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第五章 相交线与平行线 达标检测
一、单选题：
1．在下列四个图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平移的性质逐项进行判断，即可得出答案．
【详解】解：A、是轴对称图形，不能用平移变换来分析其形成过程，故A不符合题意；
B、不能用平移变换来分析其形成过程，故B不符合题意；
C、能用平移变换来分析其形成过程，故C符合题意；
D、不能用平移变换来分析其形成过程，故D不符合题意；
故答案为：C．
【点睛】此题考查了图形的平移变换，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
2．如图，现要从村庄 修建一条连接公路 的最短小路，过点 作 于点 ，沿修建公路，则这
样做的理由是（ ）
A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短
C．过一点可以作无数条直线 D．两点确定一条直线
【答案】A
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可．
【详解】解：∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过点 作 于点 ，这样做的理由是垂线段最短．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
3．在下图中， 和 是同位角的是（ ）A．（1）、（2） B．（1）、（3） C．（2）、（3） D．（2）、（4）
【答案】B
【分析】根据同位角的特征：两条直线被第三条直线所截形成的角中，两个角都在两条被截直线的同侧，
并且在第三条直线（截线）的同旁，由此判断即可．
【详解】解：①∠1和∠2是同位角；
②∠1的两边所在的直线没有任何一条和∠2的两边所在的直线公共，∠1和∠2不是同位角；
③∠1和∠2是同位角；
④∠1的两边所在的直线没有任何一条和∠2的两边所在的直线公共，∠1和∠2不是同位角．
故选：B．
【点睛】本题考查三线八角中的某两个角是不是同位角，同位角完全由两个角在图形中的相对位置决定．
在复杂的图形中判别同位角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即
为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形．
4．如图，在下列给出的条件中，不能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的判定逐项判断即可得．
【详解】解：A． ，根据内错角相等，两直线平行能判定 ，则此项不符合题意；
B． ，根据同位角相等，两直线平行能判定 ，不能判定 ，则此项符合题意；
C． ，根据同位角相等，两直线平行能判定 ，则此项不符合题意；
D． ，根据同旁内角互补，两直线平行能判定 ，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．5．如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝60°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．50°
【答案】A
【分析】根据三角形的内角和得 ，求出∠B得度数，再利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握三角形内角和为180°是解题的关键．
6．如图，将矩形纸带ABCD沿直线EF折叠，A，D两点分别与 ， 对应．若 ，则 的
度数为（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°
【答案】C
【分析】如图，由折叠的性质可知 ，根据两直线平行，内错角相等可得 ，再由 ，
，可得 ，即可求得 ，所以 ．
【详解】解：如图，由折叠的性质可知 ，∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
即 ，
∴
故选：C
【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质，熟知折叠的性质及平行线的性质是解决问题
的关键．
7． 、 、 是直线 上的三点， 是直线 外一点，且 ， ， ．由此可知，
点 到直线 的距离是（ ）
A． B．不小于 C．不大于 D．在 与 之间
【答案】C
【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短”进行解答．
【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离≤PA，
即点P到直线l的距离不大于5cm，
∴点P到直线l的距离不可能是在6cm与8cm之间．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
8．如图所示，l∥l，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为( )
1 2A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
【分析】首先过点A作AB∥l，由l∥l，即可得AB∥l∥l，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可
1 1 2 1 2
求得∠4与∠5的度数，又由平角的定义，即可求得∠3的度数．
【详解】解：
过点A作AB∥l，
1
∵l∥l，
1 2
∴AB∥l∥l，
1 2
∴∠1+∠4=180 ,∠2+∠5=180 ，
∵∠1=105 ,∠2=140 ，
∴∠4=75 ,∠5=40 ，
∵∠4+∠5+∠3=180 ，
∴∠3=65 .
故选：C.
【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.
9．如图，已知AB∥CD, EF∥CD，则下列结论中一定正确的是( )
A．∠BCD= ∠DCE; B．∠ABC+∠BCE+∠CEF=360 ;
C．∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD; D．∠ABC+∠BCE -∠CEF=180 .
【答案】D
【详解】分析：根据平行线的性质，找出图形中的同旁内角、内错角即可判断.
详解：延长DC到H
∵AB∥CD，EF∥CD∴∠ABC+∠BCH=180°
∠ABC=∠BCD
∠CE+∠DCE=180°
∠ECH=∠FEC
∴∠ABC+∠BCE+∠CEF=180°+∠FEC
∠ABC+∠BCE -∠CEF=∠ABC+∠BCH+∠ECH-∠CEF=180°.
故选D.
点睛：此题主要考查了平行线的性质，关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同旁内角互
补，同位角相等.
10．如图，已知 ， 平分 ， ， ．若 ，给出下列结论：①
；② 平分 ；③ ；④ ．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解析： （已知）
（两直线平行，同旁内角互补）
∴ （两直线平行，内错角相等）
∵ 平分 （已知）
∴ （角平分线的定义）
∵ （已知），
∴ （垂直的定义），∴
∴ 即 平分
∵ （已知），
∴ （垂直的定义），
∴ ，
∴
， ，所以④错误；
故答案为：C．
二、填空题：
11．把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：_____________．
【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
【分析】找到命题的条件和结论进行改写即可．
【详解】根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
【点睛】本题考查了命题的特点，解题的关键是“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
12．如图所示，请你填写一个适当的条件：_____，使AD∥BC．
【答案】∠FAD=∠FBC（答案不唯一）
【详解】根据同位角相等，两直线平行，可填∠FAD=∠FBC；
根据内错角相等，两直线平行，可填∠ADB=∠DBC；
根据同旁内角互补，两直线平行，可填∠DAB+∠ABC=180°．
故答案为：∠FAD=∠FBC；或∠ADB=∠DBC；或∠DAB+∠ABC=180°．
13．如图所示，为了把三角形 平移到三角形 ，可以先将三角形 向右平移____________格，
再向上平移____________格．【答案】 5 3
【分析】根据平移的性质解答即可．
【详解】解：由图可知，先将三角形 向右平移5格，再向上平移3格，可以得到三角形 ，
故答案为：5，3．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移性质．
14．如图，直线 、 相交于点 ， ， 为垂足，如果 ，则 ________，
________．
【答案】
【分析】根据对顶角相等可知 ，根据余角的定义求得 ，根据邻补角的定义求得
．
【详解】 ， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂线定义的理解，对顶角相等，求一个角的余角，求一个角的补角，掌握以上知识是
解题的关键．
15．把一张对边互相平行的纸条（AC′//BD′）折成如图所示，EF是折痕，若折痕EF与一边的夹角
∠EFB=32°，则∠AEG=____．【答案】116°
【分析】由折叠可得到∠GEF=∠C′EF，由平行可得∠C′EF=∠EFB，可求得∠C′EG，再根据平行线的性质
和邻补角的性质可求得∠AEG．
【详解】解：由折叠的性质可得∠GEF=∠C′EF，
∵AC′//BD′，
∴∠C′EF=∠EFB=32°，
∴∠C′EG=2∠C′EF=64°，
∴∠AEG=180°-∠C′EG=180°-64°=116°，
故答案为116°
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行内错角相等及折叠的性质是解题的关键．
16．某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种红色地毯的售价为每平方米32
元，主楼道宽2米，其侧面与正面如图所示，则购买地毯至少需______元．
【答案】512元
【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地
毯的钱数可求．
【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个长方形，长宽分别为5米，3米，∴
地毯的长度为5＋3＝8(米)，
∴地毯的面积为8×2＝16(平方米)，
∴买地毯至少需要16×32＝512(元)
【点睛】本题考查平移性质的实际运用．解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到
一条直线上进行计算．
17．如图，已知 ， 平分 ， 平分 ， ， ，则 的度数为_______．
【答案】55°##55度
【分析】先根据角平分线的定义，得出∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，∠ADE＝∠CDE＝ ∠ADC，再根据
三角形内角和定理，推理得出∠BAD＋∠BCD＝2∠E，进而求得∠E的度数．
【详解】解：∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，∠ADE＝∠CDE＝ ∠ADC，
∵∠ABE＋∠BAD＝∠E＋∠ADE，∠BCD＋∠CDE＝∠E＋∠CBE，
∴∠ABE＋∠BAD＋∠BCD＋∠CDE＝∠E＋∠ADE＋∠E＋∠CBE，
∴∠BAD＋∠BCD＝2∠E，
∵∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，
∴∠E＝ （∠BAD＋∠BCD）＝ （70°＋40°）＝55°．
故答案为：55°．
【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角相等的性质，熟练掌握性质和定理是解题
的关键．
18．已知一个角的两边分别和另一个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的 倍少 ，这两个角的
度数分别是______．
【答案】 ， 或 ，
【分析】根据两个角的两边分别平行可知这两个角相等或互补，再根据一个角比另一个角的 倍少 ，
设未知数建立方程求解即可．
【详解】解：设这两个角的度数分别是 和 ，
两个角的两边分别平行，
或 ．
一个角比另一个角的 倍少 ，
可设当 ， ，
解得： ， ；
当 ， ，
解得： ， ．
故答案为： ， 或 ， ．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是熟知两个角的两边分别平行时这两个角相等或互补．
19．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．
【答案】y=90°-x+z．
【分析】作CG//AB，DH//EF，由AB//EF，可得AB//CG//HD//EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，
∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可证∠y=∠z+90°-∠x即可．
【详解】解：作CG//AB，DH//EF，
∵AB//EF，
∴AB//CG//HD//EF，
∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z
∵∠BCD＝90°
∴∠1+∠2=90°，
∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，
∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，
∴∠y=∠z+90°-∠x．
即y=90°-x+z．【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键．
20．如图，已知AB∥CD,∠EAF = ∠EAB,∠ECF= ∠ECD ,则∠AFC与∠AEC之间的数量关系是
_____________________________
【答案】4∠AFC=3∠AEC
【详解】【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出
∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），求出∠AEC=4（x°+y°），∠AFC═3（x°
+y°），即可得出答案．
【详解】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠CAE+4x°+∠ACE+4y°=180°，
∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），∠FAC+∠FCA=180°-（3x°+3y°），
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-[180°-（4x°+4y°）]
=4x°+4y°
=4（x°+y°），
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（3x°+3y°）]
=3x°+3y°=3（x°+y°），
∴∠AFC= ∠AEC，
即：4∠AFC=3∠AEC，
故正确答案为：4∠AFC=3∠AEC.
【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．
三、解答题：
21．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．
（1）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；
（2）内错角相等；
（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
【答案】（1）题设：如果两个角的和等于平角时，结论：那么这两个角互为补角；是真命题；（2）题设：
如果两个角是内错角，那么这两个角相等；是假命题，反例见解析；（3）题设：如果两条平行线被第三
条直线所截，结论：那么内错角相等．是真命题．
【分析】（1）根据将命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论
可得题设和结论，根据平角的定义可得该命题是真命题；
（2）根据将命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论可得题设
和结论，根据平行线的性质可得该命题是假命题；利用相交直线被第三条直线所截，内错角不相等可举反
例；
（3）根据将命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论可得题设
和结论，根据平行线的性质可得该命题是真命题；．
【详解】（1）题设：如果两个角的和等于平角，结论：那么这两个角互为补角；是真命题；
（2）题设：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；是假命题，如图∠1与∠2是内错角，∠2＞∠1；（3）题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么内错角相等．是真命题．
【点睛】本题考查了命题与定理的相关知识．将命题写成“如果…，那么…”的形式，就是要明确命题的
题设和结论，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论．关键是明确命题与定理的组成部分，会判断命
题的题设与结论．
22．如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，空白的部分种上各种花草．
（1）求种花草的面积；
（2）若空白的部分种植花草共花费了4620元，则每平方米种植花草的费用是多少元？
【答案】（1）种花草的面积为42平方米；（2）每平方米种植花草的费用是110元
【分析】（1）将道路直接平移到矩形的边上，进而根据长方形的面积公式得出答案；
（2）根据（1）中所求，代入计算即可得出答案．
【详解】解：（1）
（平方米）
答：种花草的面积为42平方米；
（2） （元）
答：每平方米种植花草的费用是110元．
【点睛】此题考查了生活中的平移现象，解题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有道路平移到矩形
的边上进行计算．
23．填空并在括号内加注理由．
如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B．请补充说明
过程，并在括号内填上相应的理由．解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90° （ ），
∴EF∥AD（ ），
∴ +∠2＝180°（ ）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（ ），
∴AB∥ （ ），
∴∠GDC＝∠B（ ）．
【答案】垂直定义；同位角相等，两直线平行；∠1；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等或等
量代换； DG；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【分析】根据平行线的性质与判定填空完成证明过程即可
【详解】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90° （垂直定义），
∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行），
∴∠1 +∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（同角的补角相等或等量代换），
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠GDC＝∠B（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：垂直定义；同位角相等，两直线平行；∠1；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等或
等量代换； DG；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
24．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．(1)∠1与∠2有什么关系，为什么？
(2)BE与DF有什么关系？请说明理由．
【答案】(1) ，理由见解析
(2) ，理由见解析
【分析】（1）根据四边形的内角和，可以得到∠ABC+∠ADC＝180°，再根据角平分线的性质即可得出．
（2）由互余可得∠1＝∠DFC，再根据平行线的判定即可得出．
【详解】（1） ．
∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠1＝∠ABE，∠2＝∠ADF．
∵∠A＝∠C＝90°．
∴∠ABC+∠ADC＝180°．
∴ ．
∴∠1+∠2＝90°．
（2） ．理由如下：
在 中，∵∠C＝90°．
∴∠DFC+∠2＝90°．
∵∠1+∠2＝90°．
∴∠1＝∠DFC．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键在于注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
25．如图，EF//AD，AD//BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．【答案】20°
【分析】推出EF∥BC，根据平行线性质求出∠ACB，求出∠FCB，根据角平分线求出∠ECB，根据平行
线的性质推出∠FEC＝∠ECB，代入即可．
【详解】∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥BC，
∴∠ACB＋∠DAC＝180°，
∵∠DAC＝120°，
∴∠ACB＝60°，
又∵∠ACF＝20°，
∴∠FCB＝∠ACB−∠ACF＝40°，
∵CE平分∠BCF，
∴∠BCE＝20°，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠ECB，
∴∠FEC＝20°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，平行公理及推论，注意：平行线的性质有①两直线平行，同位
角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
26．已知，直线 ，点 为平面上一点，连接 与 ．
（1）如图1，点 在直线 、 之间，当 ， 时，求 ．
（2）如图2，点 在直线 、 之间 左侧， 与 的角平分线相交于点 ，写出与 之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点 落在 下方， 与 的角平分线相交于点 ， 与 有何数量关系？
并说明理由．
【答案】（1） ；（2） ，见详解；（3） ，见详解
【分析】（1）过点P作 ，根据平行线的性质得到 ，再根据
计算即可；
（2）过K作 ，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出 与 的数量关系；
（3）过K作 ，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出 与 的数量关系．
【详解】（1）（如图1，过点P作
∵∴
（2）
如图2，过K作
∵
∴
过点P作
同理可得
与 的角平分线相交于点K
（3）
如图3，过K作∵
∴
过点P作
同理可得
与 的角平分线相交于点K
【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出平行线构造内错角相等计算．
