°＝64°，从而由平角定
义得到结论．
【解答】解：∵∠ABC＝52°，
∴∠BMN+∠BNM＝128°．
∵M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，∴AM＝PM，PN＝CN．
∴∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN．
∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠CPN+∠PCN，
∴∠MPA＝ ∠BMN，∠CPN＝ ∠BNM．
∴∠MPA+∠CPN＝ （∠BMN+∠BNM）＝ ×128°＝64°．
∴∠APC＝180°﹣64°＝116°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的
性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键．
10．（2023秋•泰兴市月考）如图，点P是∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点是H、G，直线
HG交OA、OB于点C、D，若HG＝4cm，且∠AOB＝30°，则△HOG的周长是（ ）
A．4cm B．8 cm C．12 cm D．16 cm
【分析】利用轴对称的性质得出∠HOG＝60°，OH＝GO，得出△HOG是等边三角形，进而求出△HOG
的周长即可．
【解答】解：连接PO，
∵点P关于OA、OB的对称点是H、G，
∴OH＝OP，OP＝OG，∠HOA＝∠AOP，∠POB＝∠BOG，
∴OH＝GO，
∵∠AOB＝30°，
∴∠HOA+∠BOG＝30°，
∴∠HOG＝60°，
∴△HOG是等边三角形，∵HG＝4cm，
∴△HOG的周长是12cm．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质求出△HOG的两边相
等且有一个角是60°是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋•东阿县校级月考）如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥BO于点C，则关
于直线OE对称的三角形共有 4 对．
【分析】关于直线OE对称的三角形就是全等的三角形，据此即可判断．
【解答】解：△ODE和△OCE，△OAE和△OBE，△ADE和△BCE，△OCA和△ODB共4对．
故答案为：4．
【点评】能够理解对称的意义，把找对称三角形的问题转化为找全等三角形的问题，是解决本题的关键．
12．（2023秋•武汉月考）已知一个等腰三角形的两边长分别为 2和6，则该等腰三角形的周长是 14
．
【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是 6，底边长2，把三条边的长度
加起来就是它的周长．
【解答】解：因为2+2＜6，
所以等腰三角形的腰的长度是6，底边长2，
周长：6+6+2＝14，
故答案为：14．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是先判断出三角形的两条腰的长度，再根据三角形的周长的
计算方法，列式解答即可．
13．（2023秋•广陵区校级月考）如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M、N
分别为BD、BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为 3 ．【分析】首先连接AM，过点A作AD⊥BC于点D，再根据等腰三角形的性质得BD是线段AC的垂直平
分线，从而得CM＝AM，则CM+MN＝AM+MN，然后根据“垂线段最短”得AM+M≥AD，据此可得出
当点M在线段AD上时，AM+M为最小，最小值为线段AD的长，最后根据三角形的面积求出AD即可．
【解答】解：连接AM，过点A作AD⊥BC于点D，如图：
∵BA＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC且平分AC，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴CM＝AM，
∴CM+MN＝AM+MN，
根据“垂线段最短”得：AM+M≥AD，
即当点M在线段AD上时，AM+M为最小，最小值为线段AD的长，
∵△ABC的面积为6，BC＝4，
∴S△ABC＝1/2BC•AD＝6，
∴AD＝2×6/4＝3，
∴CM+MN的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了轴对称，最短路线，垂线段的性质，等腰三角形的性质熟练掌握等腰三角形的
性质，理解“垂线段最短”是解答此题的关键．
14．（2023秋•沭阳县月考）如图，△ABC中，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，若△ABD的周长为
12cm，则AB+AC＝ 1 2 cm．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得 DB＝DC，然后根据三角形的周长可得AB+AD+BD＝12cm，
从而可得AB+AD+DC＝12cm，进而可得AB+AC＝12cm，即可解答．
【解答】解：∵l是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∵△ABD的周长为12cm，
∴AB+AD+BD＝12cm，
∴AB+AD+DC＝12cm，
∴AB+AC＝12cm，
故答案为：12．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
15．（2023秋•江都区月考）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为 100 ° ．
【分析】根据轴对称的性质可△ABC≌△A'B'C'，再根据∠A和∠C'的度数即可求出∠B的度数．
【解答】解：△ABC 与△A'B'C'关于直线 l 对称，
∴△ABC≌△A'B'C'，
∴∠A＝∠A'＝50°，∠C＝∠C'＝30°，
∴∠B＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故答案为：100°．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质以及全等的性质，熟练掌握轴对称的性质和全等的性质是解答此
题的关键．16．（2023秋•邗江区校级月考）如图，已知 S△ABC ＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则
S△ADC 1 2 m2．
【分析】延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD ＝S△ADE ，S△BDC ＝S△CDE ，可得
出S△ADC ＝ S△ABC ．
【解答】解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝DE，
∴S△ABD ＝S△ADE ，S△BDC ＝S△CDE ，
∴S△ABD +S△BDC ＝S△ADE +S△CDE ＝S△ADC ，
∴S△ADC ＝ S△ABC ＝ ×24＝12（m2），
故答案为：12；
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，由BD＝DE得到S△ABD ＝
S△ADE ，S△BDC ＝S△CDE 是解题的关键．
17．（2023秋•梁溪区校级月考）如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 326 5 ．【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此
分析并作答．
【解答】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，
则这个号码是3265．
故答案为：3265．
【点评】此题考查了镜面对称，正确理解对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂
直放置的不同．
18．（2023秋•聊城月考）若点A（1+m，1﹣n）与点B（3，﹣2）关于y轴对称，则（m+n）2023的值是
﹣ 1 ．
【分析】关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．直接利用关于y轴对称点的
性质得出m，n的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（3，﹣2）关于y轴对称，
∴1+m＝﹣3，1﹣n＝﹣2，
解得：m＝﹣4，n＝3，
所以m+n＝﹣4+3＝﹣1，
所以（m+n）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的特征，点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，
y）．
三．解答题（共8小题）
19．（2023秋•梁溪区校级月考）如图．△ABC中，∠B＝∠C，点P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且
PB＝QC，QB＝RC．
求证：点Q在PR的垂直平分线上．
【分析】根据全等三角形的判定定理证明△BQP≌△CRQ，得到QP＝QR，根据线段的垂直平分线的判定证明结论．
【解答】证明：连接PQ，
在△BQP和△CRQ中，
，
∴△BQP≌△CRQ，
∴QP＝QR，
∴点Q在PR的垂直平分线上．
【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质以及线段的垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点
的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
20．（2022秋•冠县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的是中点，AD＝AE，∠BAD＝
30°，求∠EDC的度数．
【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD＝30°，然后再利用等腰
三角形的性质，以及三角形内角和定理可得∠ADE＝∠AED＝75°，从而利用角的和差关系进行计算即
可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，D为BC的是中点，
∴∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝ （180°﹣∠CAD）＝75°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝15°，
∴∠EDC的度数为15°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
21．（2023秋•聊城月考）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长．
（2）若∠BAC＝115°，求∠DAE的度数．
（3）设直线DM、EN交于点O，试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得DB＝DA，EA＝EC，然后利用三角形的周长公式以及等
量代换可得△ADE的周长＝BC，即可解答；
（2）根据三角形内角和定理可得∠B+∠C＝65°，再利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠DAB，∠C＝
∠EAC，从而可得∠DAB+∠EAC＝65°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答；
（3）连接OA，OB，OC，根据线段垂直平分线的性质可得 OA＝OB，OA＝OC，从而可得OB＝OC，
然后利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答．
【解答】解：（1）∵DM是AB的垂直平分线，EN是AC的垂直平分线，
∴DB＝DA，EA＝EC，
∵BC＝10，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE
＝BD+DE+EC
＝BC
＝10，
∴△ADE的周长为10；
（2）∵∠BAC＝115°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝65°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，
∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝65°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝50°，
∴∠DAE的度数为50°；
（3）点O在BC的垂直平分线上，
理由：如图：连接OA，OB，OC，∵OM是AB的垂直平分线，ON是AC的垂直平分线，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加
适当的辅助线是解题的关键．
22．（2023秋•志丹县月考）一个等腰三角形的周长是30cm．
（1）若腰长是底边长的2倍，求各边的长．
（2）若其中一条边的长是8cm，求另外两条边的长．
【分析】（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，代入求出即可；
（2）分类讨论，然后根据三角形三边关系定理判断求出的结果是否符合题意．
【解答】解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，由题意得：
x+2x+2x＝30，
解得：x＝6，
所以2x＝2×6＝12；
答：各边长为6cm，12cm，12cm；
（2）若底边长为8cm，则腰长为： ＝11（cm），
若腰长为8cm，则底边长为：30﹣8﹣8＝14（cm），
答：底边长为8cm，其它两边长为11cm，11cm．腰长为8cm，其它两边长为14cm，14cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中
没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
23．（2023秋•泰兴市月考）如图，△ABC的顶点均在网格的格点上，△A B C 与△ABC关于直线m对称，
1 1 1
点A、B、C的对应点分别是A 、B 、C ．
1 1 1
（1）在图中画出△A B C ；
1 1 1
（2）点B 与点B 关于直线n对称，请画出直线n；
1 2
（3）在AB上画出一点P，使得点P到边BC、边AC两边距离相等；（4）在直线m上画出一点E，使得EA+EB最小．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可在图中画出△A B C ；
1 1 1
（2）根据轴对称的性质利用点B 与点B 关于直线n对称，即可画出直线n；
1 2
（3）根据网格即可在AB上画出一点P，使得点P到边BC、边AC两边距离相等；
（4）连接AB 交直线m上于点E，即可使EA+EB最小．
1
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）如图，直线n即为所求；
（3）如图点P即为所求；
（4）如图，点E即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，角平分线的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
24．（2023春•宣城月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB
于点E．（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，
MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；
（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线
于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．
【分析】（1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得△EBC是等边三角形；
（2）延长ED使得DW＝DM，连接MN，即可得出△WDM是等边三角形，利用△WGM≌△DBM即可
得出BD＝WG＝DG+DM，再利用AD＝BD，即可得出答案；
（3）利用等边三角形的性质得出∠H＝∠2，进而得出∠DNG＝∠HNB，再求出△DNG≌△HNB即可得
出答案．
【解答】（1）证明：如图1所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，BC＝ ．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠DBA＝∠A＝30°．
∴DA＝DB．
∵DE⊥AB于点E．
∴AE＝BE＝ ．
∴BC＝BE．
∴△EBC是等边三角形；
（2）结论：AD＝DG+DM．
证明：如图2所示：延长ED使得DW＝DM，连接MW，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，
又∵DM＝DW，
∴△WDM是等边三角形，
∴MW＝DM，
在△WGM和△DBM中，
∵
∴△WGM≌△DBM，
∴BD＝WG＝DG+DM，
∴AD＝DG+DM．
（3）结论：AD＝DG﹣DN．
证明：延长BD至H，使得DH＝DN．
由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．
∵DE⊥AB于点E．
∴∠2＝∠3＝60°．
∴∠4＝∠5＝60°．
∴△NDH是等边三角形．
∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．
∴∠H＝∠2．
∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．
即∠DNG＝∠HNB．
在△DNG和△HNB中，
∴△DNG≌△HNB（ASA）．
∴DG＝HB．
∵HB＝HD+DB＝ND+AD，
∴DG＝ND+AD．
∴AD＝DG﹣ND．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知做出正确辅
助线是解题关键．
25．（2022秋•句容市月考）（1）①在图1中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；
②△ABC的面积为 2 ．
③在直线l上找到一点P，使PB+PC最短．
（2）如图2，已知，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，用尺规在BC边上求作一点D，使D到AC
的距离等于DB的长；若BD＝3，则△ACD的面积＝ 7. 5 ．
【分析】（1）①利用轴对称变换的性质分别作出B，C的对应点B′，C′即可；
②把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；③连接CB′交直线l于点P，连接PB，点P即为所求；
（2）作∠BAC的角平分线交BC于点D，点D即为所求．
【解答】（1）①如图，△AB′C′即为所求；
②△ABC的面积＝2×4﹣ ×2×2﹣ ×1×2﹣ ×1×4＝2．
故答案为：2；
③如图，点P即为所求；
（2）如图，点D即为所求．
过点D作DH⊥AC．
∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DH⊥AC，
∴DH＝DB＝3，
∴△ADC的面积＝ •AC•DH＝ ×5×3＝7.5．
故答案为：7.5．
【点评】本题考查作图﹣轴对称最短问题，三角形的面积，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握
轴对称变换的性质，掌握角平分线的性质定理，属于中考常考题型．
26．（2022春•吉安月考）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，
∠BOC＝ ，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证α：△OCD是等边三角形；
（2）当 ＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究α：当 为多少度时，△AOD是等腰三角形．
α【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝ ＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求
三角形的形状； α
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨
即可．
【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC， ＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣α∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝ ，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣α∠COD＝360°﹣110°﹣ ﹣60°＝190°﹣ ，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝ ﹣60°， α α
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠αADO＝180°﹣（190°﹣ ）﹣（ ﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣ ＝ ﹣60°， α α
α α∴ ＝125°．
②α当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣ ＝50°，
∴ ＝140°． α
③α当∠ADO＝∠OAD时，
﹣60°＝50°，
α∴ ＝110°．
综α上所述：当 ＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【点评】综合考α查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各
种情况．
