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专题03 由垂直求角
【例题讲解】
如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．
(1)若∠AOF＝50°，求∠BOE的度数；
(2)若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数．
解（1）解：∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，∵∠AOF=50°，∴∠AOC=40°，
∴∠BOC=140°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE= ∠BOC=70°；
（2）解：∠BOD：∠BOE=1：4，
设∠BOD=∠AOC=x，∠BOE=∠COE=4x．
∵∠AOC与∠BOC是邻补角，∴∠AOC+∠BOC=180°，即x+4x+4x=180°，
解得x=20°．∵∠AOC与∠AOF互为余角，∴∠AOF=90°-∠AOC=90°-20°=70°．
【综合解答】
1．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE．
(1)判断OF与OD的位置关系，并说明理由；
(2)若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
【答案】(1)OF⊥OD，理由见解析；
(2)∠EOF＝60°
【分析】（1）利用角平分线的定义结合已知求出∠FOD＝90°即可得出答案；（2）求出∠AOC的度数，再利用对顶角的性质和角平分线的定义求出∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝
30°，进而得出∠EOF的度数．
（1）
解：OF⊥OD，
理由：∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠FOE，
∵∠DOE＝∠BOD，
∴∠AOF＋∠BOD＝∠FOE＋∠DOE＝ ×180°＝90°，即∠FOD＝90°，
∴OF与OD的位置关系是OF⊥OD；
（2）
∵∠AOC：∠AOD＝1：5，
∴∠AOC＝ ×180°＝30°，
∴∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠EOF＝ ∠AOE＝60°．
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的性质，正确得出各角之间的关系是解题关
键．
2．如图，AB交CD于O，OE⊥AB．
(1)若∠EOD＝30°，求∠AOC的度数；
(2)若∠EOD：∠EOC＝1：3，求∠BOC的度数．
【答案】(1)60°
(2)135°
【分析】(1) 利用垂直定义和对顶角的性质可得答案；
(2) 设∠EOD=a，∠EOC=3a，利用邻补角互补可得方程，然后解出a的值，进而可得∠AOD的度数，再利用对顶角的性质可得答案．
（1）
解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC＋∠AOE＋∠DOE＝180°，∠EOD＝30°，
∴∠AOC＝180°－∠AOE－∠DOE＝180°－90°－30°＝60°
（2）
设∠EOD＝α，
∵∠EOD：∠EOC＝1：3，
∴∠EOC＝3α，
∵∠EOD＋∠EOC＝180°，
∴α＋3α＝180°，
∴∠EOD＝α＝45°，
∴∠AOD＝∠AOE＋∠DOE＝135°
∵∠AOD与∠BOC为对顶角，
∴∠BOC＝∠AOD＝135°
【点睛】此题主要考查了垂线，以及对顶角，关键是掌握对顶角相等，理清图中角之间的关系．
3．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD．
(1)若∠EOF＝55°，OD⊥OF，求∠AOC的度数；
(2)若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，求∠DOE的度数．
【答案】(1)70°
(2)50°
【分析】（1）根据∠EOF＝55°，OD⊥OF，可知∠DOE＝35°，由于OE平分∠BOD，可知∠BOE
＝35°，即可得出答案；
（2）设∠DOE＝∠BOE＝x，可知x+15°+x+15°+x＝180°，解得：x＝50°．（1）
解：∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE，
∵∠EOF＝55°，OD⊥OF，
∴∠DOE＝35°，
∴∠BOE＝35°，
∴∠AOC＝70°；
（2）
∵OF平分∠COE，
∴∠COF＝∠EOF，
∵∠BOF＝15°，
∴设∠DOE＝∠BOE＝x，
则∠COF＝x+15°，
∴x+15°+x+15°+x＝180°，
解得：x＝50°，
故∠DOE的度数为：50°．
【点睛】本题主要考查的是角度的基础运算，利用角平分线以及垂直的性质进行计算是解题的关
键．
4．如图，直线 与 相交于点 ， 平分 ， 平分 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)111°
【分析】 利用角平分线的性质证明 ，从而证明
，再由 ，通过两角互余及等量代换可证明 ；利用对顶角相等和角平分线的性质可证明 ，再利用 、
即可求出．
（1）
∵ 平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
，
；
（2）
，
，
．
【点睛】本题考查的是角平分线、余角、对顶角等知识，解题的关键是熟练通过两角互余、对顶
角、角平分线的性质等相应关系进行角的代换解决问题．
5．如图，AB、CD相交于点O，OE⊥OF，∠BOF=2∠BOE，OC平分∠AOE．(1)求∠BOE的度数；
(2)求∠EOC的度数．
【答案】(1)30°
(2)75°
【分析】（1）根据OE⊥OF得到∠EOF＝90°，根据∠BOF＝2∠BOE得到3∠BOE＝90°，故可求解；
（2）先求出∠AOE，再根据OC平分∠AOE即可求解．
(1)
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∵∠BOF＝2∠BOE，
∴3∠BOE＝90°，
∴∠BOE＝30°，
(2)
∵∠BOE＝30°
∴∠AOE＝180°−∠BOE＝150°，
又∵OC平分∠AOE，
∴∠EOC＝ ∠AOE＝75°．
【点睛】本题利用垂直的定义，角平分线的定义以及角度的计算，要注意领会由垂直得直角这一
要点．
6．如图，OA⊥OB,∠BOC=50°，且∠AOD：∠COD=4:7，OE为∠BOC的平分线，求出∠DOE的度
数．
【答案】165°
【分析】设∠AOD=4x，∠COD=7x，根据题意列出方程即可求得∠COD=140°，然后根据角平分线的定义计算∠COE的度数，最后结合图形计算∠DOE的度数．
【详解】解： ∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∵∠AOD：∠COD=4：7，
∴设∠AOD=4x，∠COD=7x，
∵∠AOB+∠AOD+∠COD+∠BOC=360°，且∠BOC=50°，
∴90°+7x+4x+50°=360°，
∴x=20°，
∴∠COD=140°．
∵OE是∠BOC的角平分线，
∴∠COE= ∠BOC=25°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=165°．
∴∠DOE的度数为165°．
【点睛】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，根据题意列出关于x的一元一次方程是解答
此题的关键．
7．已知直线AB和CD相交于O点，射线OE⊥AB于O，射线OF⊥CD于O，且∠BOF＝25°，求
∠AOC与∠EOD的度数．
【答案】∠AOC＝115°，∠EOD＝25°
【分析】由OF⊥CD，得∠DOF =90°，根据条件可求出∠BOD的度数，即可得到∠AOC的度数；
由OE⊥AB，得∠BOE =90°，可以推出∠EOF和∠EOD的度数．
【详解】解：∵OF⊥CD，
∴∠DOF＝90°，
又∵∠BOF＝25°，
∴∠BOD＝∠DOF+∠BOF=90°+25°＝115°，
∴∠AOC＝∠BOD＝115°，又∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠BOF＝25°，
∴∠EOF＝∠BOE -∠BOF =65°，
∴∠EOD＝∠DOF﹣∠EOF＝90°－65°=25°．
【点睛】此题考查的知识点是垂线、角的计算及对顶角知识，关键是根据垂线的定义得出所求角
与已知角的关系．
8．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OG⊥OC．
（1）求证：∠COF＝∠EOG；
（2）若∠BOD＝32°，求∠EOG的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠EOG=16°．
【分析】（1）根据余角的性质即可求解；
（2）根据对顶角的定义，角平分线的定义，以及（1）的结论即可求解．
【详解】（1）证明：∵OF⊥OE，OG⊥OC，
∴∠FOE=∠COF+∠COE=90°，∠COG=∠EOG+∠COE=90°，
∴∠COF=∠EOG；
（2）解：∵∠BOD=32°，
∴∠BOC=180°-32°=148°，
∵OG⊥OC，OE平分∠BOC，
∴∠BOG=90°-∠BOD=90°-32°=58°，∠BOE=∠COE= ∠BOC=74°，
∴∠EOG=∠BOE-∠BOG=16°．
【点睛】本题考查了垂线，余角，对顶角，角平分线，解题的关键是掌握垂直的定义，余角和对
顶角的性质和角平分线的定义等知识．
9．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=20°，求∠BOE和∠AOG
的度数.【答案】∠BOE=70°；∠AOG=55°.
【分析】先求出∠AOF，根据对顶角的性质得出∠BOE，再根据邻补角的性质求出∠AOE，由角平
分线即可求出∠AOG．
【详解】解：∵AB⊥CD，
∴∠AOD=∠AOC=90°，
∵∠FOD=20°，
∴∠AOF=90°-20°=70°，
∴∠BOE=70°；
∴∠AOE=180°-70°=110°，
∵OG平分∠AOE，
∴∠AOG=110°÷2=55°.
【点睛】本题考查了垂线、对顶角、邻补角的定义，弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关
键.
10．如图，直线EF、CD相交于点O，OA⊥OB，OC平分∠AOF．
(1)直接写出∠DOF的对顶角和邻补角；
(2)若∠AOE＝30°，求∠BOD的度数．
【答案】(1)对顶角有∠COE；邻补角有∠DOE，∠COF；
(2)15°
【分析】（1）根据对顶角和邻补角的定义，即可求解；
（2）根据领补角的定义可得∠AOF=150°，从而得到∠DOE=75°，再由OA⊥OB，可得∠BOE=60°，即可求解．
（1）
解：根据题意得：∠DOF的对顶角有∠COE；邻补角有∠DOE，∠COF；
（2）
解：∵∠AOE＝30°，
∴∠AOF=180°-∠AOE=150°，
∴∠AOC=∠COF=75°，
∴∠DOE=75°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠BOE=90°-∠AOE=60°，
∴∠BOD=∠DOE-∠BOE=15°．
【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的性质，角的和与差，明确题意，准确找到角与角间的
关系是解题的关键．
11．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1=∠2，证明：ON⊥CD；（2）若∠1= ∠BOC，求∠BOD的度数．
【答案】（1）ON⊥CD．（2）60°．
【分析】（1）利用垂直的定义得出 ，进而得出答案；
（2）根据题意得出 的度数，即可得出 的度数.
【详解】（1）ON⊥CD．理由如下：
∵OM⊥AB，
∴ ，
∴∠1+∠AOC=90°，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°，
∴ON⊥CD．（2）∵∠1= ∠BOC，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了垂直的定义以及邻补角、对顶角等知识，正确把握垂直的定义是解题关
键.
12．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝35°．求∠BOD的度数．
【答案】55°
【分析】先根据垂线的定义求出∠AOE=90°，则∠AOC=∠AOE-∠EOC=55°，再根据对顶角相等即
可得到∠BOD=∠AOC=55°．
【详解】解：∵EO⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∵∠EOC=35°，
∴∠AOC=∠AOE-∠EOC=55°，
∴∠BOD=∠AOC=55°．
【点睛】本题主要考查了垂线的定义，几何中角度的计算，对顶角相等，熟知垂线的定义和对顶
角相等是解题的关键．
13．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，∠2：∠1＝4：1．
(1)求∠AOF的度数．
(2)判断OE与OF的位置关系并说明理由．【答案】(1)108°
(2) ，理由见解析
【分析】（1）设∠1=x°，则∠2=4x°，求出 ， ，根据
∠BOC+∠BOD=180°，求出x=18，代入∠AOF=∠AOC+∠COF求出即可．
（2）根据（1）的结论得出 ，即可求解．
（1）
解：设∠1=x°，则∠2=4x°，
∵OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，
∴ ，
∵∠BOC+∠BOD=180°，
∴8x+2x=180，
∴x=18，
∴∠AOC=∠DOB=2x=36°，∠1=18°，∠2=72°，
∴∠AOF=∠AOC+∠2=36°+72°=108°．
（2）
由（1）可得∠1=18°，∠2=72°，
∴ ,
∴ ．
【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
14．如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓
鱼，怎样走路最短，请画出行走路径，并说明理由．
【答案】见解析
【分析】根据两点之间线段最短，点到直线的距离垂线段最短即可得到答案.
【详解】解；如图所示：
连接AB，是两点之间线段最短；作BC垂直于河岸，是垂线段最短．
【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，点到直线的距离垂线段最短，解题的关键在于能够
熟练掌握相关知识进行求解.
15．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥CD于点O．
（1）若∠BOF＝68°30′，求∠AOE的度数；
（2）若∠AOD：∠AOE＝1：4，求∠BOF的度数．
【答案】（1）79°15′；（2）70°
【分析】（1）由OF⊥CD可得∠DOF=90°，则∠BOD=158°30′，由对顶角相等，可得∠AOC的度
数，再根据角平分线的性质可的∠AOE的度数；
（2）设∠AOD=α，则∠AOE=4α，∠AOC=8α，由平角的定义可得等式α+8α=180°，求出α的值，
再求出∠BOF的度数即可．
【详解】解：（1）∵OF⊥CD，
∴∠DOF=90°，
∵∠BOF=68°30′，
∴∠BOD=∠BOF+∠DOF=158°30′，
∴∠AOC=∠BOD=158°30′，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE= ∠AOC= ×158°30′=79°15′；
（2）∵∠AOD：∠AOE=1：4，设∠AOD=α，
∴∠AOE=4α，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠AOE=8α，∴α+8α=180°，
∴α=20°，
∴∠AOD=20°，
∴∠BOC=∠AOD=20°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠BOF=90°-∠BOC=70°．
【点睛】本题主要考查相交线的相关知识，涉及垂直的定义，角平分线的性质，对顶角相等以及
角的和差计算．弄清楚角之间的和差关系是解题关键．
16．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O．
（1）若∠1＝∠2，求∠NOC的度数；
（2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC的度数．
【答案】（1）∠NOC＝90°；（2）∠AOC＝60°．
【分析】（1）根据垂直的定义计算即可；
（2）根据互余的性质和已知等量关系求解即可；
【详解】（1）∵OM⊥AB于点O，
∴∠AOM＝∠BOM＝90°，
∵∠1+∠AOC＝90°，
∵∠2＝∠1，
∴∠2+∠AOC＝90°，
∴∠NOC＝90°；
（2）∵OM⊥AB于点O，
∴∠AOM＝∠BOM＝90°，
∵∠BOC＝4∠1，
∴∠BOM＝∠BOC﹣∠1＝4∠1﹣∠1＝90°，
∴∠1＝30°，
∴∠AOC＝∠AOM﹣∠1＝90°﹣30°＝60°．
【点睛】本题主要考查了与垂直有关的角度求解，准确计算是解题的关键．17．作图，如图已知三角形ABC内一点P
（1）过P点作线段EF∥AB，分别交BC，AC于点E，F
（2）过P点作线段PD使PD⊥BC垂足为D点．
【答案】见解析.
【详解】试题分析：（1）根据过直线外一点作已知直线平行线的方法作图即可；
（2）利用直角三角板，一条直角边与BC重合，沿BC平移，使另一条直角边过点P画垂线即可．
（1）如图，EF即为所求．
(2) 如图，PD即为所求．
考点：作图—基本作图．
