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专项 12 角平分线+垂直构造全等模型综合应用
角平分线＋垂直构造全等模型：
秘籍：往角两边作垂线
解读：用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构
造全等
【典例1】（秋•袁州区校级期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺
的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝
PD．
【变式1-1】（秋•江北区期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝
180°，请说明CD＝DB的理由．【变式1-2】（秋•百色期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，
DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
【典例2】（2021秋•江岸区期末）如图，∠B＝∠C＝90°，点E是BC的中点，DE平分
∠ADC．
（1）求证：AE是∠DAB的平分线；
（2）若∠DAB＝60°，求证：AB＝3CD．
【变式2-1】（2021秋•江汉区校级月考）如图，在四边形ABCD中，CE⊥AB，已知CB＝
CD，AC平分∠BAD；求证：
（1）∠B+∠ADC＝180°；
（2）AD+AB＝2AE．【变式2-2】（2021秋•长沙期末）如图，射线AD平分∠CAB，点F是AD上一点，FG垂
直平分BC于点G，FH⊥AB于点H，连接FC，若AB＝10，BH＝2，求AC．
1．（2022•任城区校级三模）如图，在△ABC 中，点 M 是 BC 边上的中点，AN 平分
∠BAC，BN⊥AN于点N，若AC＝12，MN＝2，则AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
2．（2021秋•长丰县期末）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
且∠ADC+∠B＝180°．
（1）若AB＝12，AD＝8，则AF＝ ．
（2）若△ABC的面积是24，△ADC的面积是16，则△BEC的面积等于 ．3．（2022 春•驿城区校级月考）如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别为点E，F，BE＝CF．
求证：AD平分∠BAC．
4．（2021秋•东莞市校级期末）点E是BC的中点，DE平分∠ADC．
（1）如图1，若∠B＝∠C＝90°，求证：AE平分∠DAB；
（2）如图1，若∠B＝∠C＝90°，∠CED＝35°，求∠EAB的度数；
（3）如图2，若DE⊥AE，求证：AD＝AB+CD．
6．（2021春•驿城区校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝20，AC＝16，求AF的长．
7．（2021秋•雨花区期末）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、
∠ACB，AD、CE相交于点P．
（1）求∠APC的度数；
（2）若AE＝3，CD＝4，求线段AC的长．
8．（2017秋•武昌区期中）如图，在△ABC中，DE垂直平分线段BC，AE平分∠BAC，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC的延长线于点G．
（1）求证：BF＝CG．
（2）若AB＝8，AC＝6，求AF的长．
9．（2020秋•南开区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴
于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．
直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．
（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；
（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的
猜想；
（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，
其中∠BPF＝90°，连接FA并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生
改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．
