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2026 届名校联盟第一次调研
命题人：侯伯源 审题人： 张名非
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知全集 ， ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据补集、交集的定义，即可得答案.
【详解】由题意 ，所以 .
故选：A
2. 复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】先求出所求复数，再判断其对应点所在象限即可.
【
详解】 ，
所以复数 在复平面内对应的点为 ，
故选：B
3. 已知数列 的前n项和为 ，则对 ，“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用累加法，结合题意可得，由 能推出 ；举出反例，可得“
”推不出“ ”.由充分、必要条件的定义得出答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由 得： ， ， ，……， ，
不等式左右两边分别相加，得
，
消去两边相同的项得， ，
所以 ；
取数列 满足， ， ，且对 且 有 .
满足 ， ，但 .不满足 .
即“ ”推不出“ ”.
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知函数 ，则它的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由奇偶性的定义及 时函数值符号，应用排除法即可得.
【详解】由题设，函数的定义域为 ，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 为奇函数，排除B、D，
当 时， ，故 ，排除C.
故选：A
5. 已知抛物线 ，过其焦点 的直线 与 在第一象限的交点为 ，且 ，则 的方程为
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的定义求出 的坐标，然后求出直线的斜率，最后利用点斜式求解即可.
【详解】由题意如图所示：
抛物线 的焦点为 ，准线方程为： ，
设 到准线的距离为 ，
由抛物线的定义得： ，又 ，
所以 ，解得： 代入 中得： ，
所以 ，则直线 的斜率为： ,
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学科网（北京）股份有限公司所以直线 的方程为： 即 ，
故选：B.
6. ， ， （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由两角差的正切公式计算.
【详解】 ．
故选：D.
7. 等 腰 直 角 中 ， ， ， 点 M 在 外 接 圆 上 运 动 ， 若
，则 的最大值为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，求出外接圆方程，再根据向量关系得到点 M坐标，代入圆方程，最后利用
不等式求解 的最大值.
【详解】以直角顶点A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司则： ， ， ，
外接圆圆心为斜边BC的中点O，坐标为 ，半径为 ，
故外接圆方程为： ．
又因为 ，其中 ， ，
则 ．
将 代入圆的方程得 ，
即 ，
，
∴ ，
解得 ，当且仅当 时取得 的最大值2．
故选：B.
8. 已知 ， ，则（ ）
A. B. C. D. ，但 和 的大
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学科网（北京）股份有限公司小关系无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数的单调性证出 且 ，得出结论即可.
【详解】由于 ，所以 ，因此 ，
又因为 ，因此 ，即 ，
所以 .
故选：B.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 已知 的面积为 且 ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】运用三角形面积公式，结合特殊角的正弦值进行求解即可.
【详解】 ， ，
因为 ， 所以 或 ．
故选：CD
10. 函数 满足 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的周期为6
C.
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学科网（北京）股份有限公司D. 的图象关于直线 对称
【答案】BC
【解析】
【分析】赋值可判断A；赋值，利用递推公式可推出周期，可判断B；令 ，可得 的范围，可
判断C；举反例可判断D.
【详解】由 得 ，代入 得 ，A 错误；
令 得 ，
用 换 得 ，
两式相加得 ，即 ，
用 换 得 ，即 ，
用 换 得 ，所以 周期为 6，B 正确；
令 得 ，即 ，
由于 ，所以 ，因此 ，故 C 正确；
已知 ， ，对 赋值得：
令 得 ，
令 得 ，
令 ，若 关于 对称，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司但 ， ，不相等，故 D 错误.
故选：BC
11. 已知双曲线 的两条渐近线分别为 为双曲线上一点，则（ ）
A. 越大，则双曲线的离心率越大
B. 过点 与双曲线仅有一个交点的直线只有一条
C. 点 到两渐近线的距离之积为定值
D. 过点 作双曲线的切线交渐近线于 两点，则 为 的中点
【答案】ACD
【解析】
【分析】本题A主要考查双曲线的离心率与渐近线的关系；B考查过双曲线上的一点的直线与渐近线的关
系；C利用点到直线的距离求解即可；D根据直线与双曲线联立，求出交点坐标后，利用中点坐标验证即
可。
【详解】A,因为双曲线的离心率公式： ,所以 越大，则双曲线的离心率越大，故A正确；
B，过点 与双曲线仅有一个交点的直线应该有三条，一条是过 点的切线，另两条是与渐近线平行的直
线，故B错误；
C，设 为双曲线上一点,代入方程得 ,去分母得 ，又因为渐近线
为 ,所以点 到两条渐近线的距离分别是 ,所以距离之积
,显然是定值，故C正确；
D，设 ,所以过 点的切线方程是 ,联立切线与渐近线方程可得交点
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学科网（北京）股份有限公司,所以MN的中点坐标
= ,故D正确;
故选：ACD
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，
只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为
160和15．则估计出总样本的平均数为_____．
【答案】164
【解析】
【分析】运用总体样本均值公式进行求解即可.
【详解】总样本的平均数为 ；
故答案为：164.
13. 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】求得 ，得到 ，求得切线方程为 ，再求得 ，设曲线
的切点为 ，列出方程组，即可求解.
【详解】由函数 ，可得 ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司又由函数 ，可得 ，
设曲线 的切点为 ，
则 ，解得 .
故答案为： .
14. 已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式为 ______.
【答案】
【解析】
【分析】利用已知 求 的方法，分别讨论 时，与 时， 的通项，再进行验证；
【详解】由 ，
当 时， ，
当 时， ，
两式相减，得 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
由于 时，不满足上式，
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
四、解答题（本题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共
77分)
15. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 , , ．
（1）求 ；
（2）求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边角互化可求得 ，结合条件求出 的正弦值，利用正弦定理即可求出
的值；
（2）利用和角的正弦公式求出 的值，再由三角形的面积公式计算即得.
【小问1详解】
由 ，
得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，
由正弦定理， ，因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ；
【小问2详解】
因为 ，
所以
，
则 .
16. 已知函数 ．
（1）若 ，求 在 处的切线方程；
（2）讨论 的单调性．
【答案】（1） ；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）利用导数求斜率，然后求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程；
（2）求导，对参数 分类讨论即可.
【小问1详解】
若 ，则 ， ，所以 ， ，
故 在 处的切线方程为 ，即 ．
【小问2详解】
因为 ，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， 时 ， 时 ，
所以， 在 上单调递减， 在 上单调递增；
当 时， 时 ， 时 ， 时 ，
所以， 在 、 上分别单调递增， 在 上单调递减；
当 时， 时 恒成立，故 在 上单调递增；
当 时， 时 ， 时 ， 时 ，
所以， 在 、 上分别单调递增， 在 上单调递减．
综上，当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增；
当 时， 在 、 上分别单调递增， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 、 上分别单调递增， 在 上单调递减．
17. 在矩形 中， ， ， 为 的中点，将 沿 翻折至 ，使得平面
平面 ，得到如图所示的四棱锥 ．
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】1）利用勾股定理证明垂直，再结合面面垂直的性质定理可证明线面垂直；
（2）利用空间向量法来求线面角的正弦值即可.
【小问1详解】
在矩形 中， ， ， 为 的中点，
所以 ，所以 ，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ．
【小问2详解】
取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，则 ，所以 平面 ，
由题可得 ，所以 ，所以 两两垂直，
以 为原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ．
设平面 的一个法向量为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，取 ，得 ， ，
所以 ．设直线 与平面 所成角为 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
18. 设 ， ， 为数列 的前 项和，令 ， ， ．
（1）若 ，求数列 的前 项和 ；
（2）求证：对 ，方程 在 上有且仅有一个根；
（3）求证：对 ，由（2）中 构成的数列 满足 ．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意结合错位相减法以及等比数列求和公式即可得解；
（2）求导得函数 在 上是增函数，结合零点存在定理即可得证；
（3）一方面由 结合 上单调递增可得 ，
在
即 ；另一方面通过放缩、 以及裂项相消可得 ，由此即可得证.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司若 ， ，则 ，
则 ，
，
，
；
【小问2详解】
， ，
故函数 在 上是增函数．
由于 ，当 时， ，即 ．
又 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的 ，满足 ．
【小问3详解】
对于任意 ，由 中 构成数列 ，当 时，
，
．
由 在 上单调递增，可得 ，即 ，
故数列 为减数列，即对任意的 、 ， ．
由于 ， ，
， ，
用 减去 并移项，利用 ，可得
．
综上可得，对于任意 ，由 中 构成数列 满足 ．
19. 有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的，且含
有该酶的概率均为 ，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测
方法：将待检测人群分成r个小组，每组 人．在每一组中，取每人的血液混合成一个
样本进行检测．
若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测．
若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用
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学科网（北京）股份有限公司采集血样，利用现有采集过的血样）．
（1）若 ， ，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的
概率；
（2）用N，k，p表示该方法所需检测次数的期望值；
（3）设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次．若 ，
每组人数 ，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求 的取值范围．
（参考数据： ）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设小组中有酶的人数为X，依题意，可知 ，分别求出 与 ，
利用条件概率公式即可求出恰有2人有酶的概率 ；
（2）设每组检测次数 ，则易得 ，求出其分布列和数学期望，进而可求得总检测次数的期望
；
（3）利用（2）中若分组检测，由检测次数的期望求得总成本期望 ，若逐
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学科网（北京）股份有限公司一检测，则总成本为 ，依题意 ，代值计算即得 的取值范围.
【小问1详解】
设小组中有酶的人数为X，则 ．
已知混合样本阳性，即 ，则恰有2人有酶的概率为
．
【小问2详解】
设每组检测次数 ，则 的分布列为
1
p
期望为
则总检测次数的期望 ；
【小问3详解】
若分组检测，检测次数的期望为 ．
总成本期望 为 ，
为
若逐一检测，则总成本 ．由节省50%以上得 ．
代入 ， ， ，得 ，
整理得 ，因此， ，故 的取值范围是 ．
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学科网（北京）股份有限公司第20页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
