文档内容
拉萨市 2026 届高三第二次联考数学试题
本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用 0.5 毫米黑色签字笔将
答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，考生须将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的．请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】集合 ，
所以 .
2. 已知 ，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
3. 已知等差数列 的公差为 ，且 ，则 （ ）
A. 36 B. 48 C. 51 D. 57
【答案】C
第 1页/共 21页【解析】
【详解】已知等差数列 的公差为 ，且 ，
，
.
4. 已知函数 的图象在点 处的切线与直线 平行，则 （ ）
A. －1 B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出 可得函数在点 处的切线的斜率为 ，再利用两斜率相等求出答案.
【详解】由题意知直线 的斜率为
又 ，则
因为函数 的图象在点 处的切线与直线 平行，
所以
解得 .
5. 某省为落实 2025 年政府工作报告中新兴产业培育要求，计划从集成电路、航空航天、生物医药、低空经
济这 4 个新兴支柱产业中，选取 2 个产业作为重点培育方向；同时从未来能源、量子科技、具身智能、脑
机接口、6G 这 5 个未来产业中，选取 3 个产业作为前瞻布局方向，则不同的选取方案共有（ ）
A. 40 种 B. 60 种 C. 80 种 D. 120 种
【答案】B
【解析】
【详解】4 个新兴支柱产业中，选取 2 个产业作为重点培育方向，有 种选择，
5 个未来产业中，选取 3 个产业作为前瞻布局方向，有 种选择，
故不同的选取方案共 种.
6. 若函数 在区间 上的值域为 ，则 的取值范围是（ ）
第 2页/共 21页A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题设 时， ，
结合正弦函数的性质，只需 ，即 .
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 （ 在第二象限）是双曲
线 的左支上一点，且 ，直线 与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线 的离心率为（
）
A. 2 B. C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】便于计算，设 ，根据双曲线的定义、勾股定理得到一个关于 的等式，换
元法可求得 ，进而可求解离心率.
【详解】设 ，
因为双曲线 的渐近线方程为 ， 在第二象限，
所以直线 的斜率为负，所以直线 与 垂直，如图：
所以直线 的斜率为 ，所以 ，所以 .①
由双曲线的定义得 ，②
第 3页/共 21页由①②解得 .
等式②两边同时平方得 .③
由 知 ，所以 ，
代入③式得 ，
所以 ，即 ，整理得 .
令 ，则 ，代入 得 ，
整理得 ，解得 .
所以双曲线 的离心率为 .
8. 量子计算是当前科技前沿领域，其核心单元“量子比特”在物理实现上常采用能级结构．某种量子比特
模型中，用递增离散能级 表示量子态，相邻能级间的能量差构成等比数列，即
（ ）．已知 （ 为基准能量单位）．则该量子
比特从高能级 向低能级 跃迁时，可释放光子的频率（光子频率恰为能量差 ）不可能为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式求出 ，逐项检验后可得正确的选项.
【详解】设 的公比为 ，
因为 ，所以 ，
而 ，故 ，故 （舍）或 .
故 ，且 ，
故
第 4页/共 21页，
对于 A，令 ，故 ，
因为 为奇数，故 ，故 ，此方程无正整数解，故 A 不可能为能量差；
对于 B，取 ，则 ，故 B 选项可为能量差；
对于 C，取 ，则 ，故 C 选项可为能量差；
对于 D，取 ，则 ，故 D 选项可为能量差.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 中国非遗文化传承成效显著，某文化部门随机抽取国内 100 个非遗传承工作室的年度投入进行统计，已
知以下数据：
①抽样中，投入高于 5000 万元的工作室占 30%，投入低于 2000 万元的占 25%；
②投入 万元的工作室中，专注于传统技艺传承与非遗文创开发的数量比为 ；
③投入高于 5000 万元的工作室中，有 40%专注于传统技艺传承，剩下的专注于非遗文创开发．
下列说法正确的是（ ）
A. 抽样中，投入 万元的工作室有 55 个
B. 抽样中，专注于传统技艺传承且投入 万元的工作室有 18 个
C. 抽样中，专注于非遗文创开发的工作室数量不超过 40 个
D. 若从抽样工作室中随机抽取 1 个，抽到投入高于 5000 万元且专注于传统技艺传承的概率为 0.12
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意，分别求得不同投入区间的工作室的数量，结合各个区间内专注于传统技艺传承和专注
于非遗文创开发的工作室的数量关系，结合选项，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于 A，由抽样中，投入高于 万元的工作室占 30%，投入低于 万元的占 25%，
可得投入 万元的工作室占比为 ，
所以抽样中，投入 万元的工作室有 个，所以 A 错误；
对于 B，由抽样中，投入 万元的工作室有 个，
因为专注于传统技艺传承与非遗文创开发的数量比为 ，
第 5页/共 21页所以专注于传统技艺传承且投入 万元的工作室有 个，故 B 正确；
对于 C，投入高于 万元的工作室的数量为 个，
其中专注于非遗文创开发的工作室数量为 个，
投入 万元的工作室且专注于非遗文创开发的工作室有 个，
所以专注于非遗文创开发的工作室总数至少为 个，所以 C 错误；
对于 D，投入高于 万元且专注于传统技艺传承的工作室有 个，
所以抽到投入高于 5000 万元且专注于传统技艺传承的概率为 ，所以 D 正确.
10. 如图，在直三棱柱 中， ． 为 的中点， 为棱 的中点，下列说法正确
的是（ ）
A. 平面 B. 四点共面
C. 平面 D. 平面
【答案】ACD
【解析】
【分析】由平面的基本性质判断 A，利用异面直线的定义确定 为异面直线判断 B，应用线面平行的
判定证明并判断 C，由面面垂直的判定、性质证明判断 D.
【详解】由 ， ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，则 平面 ，A 对，
由 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
而 平面 ，且 ，则 为异面直线，B 错，
若 为 的中点，连接 ， 为 的中点，则 且 ，
第 6页/共 21页而 ，且 ，即 ，则 且 ，
所以四边形 为平行四边形，则 ，
由 平面 ， 平面 ，则 平面 ，C 对，
由直棱柱中 平面 ， 平面 ，则平面 平面 ，
由 ，则 ，而 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，结合 C 的结论，知 平面 ，D 对.
11. 已知椭圆 的离心率为 ，长半轴长为 2， 为 的右焦点，线段 是椭
圆与 轴垂直的一条弦（其中点 在第一象限）． 分别为线段 的中点， ， 为坐标
原点，则（ ）
A. 椭圆 的方程为
B.
C. 的取值范围是
D. 的内切圆的半径的取值范围为
【答案】CD
【解析】
【分析】A 选项，根据离心率和长半轴长得到椭圆方程；B 选项，由对称性和椭圆定义可得
第 7页/共 21页，由基本不等式可得答案；C 选项，设 ，可得 的取
值范围，求出 的取值范围；D 选项，由三角形面积可得方程，结合椭圆定义可得 D 正确.
【详解】A 选项，由题意得 ，
又离心率为 ，故 ，故 ，
故椭圆方程为 ，A 错误；
B 选项，设 的左焦点为 ，连接 ，由对称性可知 ，
因为 分别为 的中点，所以 ，
由椭圆定义可得 ，
，
当且仅当 时，等号成立，
此时 点在 轴上，不在第一象限，故等号取不到，B 错误；
C 选项，设 ，则 ，即 ，
又 ，故 ，
当 时， 取得最小值 ，故 的取值范围是 ，C 正确；
D 选项， ，
由椭圆定义可得 ，
第 8页/共 21页设 的内切圆半径为 ，则 ，
又 ，而 ，故 ，
所以 ，解得 ，
的内切圆的半径的取值范围为 ，D 正确
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分．
12. 二项展开式中 项的系数是______．
【答案】
【解析】
【分析】由二项式定理可得二项展开式通项公式，令 即可求得结果.
【详解】 展开式的通项公式为： ，
当 时， 的系数为 .
故答案为： .
13. 在平行四边形 中，已知 ，且 ．若 为边 中点，
点 在边 上且满足 ，则 ______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据给定条件，结合向量加减法法则可得 ，再利用基底 表示 ，并利用
数量积的运算律求解.
【详解】在平行四边形 中，由 ，得 ，
所以平行四边形 为矩形，所以 ，所以 ，
点 在边 上且满足 ，得 ，
由 为边 中点，得 ，而 ，
第 9页/共 21页所以 .
14. 平行六面体 所有棱长都等于 2，点 在底面 的射影为底面对角线的交点，且
线段 是它在底面射影长的 倍，则三棱锥 的外接球的体积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据外接球性质，结合平行六面体的性质确定球心及半径，最后利用球体积公式进行求解即可.
【详解】设底面对角线的交点为 ，
因为线段 是它在底面射影长的 倍，
所以 ，所以
， ，
即 ，
，则 ，
，
又 平面 ， 平面 ，
，则 ，
，即 ，
三棱锥 中， 均为直角三角形，
第 10页/共 21页且平面 平面 ，
三棱锥 的外接球是以 为直径， 为球心，半径 ，
外接球的体积为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 的平分线交 于点 ，求 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再化简即可得出答案；
（2）利用 即可解出答案.
【小问 1 详解】
因为
由正弦定理有：
所以
又因为
所以
所以
又因为 ，即
所以
因为 ，
所以 .
【小问 2 详解】
第 11页/共 21页因为 为 的角平分线， ，即
所以 ，
，
，
又
所以
解得： .
16. 某公司的生产车间有 3 台核心加工设备，分别为成型机（记为设备 A）、调试机（记为设备 B）、测试机
（记为设备 C），三台设备各自独立工作，设同时发生故障的设备数为随机变量 ．
（1）若三台设备同时运行，每台设备发生故障的概率均为 ，求“至少有 1 台设备发生故障的条件下，
恰好有 1 台设备发生故障”的概率；（结果保留三位有效数字）
（2）为验证设备 A 与设备 B 的工作独立性，该公司随机抽取了 次设备运行记录，得到如下 列联
表（单位：次）：
设备 B
设备 A 合计
故障 正常
故障 30 70 100
正常 60 40 100
合计 90 110 200
根据小概率值 的独立性检验，分析设备 A 的故障与设备 B 的故障是否有关．
附： ，
第 12页/共 21页【答案】（1）
（2）设备 A 的故障与设备 B 的故障有关.
【解析】
【小问 1 详解】
设“至少有 1 台设备发生故障的条件下”为事件 ，
“恰好有 1 台设备发生故障”为事件 ，
则 ，而 ，
故 .
【小问 2 详解】
设 设备 A 的故障与设备 B 的故障无关，
则 ，
故依据小概率值 的独立性检验否定 ，
即设备 A 的故障与设备 B 的故障有关.
17. 如图所示，四棱锥 中，底面 为矩形，且 平面 ，且
．
（1）若点 在棱 上，且 ，求证： ；
（2）求直线 与平面 的夹角的正弦值；
（3）若点 ， 分别为棱 ，棱 的中点，则直线 ， 是否相交？若相交，设交点为 ，求三
棱锥 的体积；若不相交，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
第 13页/共 21页（2）
（3）相交，证明见解析；1
【解析】
【分析】（1）因为 平面 ，底面 为矩形，先证 平面 ，再证 平面
，进而得到 ；
（2）建立以 为原点，以 所在直线为 轴的空间直角坐标系，求出平面 的法向量
以及向量 ，利用空间向量的线面夹角公式计算出直线 与平面 的夹角的正弦值；
（3）根据 是中点，得到向量 与 的关系，判断直线 和 相交于点 ，通过等体积法
，得到三棱锥 的体积.
【小问 1 详解】
底面 为矩形， ；
平面 ， 平面 ， ；
又 ， 平面 ；
由点 在棱 上，得 平面 ， ；
， ， ， 平面 ， 平面 ；
又 平面 ，
【小问 2 详解】
平面 ，底面 为矩形， 以 为原点，分别以 所在直线为 轴建立
空间直角坐标系，如图所示；
由 ， ， ，得 ， ， ， ，
， ， ；
第 14页/共 21页设平面 的法向量为 ，则 ，解得 ；
取 ， ， ，则平面 的一个法向量为 ；
设直线 与平面 的夹角为 ，
；
直线 与平面 的夹角的正弦值为 .
【小问 3 详解】
直线 ， 相交，理由如下：
点 ， 分别为 ， 的中点， ， ， ，
， ， ；
， ，得 与 不共线，
， 必相交.
直线 ， 相交于点 ， ， ，即 ；
，得 .
, ，得 ， ；
平面 ， 平面 ，则 ，得 为直角三角形；
设平面 的法向量为 ,
第 15页/共 21页， ，
则 ，解得 ；
取 ，则 ， 平面 的一个法向量为 ；
点 到平面 的距离 ；
底面 为矩形， ， ， ， ， ；
；
即三棱锥 的体积为 1.
【点睛】建立空间直角坐标系时，要确保各轴的垂直关系符合右手定则，坐标计算准确；求线面夹角时，
要注意线面夹角其正弦值等于直线与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，不要混淆角度关系.
18. 已知函数
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）设 是曲线 的任意一条切线，若 ，求 的值；
（3）证明： ．
【答案】（1） 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先代入 得函数,确定定义域,求导并通分,令导数为零求驻点,分区间判断导数符号,进而确
定函数单调性.
（2）先求曲线导数得切线斜率与截距,写出 的乘积不等式,分析两个相关函数的单调性与零点,根据恒成
立条件得两函数同零点,代入零点坐标列方程,化简计算求出参数 的值.
第 16页/共 21页（3）先构造函数 ,求导证其在 单调递增,得 ；将
代入化简得对数不等式,再对不等式求和,右边用错位相减算出和为 ,即证结论.
【小问 1 详解】
当 时， ，函数定义域为 .
求导得 .
令 ，解得 （ 舍去，因定义域 ）.
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
综上， 在 上单调递减，在 上单调递增.
【小问 2 详解】
设直线 与曲线 切点横坐标为 .
因为 ，求导 ,
所以切线方程为: ，
所以 ,
即 对任意 都成立,
因为 ，所以 在 上递增且存在唯一正零点 ，
又显然有 在 上递减,所以 也必然是其唯一零点，否则无法实现 恒
第 17页/共 21页成立.
所以 ; 解得 .
【小问 3 详解】
设 ，
因为 ，所以 在 上单调递增,
令 则 ，代入 可得
即
设 ，
所以 ，
两式相减得 ，
所以 ，所以 .
19. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 ．
（1）求抛物线 的方程．
（2） 是抛物线 上任意不重合的两点，若直线 过点 且 的面积为 4，求直线 的方程．
（3）过点 的直线 交抛物线 于 两点，以线段 为直径作圆，该圆是否恒过抛物线 上一
定点？若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
第 18页/共 21页（2） 或
（3）过定点，定点坐标为
【解析】
【分析】（1）根据点 在抛物线 上，得到一个关于 的等式，由 及抛物线的定义可得到
另一个关于 的等式，联立可解得 ；
（2）设出 的坐标及直线 的方程，联立抛物线的方程后根据韦达定理可求得直线 的斜率；
（3）设出直线 的方程，联立抛物线方程后根据韦达定理可得到 纵坐标之间的关系，代入圆的方程
后整理可得定点坐标.
【小问 1 详解】
由抛物线 得准线方程为 ，
因为 在抛物线上，所以 .①
由 得 到准线的距离为 5，如图 1，则 ，所以 .
将其代入①式得 ，整理得 ，
解得 或 （ 舍去）.
所以抛物线 的方程 .
【小问 2 详解】
如图 1，由 知抛物线的焦点为 ，
将 代入 得 ，所以通径长为 4.
设 ，则 ，
第 19页/共 21页所以 ，大于通径长，所以直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，
由 消去 x 得 ，所以 ，
将 两边同时平方得 ，即 ，
所以 ，化简得 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 或 .
【小问 3 详解】
如图 2，假设以 为直径的圆过抛物线上的定点 ，
设 ，直线 l 的方程为 ，
由 消去 x 得 .
所以 ，
所以 .
以 为直径的圆的方程为 ，
展开得 ，
第 20页/共 21页所以 ，
即 ，
等号左侧整理为关于 m 的多项式： ，
因为上式对任意实数 m 恒成立，所以 ，
解得 ，验证知 的坐标满足抛物线方程，
所以以线段 为直径的圆恒过抛物线 上一定点 .
第 21页/共 21页
