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专题 12.3 角平分线模型
【典例1】在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点．
（1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数．
（2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数．
（3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S ．
△AOB
【思路点拨】
（1）根据垂直的定义得到∠ADC＝90°，根据角平分线的定义得到∠ABO＝30°，根据三角形的内角和即可
得到结论；
（2）连接OC，根据角平分线的性质得到OM＝ON，根据全等三角形的性质得到∠EOM＝∠FOH，根据角
平分线的定义即可得到结论；
（3）连接OC，过O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到OD＝OG＝
OH，根据三角形的面积公式即可得的结论．
【解题过程】
解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，
∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABO＝30°，
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°；
（2）如图2，连接OC，
∵AE、BF是角平分线，交于O点，
∴OC是∠ACB的角平分线，
∴∠OCF＝∠OCE，
过O作OM⊥BC，ON⊥AC，
则OM＝ON，
{OE=OF
在Rt△OEM与Rt△OFN中， ，
OM=ON
∴Rt△OEM≌Rt△OFN，（HL），
∴∠EOM＝∠FON，
∴∠MON＝∠EOF＝180°﹣∠ACB，
∵AE、BF是角平分线，
1
∴∠AOB＝90°+ ∠ACB，
2
1
即90°+ ∠ACB＝180°﹣∠ACB，
2
∴∠ACB＝60°；
（3）如图3，连接OC，过O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，∵AE、BF是角平分线，交于O点，
∴OD＝OG＝OH，
1 1 1 1
∴S = ×8×6= ×10OD+ ×6×OG+ ×8×OH，
△ABC 2 2 2 2
∴OD＝2，
1
∴S = ×10×2＝10．
△AOB 2
1．（2022春•振兴区校级期末）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为15，20，25，点O是
△ABC三条角平分线的交点，则S ：S ：S 等于（ ）
△ABO △BCO △CAO
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
【思路点拨】
过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥CA于F，如图，利用角平分线的性质得到OD＝OE＝OF，然
后根据三角形面积公式得到S ：S ：S ＝AB：BC：AC．
△ABO △BCO △CAO
【解题过程】
解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥CA于F，如图，
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
1 1 1
∴S ：S ：S ＝（ AB•OD）：（ OE•BC）：（ OF•AC）＝AB：BC：AC＝15：20：25＝3：4：
△ABO △BCO △CAO 2 2 2
5．
故选：D．
2．（2021秋•藁城区校级月考）如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
【思路点拨】
过P点作PH⊥OB于H，如图，根据角平分线的性质得到PH＝PD，∠AOP＝30°，再根据斜边上的中线性
质得到OP＝2DM，所以PD＝DM＝4cm，然后根据垂线段最短解决问题．
【解题过程】
解：过P点作PH⊥OB于H，如图，
∵OP平分∠AOB，
∴PH＝PD，∠AOP＝30°，
∵M是OP的中点，
∴OP＝2DM，
1
∴PD= OP＝DM＝4cm，
2
∵点C是OB上一个动点，
∴PC的最小值为线段PH的长，
即PC的最小值为4cm．
故选：C．
3．（2022 春•海州区校级期末）如图，将△ABC 纸片沿 DE 折叠，使点 A 落在点 A'处，且 A'B 平分
∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝122°，则∠1+∠2的度数为（ ）A．116° B．100° C．128° D．120°
【思路点拨】
连接AA'，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2＝2∠BAC，即可解答．
【解题过程】
解：如图，连接AA'，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
1 1
∴∠A'BC= ∠ABC，∠A'CB= ∠ACB，
2 2
∵∠BA'C＝122°，
∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣122°＝58°，
∴∠ABC+∠ACB＝116°，
∴∠BAC＝180°﹣116°＝64°，
∵△ABC纸片沿DE折叠，
∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，
∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，
∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×58°＝128°，
故选：C．
4．（2021秋•全椒县期末）如图，在△ABC中，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，且PM＝PN，点Q在
AC上，∠PAQ＝∠APQ，则下面结论中不一定正确的是（ ）A．AM＝AN B．∠BAP＝∠CAP C．PQ∥AB D．PQ＝PC
【思路点拨】
可利用角平分线的性质判断选项B，利用HL判断选项A，利用平行线的判定定理判定选项C．
【解题过程】
解：∵PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，PM＝PN，
∴点P在∠BAC的角平分线上．
∴∠BAP＝∠CAP，故选项B正确；
∵∠PAQ＝∠APQ，
∴∠BAP＝∠APQ．
∴PQ∥AB，故选项C正确；
在Rt△APM和Rt△APN中，
{PM=PN
，
AP=AP
∴Rt△APM≌Rt△APN（HL）．
∴AM＝AN，故选项A正确；
由于不能说明∠C与∠CQP相等，也不能直接证明PQ与PC相等，
故选项D错误．
故选：D．
5．（2022春•南岗区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作
1
EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°+ ∠A，②∠EBO
2
1 mn
= ∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设 OD＝m，AE+AF＝n，则 S = ．其中正确的结论有
2 △AEF 2
（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
1 1 1
利用角平分线的定义得到∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，则∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB），再
2 2 2
1
根据三角形内角和定理得到180°﹣∠BOC= （180°﹣∠A），则可对①进行判断；根据平行线的性质得到
2
1
∠AEF＝∠EBC，然后利用OB平分∠EBC得到∠EBO= ∠EBC，则可对②进行判断；利用互余和∠OCB
2
＝∠OCD可对③进行判断；根据角平分线的性质得到O点到AE的距离等于m，然后利用三角形面积公式
可对④进行判断．
【解题过程】
解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
1
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB），
2
∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
1
∴180°﹣∠BOC= （180°﹣∠A），
2
1
∴∠BOC＝90°+ ∠A，所以①正确；
2
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠EBC，
而OB平分∠EBC，
1
∴∠EBO= ∠EBC，
2
1
∴∠EBO= ∠AEF，所以②正确；
2
∵OD⊥AC于D，
∴∠ODC＝90°，∴∠DOC+∠OCD＝90°，
∵OC平分∠BCD，
∴∠OCB＝∠OCD，
∴∠DOC+∠OCB＝90°，所以③正确；
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴O点到BA和BC的距离相等，O点到BC和AC的距离相等，
∴O点到AB的距离等于OD的长，即O点到AE的距离等于m，
1 1 1 1
∴S = AE•m+ AF•m= m（AE+AF）= mn，所以④正确．
△AEF 2 2 2 2
故选：D．
6．（2021秋•黄石期末）如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、
BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（ ）
①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S ＝S +S ．
△PAC △MAP △NCP
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
过P作PQ⊥AC于Q，根据角平分线的性质得出PQ＝PN，PQ＝PM，求出PQ＝PM＝PN，求出∠PMA＝
∠PNC＝∠PQA＝∠PQC＝90°，根据全等三角形的判定得出Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，再逐
个判断即可．
【解题过程】
解：过P作PQ⊥AC于Q，
∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，∴PM＝PQ，PQ＝PN，
∴PM＝PN，
∴P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC，故①正确；
∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，
∴∠PMA＝∠PQA＝90°，∠PQC＝∠PNC＝90°，
在Rt△PMA和Rt△PQA中，
{ PA=PA
，
PM=PQ
∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL），
∴∠MPA＝∠QPA，
同理Rt△PQC≌Rt△PNC，
∴∠QPC＝∠NPC，
∵∠PMA＝∠PNC＝90°，
∴∠ABC+∠MPN＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，故②正确；
∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，
∴∠FCA＝∠ABC+∠CAB＝2∠PCN，
1
又∵∠PCN= ∠ABC+∠CPB，
2
1
∴∠ABC+∠CAB＝2（ ∠ABC+∠CPB），
2
∴∠CAB＝2∠CPB，故③正确；
∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，
∴S ＝S +S ，故④正确；
△PAC △MAP △NCP
即正确的个数是4，
故选：D．
7．（2020秋•永城市期末）如图，∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，C是OB上的动点，连接PC，若PD＝4，
则PC的最小值为 4 ．
【思路点拨】过点P作PE⊥OB于点E，先证明PD＝PE＝4，再根据垂线段最短得PC≥PE，即可求解．
【解题过程】
解：过点P作PE⊥OB于点E，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE＝4，
∵C是OB上的动点，
∴PC≥PE（垂线段最短），
∴PC的最小值为4．
故答案为：4．
8．（2022春•双峰县期末）如图，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点，只需添加 ME ＝
MN ，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线．
【思路点拨】
根据HL判定Rt△MEC≌Rt△MNC，Rt△MFA≌Rt△MNA，即可得证．
【解题过程】
解：添加MN＝ME，理由如下：
∵EF⊥CD，MN⊥AC，
∴∠MEC＝∠MNC＝90°，
在Rt△MEC和Rt△MNC中，
{MN=ME
，
CM=CM
∴Rt△MEC≌Rt△MNC（HL），∴∠MCE＝∠MCN，
∴CM平分∠ACD，
∵EF⊥AB，MN⊥AC，
∴∠MFA＝∠MNA＝90°，
∵M是EF的中点，
∴ME＝MF，
∴MN＝MF，
在Rt△MFA和Rt△MNA中，
{MF=MN
，
AM=AM
∴Rt△MFA≌Rt△MNA（HL），
∴∠MAF＝∠MAN，
∴AM平分∠CAB，
∴CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线，
故答案为：ME＝MN．
9．（2021秋•樊城区月考）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和
△AED的面积分别为27和16，则△EDF的面积为 5. 5 ．
【思路点拨】
过D点作DH⊥AC于H，如图，先根据角平分线的性质得到 DF＝DH，再证明Rt△ADF≌Rt△ADH得到
S ＝S ，证明 Rt△EDF≌Rt△GDH 得到 S ＝S ，然后利用 S +S ＝S ﹣S 得到
△ADF △ADH △EDF △GDH △EDF △AED △ADG △GDH
S +16＝27﹣S ，从而可求出S 的值．
△EDF △EDF △EDF
【解题过程】
解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF＝DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中，
{AD=AD
，
DF=DH
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴S ＝S ，
△ADF △ADH
在Rt△EDF和Rt△GDH中，
{DE=DG
，
DF=DH
∴Rt△EDF≌Rt△GDH（HL），
∴S ＝S ，
△EDF △GDH
∴S +S ＝S ﹣S ，
△EDF △AED △ADG △GDH
即S +16＝27﹣S ，
△EDF △EDF
∴S ＝5.5．
△EDF
故答案为：5.5．
10．（2021秋•兴城市期末）如图，AD、CF分别是△ABC的高和角平分线，AD与CF相交于G，AE平分
∠CAD交BC于E，交CF于M，连接BM交AD于H，且知BM⊥AE．
有下列结论：
①∠AMC＝135°； ②△AMH≌△BME； ③∠AGC+∠BAC＝180°； ④BC＝BH+2MH； ⑤AH+CE＝
AC．
其中，正确的结论有 ①②③⑤ ．（填序号）【思路点拨】
由”双角平分线模型“可得∠AMC＝135°；先证△CMA≌△CMB，从而易得出AM＝BM，再利用互余得
∠MAH＝∠MBE，所以△AME≌△BME；表示∠AGC 和∠BAC 的度数，可得相加等于定角 180°；由
△AME≌△BME可得AH＝BE，从而得AH+CE＝AC；延长BM交AC于点N，先证△AMH≌△AMN得出2MH
＝HN，从而得到BH+2MH＝BN≠BC．
【解题过程】
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵AM、CM平分∠CAD、∠ACD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
在△ACD中，90°+2∠2+2∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝45°，
∴∠AMC＝180°﹣（∠2+∠3）＝135°．故①正确；
∴∠AMF＝45°，
∵AD⊥DC，BM⊥AE，
∴∠AMH＝∠BME＝∠ADB＝90°，
∴∠1+∠7＝∠6+∠5＝90°，
又∵∠6＝∠7，
∴∠1＝∠5＝∠2．
在△CMA和△CMB中，
{∠3=∠4
CM=CM，
∠2=∠5
∴△CMA≌△CMB（ASA）．
∴AC＝BC．
∵CF平分∠ACB，∴CF⊥AB，即∠MFA＝90°，
∴∠MAF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠MBF＝180°﹣90°﹣45°＝45°＝∠MAF，
∴MB＝MA．
在△AMH和△BME中，
{
∠1=∠5
AM=BM ，
∠AMH=∠BME
∴△AMH≌△BME（ASA）．故②正确；
∴AH＝BE，
∵BC＝BE+CE，且BC＝AC，
∴AH+CE＝AC．故⑤正确；
∵∠AGC＝180°﹣∠1﹣45°，∠BAC＝∠MAF+∠2＝45°+∠1，
∴∠AGC+∠BAC＝180°﹣∠1﹣45°+45°+∠1＝180°，故③正确；
延长BM交AC于点N，
∵BM⊥AE，
∴∠AMH＝∠AMN＝90°，
在△AMH和△AMN中，
{
∠1=∠2
AM=AM ，
∠AMH=∠AMN
∴△AMH≌△AMN（ASA）．
∴HM＝MN，
∴2MH＝HN，∴BH+2MH＝BM＜BC，故④错误．
所以正确的结论是①②③⑤．
11．（2022春•海阳市期末）如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角
平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．
（1）求∠PAD的度数；
（2）求证：P是线段CD的中点．
【思路点拨】
（1）根据平行线的性质得到∠C＝180°﹣∠D＝90°，∠DAB+∠ABC＝180°，再计算出∠PBC＝60°，则利用
角平分线的定义得到∠ABC＝120°，所以∠DAB＝60°，然后利用角平分线的定义得到∠PAD的度数；
（2）过P点作PE⊥AB于E点，如图，根据角平分线的性质得到PE＝PD，PE＝PC，从而得到PD＝PC．
【解题过程】
（1）解：∵AD∥BC，
∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°，
∵∠CPB＝30°，
∴∠PBC＝90°﹣∠B＝60°，
∵PB平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠PBC＝120°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°，
∵AP平分∠DAB，
1
∴∠PAD= ∠DAB＝30°；
2
（2）证明：过P点作PE⊥AB于E点，如图，∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，
∴PE＝PD，
∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，
∴PE＝PC，
∴PD＝PC，
∴P是线段CD的中点．
12．（2021秋•龙江县期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分 BC，DE⊥AB于E，
DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
【思路点拨】
（1）连接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，即可得DE＝
DF，又由 DG⊥BC 且平分 BC，根据线段垂直平分线的性质，可得 BD＝CD，继而可证得
Rt△BED≌Rt△CFD，则可得BE＝CF；
（2）首先证得△AED≌△AFD，即可得AE＝AF，然后设BE＝x，由AB﹣BE＝AC+CF，即可得方程5﹣x＝
3+x，解方程即可求得答案．
【解题过程】
（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
{BD=CD
，
DE=DF
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
{∠AED=∠AFD=90°
∠EAD=∠FAD ，
AD=AD
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．
13．（2021秋•雨花区期末）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE
相交于点P．
（1）求∠APC的度数；
（2）若AE＝3，CD＝4，求线段AC的长．【思路点拨】
（1）先由∠ABC＝60°，得到∠BAC+∠BCA＝120°，然后由 AD、CE 分别平分∠BAC、∠ACB 得到
∠PAC+∠PCA的值，进而得到∠APC的度数；
（2）在AC上截取AF＝AE，连接PF，然后证明△AEP≌△AFP，从而得到∠APE＝∠APF，然后由∠APC
＝120°得到∠DPC＝60°，从而得到∠APE＝∠APF＝60°，进而得到∠FPC＝∠DPC＝60°，再结合CE平分
∠ACB、CP＝CP得到△PCF≌△PCD，即可得到CD＝CF，最后得到AC＝AE+CD．
【解题过程】
解：（1）∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC+∠BCA＝120°，
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
1
∴∠PAC+∠PCA= （∠BAC+∠BCA）＝60°，
2
∴∠APC＝120°．
（2）如图，在AC上截取AF＝AE，连接PF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△APE和△APF中，
{
AE=AF
∠EAP=∠FAP，
AP=AP
∴△APE≌△APF（SAS），∴∠APE＝∠APF，
∵∠APC＝120°，
∴∠APE＝60°，
∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACP＝∠BCP，
在△CPF和△CPD中，
{∠FPC=∠DPC
CP=CP ，
∠FCP=∠DCP
∴△CPF≌△CPD（ASA），
∴CF＝CD，
∴AC＝AF+CF＝AE+CD＝3+4＝7．
14．（2021秋•南沙区期末）如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．
（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．
（2）如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC．
（3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．
【思路点拨】
（1）利用三角形的内角和先求出∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分的定义求出∠OBC与∠OCB的和即
可解答；
（2）根据角平分线的性质定理，想到过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，证出
OE＝OF即可解答；
（3）根据角平分的定义求出∠OCP＝90°即可解答．
【解题过程】
（1）解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
1 1
∴∠OBC+∠OCB= ∠ABC+ ∠ACB＝65°，
2 2
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°；
（2）证明：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OD＝OE，OD＝OF，
∴OE＝OF，
∴OA平分∠BAC；
（3）证明：∵OC平分∠ACB，CP平分∠ACD，
1 1
∴∠ACO= ∠ACB，∠ACP= ∠ACD，
2 2
∴∠OCP＝∠ACO+∠ACP
1 1
= ∠ACB+ ∠ACD
2 2
1
= ∠BCD
2
1
= ×180°
2
＝90°，
∴OC⊥CP．
15．（2021秋•聊城期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC
交AB、AC于E、F．（1）猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系．
（2）如图2，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？并说明理由．
（3）如图3，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于
E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
【思路点拨】
（1）利用角平分线的定义和平行线的性质即可得出结论；
（2）利用（1）的方法解答即可；
（3）利用角平分线的定义和平行线的性质可以判定△BEO和△CFO为等腰三角形，利用线段和差的关系
可得结论．
【解题过程】
解：（1）EF与BE、CF之间的关系为：EF＝BE+CF．理由：
∵BO是∠ABC的平分线，
∴∠EBO＝∠CBO．
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC．
∴∠EBO＝∠EOB．
∴BE＝EO．
同理：CF＝FO．
∴EF＝OE+OF＝BE+CF．
（2）第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在，即EF＝BE+CF．理由：
∵BO是∠ABC的平分线，
∴∠EBO＝∠CBO．
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC．
∴∠EBO＝∠EOB．
∴BE＝EO．同理：CF＝FO．
∴EF＝OE+OF＝BE+CF．
∴第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在．
（3）图中还存在等腰三角形△BEO和△CFO，此时EF＝BE﹣CF，理由：
∵BO是∠ABC的平分线，
∴∠EBO＝∠CBO．
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC．
∴∠EBO＝∠EOB．
∴BE＝EO．
∴△BEO是等腰三角形，
同理可证△CFO是等腰三角形，
∵BE＝EO，OF＝FC
∴BE＝EF+FO＝EF+CF，
∴EF＝BE﹣CF．
16．（2021秋•台江区校级期中）在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．
（1）若α＝90°时，直接写出CD与CB的数量关系为 CD ＝ CB ；
（2）如图1，当α≠90°时，（1）中结论是否还成立，说明理由；
CM
（3）如图2，O为AC中点，M为AB上一点，BM＝AD，求 的值．
DO
【思路点拨】
（1）利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可；
（2）过点C作CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD的延长线于F，利用角平分线的性质可得CE＝CF，再证明
△CDF≌△CBE（AAS），从而证明结论；
（3）延长DO至点N，使ON＝DO，连接AN，首先利用SAS证明△AON≌△COD，得∠N＝∠CDO，AN＝
CD＝CB，再证明△AND≌△BCM（SAS），得CM＝DN＝2DO，即可得出答案．【解题过程】
解：（1）当α＝90°时，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可得CD＝CB，
故答案为：CD＝CB；
（2）仍然有CD＝CB，理由如下：
过点C作CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD的延长线于F，
则∠CEB＝∠CFD＝90°，
∵∠ADC+∠CDF＝180°，∠ADC＝180°﹣a，
∴∠CDF＝α＝∠ABC，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴CD＝CB；
（3）延长DO至点N，使ON＝DO，连接AN，
∵AO＝OC，∠AON＝∠COD，
∴△AON≌△COD（SAS），
∴∠N＝∠CDO，AN＝CD＝CB，
∴CD∥AN，
∴∠DAN+∠ADC＝180°，
∴∠DAN＝180°﹣∠ADC＝α＝∠B，
又∵AD＝BM，∴△AND≌△BCM（SAS），
∴CM＝DN＝2DO，
CM
∴ =2．
DO
17．（2021秋•顺平县期末）如图（1），三角形ABC中，BD是∠ABC的角平分线．
（1）若∠A＝80°，∠ABC＝58°，则∠ADB＝ 7 1 °．
S 2
（2）若AB＝6，设△ABD和△CBD的面积分别为S 和S，已知
1=
，则BC的长为 9 ．
1 2 S 3
2
（3）如图（2），∠ACE是△ABC的一个外角，CF平分∠ACE，BD的延长线与CF相交于点F，CG平分
∠ACB，交BD于点H，连接AF，设∠BAC＝α，求∠BHC与∠HFC的度数（用含α的式子表示）．
【思路点拨】
（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）如图（1），过D作DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，根据角平分线的性质得到DF＝DE，根据三角形的
面积公式即可得到结论；
1 1
（3）根据角平分线的定义得到∠HBC= ∠ABC，∠HCB= ∠ACB，根据三角形的内角和定理即可得到结
2 2
论．
【解题过程】
解：（1）∵∠ABC＝58°，BD是∠ABC的角平分线，
1
∴∠ABD= ∠ABC＝29°，
2
∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝71°，
故答案为：71；
（2）如图（1），过D作DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，∵BD是∠ABC的角平分线，
∴DF＝DE，
1 1
AB⋅DF ×6
S 2 2 2
∴ 1= = = ，
S 1 1 3
2 BC⋅DE BC
2 2
∴BC＝9，
故答案为：9；
（3）解：在△ABC中，由∠BAC＝α，可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵BD平分∠ABC，CG平分∠ACB
1 1
∴∠HBC= ∠ABC，∠HCB= ∠ACB，
2 2
1 1 1
∴∠HBC+∠HCB= ∠ABC+ ∠ACB= （∠ABC+∠ACB）
2 2 2
1
= （180°﹣α）
2
1
＝90°− α，
2
在△BHC中，∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）
1
＝180°﹣（90°− α）
2
1
＝90°+ α，
2
∵∠ACE为△ABC的外角，设∠ABC＝β，
∴∠ACE＝∠ABC+∠BAC＝α+β，
∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACE，
1 1 1
∴∠FBE= ∠ABC= β∠FCE= ∠ACE，
2 2 21 1 1
∴∠HFC＝∠FCE﹣∠FBE= （α+β）− β= α．
2 2 2
18．（2022春•海陵区校级期末）△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作∠ODC＝∠AOC，交
边BC于点D．
（1）如图1，求∠BOD的度数；
（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．
①求证：BF∥OD；
②若∠F＝50°，求∠BAC的度数；
③若∠F＝∠ABC＝50°，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜360°）后得△B'O′D′，B′D′所在
直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值．
【思路点拨】
（1）根据角平分线的定义，结合三角形内角和即可得到答案．
（2）①根据角平分线的定义，结合三角形内角和即可得到答案．②结合角平分线的性质，根据三角形外
角的性质即可得到答案．③求出∠ODB的度数即可解决
【解题过程】
解：（1）∵三个内角的平分线交于点O，
1 1
∴∠OAC+∠OCA= （∠BAC+∠BCA）= （180°﹣∠ABC），
2 2
1
∵∠OBC= ∠ABC，
2
1
∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°+ ∠ABC＝90°+∠OBC，
2
∵∠ODC＝∠BOD+∠OBC＝∠AOC，
∴∠BOD＝90°；
（2）①∵三个内角的平分线交于点O，1 1
∴∠EBF= ∠ABE= （180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠DBO，
2 2
∵∠ODB＝90°﹣∠OBD，
∴∠FBE＝∠ODB，
∴BF∥OD；
②∵三个内角的平分线交于点O，
1 1
∴∠EBF= ∠ABE= （∠BAC+∠ABC），
2 2
1
∴∠FCB= ∠ACB，
2
1 1 1
∵∠F＝∠FBE﹣∠BCF= （∠BAC+∠ACB）− ∠ACB= ∠BAC，
2 2 2
∵∠F＝50°，
∴∠BAC＝2∠F＝100°；
③∵∠F＝∠ABC＝50°，
∴由②可知，∠BAC＝100°，
∴∠ACB＝30°，
∵OC平分∠ACB，
∴∠OCD＝15°，∠COD＝50°，
∴∠BDO＝∠COD+∠OCD＝65°，∠DOF＝130°，
∵将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜360°）后得△B'O′D′，
∴∠B'D'O＝∠BDO＝65°，
∵B'D'∥FC，
∴∠COD'＝∠B'DO＝65°，
∴∠DOD'＝∠COD'﹣∠COD＝15°，
即此时旋转角度为α＝15°，
∵BD'∥FC，
∴∠FOD'＝∠B'OD＝65°，
∴α＝∠DOF+∠FOD'＝130°+65°＝195°，
∴△BOD绕点O顺时针旋转15°或195°后得△B'O′D′，B′D′所在直线与FC平行．
19．（2021秋•沂水县期中）【问题提出】在△ABC中，∠ACB＝2∠B，AD为∠BAC的角平分线，探究线
段AB，AC，CD的数量关系．【问题解决】如图1，当∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AB，垂足为E，易得AB＝AC+CD；由此，如图2，
当∠ACB≠90°时，猜想线段AB，AC，CD有怎样的数量关系？给出证明．
【方法迁移】如图3，当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，探究线段AB，AC，CD又有怎样的数
量关系？直接写出结论，不证明．
【思路点拨】
【问题解决】结论：AB＝AC+CD，构造全等三角形解决问题即可；
【方法迁移】结论：AB＝CD﹣AC，如图 3．在 AF 上截取 AH＝AC，连接 DH，证明△ADH≌△ACD
（SAS），可得结论．
【解题过程】
解：【问题解决】：如图1中，当∠ACB＝90°时，
∵AD为∠BAC的角平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE，
∵∠ACB＝2∠B，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∵DE⊥AB，
∴DE＝BE，
在△AED和△ACD中，
{∠DAE=∠DAC
∠AED=∠ACD，
AD=AD
∴△AED≌△ACD（AAS），∴AE＝AC，
∴AB＝AE+BE＝AC+CD；
当∠ACB≠90°时，结论：AB＝CD+AC，
理由：如图2，在AB上截取AG＝AC，连接DG，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠GAD＝∠CAD，
在△ADG和△ADC中，
{
AG=AC
∠DAG=∠DAC，
AD=AD
∴△ADG≌△ADC（SAS），
∴CD＝DG，∠AGD＝∠ACB，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠AGD＝2∠B，
∵∠AGD＝∠B+∠GDB，
∴∠B＝∠GDB，
∴BG＝DG＝DC
∴AB＝BG+AG＝CD+AC；
【方法迁移】结论：AB＝CD﹣AC，
理由：如图3．在AF上截取AH＝AC，连接DH，
∵AD为∠FAC的平分线，∴∠HAD＝∠CAD，
在△ADH和△ACD中，
{
AH=AC
∠DAH=∠DAC，
AD=AD
∴△ADH≌△ACD（SAS），
∴CD＝HD，∠AHD＝∠ACD，即∠ACB＝∠FHD，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠FHD＝2∠B，
∵∠FHD＝∠B+∠HDB，
∴∠B＝∠HDB，
∴BH＝DH＝DC，
∴AB＝BH﹣AH＝CD﹣AC．
20．（2021秋•江汉区校级月考）如图：在∠EAF的平分线上取点B作BC⊥AF于点C，在直线AC上取一
动点P．在直线AE上取点Q使得BQ＝BP．
（1）如图1，当点P在点线段AC上时，∠BQA+∠BPA＝ 18 0 °；
（2）如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，说明理由；
（3）在满足（1）的结论条件下，当点P运动到在射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条线段之间的
数量关系为： AQ ﹣ AP ＝ 2 PC 或 AP ﹣ AQ ＝ 2 PC ．
【思路点拨】
（1）作BM⊥AE于点M，根据角平分线的性质得到BM＝BC，证明Rt△BMQ≌Rt△BPC（HL），进而证明
∠BQA＝∠BPC即可得出答案；
（2）作BM⊥AE于点M，证明Rt△ABM≌Rt△ABC（HL），得到∠ABM＝∠ABC，AM＝AC，BM＝BC，再
证明Rt△BMQ≌Rt△BCP（HL），从而得出PC＝QM即可；
（3）分两种情况进行讨论，P在线段AC上或P在线段AC的延长线上，作出图后，由△QBM≌△PBC
（AAS），得∠QBC＝∠PBC，QM＝PC，BM＝BC，结合Rt△ABM≌Rt△ABC（HL），得出AM＝AC，利用线段和差计算即可．
【解题过程】
解：（1）作BM⊥AE于点M，
∵AB平方∠EAF，BC⊥AF，
∴BM＝BC，
在Rt△BMQ和Rt△BPC中，
{BQ=BP
，
BM=BC
∴Rt△BMQ≌Rt△BPC（HL），
∴∠BQA＝∠BPC，
又∵∠BPC+∠BPA＝180°，
∴∠BQA+∠BPA＝180°，
故答案为：180；
（2）AQ﹣AP＝2AC，理由如下，
作BM⊥AE于点M，
∵AB平方∠EAF，BC⊥AF，
∴BM＝BC，∠BMA＝∠BCA＝90°，
在Rt△ABM和Rt△ABC中，
{BM=BC
，
AB=AB
∴Rt△ABM≌Rt△ABC（HL），
∴∠ABM＝∠ABC，AM＝AC，在Rt△BMQ和Rt△BCP中，
{BQ=BP
，
BM=BC
∴Rt△BMQ≌Rt△BCP（HL），
∴PC＝QM，
∴AQ﹣QP＝（AM+QM）﹣（PC﹣AC）＝AM+AC＝2AC；
（3）当点P在线段AC上时，如图，AQ﹣AP＝2PC，
作BM⊥AE于点M，
∵BC⊥AF，
∴，∠BMA＝∠BCA＝90°，
∵∠BQA+∠BPA＝180°，∠BPC+∠BPA＝180°，
∴∠BPC＝∠BQM，
在△QBM和△PBC中，
{∠BMQ=∠BCP
∠BQM=∠BPC，
QB=PB
∴△QBM≌△PBC（AAS），
∴∠QBC＝∠PBC，QM＝PC，BM＝BC，
在Rt△ABM和Rt△ABC中，
{BM=BC
，
AB=AB
∴Rt△ABM≌Rt△ABC（HL），
∴AM＝AC，
∴AQ﹣AP＝AM+QM﹣（AC﹣PC）＝QM+PC＝2PC；
当P在线段AC的延长线上，如图，AP﹣AQ＝2PC，
作BM⊥AE于点M，∵BC⊥AF，
∴∠BMA＝∠BCA＝90°，
∵∠BQA+∠BPA＝180°，∠BQM+∠BQA＝180°，
∴∠BPC＝∠BQM，
在△QBM和△PBC中，
{∠BMQ=∠BCP
∠BQM=∠BPC，
QB=PB
∴△QBM≌△PBC（AAS），
∴∠QBC＝∠PBC，QM＝PC，BM＝BC，
在Rt△ABM和Rt△ABC中，
{BM=BC
，
AB=AB
∴Rt△ABM≌Rt△ABC（HL），
∴AM＝AC，
∴AP﹣AQ＝AC+CP﹣（AM﹣QM）＝MQ+PC＝2PC．
故答案为：AQ﹣AP＝2PC或AP﹣AQ＝2PC．
