文档内容
专题01 三角形（培优卷）
一、选择题
1.（2020秋•薛城区期末）如图，CD、BD分别平分∠ACE、∠ABC，∠A＝80°，则∠BDC
＝（ ）
A．35° B．40° C．30° D．45°
2．（2021春•工业园区校级月考）如图，点C是∠BAD内一点，连CB、CD，∠A＝80°，
∠B＝10°，∠D＝40°，则∠BCD的度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．150°
3．（2019秋•越秀区校级期中）如图，将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A′处，若
∠1＝80°，∠2＝24°，则∠A为（ ）
A．24° B．28° C．32° D．36°
4．如图，已知△ABC的内角∠A＝ ，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平
分线交于点A ，得∠A ；∠A BCα和∠A CD的平分线交于点A ，得∠A ；……以此类推
1 1 1 1 2 2
得到∠A ，则∠A 的度数是（ ）
2018 2018A． B． C． D．90°+
5．若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．14或15 B．13或14 C．13或14或15 D．14或15或16
二、填空题
6．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且
∠D+∠C＝210°，则∠P＝（ ）
A．10° B．15° C．30° D．40°
7．（2021春•宣汉县期末）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，若∠A＝
70°，则∠BOC＝ ．
8．如图，AD，CE是△ABC的两条高，它们相交于点P，已知∠BAC的度数为 ，∠BCA
的度数为 ，则∠APC的度数是 ． α
β
9．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与
∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确
的是 ．（填写所有正确结论的序号）
① ；② ；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°
+∠ABD．10．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC，
内角∠ABC，外角∠ACF，以下结论：
①AD∥BC；
②∠ACB＝∠ADB；
③∠ADC+∠ABD＝90°；
④ ，其中正确的结论有 ．
11．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝n•90°，则n＝ ．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝2 ，CD平分∠ACB，∠CAD＝30°﹣ ，∠BAD＝30°，
则∠BDC＝ ．（用含 的式α 子表示） α
α
三、解答题
13．小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到 1840°，老师说他算错了，于是小马虎
认真地检查了一遍（1）若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？
（2）若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边
形？
14．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反
向延长线与∠BAO的平分线交于点C．
（1）当A，B移动后，∠BAO＝45°时，则∠C＝ ；
（2）当A，B移动后，∠BAO＝60°时，则∠C＝ ；
（3）由（1）、（2）猜想∠C是否随A，B的移动而发生变化？并说明理由．
15.（2020春•未央区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，
∠C＝30°．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数；
（3）探究：小明认为如果只知道∠B﹣∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数？你认为可
以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
16．如图所示，D是△ABC边BC的中点，E是AD上一点，满足AE＝BD＝DC，FA＝FE．求∠ADC的度数．
17．（2020春•丰泽区校级期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于
点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之
间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3
倍，请直接写出∠A的度数.
18．如图①，∠MON＝80°，点A、B在∠MON的两条边上运动，∠OAB与∠OBA的平分
线交于点C．
（1）点A、B在运动过程中，∠ACB的大小会变吗？如果不会，求出∠ACB的度数；
如果会，请说明理由．（2）如图②，AD是∠MAB的平分线，AD的反向延长线交BC的延长线于点E，点
A、B在运动过程中，∠E的大小会变吗？如果不会，求出∠E的度数；如果会，请说明
理由．
（3）若∠MON＝n，请直接写出∠ACB＝ ；∠E＝ ．
19．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，
请说明∠A+∠B＝∠C+∠D；
【简单应用】
（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图 2，AP、CP 分别平分∠BAD．
∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数；
解：∵AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
由（1）的结论得：
①+②，得2∠P+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P＝ （∠B+∠D）＝26°．
【问题探究】
如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝
36°，∠ADC＝16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
在图4中，若设∠C＝ ，∠B＝ ，∠CAP＝ ∠CAB，∠CDP＝ ∠CDB，试问∠P与
∠C、∠B之间的数量关α系为： β （用 、 表示∠P），并说明理由．
α β20．小颖在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，CD是高，
AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】在△ABC中，若点D在AB上移动到图2位置，使得∠ACD＝∠B，∠BAC
的角平分线AE交CD于点F．则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在【变式思考】的条件下，△ABC的外角∠BAG的平分线所在直
线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．专题01 三角形（培优卷）
二、选择题
1.（2020秋•薛城区期末）如图，CD、BD分别平分∠ACE、∠ABC，∠A＝80°，则∠BDC
＝（ ）
A．35° B．40° C．30° D．45°
【答案】A
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
故选：A．
2．（2021春•工业园区校级月考）如图，点C是∠BAD内一点，连CB、CD，∠A＝80°，
∠B＝10°，∠D＝40°，则∠BCD的度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．150°
【答案】C
【解答】解：延长BC交AD于E，∵∠BED是△ABE的一个外角，∠A＝80°，∠B＝10°，
∴∠BED＝∠A+∠B＝90°，
∵∠BCD是△CDE的一个外角
∴∠BCD＝∠BED+∠D＝130°，
故选：C．
3．（2019秋•越秀区校级期中）如图，将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A′处，若
∠1＝80°，∠2＝24°，则∠A为（ ）
A．24° B．28° C．32° D．36°
【答案】B
【解答】解：如图，设AB与DA'交于点F，
∵∠1＝∠DFA+∠A，∠DFA＝∠A'+∠2，由折叠可得，∠A＝∠A'，
∴∠1＝∠A+∠A'+∠2＝2∠A+∠2，
又∵∠1＝80°，∠2＝24°，
∴80°＝2∠A+24°，
∴∠A＝28°．
故选：B．
4．如图，已知△ABC的内角∠A＝ ，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平
α分线交于点A ，得∠A ；∠A BC和∠A CD的平分线交于点A ，得∠A ；……以此类推
1 1 1 1 2 2
得到∠A ，则∠A 的度数是（ ）
2018 2018
A． B． C． D．90°+
【答案】B
【解答】解：∵A B是∠ABC的平分线，A C是∠ACD的平分线，
1 1
∴∠A BC＝ ∠ABC，∠A CD＝ ∠ACD，
1 1
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A CD＝∠A BC+∠A ，
1 1 1
∴ （∠A+∠ABC）＝ ∠ABC+∠A ，
1
∴∠A ＝ ∠A，
1
∵∠A＝ ，
α
∴∠A ＝ ；
1
同理可得∠A ＝ ∠A ＝ • ＝ ，
2 1
α
∴∠A ＝ ，
n
∴∠A ＝ ．
2018
故选：B．
5．若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．14或15 B．13或14 C．13或14或15 D．14或15或16
【答案】C
【解答】解：如图，n边形，A A A …A ，
1 2 3 n若沿着直线A A 截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1，
1 3
若沿着直线A M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，
1
若沿着直线MN截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1，
因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数为 13或14或
15，
故选：C．
二、填空题
6．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且
∠D+∠C＝210°，则∠P＝（ ）
A．10° B．15° C．30° D．40°
【答案】B
【解答】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝150°．
又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，
∴∠PAB+∠ABP＝ ∠DAB+∠ABC+ （180°﹣∠ABC）＝90°+ （∠DAB+∠ABC）＝
165°，
∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．
故选：B．7．（2021春•宣汉县期末）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，若∠A＝
70°，则∠BOC＝ ．
【答案】A
【解答】解：在△ABC中，∠A＝110°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°．
∵BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ ∠ABC+ ∠ACB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ ×70°＝35°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣35°＝145°．
故选：A．
8．如图，AD，CE是△ABC的两条高，它们相交于点P，已知∠BAC的度数为 ，∠BCA
的度数为 ，则∠APC的度数是 ． α
β
【答案】 +
【解答】 α解 ： β ∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣（ + ），
∵AD⊥BC，CE⊥AB， α β
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣[180°﹣（ + ）]＝ + ﹣90°，
∴∠APC＝∠AEC+∠BAD＝α β+ α β
故填 + ． α β
9．在△αABβC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与
∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确
的是 ．（填写所有正确结论的序号）
① ；② ；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°
+∠ABD．
【答案】①②④
【解答】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，
∴∠ABD＝∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝∠ACO＝ ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣ ×（180°﹣∠A）＝90°+ ∠A，故①正
确，
∵CD平分∠ACF，
∴∠DCF＝ ∠ACF，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，∴∠D＝ ∠A，故②正确；
∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，
∴∠MBC+∠BCN＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，
∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，
∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE，
∴∠EBC+∠BCE＝90°+ ∠A，
∵∠E+∠EBC++BCE＝180°，
∴∠E＝180°﹣（∠EBC++BCE）＝180°﹣（90°+ ∠A）＝90°﹣ ∠A，故③错误；
∵∠DCF＝∠DBC+∠D，
∴∠E+∠DCF＝90°﹣ ∠A+∠DBC+ ∠A＝90°+∠DBC，
∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．故④正确，
综上正确的有：①②④．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC，
内角∠ABC，外角∠ACF，以下结论：
①AD∥BC；
②∠ACB＝∠ADB；
③∠ADC+∠ABD＝90°；
④ ，其中正确的结论有 ．
【答案】①③④
【解答】解：①∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，
故①正确；
②∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，
故②错误；
③在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB
∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，
∴∠ADC+∠ABD＝90°，
故③正确；
④∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DCF＝∠ADC，
∵∠ADC+∠ABD＝90°，
∵∠DCF＝90°﹣ ∠ABC＝∠DBC+∠BDC，
∴∠BDC＝90°﹣2∠DBC，
∴∠ADB＝∠DBC＝45°﹣ ∠BDC，
故④正确；故答案是：①③④．
11．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝n•90°，则n＝ ．
【答案】6
【解答】解：连接BE，GE．
∵∠1是△ADH的外角，
∴∠1＝∠A+∠D，
∵∠2是△JHG的外角，
∴∠1+∠G＝∠2，
∴在四边形BEFJ中，∠EBJ+∠BJF+∠EFJ+∠BEF＝360°…①，
在△BCE中，∠EBC+∠C+∠BEC＝180°…②，
①+②得，∠BEG+∠BGF+∠F+∠BEF+∠EBC+∠C+∠BEC＝360°+180°＝540°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°，
∴n＝ ＝6．
∴n＝6．
故答案为：6．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝2 ，CD平分∠ACB，∠CAD＝30°﹣ ，∠BAD＝30°，
则∠BDC＝ ．（用含 的式α 子表示） α
α
【答案】 120°+
【解答】解：如α图，延长CB到E，使CE＝CA，连接DE，EA，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝ ，
在△ADC与△EDC中，
，
∴△ADC≌△EDC（SAS），
∴AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，
∵∠CAD＝30°﹣ ，∠ACD＝ ，
∴∠ADC＝180°﹣α（30°﹣ ）﹣α ＝150°，
∴∠EDC＝∠ADC＝150°，α α
∴∠EDA＝360°﹣150°﹣150°＝60°，
∵ED＝AD，
∴△EDA为等边三角形，
∴∠EAD＝∠AED＝60°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠EAB＝60°﹣30°＝30°，
∴AB是∠EAD的角平分线，∵AB是ED的垂直平分线，
∴BD＝BE，
∴∠BED＝∠BDE，
∵∠ACB＝2 ，∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝60°+30°﹣ ＝90°﹣ ，
∴∠AEC＝1α80°﹣2 ﹣（90°﹣ ）＝90°﹣ ， α α
∴∠EDB＝∠AEC﹣α∠AED＝9α0°﹣ ﹣60°＝α 30°﹣ ，
∴∠EDB＝∠BED＝30°﹣ ， α α
∴∠DBC＝∠BDE+∠BEDα＝（30°﹣ ）×2＝60°﹣2 ，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB α α
＝180°﹣（60°﹣2 ）﹣
＝120°+ ， α α
故答案为α：120°+ ．
三、解答题 α
13．小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到 1840°，老师说他算错了，于是小马虎
认真地检查了一遍
（1）若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？
（2）若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边
形？
【解答】解：（1）设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x，
则（n﹣2）•180°＝1840°﹣x，
n＝12…40°．
故这个多边形的边数是12．
（2）设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是x，
则（n﹣2）•180°＝1840°+x，
n＝12…40°．
180°﹣40°＝140°，
故漏算的那个内角是140度，这个多边形是十三边形．
14．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反
向延长线与∠BAO的平分线交于点C．
（1）当A，B移动后，∠BAO＝45°时，则∠C＝ ；（2）当A，B移动后，∠BAO＝60°时，则∠C＝ ；
（3）由（1）、（2）猜想∠C是否随A，B的移动而发生变化？并说明理由．
【解答】解：（1）根据三角形的外角性质，∠ABN＝∠AOB+∠BAO＝90°+45°＝135°，
∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，
∴∠ABE＝ ∠ABN＝67.5°，∠BAC＝ ∠BAO＝22.5°，
∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝67.5°﹣22.5°＝45°；
（2）根据三角形的外角性质，∠ABN＝∠AOB+∠BAO＝90°+60°＝150°，
∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，
∴∠ABE＝ ∠ABN＝75°，∠BAC＝ ∠BAO＝30°，
∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝75°﹣30°＝45°；
（3）∠C不会随A、B的移动而发生变化．
理由如下：根据三角形的外角性质，∠ABN＝∠AOB+∠BAO，
∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，
∴∠ABE＝ ∠ABN，∠BAC＝ ∠BAO，
∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝ （∠AOB+∠BAO）﹣ ∠BAO＝ ∠AOB，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠C＝45°．
15.（2020春•未央区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，
∠C＝30°．
（1）求∠BAE的度数；（2）求∠DAE的度数；
（3）探究：小明认为如果只知道∠B﹣∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数？你认为可
以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【答案】（1）∠BAE＝40° （2）∠DAE＝20° （3）可以，∠DAE＝20°
【解答】解：（1）∵∠B＝70°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
因为AE平分∠BAC，
所以∠BAE＝40°；
（2）∵AD⊥BC，∠B＝70°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，
而∠BAE＝40°，
∴∠DAE＝20°
（3）可以．
理由如下：
∵AE为角平分线，
∴∠BAE＝ ，
∵∠BAD＝90°﹣∠B，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝ ﹣（90°﹣∠B）＝ ，
若∠B﹣∠C＝40°，则∠DAE＝20°．
16．如图所示，D是△ABC边BC的中点，E是AD上一点，满足AE＝BD＝DC，FA＝
FE．求∠ADC的度数．【解答】解：延长AD至G，使AD＝DG，连接BG，在DG上截取DH＝DC，
在△ADC和△GDB中， ，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴AC＝BG，∠G＝∠CAD，
∵FA＝FE，
∴∠CAD＝∠AEF，
∴∠G＝∠CAD＝∠AEF＝∠BED，
∴BG＝BE＝AC，
∵AE＝DC＝BD，
∴AE+ED＝DH+ED，
∴AD＝EH，
在△DAC和△HEB中，
，
∴△DAC≌△HEB（SAS），
∴CD＝BH，
∴BD＝BH＝DH，
∴△BDH为等边三角形，
∴∠C＝∠BDH＝60°＝∠ADC．
故答案为：60°．17．（2020春•丰泽区校级期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于
点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之
间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3
倍，请直接写出∠A的度数.
【答案】（1）130° （2）∠Q＝90°﹣ ∠A；（3）∠A的度数是60°或120°或45°或
135°．
【解答】（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）＝180°﹣ ×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝ （∠MBC+∠NCB）
＝ （360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝ （180°+∠A）
＝90°+ ∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+ ∠A）＝90°﹣ ∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝ ∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝ ∠ABC+ ∠MBC
＝ （∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；
②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；
③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；
④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．
综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．18．如图①，∠MON＝80°，点A、B在∠MON的两条边上运动，∠OAB与∠OBA的平分
线交于点C．
（1）点A、B在运动过程中，∠ACB的大小会变吗？如果不会，求出∠ACB的度数；
如果会，请说明理由．
（2）如图②，AD是∠MAB的平分线，AD的反向延长线交BC的延长线于点E，点
A、B在运动过程中，∠E的大小会变吗？如果不会，求出∠E的度数；如果会，请说明
理由．
（3）若∠MON＝n，请直接写出∠ACB＝ ；∠E＝ ．
【解答】解：（1）∠ACB的大小不变．
在△AOB中，由∠AOB＝80°，得∠OAB+∠OBA＝100°，
因为AC、BC分别平分∠OAB和∠OBA，
所以∠CAB＝ ∠OAB，∠CBA＝ ∠OBA，
所以∠CAB+∠CBA＝ （∠OAB+∠OBA）＝ ×100°＝50°，
所以∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣50°＝130°；
（2）∠E的大小不变．
证明：因为AC、AD分别平分∠OAB和∠BAM，所以∠CAB＝ ∠OAB，∠DAB＝ ∠BAM，
所以∠CAB+∠DAB＝ （∠OAB+∠BAM）＝ ×180°＝90°，
即∠CAD＝90°，
所以∠CAE＝90°，
又由（1）可知∠ACB＝130°，
所以∠ACE＝50°，
在△AEC中，由∠CAE＝90°，∠ACE＝50°，得
∠E＝180°﹣90°﹣50°＝40°；
（3）∠ACB＝90°+ ，∠E＝ ．
理由：因为AC、BC分别平分∠OAB和∠OBA，
所以∠CAB＝ ∠OAB，∠CBA＝ ∠OBA，
所以∠CAB+∠CBA＝ （∠OAB+∠OBA），
所以∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣ （∠OAB+∠OBA）＝180°﹣ （180°
﹣∠AOB）＝90°+ ∠AOB＝90°+ ；
因为BC、AD分别平分∠OBA和∠BAM，
所以∠ABE＝ ∠OBA，∠DAB＝ ∠BAM，
因为∠BAM是△ABO的外角，
所以∠O＝∠BAM﹣∠ABO，
∵∠DAB是△ABE的外角，
∴∠E＝∠DAB﹣∠ABE＝ ∠BAM﹣ ∠OBA＝ （∠BAM﹣∠ABO）＝ ∠O＝ n．
故答案为：90°+ ， ．19．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，
请说明∠A+∠B＝∠C+∠D；
【简单应用】
（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图 2，AP、CP 分别平分∠BAD．
∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数；
解：∵AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
由（1）的结论得：
①+②，得2∠P+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P＝ （∠B+∠D）＝26°．
【问题探究】
如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝
36°，∠ADC＝16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
在图4中，若设∠C＝ ，∠B＝ ，∠CAP＝ ∠CAB，∠CDP＝ ∠CDB，试问∠P与
∠C、∠B之间的数量关α系为： β （用 、 表示∠P），并说明理由．
α β
【解答】（1）证明：在△AOB 中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD 中，
∠C+∠D+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）解：【问题探究】∠P＝52°，
理由：如图3，
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，
∵∠P+（180°﹣∠1）＝∠ADC+（180°﹣∠3），∠P+∠1＝∠ABC+∠4，
∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，
∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，
∴∠P＝ （∠B+∠D）＝ ×（36°+16°）＝26°；
【拓展延伸】
由（1）可知：∠C+∠CAB＝∠B+∠CDB，∠C+∠CAP＝∠P+∠PDC，∠B+∠BDP＝
∠P+∠PAB，
∴∠C+∠CAP+∠B+∠BDP＝2∠P+∠PDC+∠PAB，∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B，
∴2∠P＝∠C+∠CAP+∠B+∠BDP﹣∠PDC﹣∠PAB，
∵∠C＝ ，∠B＝ ，∠CAP＝ ∠CAB，∠CDP＝ ∠CDB，
α β
∴∠BDP＝ ∠CDB，∠PAB＝ ∠CAB，
∴2∠P＝ + + ∠CAB+ ∠CDB﹣ ∠CDB﹣ ∠CAB＝ + + ∠CDB﹣ ∠CAB＝
α β α β
+ + （∠CDB﹣∠CAB）＝ + + （∠C﹣∠B）＝ + + （ ﹣ ）＝ ，
α β α β α β α β
∴∠P＝ ．故答案为：∠P＝ ．
20．小颖在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，CD是高，
AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】在△ABC中，若点D在AB上移动到图2位置，使得∠ACD＝∠B，∠BAC
的角平分线AE交CD于点F．则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在【变式思考】的条件下，△ABC的外角∠BAG的平分线所在直
线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
【解答】【习题回顾】证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠BCF＝90°，
∵CD是AB边上的高线，
∴CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACF＝∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠CFE＝∠CAE+∠ACF，∠CEF＝∠B+∠BAE，
∴∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】解：相等．
理由：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠CFE＝∠CAE+∠ACF，∠CEF＝∠B+∠BAE，∠ACD＝∠B，
∴∠CFE＝∠CEF；
【探究延伸】解：∠M+∠CFE＝90°，证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，
又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．
