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专题4.23 双（多）角平分线模型（专项练习）
图一 图二 图三
结论：双角平分线夹角：一条射线把一个角分成两个角，得
到三个角，任意两个角的平分线所形成的角等于第三个角的一
半。
一、单选题
1．如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分 和 ．若
，则 的度数为（ ）A．145° B．120° C．90° D．75°
2．如图，已知射线OB，OM，ON在 内部，OM平分 ，ON平分 .
若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，∠AOB=120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，
∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（ ）
A．∠DOE的度数不能确定 B．∠AOD= ∠EOC
C．∠AOD+∠BOE=60° D．∠BOE=2∠COD
4．如图，已知 平分 ， 平分 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ， ，OE平分 ，OF平分 ，则
（ ）
A．50° B．50°或者10° C．50°或者20° D．100°或者20°
6．如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，∠AOE＝m°，∠EOF＝
90°，OM，ON分别平分∠AOE和∠BOF，下面说法：①点E位于点O北偏西m°的方向上；
②点F位于点O北偏东m°的方向上；③∠MON＝135°，其中正确的有（ ）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．把一副三角板ABC与BDE按如图所示的方式拼接在一起，其中A、D、B三点在同
一条直线上，BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线．下列结论
①∠MBN=45o，②∠BNE=∠BMC，③∠EBN=65o，④2∠NBD=∠CBM，其中结论正确的个
数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知 ，OC为一射线，OM，ON分别平分∠BOC和∠AOC，则∠MON
是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
9．如图，已知 的顶点 在直线 上， 平分 ， 平分 ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图， ， 为 外的一个锐角，且 ，射线
平分 ， 平分 ，则 的度数为（ ）．A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，已知 ， 平分 ， ， 平分 ，则
的度数是_________．
12．如图，已知 是直角， ，OE平分 ，OF平分 ，那
么 ______ ．
13．已知 ， ，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD
的度数是______．
14．如图，点O在直线AB上，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，若
∠COM=4∠CON，则∠COM的度数为 ______．15．已知 ，射线 在 内部，且 ， ，射线
、 分别平分 、 ，则 的度数是_____．
16．如图，∠AOB＝90°，OC是∠AOB里任意一条射线，OD，OE分别平分∠AOC，
∠BOC，则∠DOE＝_____．
17．如图， 、 是 内的两条射线， 平分 ， 平分 ，若
， ，则 _______°（用含m、n的代数式表示）．
18．把一副三角尺按如图所示拼在一起，如图，其中B，C，D三点在同一条直线上，
∠ACB=45°，∠DCE=60°．
（1）若CM和CN分别平分∠ACB和∠DCE，如图1，则∠MCN的度数为
___________；
（2）若CM平分∠BCE，CN平分∠DCA，如图2，则∠MCN的度数为___________．
三、解答题
19．如图，OB是 的平分线，OD是 的平分线．
(1) 若 ， ，那么 是多少度？
(2) 若 ， ，那么 是多少度？20．如图，已知 ， 平分 ， 平分 ．
(1) 若 ，求 的度数；
(2) 若 是 内任意一条射线，求 的度数．
21．如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求
∠AOC和∠COB的度数．
22．如图1，射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠AOB=150°，∠COD=30°，射线
OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC．
（1）若∠AOC=60°，试通过计算比较∠NOD和∠MOC的大小；（2）如图2，若将图1中∠COD在∠AOB内部绕点O顺时针旋转．
①旋转过程中∠MON的大小始终不变．求∠MON的值；
②如图3，若旋转后OC恰好为∠MOA的角平分线，试探究∠NOD与∠MOC的数量
关系．
23．已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分
∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）
（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，
①当α=0°时，如图1，则∠POQ= ；
②当α=80°时，如图2，求∠POQ的度数；
③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；
（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ= ，（请用含m、n的代数式
表示）．24．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使 ．将一直角
三角板的直角顶点放在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一直角边ON在直线AB的
下方．
(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在 的内部，且恰好平
分 ．问：此时直线ON是否平分 ？请说明理由．
(2)将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，
第n秒时，直线ON恰好平分 ，则n的值为______（点接写结果）
(3)若图1中的三角板绕点O旋转至图3，使ON在 的内部时，
的度数是多少？参考答案
1．C
【分析】根据OD，OE分别平分 和 ，得出 ，
，从而得出 ．
解：∵OD，OE分别平分 和 ，
∴ ， ，
∴
，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，根据得出
，是解题的关键．
2．C
【分析】由OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求出∠NOM＝ ∠AOD，进而可求
∠AOM．
解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠NOB＝ ∠DOB，∠BOM＝ ∠BOA，
∴∠NOB＋∠BOM＝ ∠DOB＋ ∠BOA＝ （∠DOB＋∠BOA）＝ ∠AOD，
∴∠MON＝ ∠AOD＝ ×156°＝78°，∴∠AOM＝∠AOD－∠DON－∠MON＝156°－48°－78°＝30°，
故选：C．
【点拨】本题主要考查角平分线的定义以及角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义
以及角的和差关系是解决本题的关键．
3．C
【分析】依据OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，即可得出
∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°，结合选项得出正确结论．
解：∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，
∴∠AOD=∠COD，∠EOC=∠BOE．
又∵∠AOD+∠BOE+∠EOC+∠COD=∠AOB=120°，
∴∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°．
故选C．
【点拨】本题考查了角的平分线的性质，理解角平分线将角分成相等的两部分是解题
的关键．
4．B
【分析】根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论．
解：∵OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，
∴∠AOD＝2∠DOM、∠BOC＝2∠NOC，
又∵∠AOB＝∠AOD+∠BOC﹣∠COD，
∴∠AOB＝2∠DOM+2∠NOC﹣∠COD，
即∠AOB＝2（∠DOM+∠NOC）﹣∠COD，
∵∠AOB＝140°，∠COD＝40°，
∴∠DOM+∠NOC＝90°，
则∠MON＝∠DOM+∠NOC﹣∠COD＝50°，
故选：B．
【点拨】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
5．B
【分析】根据题意画出图形，分OC在∠AOB外部或内部两种情况分别计算即可．
解：如图，当OC在∠AOB外部时，∵∠AOB＝60°，∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝100°，
∵OE平分∠AOB，OF平分∠AOC，
∴∠AOE＝ ∠AOB＝30°，
∠AOF＝ ∠AOC＝20°，
∴∠EOF＝∠AOF＋∠AOE＝50°；
如图，当OC在∠AOB内部时，
∵OE平分∠AOB，OF平分∠AOC，
∴∠AOE＝ ∠AOB＝30°，
∠AOF＝ ∠AOC＝20°，
∴∠EOF＝∠AOE−∠AOF＝30°−20°＝10°；
综上所述，∠EOF＝50°或10°，
故选：B．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，角的计算，体现了分类讨论的数学思想，根据
题意画出两种图形是解题的关键，不要漏解．6．B
【分析】观察方向图形，根据方向角解答即可．
解：①点E位于点O北偏西（90﹣m）°的方向上，原结论错误；
②∵∠AOE+∠EOD=90°，∠DOF+∠EOD=90°，
∴∠DOF=∠AOE＝m°，
∴点F位于点O北偏东m°的方向上，原结论正确；
③∵∠AOE+∠BOF=90°，OM，ON分别平分∠AOE和∠BOF，
∴∠MOE+∠NOF=45°，
∴∠MON＝135°，原结论正确；
其中正确的有2个．
故选：B．
【点拨】此题考查的知识点是方向角，角平分线的性质，解题关键是明确方向角的意
义，熟练运用角平分线和余角的性质推导角的关系．
7．C
【分析】根据三角板中角的度数及角平分线的概念逐个进行分析判断．
解：由题意可得： ， ，
∴ ，
∵BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线，
∴ ， ，故③错误；
∴∠MBN= =45o，故①正确；
∠BNE=180°- =60°，
∠BMC=90°- =60°，
∴∠BNE=∠BMC，故②正确；
，
∴2∠NBD=∠CBM，故④正确；
正确的是①②④，共3个，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，利用角平分线的定义计算角的度数是解答
此题的关键．
8．C
【分析】分射线OC在∠AOB内部和外部两种情况，讨论求解即可得到答案.解：当射线OC在∠AOB内部时，如图所示
∵OM，ON分别平分∠BOC和∠AOC
∴∠AON=∠NOC，∠COM=∠BOM
又∵∠AOB=90°
∴2（∠NOC+∠COM）=90°
∴∠MON=∠NOC+∠COM=45°
当射线OC在∠AOB外部时，∠COB为锐角时
∵OM，ON分别平分∠BOC和∠AOC
∴∠AON=∠NOC，∠COM=∠BOM
又∵∠AOB=90°
∴∠AON+∠NOB=90°
∴∠NOB+∠BOM+∠MOC+∠NOB =90°
∴∠NOB+∠BOM=45°
∴∠MON=45°
当射线OC在∠AOB外部时，∠COB为直角时
此时ON与OB重合，
∵OM，ON分别平分∠BOC和∠AOC
∴∠MON=45°当射线OC在∠AOB外部时，∠COB为钝角时
∵∵OM，ON分别平分∠BOC和∠AOC
∴∠AON=∠NOC，∠COM=∠BOM
又∵∠AOB=90°
∴∠AOC+∠BOC=360°-90°=270°
∴∠AON+∠NOC+∠COM+∠BOM=270°
∴∠NOC+∠COM=135°
∴∠MON=135°
当射线OC在∠AOB外部时，∠COB为平角时
同理可以求得∠MON=135°
综上所述，∠MON=45°或∠MON=135°
故选C.
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的
定义.9．D
【分析】运用角平分线的定义算出∠FOE=2∠COF，再由∠COE为直角，可求出
∠COF的度数，再求出∠AOF的度数，最后可求得∠BOE的度数．
解：∵ 平分
∴∠AOF=∠FOE
∵ 平分
∴∠AOF=2∠COF
∴∠FOE=2∠COF
又∠COE是直角
∴
∴∠AOF=∠FOE=60°
∴
故选：D．
【点拨】此题考查角平分线的定义和角的有关运算．发现组成RT∠COE的两个角：
∠FOE=2∠COF是解决问题的关键．
10．A
【分析】根据题意，先求得∠COB的值；OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，则可求
得∠AOM、∠AON的值；∠MON=∠AOM+∠AON，计算得出结果．
解：∵∠AOB=90°，且∠AOC=40°，
∴∠COB=∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，
∵OM平分∠BOC，
∴∠BOM= ∠BOC=65°，
∴∠AOM=∠AOB-∠BOM=25°，
∵ON平分∠AOC，
∴∠AON= ∠AOC=20°，
∴∠MON=∠AOM+∠AON=45°．
∴∠MON的度数是45°．
故选：A．
【点拨】本题考查了余角的计算，角的计算，角平分线的定义．首先确立各角之间的关系，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化是解题的关键．
11． ##75度
【分析】根据角平分线得出∠AOC=∠BOC=45°，结合题意得出∠BOD=15°，再由角平
分线及各角的关系求解即可．
解：∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠BOC=45°
∵∠COD=60°
∴∠BOD=15°
∵OD平分∠BOE
∴∠BOE=30°
∴∠COE=∠BOE+∠BOC=75°
故答案为：75°．
【点拨】题目主要考查角平分线的计算，理解题意，找准图中各角之间的关系是解题
关键．
12．45
【分析】先计算出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义得到∠FOC，∠EOC度数，
然后求它们的差即可．
解：解∵∠AOB是直角，∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°．
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠EOC ∠AOC=75°，∠FOC ∠BOC=30°，
∴∠EOF=∠EOC﹣∠FOC=45°．
故答案为：45．
【点拨】本题考查了角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两
个角的射线叫做这个角的平分线．
13． 或 ##25°或45°
【分析】分① 在 的外部，② 在 的内部两种情况，利用角平分线的
定义、角的和差进行求解即可得．
解：由题意，分以下两种情况：
①如图，当 在 的外部时，平分 ，且 ，
，
同理可得： ，
则 ；
②如图，当 在 的内部时，
同理可得： ， ，
则 ；
综上， 的度数是 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了与角平分线有关的计算，正确分两种情况讨论是解题关键．
14．72°##72度
【分析】利用平角、角平分线的性质，可求得∠MON的度数，由∠COM=4∠CON，得
关于∠COM的方程，求解即可．
解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠COM= ∠AOC，∠CON= ∠COB，
∵∠AOC+∠COB=180°，
∴∠COM+∠CON=90°，∵∠COM=4∠CON，
∴∠COM+ ∠COM=90°，
即 ∠COM=90°，
∴∠COM=72°，
故答案为：72°．
【点拨】本题考查了角平分线的性质、平角的定义及一元一次方程方程的解法．利用
平角是180°、角平分线的性质，得∠MON=90°是解决本题的关键．
15． 或 ##55°或5°
【分析】先根据角的和差可得 ，再根据角平分线的定义可得
的度数，然后分射线 在 的内部和射线 在 的外部两种情
况，分别根据角的和差即可得．
解： ，射线 在 内部，且 ，
，
射线 、 分别平分 、 ，且 ，
，
①如图，当射线 在 的内部时，
则 ；
②如图，当射线 在 的外部时，
则 ；
综上， 的度数是 或 ，故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了与角平分线有关的计算，正确分两种情况进行讨论是解题关键．
16．45°##45度
【分析】由角平分线的定义得到 ， ，再由
∠AOB=90°，得到∠AOC+∠BOC=90°，则∠DOE=∠DOC+∠EOC=
．
解：∵OD，OE分别平分∠AOC，∠BOC，
∴ ， ，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOC=90°，
∴∠DOE=∠DOC+∠EOC= ，
故答案为：45°．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键．
17．
【分析】由角平分线的定义可得 ，结合
可求解．
解： 平分 ， 平分 ，故答案为： ．
【点拨】本题主要考查角的平分线，角的计算，灵活运用角的平分线的定义是解题的
关键．
18． 52.5°
【分析】(1)利用角平分线的定义求出∠ACM 、∠ECN，可得结论；
(2)利用角平分线的定义求出∠BCM 、∠CAN，可得结论．
解：（1） CM和CN分别平分∠ACB和∠DCE ，∠ACB=45°，∠DCE=60°
∴ ，
∴ .
（2） ，
∴ ，
CM平分∠BCE
∴
∴
同理 则
∴ .
【点拨】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运
用所学知识解决问题．
19．(1)50°(2)35°
解：（1）OB是 的平分线，
∴ ；
∵OD是 的平分线，∴ ，
∴ ；
（2）OB是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∵OD是 的平分线，
∴ ．
20．(1) (2)
【分析】根据 平分 ， 平分 ，可得 ，
．从而得到 ．进而得到
．即可求解；
（2）根据 平分 ， 平分 ，可得 ，
．从而得到 ．即可求解．
（1）解：因为 平分 ， 平分 ，
所以 ， ．
因为 ，
所以 ．
所以 ．
所以 ．
（2）解：因为 平分 ， 平分 ，
所以 ， ．
因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．【点拨】本题主要考查了有关角平分线的计算，根据题意，准确得到角与角之间的数
量关系是解题的关键．
21．120°，30°
【分析】先根据角平分线，求得 的度数，再根据角的和差关系，求得 的
度数，最后根据角平分线，求得 、 的度数．
解：∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°
∴∠BOE=∠AOB =45°
又∵∠EOF=60°
∴∠BOF=∠EOF－∠BOE= 15°
又∵OF平分∠BOC
∴∠BOC=2∠BOF=30°
∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=120°
故∠AOC=120°，∠COB=30°．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，根据角的和差关系进行计算是解题的关键
注意：也可以根据 的度数是 度数的2倍进行求解．
22．（1） ；（2）① ；② ．
【分析】（1）先根据角的和差求出 和 的度数，再角平分线的定义可得
和 的度数，然后根据角的和差即可得；
（2）①先根据角的和差可得 ，再根据角平分线的定义可得
，然后根据角的和差即可得；
②设 ，先根据角平分线的定义可得
，再根据 建立方程可求出 ，
从而可得 ，然后根据角的和差、角平分线的定义可得 ，从而可得
，由此即可得．
解：（1） ，
，
射线OM，ON分别平分 ， ，
，
，；
（2）① ，
，
射线OM，ON分别平分 ， ，
，
②设 ，
是 的角平分线，
，
射线OM平分 ，
，
，
，
解得 ，
，
，
射线ON平分 ，
，
，
．
【点拨】本题考查了角平分线的定义、角的和差等知识点，熟练掌握角平分线的定义
是解题关键．23．（1）①50°；②50°；③130°；（2） m°+ n°或180°- m°- n°
【分析】（1）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论．
解：（1）①∵∠AOB=60°，∠COD=40°，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，
∴∠BOP= ∠AOB=30°，∠BOQ= ∠COD=20°，
∴∠POQ=50°，
故答案为：50°；
②解：∵∠AOB=60°，∠BOC=α=80°，
∴∠AOC=140°，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC= ∠AOC=70°，
∵∠COD=40°，∠BOC=α=80°，
且OQ平分∠BOD，
同理可求∠DOQ=60°，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=20°，
∴∠POQ=∠POC-∠COQ=70°-20°=50°；
③解：补全图形如图3所示，
∵∠AOB=60°，∠BOC=α=130°，
∴∠AOC=360°-60°-130°=170°，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC= ∠AOC=85°，
∵∠COD=40°，∠BOC=α=130°，且OQ平分∠BOD，
同理可求∠DOQ=85°，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=85°-40°=45°，
∴∠POQ=∠POC+∠COQ=85°+45°=130°；
（2）当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图2，
∴∠AOC= m°+ °，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC= (m°+ °)，
同理可求∠DOQ= (n°+ °)，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC= (n°+ °)- n°= (-n°+ °)，
∴∠POQ=∠POC-∠COQ= (m°+ °)- (-n°+ °)
= m°+ n°，
当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图3，
∵∠AOB=m°，∠BOC=α，
∴∠AOC=360°-m°- °，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC= ∠AOC=180° (m°+ °)，
∵∠COD=n°，∠BOC=α，
且OQ平分∠BOD，
同理可求∠DOQ= (n°+ °)，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC= (n°+ °)-n°= (-n°+ °)，∴∠POQ=∠POC+∠COQ=180° (m°+ °)+ (-n°+ °)
=180°- m°- n°，
综上所述，若∠AOB=m°，∠COD=n°，则∠POQ= m°+ n°或180°- m°- n°．
故答案为： m°+ n°或180°- m°- n°．
【点拨】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
24．(1)平分，理由见分析(2)10或40(3)30°
【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；
（2）由∠BOC＝120°可得∠AOC＝60°，则∠BON＝30°，即旋转60°或240°时ON平
分∠AOC，据此求解；
（3）因为∠MON＝90°，∠AOC＝60°，所以∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣
∠AON，然后作差即可．
(1)解：（1）直线ON平分∠AOC．理由：
设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠MOB，
又∵OM⊥ON，
∴∠MOD＝∠MON＝90°，
∴∠COD＝∠BON，
又∵∠AOD＝∠BON（对顶角相等），
∴∠COD＝∠AOD，
∴OD平分∠AOC，
即直线ON平分∠AOC；(2)解：由（1）得，∠BOM＝60°时，直线ON恰好平分 ，
即旋转60°时，ON平分∠AOC，
再旋转180°即旋转240°时，ON平分∠AOC，
由题意得，6n＝60°或6n＝240°，
∴n＝10或40；
故答案为：10或40；
(3)解：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之
间的关系，是解题的关键．
