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第五章 相交线与平行线考点与数学思想整合及2022中考真题训练（解析版）
第一部分 考点典例精析
考点一 与相交线有关的角度的计算
1．（2022春•章丘区期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD于点O．
（1）若∠AOF＝50°，求∠BOE的度数．
（2）若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数．
思路引领：（1）由角平分线定义，邻补角的性质，即可求解：
（2）由∠BOD：∠BOE＝1：4，列出关于∠BOD的方程，即可求解．
解：（1）∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠AOF＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°，
∵OE平分∠BOC，
1
∴∠BOE= ∠BOC＝70°；
2
（2）设∠BOD＝x° 则∠BOE＝4x°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠BOE＝8x°，
∵∠BOD+∠BOC＝180°，
∴x+8x＝180，
∴x＝20，
∴∠AOC＝∠BOD＝x°＝20°，
∴∠AOF＝90°﹣∠AOC＝70°．
总结提升：本题考查有关角的计算，关键是掌握角平分线定义，邻补角及对顶角的性质．
2．（2020秋•石景山区期末）如图所示，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，若∠COF＝26°，求∠BOD的度数．
思路引领：先求出∠EOF，然后根据角平分线的定义求出∠AOE，再求出∠AOC的度数，然后根据对顶
角相等解答即可．
解：∵∠COE＝90°，∠COF＝26°，
∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣26°＝64°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝2×64°＝128°，
∴∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝128°﹣90°＝38°，
∴∠BOD＝∠AOC＝38°．
总结提升：本题考查了角平分线的定义，对顶角相等的性质，角的计算，是基础题，准确识图，理清图
中各角度之间的关系是解题的关键．
3．（2020春•覃塘区期末）直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O．
（1）若∠EOF＝54°，求∠AOC的度数；
（2）①在∠AOD的内部作射线OG⊥OE；
②试探索∠AOG与∠EOF之间有怎样的关系？并说明理由．
思路引领：（1）依据OF⊥CD，∠EOF＝54°，可得∠DOE＝90°﹣54°＝36°，再根据OE平分∠BOD，
即可得出∠BOD＝2∠DOE＝72°，依据对顶角相等得到∠AOC＝72°；
（2）依据 OE 平分∠BOD，可得∠BOE＝∠DOE，再根据 OF⊥CD，OG⊥OE，即可得到
∠EOF+∠DOE＝90°，∠AOG+∠BOE＝90°，依据等角的余角相等，可得∠EOF＝∠AOG．
解：（1）∵OF⊥CD，∠EOF＝54°，
∴∠DOE＝90°﹣54°＝36°，
又∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠DOE＝72°，
∴∠AOC＝72°；
（2）①如图所示：
②∠AOG＝∠EOF；
理由：∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE，
∵OF⊥CD，OG⊥OE，
∴∠EOF+∠DOE＝90°，∠AOG+∠BOE＝90°，
∴∠EOF＝∠AOG．
总结提升：本题主要考查了垂线，角平分线的定义以及余角的综合运用，当两条直线相交所成的四个角
中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，解决问题的
关键是掌握：等角的余角相等．
考点二 平行线的判定
4．（2021春•高新区校级期中）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘 AB垂线a和b，得到a∥b．理由是
（ ）
A．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知垂直
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
思路引领：根据垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
解：由题意a⊥AB，b⊥AB，∴a∥b（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
故选：C．
总结提升：本题考查平行线的判定，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决
问题．
5．（2022•苏州模拟）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（ ）
A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A
思路引领：利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论．
解：A、因为∠A＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．
B、因为∠A+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意．
C、因为∠1＝∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．
D、因为∠1＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出 AB∥DF，故本选项符合题
意．
故选：D．
总结提升：本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答
题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
考点三 平行线的性质
6．（2022•沈北新区一模）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝
130°，则∠A的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
思路引领：直接利用两直线平行，同旁内角互补的性质得出∠ABF＝50°，进而利用三角形外角的性质
得出答案．
解：∵AB∥CD，∴∠ABF+∠EFC＝180°，
∵∠EFC＝130°，
∴∠ABF＝50°，
∵∠A+∠E＝∠ABF，∠E＝30°，
∴∠A＝20°．
故选：B．
总结提升：此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，根据两直线平行，同旁内角互补得出
∠ABF＝50°是解题关键．
7．（2019春•椒江区期末）一副直角三角尺按如图 1所示方式叠放，现你含45°角的三角尺ADE固定不动，
将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，当两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠BAD（0°＜
∠BAD＜90°）所有符合条件的度数为 ．
思路引领：副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕
顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图 2，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则
∠BAD（0°＜∠BAD＜90°）符合条件的其它所有可能度数根据题意画出图形，再由平行线的判定定理
即可得出结论．
解：如图，
当AC∥DE时，∠BAD＝∠DAE＝45°；
当BC∥AD时，∠DAB＝∠B＝60°；
当BC∥DE时，BC⊥AE，∠B＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∴∠DAB＝∠DAE﹣BAE＝15°；
综上所述，当两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠BAD（0°＜∠BAD＜90°）所有符合条件的度数
为15°或45°或60°，
故答案为：15°或45°或60°．总结提升：本题考查的是等腰直角三角形，平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性
质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．
考点四 平行线的判定与性质的综合运用
8．（2021春•饶平县校级期末）已知：如图，∠BAE+∠AED＝180°，∠1＝∠2，∠M和∠N有怎样的数量
关系，并说明理由．
思路引领：根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠BAE＝∠AEC，求出∠MAE＝
∠NEA，根据平行线的判定得出AM∥NE，根据平行线的性质得出即可．
解：∠M＝∠N，
理由是：∵∠BAE+∠AED＝180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠BAE＝∠AEC（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠BAE﹣∠1＝∠AEC﹣∠2，即∠MAE＝∠NEA，
∴AM∥NE（内错角相等，两直线平行），
∴∠M＝∠N（两直线平行，内错角相等）．
总结提升：本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的
关键．
9．（2021春•黄陂区期中）如图，在三角形 ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠B＝60°，
∠BDE＝120°，∠AED＝45°．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若DF平分∠ADE，交AC于点F，∠ECD＝2∠BCD，求∠CDF的度数．思路引领：（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．
（1）证明：∵∠B＝60°，∠BDE＝120°，
∴∠B+∠BDE＝60°+120°＝180°，
∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；
（2）解：∵DE∥BC，∠AED＝45°，
∴∠ADE＝∠B＝60°，∠ACB＝∠AED＝45°，∠EDC＝∠BCD，
∵DF平分∠ADE，
1
∴∠ADF＝∠EDF= ∠ADE＝30°，
2
∵∠ECD＝2∠BCD，
1
∴∠BCD= ∠ACB＝15°，
3
∴∠EDC＝15°，
∴∠CDF＝∠EDC+∠EDF＝45°．
总结提升：本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义熟练掌握平行线的性质是解决问题的
关键．
考点五 利用平移解决实际问题
10．（2022春•青山区期中）如图，长为50m，宽为30m的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均
为1m，其它部分均种植草坪，则种植草坪的面积为（ ）
A．1344m2 B．1421m2 C．1431m2 D．1341m2
思路引领：可以根据平移的性质，此小路相当于一条横向长为50米与一条纵向长为30米的小路，种植草坪的面积＝长（50﹣1）米宽（30﹣1）米的长方形面积，依此计算即可求解．
解：根据题意，小路的面积相当于横向与纵向的两条小路，
种植花草的面积＝（50﹣1）×（30﹣1）＝49×29＝1421（m2）．
答：种植草坪的面积是1421m2．
故选：B．
总结提升：本题考查了图形的平移的性质，把小路进行平移是解题的关键．
第二部分 数学思想感悟
一、方程思想
11．（2022春•磁县期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）若∠AOC＝70°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数；
（2）若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，求∠AOC的度数．
思路引领：（1）根据邻补角、角平分线以及余角的定义进行计算即可；
（2）根据角平分线的定义以及图形中各个角之间的和差关系进行计算即可．
解：（1）∵∠AOC＝70°，
∴∠BOD＝∠AOC＝70°，
∵OE平分∠BOD，
1
∴∠BOE＝∠DOE= ∠BOD＝35°，
2
又∵∠DOF＝90°，
∴∠BOF＝90°﹣70°＝20°
∴∠EOF＝20°+35°＝55°，
答：∠EOF的度数为55°；
（2）∵OF平分∠COE，
1
∴∠COF＝∠EOF= ∠COE，
2设∠BOD＝x，由于∠BOF＝15°，则∠EOF＝x+15°＝∠COF，
由平角的定义可得，x+（x+15°）×2＝180°，
解得，x＝50°，
即∠BOD＝50°
∴∠AOC＝∠BOD＝2∠BOD＝100°．
总结提升：本题考查角平分线、平角、对顶角，掌握角平分线的定义，理解对顶角相等及平角的定义是
正确解答的关键．
二、转化思想
12．（2019春•江岸区校级期中）如图，已知AF∥CD，∠A＝∠D，∠B＝∠E．
（1）∠A，∠B，∠C的数量关系为 ； （2）求证：BC∥EF．
思路引领：（1）根据平行线的性质，邻补角的定义，三角形的内外角的关系解答即可；
（2）根据平行线的性质和判定解答即可．
（1）解：如图，延长AB、DC，交于点P，
∵AF∥CD，即AF∥PD，
∴∠A+∠APC＝180°，
∴∠APC＝180°﹣∠A，
∵∠PCB＝180°﹣∠BCD，∠ABC＝∠APC+∠PCB，
∴∠ABC＝180°﹣∠A+180°﹣∠BCD，
∴∠A+∠ABC+∠BCD＝360°，
即∠A+∠B+∠C＝360°；
故答案为：∠A+∠B+∠C＝360°；
（2）证明：连接AD，BE，如图：∵AF∥CD，
∴∠FAD＝∠ADC，
∵∠BAF＝∠CDE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AB∥DE，
∴∠ABE＝∠BED，
∵∠ABC＝∠DEF，
∴∠EBC＝∠BEF，
∴BC∥EF．
总结提升：本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键，注意：
平行线的性质有①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角
互补，反之亦然．
三、分类讨论思想
13．（2020春•郑州期中）（1）已知AB∥CD，点M为平面内一点．如图1，BM⊥CM，小颖说过点
M作MP∥AB，很容易说明∠ABM和∠DCM互余．请你帮小颖写出具体的思考过程；
（2）如图2，AB∥CD，点M在射线ED上运动，当点M移动到点A与点D之间时，试判断∠BMC与
∠ABM，∠DCM的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当点M在射线ED上的其他地方运动时（点M与E，A，D三点不重合），请
直接写出∠BMC与∠ABM，∠DCM之间的数量关系．
思路引领：（1）过M作MP∥AB，根据平行线的性质可得∠PMC＝∠MCD，再根据BM⊥CM，可得
∠BMP+∠PMC＝90°，进一步得到∠ABM+∠MCD＝90°，可得∠ABM和∠DCM互余；
（2）过M作MF∥AB，交BC于F，根据平行线的性质可得∠DCM＝∠FMC，可得∠ABM+∠DCM＝∠BMF+∠CMF＝∠BMC；
（3）分两种情况：当点M在E、A两点之间时；当点M在AD的延长线上时；进行讨论可求∠BMC与
∠ABM，∠DCM的数量关系．
解：（1）如图1，过M作MP∥AB，则∠BMP＝∠ABM，
又∵AB∥CD，
∴MP∥CD，
∴∠PMC＝∠MCD，
又∵BM⊥CM，
∴∠BMP+∠PMC＝90°，
∴∠ABM+∠MCD＝90°，
∴∠ABM和∠DCM互余；
（2）∠ABM+∠DCM＝∠BMC，理由如下：
如图2，过M作MF∥AB，交BC于F，则∠ABM＝∠BMF，
又∵AB∥CD，
∴MF∥CD，
∴∠DCM＝∠FMC，
∴∠ABM+∠DCM＝∠BMF+∠CMF＝∠BMC；
（3）当点M在E、A两点之间时，如图3，∠BMC＝∠DCM﹣∠ABM；当点M在AD的延长线上时，如图4，∠BMC＝∠ABM﹣∠DCM．
总结提升：考查了平行线的判定和性质，余角和补角，垂线，主要考查学生的推理能力，题目是一道比
较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．
第三部分 2022 中考真题精练
一．选择题（共15小题）
1．（2022•襄阳）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如
图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（ ）
A．30° B．40° C．60° D．70°
思路引领：根据平行线的性质求得∠ABD，再根据角的和差关系求得结果．
解：∵m∥n，∠1＝70°，∴∠1＝∠ABD＝70°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠2＝∠ABD﹣∠ABC＝40°，
故选：B．
总结提升：本题主要考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质．
2．（2022•济南）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．57.5° D．65°
思路引领：根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠AEC＝∠1＝65°．根据角平分线的定义，得EC平分
∠AED，那么∠AED＝2∠AEC＝130°，进而求得∠2＝180°﹣∠AED＝50°．
解：∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠1＝65°．
∵EC平分∠AED，
∴∠AED＝2∠AEC＝130°．
∴∠2＝180°﹣∠AED＝50°．
故选：B．
总结提升：本题主要考查平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义是解决本
题的关键．
3．（2022•盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则∠ABC与∠DEF的关系是（ ）A．互余 B．互补 C．同位角 D．同旁内角
思路引领：利用平行线的性质可得出答案．
解：如图，
过点G作GH∥ED，
∵BC∥ED，
∴ED∥GH∥BC，
∴∠ABC＝∠AGH，∠DEF＝∠HGF，
∵∠HGF+∠AGH＝90°，
∴∠ABC+∠DEF＝90°
∴∠DEF和∠ABC互余，
故选：A．
总结提升：本题考查了矩形的性质，平行线的性质，灵活运用性质解决问题是解题的关键．
4．（2022•青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直
线，食指代表截线）．从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角D．同位角、内错角、同旁内角
思路引领：两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系
的角称为同位角；
两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；
两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答
即可．
解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
故选：D．
总结提升：本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并
能区别它们．
5．（2022•上海）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题
B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题
思路引领：根据逆命题的概念、真假命题的概念判断即可．
解：A、命题一定有逆命题，本选项说法正确，符合题意，
B、不是所有的定理一定有逆定理，例如全等三角形的对应角相等，没有逆定理，故本选项说法错误，
不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如假命题对应角相等的三角形全等，其逆命题是真命题，故本
选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
总结提升：本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二
个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个
命题称为另一个命题的逆命题．
6．（2022•盘锦）下列命题不正确的是（ ）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．负数的立方根是负数
C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．五边形的外角和是360°
思路引领：由平行公理、立方根的定义、菱形的判定定理、多边形的外角和，分别进行判断，即可得到
答案．
解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；故A正确；
B、负数的立方根是负数；故B正确；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D、五边形的外角和是360°，故D正确；
故选：C．
总结提升：本题考查了判断命题的真假，以及考查了平行公理、立方根的定义、菱形的判定定理、多边
形的外角和，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．
7．（2022•通辽）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM
＝35°时，∠DCN的度数为（ ）
A．55° B．70° C．60° D．35°
思路引领：根据“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．
解：∵∠ABM＝35°，∠ABM＝∠OBC，
∴∠OBC＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠OBC＝180°﹣35°﹣35°＝110°，
∵CD∥AB，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝70°，
∵∠BCO＝∠DCN，∠BCO+∠BCD+∠DCN＝180°，
1
∴∠DCN= （180°﹣∠BCD）＝55°，
2
故选：A．
总结提升：此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．8．（2022•郴州）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是（
）
A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180° C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠4
思路引领：根据平行线的判定定理进行一一分析．
解：A、若∠3＝∠4时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；
B、若∠1+∠5＝180°时，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；
C、若∠1＝∠2时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定a∥b，不能判定c∥d，符合题意；
D、由a∥b推知∠4+∠5＝180°．若∠1＝∠4时，则∠1+∠5＝180°，由“同旁内角互补，两直线平
行”可以判定c∥d，不符合题意．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关
系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
9．（2022•潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面 AB与CD平行，入射光线l与
出射光线m平行．若入射光线l与镜面AB的夹角∠1＝40°10'，则∠6的度数为（ ）
A．100°40' B．99°80' C．99°40' D．99°20'
思路引领：先根据反射角等于入射角求出∠2的度数，再求出∠5的度数，最后根据平行线的性质得出
即可．
解：∵入射角等于反射角，∠1＝40°10'，
∴∠2＝∠1＝40°10'，
∵∠1+∠2+∠5＝180°，∴∠5＝180°﹣40°10'﹣40°10'＝99°40'，
∵入射光线l与出射光线m平行，
∴∠6＝∠5＝99°40'．
故选：C．
总结提升：本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质定理推理是解此题的关键．
10．（2022•常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方
向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
思路引领：根据生活经验结合数学原理解答即可．
解：小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
总结提升：本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握数学和生活密不可分的关系是解答本题的关键．
11．（2022•长沙）如图，AB∥CD，AE∥CF，∠BAE＝75°，则∠DCF的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．105°
思路引领：根据平行线性质，可得∠DGE＝∠BAE＝∠DCF＝75°．
解：如图：
∵AB∥CD，∴∠DGE＝∠BAE＝75°，
∵AE∥CF，
∴∠DCF＝∠DGE＝75°，
故选：C．
总结提升：本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．
12．（2022•威海）图 1 是光的反射规律示意图．其中，PO 是入射光线，OQ 是反射光线，法线
KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面
EF反射后经过的点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
思路引领：根据直线的性质画出被遮住的部分，再根据入射角等于反射角作出判断即可．
解：根据直线的性质补全图2并作出法线OK，如下图所示：
根据图形可以看出OB是反射光线，
故选：B．
总结提升：本题主要考查直线的性质，垂线的画法，根据直线的性质补全光线是解题的关键．
13．（2022•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为
（ ）A．26° B．36° C．44° D．54°
思路引领：首先利用垂直的定义得到∠COE＝90°，然后利用平角的定义即可求解．
解：∵EO⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∵∠1+∠COE+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠COE＝180°﹣54°﹣90°＝36°．
故选：B．
总结提升：本题主要考查了垂直的定义和平角的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．
14．（2022•娄底）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝80°，则∠2＝（ ）
A．20° B．80° C．100° D．120°
思路引领：根据平行线的性质和平角的定义可得结论．
解：如图，
由平行线的性质得：∠3＝∠1＝80°，∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣80°＝100°．
故选：C．
总结提升：本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握两直线平行，内错角相等是解本题的关键．
15．（2022•山西）如图，Rt△ABC是一块直角三角板，其中∠C＝90°，∠BAC＝30°．直尺的一边DE经
过顶点A，若DE∥CB，则∠DAB的度数为（ ）
A．100° B．120° C．135° D．150°
思路引领：先根据平行线的性质求得∠DAC的度数，再根据角的和差关系求得结果．
解：∵DE∥CB，∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠C＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝120°，
故答案为：B．
总结提升：本题主要考查了平行线的性质以及三角形角和差计算，关键是利用平行线的性质求得
∠DAC．
二．填空题（共7小题）
16．（2022•阜新）一副三角板如图摆放，直线AB∥CD，则∠ 的度数是 ．
α
思路引领：根据题意可得：∠EBD＝90°，∠BDE＝45°，∠EDC＝30°，然后利用平行线的性质可得∠ABD+∠BDC＝180°，从而进行计算即可解答．
解：如图：
由题意得：
∠EFD＝90°，∠FDE＝45°，∠EDC＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠FDC＝180°，
∴∠ ＝180°﹣∠EFD﹣∠FDE﹣∠EDC
＝18α0°﹣90°﹣45°﹣30°
＝15°，
故答案为：15°．
总结提升：本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
17．（2022•枣庄）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，
水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，
已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，则∠GFH的度数为 ．
思路引领：根据平行线的性质知∠GFB＝∠FED＝45°，结合图形求得∠GFH的度数．
解：∵AB∥CD，
∴∠GFB＝∠FED＝45°．
∵∠HFB＝20°，
∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝45°﹣20°＝25°．
故答案为：25°．
总结提升：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
18．（2022•湘西州）如图，直线a∥b，点C、A分别在直线a、b上，AC⊥BC，若∠1＝50°，则∠2的度数为 ．
思路引领：利用平行线的性质定理和垂直的意义解答即可．
解：如图，
∵AC⊥BC，
∴∠2+∠3＝90°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝50°．
∴∠2＝90°﹣∠3＝40°．
故答案为：40°．
总结提升：本题主要考查了平行线的性质，垂直的意义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
19．（2022•无锡）请写出命题“如果a＞b，那么b﹣a＜0”的逆命题： ．
思路引领：交换题设和结论即可得到一个命题的逆命题．
解：命题“如果a＞b，那么b﹣a＜0”的逆命题是“如果b﹣a＜0，那么a＞b”．
故答案为：如果b﹣a＜0，那么a＞b．
总结提升：本题考查了命题与定理，解题的关键是了解交换一个命题的题设和结论即可得到这个命题的
逆命题．
20．（2022•宜昌）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，则∠ACB的大小
是 ．
思路引领：过点C作CF∥AD，根据平行线的性质，求得∠ACF与∠BCF，再由角的和差可得答案．解：过点C作CF∥AD，如图，
∵AD∥BE，
∴AD∥CF∥BE，
∴∠ACF＝∠DAC，∠BCF＝∠EBC，
∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝∠DAC+∠EBC，
由C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，得
∠DAC＝50°，∠CBE＝35°．
∴∠ACB＝50°+35°＝85°，
故答案为：85°．
总结提升：本题考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质得出得出∠ACF＝50°，∠BCF＝35°
是解题关键．
21．（2022•台州）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，则阴
影部分的面积为 cm2．
思路引领：根据平移的性质得出阴影部分的面积等于四边形BB'C'C的面积解答即可．
解：由平移可知，阴影部分的面积等于四边形BB'C'C的面积＝BC×BB'＝4×2＝8（cm2），
故答案为：8．
总结提升：本题考查了四边形的面积公式和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平
移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
22．（2022•湖州）命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b．”的逆命题是 ．
思路引领：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．解：命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b．”的逆命题是如果a＝b，那么|a|＝|b|，
故答案为：如果a＝b，那么|a|＝|b|．
总结提升：本题考查的是逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而
第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命
题的逆命题．
三．解答题（共1小题）
23．（2022•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC．
思路引领：（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAD；
（2）根据角平分线的定义求出∠DAE，根据平行线的性质求出∠AEB，得到∠AEB＝∠BCD，根据平行
线的判定定理证明结论．
（1）解：∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝80°，
∴∠BAD＝100°；
（2）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝50°，
∵∠BCD＝50°，
∴∠AEB＝∠BCD，
∴AE∥DC．
总结提升：本题考查的是平行线的判定和性质、角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
