文档内容
第 02 讲 二次根式的乘除（4 个知识点+4 种题型+强化训
练）
知识导图
知识清单
知识点1．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
① ≥0； a≥0（双重非负性）．
②（ ）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③ ＝|a|＝ （算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
＝ • （a≥0，b≥0） ＝ （a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把
被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中
每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
知识点2．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数
或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数
中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
知识点3．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质： ＝ • （a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则： • ＝ （a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质： ＝ （a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则： ＝ （a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质 • ＝ （a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a
＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（ ）×（ ）≠﹣4×﹣9；同样的
在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．知识点4．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：① ＝ ＝ ；② ＝ ＝ ．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为
有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如： ﹣ 的有理化因式可以是 + ，也可以是a（ + ），这里的a可以是
任意有理数．
知识复习
一．二次根式的性质与化简（共19小题）
1．（2023秋•东平县期末）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解： ＝5，故选项A错误，不符合题意；
（﹣ ）2＝4，故选项B错误，不符合题意；
＝2，故选项C错误，不符合题意；
＝﹣2，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简、立方根，熟练掌握运算法则是解答本题的关
键．
2．（2023秋•衡阳期末）已知实数 在数轴上的对应点位置如图，则化简
的结果是A． B． C．1 D．
【分析】根据数轴上 点的位置，判断出 和 的符号，再根据非负数的性质进
行化简．
【解答】解：由图知： ，
， ，
原式 ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出 ， 是解题关键．
3．（2023秋•曲阳县期末）若 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据题意可知 ，直接解答即可．
【解答】解： ，
即 ，
解得 ，
故选： ．
【点评】考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．
4．（2023秋•雨花区期末）计算 的结果为
A． B． C． D．2
【分析】根据算术平方根的定义计算即可．
【解答】解： ．
故选： ．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握算术平方根的定义是关键．
5．（2023春•蓬莱区期末）化简二次根式 得
A． B． C． D．
【分析】先判断出 ，再由二次根式的性质即可得出结论．
【解答】解： 二次根式有意义，
，
故选： ．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关
键．
6．（2023秋•秀英区校级期中）若 ，则实数 在数轴上的对应点一定在
A．原点左侧 B．原点右侧
C．原点或原点左侧 D．原点或原点右侧
【分析】利用二次根式的性质得出 的取值范围，进而结合数轴的特点得出答案．
【解答】解： ，
，
，
实数 在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧．故选： ．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，正确得出 的取值范围是
解题关键．
7．（2023 春•兰陵县期末）实数 ， ， 在数轴上的对应点如图所示，化简
的结果是
A． B． C． D．
【分析】根据数轴，确定 、 、 的正负，确定 的正负，然后再化简．
【解答】解：由数轴知： ， ，
，
原式
．
故选： ．
【点评】本题考查了数轴的相关知识，绝对值、二次根式的化简．两数相加，取决于绝对
值较大的加数的符号，大数减小数为正，小数减大数为负．
8．（2024•沙坪坝区校级开学）表示有理数 ， ， 的点在数轴上的位置如图所示，请
化简 ．
【分析】首先根据数轴推出 ， ，继而推出 ， ， ，然
后根据绝对值和二次根式的性质去掉绝对值号和根号，然后去括号进行合并同类项即可．
【解答】解： ， ，
， ， ，
原式
．
故答案为： ．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，绝对值的性质，数轴上点的性质，合并同类项
等知识点，关键在于根据数轴推出 ， ， ．
9．（2024•渝中区校级开学）若 ，且 ，则 的值是 或
．
【分析】根据绝对值和算术平方根的定义得到 ， ，再由 得到 ，
，据此代值计算即可．
【解答】解： ，
， ，
，
， ，
当 ， 时， ；
当 ， 时， ，
的值是 或 ，
故答案为： 或 ．
【点评】本题主要考查了代数式求值，算术平方根，绝对值，正确求出 ， 是
解题的关键．
10．（2023秋•方城县期末） 5 ．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：原式 ．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
11．（2024•垫江县开学）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： +|b
﹣2|+|b﹣a|＝ 1 ﹣ 2 a ．
【分析】由数轴可知，﹣2＜a＜﹣1＜0＜1＜b＜2，先化简二次根式，根据绝对值内数
值与0的大小关系，去掉绝对值，再计算即可．【解答】解：由数轴可知，﹣2＜a＜﹣1＜0＜1＜b＜2，
+|b﹣2|+|b﹣a|
＝|a+1|+|b﹣2|+|b﹣a|
＝﹣（a+1）﹣（b﹣2）+b﹣a
＝﹣a﹣1﹣b+2+b﹣a
＝1﹣2a，
故答案为：1﹣2a．
【点评】本题考查了数轴、二次根式、绝对值知识点，熟练掌握去掉绝对值原理是解本
题的关键，难度不大，仔细审题即可．
12．（2023秋•隆回县期末）当 时，化简： ．
【分析】直接利用绝对值的性质，二次根式的性质化简求出答案．
【解答】解： ，
， ，
原式 ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确利用 的取值范围化简是解题关键．
13．（2023•平潭县校级开学）二次根式 的值等于 2 ．
【分析】根据二次根式的性质求解即可．
【解答】解： ．
故答案为：2．
【点评】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．
14．（2023•冷水滩区校级开学）如图，已知A、B、C三点分别对应数轴上的数a、b、c，
那么 ＝ 2 a ﹣ 2 c ．
【分析】根据数轴上点的位置可得c＜b＜a，则a﹣b＞0，c﹣b＜0，c﹣a＜0，进而根据绝对值的意义，以及二次根式的性质化简即可求解．
【解答】解：根据数轴上点的位置可得c＜b＜a，则a﹣b＞0，c﹣b＜0，c﹣a＜0，
∴
＝a﹣b+b﹣c+a﹣c
＝2a﹣2c，
故答案为：2a﹣2c．
【点评】本题主要考查了数轴，绝对值及二次根式的性质，熟练掌握这些性质是解此题
的关键，特别要注意符号．
15．（2023 春•金乡县期末）实数 ， 在数轴上的位置如图所示，化简：
．
【 分 析 】 依 据 数 轴 即 可 得 到 ， ， ， 即 可 化 简
．
【解答】解：由题可得， ， ，
， ， ，
，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握二次根式的性质
以及绝对值的性质．
16．（2023秋•怀化期末）先阅读下列解答过程：
形如 的式子的化简，只要我们找到两个正数 ， ，使 ， ，即，那么便有 ．
例如：化简 ．
解：首先把 化为 ，这里 ， ，
由于 ， ，即 ，
所以 ．
请根据材料解答下列问题：
（1）填空： ；
（2）化简： （请写出计算过程）；
（3）化简： ．
【分析】（1）直接根据阅读内容进行变换化简即可；
（2）根据例题把 ，变成 ，然后根据阅读内容进行化简；
（3）先根据阅读内容先将分母进行化简，然后分母有理化，再通过合并同类项进行化简．
【解答】解：（1） ， ，即 ， ，
．
故答案为： ．
（2）首先把 化为 ，这里 ， ，
， ，即 ， ，
．
（3）原式．
【点评】本题是一道阅读理解题，主要考查了二次根式的化简，解答本题的关键是掌握题
目中告知问题的解题思路与方法，然后利用这种解题方法解决新问题．
17．刘劦思在《文心雕龙》中说：“造化赋形，支体必双；神理为用，事不孤立；夫心生
文辞，远裁还虑，高下相须，自然成对．”在数学中也经常用对仗（对偶）思想解决有关
问题，比如 的对偶式是 ，可以用来无理式的有理化．请运用上述方法解决以
下问题：
（1）已知实数 ， 满足 ，求 的值．
（2）求不超过 的最大整数．
【分析】（1）根据对偶思想及平方差公式得到 ，
， 结 合 已 知 等 式 得 到
① 和 ② ， ① ② 求 出
，代入原式计算即可求出值；
（2）令 ， ，求出 与 的值，进而求出 的值，利用立
方和公式及完全平方公式求出 的值，确定出 的范围得到 的范围，即可求出不超
过 的最大整数．
【解答】解：（1），
又 ，
，即 ①，
，
又 ，
，即 ②，
① ②得： ，
则 ；
（2）令 ， ，则 ， ，
，
，，且 ，
，
，
不超过 的最大整数为3903．
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，实数，平方差公式，灵活运用公式变形是解
本题的关键．
18．（2022秋•惠民县期末）像 ， 这样的根式叫做复合二次根式．
有 一 些 复 合 二 次 根 式 可 以 借 助 构 造 完 全 平 方 式 进 行 化 简 ， 如 ：
．
再如： ．
请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简： ；
（2）化简： ；
（3）若 ，且 ， ， 为正整数，求 的值．
【分析】（1）把12拆成 ，即 ，写成完全平方公式的形式即可求解；
（2）先提出 ，把8拆成 ，写成完全平方公式的形式即可求解；
（3）按照完全平方公式展开，使有理数和无理数分别相等，再根据 、 、 为正整数，
得 ， ，或者 ， ，分别计算出 的值即可．
【解答】解：（1） ；
（2） ；（3） ，
， ，
又 、 、 为正整数，
， ，或者 ， ，
当 ， 时， ；
当 ， ， ，
综上所述， 的值为46或14．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，掌握 是解题的关键．
19．（2022秋•市中区期末）观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用 为正整数）表示的等式： ；
（3）利用上述规律计算： （仿照上式写出过程）
【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；
（2）根据规律，写出等式；
（3）根据（2）的规律，即可解答．
【解答】解：（1） ；故答案为： ；
（ 2 ） ； 故 答 案 为 ：；
（3） ．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．
二．最简二次根式（共5小题）
20．（2022秋•丰城市校级期末）下列二次根式： 是最简二
次根式的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】利用最简二次根式的定义：（1）被开方数不含开方开的尽的数或因式，（2）被
开方数中不含分母，分别判断即可．
【解答】解： 是最简二次根式的有 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及将二次根式化为
最简二次根式的方法是解决本题的关键．
21．（2023秋•南安市期末）写出一个最简二次根式 ．
【分析】最简二次根式被开方数是不能含有分母且不能含有能开尽方的因式或数．
【解答】解： ．
【点评】本题考查最简二次根式的知识，比较简单，注意掌握最简二次根式满足的条件．
22．（2022秋•思明区校级期末）已知：最简二次根式 与 的被开方数相同，
则 8 ．
【分析】已知两个最简二次根式的被开方数相同，因此它们是同类二次根式，即：它们的
根指数和被开方数相同，列出方程组求解即可．【解答】解：由题意，得： 解得： ，
．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义及二元一次方程组的应用．
23．（2023春•莱阳市期中）已知 ， ， ，其中 ，
为最简二次根式，且 ，求 的值．
【分析】根据最简二次根式的定义可得 ，从而可得： ，进而可得
， ，然后求出 ，从而可得 ，进而可得
，然后把 ， 的值代入式子中进行计算，即可解答．
【解答】解： ， 为最简二次根式，
，
解得： ，
， ，
，
，
，
，
，
解得： ，
，
的值为14．
【点评】本题考查了最简二次根式，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24．（2018春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式
（1）
（2）
（3）
【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（3）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案．
【解答】解：（1） ；
（2） ；
（3） ．
【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确化简二次根式是解题关键．
三．二次根式的乘除法（共10小题）
25．（2023秋•桂平市期末）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式 ，故 错误．
（B）原式 ，故 错误．
（C）原式 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
26．（2023秋•沈丘县期末）若 成立，则 的值可以是
A． B．0 C．2 D．3
【分析】直接利用二次根式的性质得出 的取值范围进而得出答案．
【解答】解： 若 成立，
，
解得： ，
故 的值可以是0．
故选： ．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
27．（2023春•城区校级期中）化简 结果为
A．0 B． C． D．4
【分析】利用二次根式的定义可得 ，然后再利用二次根式性质、绝对值的性质进行
计算即可．
【解答】解： 有意义，
，
解得： ，
原式 ，
故选： ．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质，以及绝对值的性质，关键是掌握
．28．（2022秋•市中区期末）等式“ ”中，括号内应填入
A．6 B．3 C． D．
【分析】二次根式的乘法法则： ，因此即可计算．
【解答】解：
．
故选： ．
【点评】本题考查二次根式的乘除法，关键是掌握二次根式的乘法法则．
29．（2023春•禹州市期中）计算 的结果是
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的乘除法运算即可．
【解答】解：原式
，
故选： ．
【点评】本题考查二次根式的乘除运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
30．（2023春•交城县期末）观察下列各组式子：
① ， ；
② ， ；
③ ， ．
可猜想得到： ，上述探究过程体现的数学思想方法是
A．从特殊到一般 B．类比 C．转化 D．公理化
【分析】根据相应的数学思想方法进行分析即可．
【解答】解：由题意得：探究过程体现的数学思想方法是：从特殊到一般．
故选： ．
【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，解答的关键是对相应的定义的掌握．
31．（2023 秋•昌黎县期末）小明做数学题时，发现 ； ；
； ； ；按此规律，若 ， 为正整
数），则 7 3 ．
【分析】找出一系列等式的规律为 的正整数），令 求出
与 的值，即可求得 的值．
【解答】解：根据题中的规律得： 的正整数），
，
， ，则 ．
故答案为：73．
【点评】此题考查了数字类规律，找出题中的规律是解本题的关键．
32．（2023秋•金山区期末）计算： ．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算．
【解答】解： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了二次根式的乘法，掌握运算法则是解题的关键．
33．（2023春•大化县期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问
题
化简： ．
解：隐含条件 ，解得： ．
．
原式 ．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简 ．
【类比迁移】
（2）实数 ， 在数轴上的位置如图所示，化简： ．
（ 3 ） 已 知 ， ， 为 的 三 边 长 ． 化 简 ：
．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件判断出 的范围，再根据二次根式的性质化简可
得；
（2）由 ， 在数轴上的位置判断出 、 ，再利用二次根式的性质化简即可得；
（3）由三角形的三边关系得出 ， ， ，再利用二次根式
的性质化简可得．
【解答】解：（1）隐含条件 ，解得： ，
，
原式 ；
（2）观察数轴得隐含条件： ， ， ，
， ，
原式 ；
（3）由三角形的三边关系可得隐含条件： ， ， ， ，
， ， ，
原式
．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质
及三角形的三边关系等知识点．
34．（2023春•岳池县期末）先来看一个有趣的现象： ，这里
根号里的因数2经过适当的演变，3竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为
“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如： 、 等等
（1）请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证；
（2）你能只用一个正整数 来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律．
【分析】（1）举一个例子即可，答案不唯一，如 ，然后仿照例子进行验证即可；（2）通过观察例子中数据的特点即可得出规律，再仿照例子即可证明．
【解答】解：（1） ，
验证： ；
（2）规律： 为正整数， ，
证明： ．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，灵活应用二次根式的性质对二次根式进行化
简是解决问题的关键．
四．分母有理化（共8小题）
35．（2023秋•山亭区期末）陈老师在黑板上写了一个式子： ，“□”中
的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【分析】将“ ”、“ ”、“ ”、“ ”代入计算，即可求解．
【解答】解： ，是有理数，符合题意；
，是无理数，不符合题意，
，是有理数，符合题意；
，是无理数，不符合题意，
故“□”中的运算符号可能是： 或 ，
故选： ．
【点评】本题考查二次根式运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．
36．（2023•中原区校级开学）从“+、﹣、×、÷”中选择一种运算符号，填入算式“（）□ ”的“□”中，使其运算结果为有理数，则应选择的运算符号是
（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【分析】分别填入四个运算符号，根据二次根式的四则运算法则求解判断即可．
【解答】解：A、 ，结果为无理数，不符合题意；
B、 ，结果为有理数，符合题意；
C、 ，结果为无理数，不符合题意；
D、 ，结果为无理数，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
37．（2023春•巴彦县期中）从“ ， ， ， ”中选择一种运算符号，填入算式“
”的“□”中，使其运算结果为有理数，则应选择的运算符号是
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】 、 ，故 不符合题意；
、 ，故 符合题意；
、 ，故 不符合题意；
、 ，故 不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关
键．
38．（2023秋•漳州期末）化简： ．
【分析】把分子分母都乘以 ，然后化简即可．【解答】解：原式 ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．
39．（2023秋•覃塘区期末）观察下列等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
按上述规律，计算 ．
【分析】首先根据题意，可得： ，然后根据分母有理数化
的方法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，故答案为： ．
【点评】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分
母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
40．（2023秋•玉门市期末）计算： ； ．
【分析】根据二次根式的分母有理化和二次根式的性质分别计算可得．
【解答】解： ， ，
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的有理化方法
和二次根式的性质．
41．（2023秋•化州市期末）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 这样的式子，其实我们还可以将其进一
步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
参照上面的方法化简： ．
【分析】分子、分母同时乘以 即可．【解答】解： ．
故答案为： ．
【点评】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．
二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公
式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
42．（2023春•双柏县期中）阅读下面问题：
；
；
．
（1）求 的值；
（2）计算： ．
【分析】（1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式 ；
（2）原式 ．
【点评】此题考查了分母有理化，弄清分母有理化的方法是解本题的关键．
强化训练
一、单选题1．（2024·全国·八年级假期作业）观察数据并寻找规律： ， ， ， ，
……，则第2021个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给出的数列可以看出第奇数个数为正，第偶数个数为负，第n个数的绝对值
是 ，即可确定第n个数为 ，据此即可求得．
【详解】解：观察这列数： ，
，
，
，
，
……，
根据规律可知，第n个数为 ，
∴第2021个数是 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，归纳总结出数字的变化规律是解题的关键．
2．（2024下·全国·八年级专题练习）下列推理过程中，对应符号表示正确的是（ ）
已知 ，用含a，b的式子表示 ．
解： ，
，
．
A．“ ”代表 B．“*”代表0.04，“★”代表0.02C．“ ”代表50，“★”代表2 D．“*”代表2
【答案】B
【分析】先分别把 用 的倍数表示，即可得出“*”和“ ”，继而得出“★”，
即可求解．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴“*”代表0.04，“ ”代表50，“★”代表0.02，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握知识点，准确理解题意是解题的关键．
3．（2024下·全国·八年级专题练习） 的倒数是（ ）
A． B． C．－6 D．
【答案】D
【分析】根据倒数的定义以及分母有理化即可求解．
【详解】解：∵ 倒数是 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了倒数的定义以及分母有理化，掌握倒数的定义以及分母有理化是解题
的关键．
4．（2024下·全国·八年级专题练习）计算 （ ）的结果是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，正确化简二次
根式是解题关键．
直接利用二次根式的混合运算法则，计算化简即可．
【详解】解：
，
故选：A．
5．（2024下·全国·八年级专题练习）在解决如下问题“已知 ， ，用含 ，
的代数式表示 ”时，甲、乙两个同学分别给出不同解法：
甲： ．
乙： 因为 ，所以 ．
对于这两种解法，正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对
【答案】C
【分析】仔细阅读两同学的解题过程，然后判断．
【详解】甲： ，
∴甲正确；
乙： ，
∵ ，∴ ．
∴乙正确；
综上所述，甲、乙均对．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握仔细阅读题目，灵活解题．
6．（2024下·全国·八年级专题练习）以下各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开
得尽方的因数或因式判断即可．
【详解】解：A选项， 是最简二次根式，故该选项符合题意；
B选项， ，故该选项不符合题意；
C选项， ，故该选项不符合题意；
D选项， ，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
7．（2024·全国·八年级竞赛）若 ，其中 都是
整数，则 的值为（ ）．
A． B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，代数式求值，化最简二次根式．先根据多项式
乘以多项式的计算法则求出的结果，进而求出a、b、c的值，最后代入即可．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故选：A．
8．（2024下·全国·八年级专题练习）与根式 的值相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简二次根式，再计算二次根式的乘法即可.
【详解】由题意可得x是负数，
所以 = ，
故选：D.
【点睛】此题考查二次根式的化简，二次根式的乘法计算法则，正确化简二次根式是解题
的关键，注意题目中x的符号是负号，这是解题的难点.
9．（2024下·全国·八年级专题练习）若 是最简二次根式，则m，n的值为
（ ）
A．0， B． ，0 C．1， D．0，0
【答案】A
【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可．【详解】解：∵ 是最简二次根式，
∴ ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：
被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．
．
10．（2022下·湖北省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）已知n是正整数， 是整数，
则n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】首先根据二次根式的性质化简为最简二次根式，然后再确定n的值．
【详解】解：∵ 是整数，n是正整数，
∴n的最小值为5，
故选D
【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此
题的关键．
二、填空题
11．（2024下·江西·八年级专题练习）计算： ．
【答案】1
【分析】本题考查了二次根式混合运算，平方差公式，掌握 、
是解题的关键．
【详解】解：故答案为：1．
12．（2024下·全国·八年级专题练习）计算 ．
【答案】 /
【分析】利用二次根式的乘法运算法则即可求解．
【详解】解：原式
故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的乘法运算．掌握二次根式运算法则是关键．
13．（2024下·八年级课时练习）计算： ÷ =
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，被开方数先相除，然后化成最简二次根式就出
结果．
【详解】解：原式
＝ ．
故答案为： ．
14．（2024下·全国·八年级专题练习）从 、 ， 中任意选择两个数，分别填在算
式 里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结
果）
【答案】 （或 或 ，写出一种结果即可）
【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．【详解】解：①选择 和 ，
则
．
②选择 和 ，
则
．
③选择 和 ，
则
．
故答案为： （或 或 ，写出一种结果即可）．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
15．（2024下·全国·八年级专题练习）有一个密码系统，其原理如下面的框图所示，当输
出的值为 时，输入的 ．【答案】 /
【分析】根据框图得出方程 ，解方程即可．
【详解】解：由题意得： ，
两边同时乘以 得： ，
右边计算得： ，
移项得： ，
∴当输出为 时，则输入的 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，二次根式的乘除法，读懂框图，正确列出方程是
解答的关键．
16．（2024下·全国·八年级专题练习）若 是最简二次根式，写出一个符合条件的x的
值： ．
【答案】3（答案不唯一）
【分析】根据最简二次根式的概念解答即可．
【详解】解：∵ 是最简二次根式，
∴ ，
解得， ，
故答案为：3（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得
尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．17．（2024下·全国·八年级专题练习）已知 ．
（1）将 化为最简二次根式是 ；
（2）若 ，则“■”表示的数是 ．
【答案】
【分析】（1）根据 • （a≥0，b≥0）化简即可；
（2）根据除数＝被除数÷商计算即可．
【详解】解：（1）
＝3 ；
故答案为：3 ；
（2）3
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的运算，熟练掌握计算法则是解题的关键．
18．（2024下·全国·八年级专题练习）计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘法进行求解即可．
【详解】解： ；
故答案为：【点睛】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
三、解答题
19．（2024下·八年级课时练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则
计算即可：
（1）原式 ；
（2）原式 ．
【详解】（1）原式
（2）原式
20．（2024下·八年级课时练习）计算：
(1)(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的除法计算，熟知二次根式的除法法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的除法法则可解决问题．
（2）根据二次根式的除法法则可解决问题．
【详解】（1）
（2）
21．（2024·全国·八年级假期作业）计算：
(1)
(2)(3)
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据二次根式的乘法运算进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解；
（3）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解；
（4）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
（3）；
（4）
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
22．（2024·全国·八年级假期作业）观察以下等式：
第1个等式： ．
第2个等式： ．
第3个等式： ．
第4个等式： ．
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：_________________．
(2)写出你猜想的第 个等式（用含 的式子表示），并给出证明过程．
【答案】(1)第5个等式：
(2)第n个等式为： （n为正整数），证明见解析；【分析】（1）由前面4个等式可得被开方数为1与一个分数的和，这个分数的分母是序号
加1的平方，分子是一列从5开始的奇数，右边是分数，分母为序号加1，分子比分母大
1，从而可得第5个等式；
（2）由（1）归纳出第n个等式，再证明即可．
【详解】（1）解：第1个等式： ．
第2个等式： ．
第3个等式： ．
第4个等式： ．
第5个等式： ．
（2）由（1）可得：第n个等式为： （n为正整数）
证明如下：
左边
右边．
【点睛】本题考查的是二次根式的规律探究，掌握探究方法并总结规律是解本题的关键．
23．（2024·全国·八年级假期作业）化简：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【答案】（1）27；（2） ；（3） ；（4）
【分析】根据积与商的算术平方根的性质将原式化为最简二次根式即可．
【详解】解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，熟知定义以及二次根式的性质是解题的关键．
24．（2024下·全国·八年级专题练习）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？
为什么？
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ．
【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见
解析
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否
则就不是．
【详解】解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式；
（2） 不是最简二次根式，被开方数含分母．
（3） 是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因
式；（4） 是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；
（5） 不是最简二次根式，被开方数含分母．
（6） 不是最简二次根式，被开方数含分母．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含
分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
25．（2024下·全国·八年级专题练习）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则是解题关键．
（1）先进行二次根式的乘法运算以及化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据平方差公式，完全平方公式去括号，最后进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）．
26．（2024下·八年级课时练习）计算：
(1) ；
(2) ；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则
计算即可
【详解】（1）原式
；
（2）原式
