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【专项训练】角度计算及角的旋转（动角）问题
1．如图，点A、O、B在同一条直线上，射线OD平分∠AOC，且∠DOE＝90°．求证：OE平分
∠BOC．
【答案】证明：∵点A、O、B在同一条直线上，∠DOE＝90°，
∴∠DOC+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠DOC，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠AOD+∠BOE＝90°，
∴∠COE＝∠BOE，
∴OE平分∠BOC．
【解析】【分析】由垂直的定义及平角的定义可得 ∠DOC+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°， 由
角平分线的定义可得 ∠AOD＝∠DOC，即得∠AOD+∠COE＝90°， 根据余角的性质可得∠COE＝
∠BOE，根据角平分线的定义即证.
2．如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，OD是∠AOB的角平分线，∠AOC与∠BOC的度数比
为3∶2，且∠DOC=12°，求∠AOB的度数．（请同学们利用两种不同的方法解答此题，其中一种
方法用方程求解）
【答案】解：解法一、
∵∠AOC∶∠BOC=3∶2，
∴设∠A0C=(3x)°，∠B0C=(2x)°，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=(5x)°，∴OD平分∠AOB，
∴∠AOD=(2.5x)°，
∵∠C0D=12°且∠COD=∠AOC−∠AOD，
∴3x−2.5x=12，
解得x=24，
∴∠AOB=5×24°=120°．
解法二、
∵∠AOC∶∠BOC=3∶2，
∴∠A0C=2∠B0C，
∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，
∴∠AOB=∠BOC，
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC，
∵∠COD=∠AOC−∠AOD，
∴∠COD=∠BOC−∠BOC=∠BOC，
即∠BOC=4∠COD，
∵∠COD=12°，
∴∠B0C=48°，
∴∠AOB=∠BOC=120°．
【解析】【分析】方法一：设∠A0C=(3x)°，∠B0C=(2x)°，根据∠COD=∠AOC−∠AOD列
出方程3x−2.5x=12，再求出x的值即可；
方法二：根据角平分线的定义可得∠AOD=∠AOB=∠BOC，再结合∠COD=∠AOC−∠AOD，
求出∠COD=∠BOC−∠BOC=∠BOC，即可得到∠BOC=4∠COD，再求出
∠AOB=∠BOC=120°即可。
3．如图，已知∠AOE＝∠COD，且射线OC平分∠BOE，∠EOD＝30°，求∠AOD的度数.
【答案】解：∵∠AOB=180°，∠EOD=30°，
∴∠AOD+∠EOC+∠COB=150°.
∵∠AOE=∠COD，∴∠AOD=∠EOC.
∵OC平分∠EOB，
∴∠EOC=∠COB，
∴∠EOC=∠COB=∠AOD=50°.
【解析】【分析】利用平角的定义求出∠AOD+∠EOC+∠COB=150°，由∠AOE＝∠COD证得
∠AOD=∠EOC；再利用角平分线的定义可得到∠EOC=∠COB=∠AOD，即可求出∠AOD的度数.
4．如图，已知 ∠AOC=2∠BOC，OD 平分 ∠AOB ，∠COD=20°，求 ∠AOB 的度数.
【答案】解：∵∠AOC=2∠BOC ，∠AOC+∠BOC=∠AOB，
∴∠AOB=3∠BOC，
∵OD 平分 ∠AOB ，
∴∠AOB=2∠BOD，
2
∴∠BOC= ∠BOD ，
3
∵∠BOD=∠BOC+∠COD，
1
∴∠COD= ∠BOD ，
3
∵∠COD=20°，
∴∠BOD=60°，
∴∠AOB=120°.
【解析】【分析】由已知条件可得∠AOB=3∠BOC，根据角平分线的概念可得∠AOB=2∠BOD，则
2 1
∠BOC= ∠BOD，∠COD= ∠BOD，结合∠COD的度数可得∠BOD的度数，进而可得∠AOB的度
3 3
数.
5．如图所示，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度
数？【答案】解：∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝90°+30°＝120°，
∵OM平分∠AOC，
1 1 1
∴∠AOM＝ ∠AOC＝ （∠AOB+∠BOC）＝ ×120°＝60°，
2 2 2
∵ON平分∠BOC，
1 1
∴∠CON＝ ∠BOC＝ ×30°＝15°，
2 2
∴∠MON＝∠AOC﹣∠AOM﹣∠CON＝120°﹣60°﹣15°＝45°．
【解析】【分析】 根据∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，可得∠AOC＝90°+30°＝120°，由OM平分
∠AOC可得
1 1 1
∠AOM＝ ∠AOC＝ （∠AOB+∠BOC）＝60°，由ON平分∠BOC，可得∠CON＝ ∠BOC＝15°，
2 2 2
∠MON＝∠AOC﹣∠AOM﹣∠CON＝120°﹣60°﹣15°＝45°。
6．如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度
数．
【答案】解：∵∠FOC=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠3=90°−40°=50°，
∠AOD=180°−∠BOD=180°−∠3=180°−50°=130°，∴∠2=∠AOD÷2=130°÷2=65°，
故∠2=65°，∠3=50°．
【解析】【分析】由平角的定义可求∠1+∠3=90°， 即得∠3=50°，利用邻补角及对顶角可求出
1
∠AOD=130°，由角平分的定义可得∠2= ∠AOD=65°.
2
7．如图，∠AOB=90°，OE平分∠AOB，OD平分∠BOC，∠EOD=70°，求∠BOC的度数．
【答案】解：∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
1 1
∴∠EOB= ∠AOB= ×90°=45°
2 2
又 ∵∠EOD=70°，∠EOB=45°
∴∠BOD=70°－45°=25°
又 ∵OD平分∠BOC，∠BOD=25°
∴∠BOC=2×25°=50°
1 1
【解析】【分析】根据角平分线的定义求出∠EOB= ∠AOB= ×90°=45°，再利用角的运算求出
2 2
∠BOD的度数，最后利用角平分线的性质可得∠BOC=2×25°=50° 。
8．如图所示，点O在直线AB上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，且∠AOD=30°，求∠BOE
的度数.
【答案】解：因为OD平分∠AOC，且∠AOD=30°，
所以∠AOC=2∠AOD=60°.
所以∠BOC=180°−∠AOD=180°−60°=120°.又因为OE平分∠BOC，
1 1
所以∠BOE= ∠BOC= ×120°=60°.
2 2
【解析】【分析】利用角平分线的定义可得∠AOC=2∠AOD=60°，再利用平角的性质求出∠BOC
1 1
的度数，最后利用角平分线的定义可得∠BOE= ∠BOC= ×120°=60°。
2 2
9．如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果∠BOC：∠AOC=1：5．求
∠BOE的度数．
【答案】解：设∠BOC=x°，则∠AOC=5x°，
由题意得：x+5x=180，
解得：x=30，
∴∠BOC=30°，
∵OE是∠BOC的平分线，
1 1
∴∠BOE= ∠BOC= ×30°=15°，
2 2
∴∠BOE的度数为15°．
【解析】【分析】设∠BOC=x°，则∠AOC=5x°，利用邻补角可得x+5x=180，求出x的值，再利
1 1
用角平分线的定义可得∠BOE= ∠BOC= ×30°=15°，从而得解。
2 2
10．如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，
则∠BOD的度数为多少度？
【答案】解：∵OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°，1 1
∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD= ∠COE= ×60°=30°，
2 2
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°．
1 1
【解析】【分析】根据题意求出 ∠BOC=∠AOB=40°，∠COD= ∠COE= ×60°=30°， 再求解即可。
2 2
11．如图，已知∠AOB=150°，OE平分∠AOD，OD平分∠BOE，∠BOC=90°，求∠COE的度
数．
【答案】解：∵OE平分∠AOD，OD平分∠BOE，
∴∠AOE=∠DOE，∠BOD=∠DOE，
∴∠AOE=∠DOE=∠BOD，
∵∠AOB=∠AOE+∠DOE+∠BOD=150°，
∴∠AOE=∠DOE=∠BOD=50°，
∴∠BOE=100°
∴∠COE=∠BOE−∠BOC=100°−90°=10°．
【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠AOE=∠DOE，∠BOD=∠DOE，再结合
∠AOB=∠AOE+∠DOE+∠BOD=150°求出∠AOE=∠DOE=∠BOD=50°，最后利用角的运算
可得∠COE=∠BOE−∠BOC=100°−90°=10°。
12．如图，点O为直线AD上一点，过点O作射线OB，再作射线OE，OC，且OE平分∠DOB，OC
平分∠AOB，∠BOC＝25°，求∠BOE的度数．
【答案】解：∵OC平分∠AOB，∠BOC＝25°，
∴∠AOB＝2∠BOC＝50°．
∴∠BOD＝180°﹣50°＝130°．
∵OE平分∠DOB，1 1
∴∠BOE＝ ∠DOB＝ ×130°＝65°．
2 2
【解析】【分析】先求出 ∠AOB＝2∠BOC＝50°，再根据角平分线计算求解即可。
13．OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，且 ∠AOB=30°，∠COD=35° ，求∠BOE
的度数.
【答案】解：∵OD是∠COE的平分线， ∠COD=35° ，
∴∠COE=2∠COD=2×35°=70° .
∵OB是∠AOC的平分线， ∠AOB=30° ，
∴∠COB=∠AOB=30° .
∴∠BOE=∠COE+∠COB=70°+30°=100° .
【解析】【分析】由角平分线定义得∠COE=2∠COD=70°，∠COB=∠AOB=30°，再由
∠BOE=∠COE+∠COB进行计算.
14．如图，已知∠AOC：∠AOB=2：5，OD是∠AOB的平分线，若∠COD=20°，则∠AOC的是多少
度？
【答案】解：∵∠AOC：∠AOB=2：5，
∴设∠AOC=2x°，∠AOB=5x°，
∵OD是∠AOB的平分线，
1
∴∠AOD= ∠AOB=2.5x∘
2
∵∠COD=15°，
又∵∠COD=∠AOD -∠AOC=2.5x-2x=15°，∴x=30°，
∴∠AOC=2x°=60°．
【解析】【分析】根据 ∠AOC：∠AOB=2：5，设∠AOC=2x°，∠AOB=5x°，再根据OD是∠AOB
1
的平分线， 得出 ∠AOD= ∠AOB=2.5x ，再根据 ∠COD=∠AOD -∠AOC=2.5x-2x=15°， 可得出x
2
的值，即可得出答案。
15．如图，直线AB、CD相交于点O，∠EOC＝90°，OF是∠AOE的角平分线，∠COF＝34°，求
∠BOD的度数．
【答案】解：∵∠EOC=90°、∠COF=34°，
∴∠EOF=56°，
∵OF是∠AOE的角平分线，
∴∠AOF=∠EOF=56°，
∴∠AOC=∠AOF−∠COF=22°，
∴∠BOD=∠AOC=22°
【解析】【分析】先求出∠EOF=56°，再根据角平分线求出∠AOF=56°，最后计算求解即可。
1
16．如图，已知∠AOC= ∠BOC，OD平分∠AOB，且∠AOC=40°．求∠COD．
2
1
【答案】解：∵∠AOC= ∠BOC，∠AOC＝40°，
2
∴∠BOC＝80°，
∴∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝120°；
∵OD平分∠AOB，1
∴∠AOD＝ ∠AOB＝60°，
2
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°．
1
【解析】【分析】先求出 ∠BOC＝80°， 再求出 ∠AOD＝ ∠AOB＝60°， 最后计算求解即可。
2
17．如图， ∠AOB=33° ， ∠BOC=48° ， ∠COD=23° ， OE 平分 ∠AOD ，求 ∠AOE
的度数．
【答案】解：∵∠AOB=33° ， ∠BOC=48° ， ∠COD=23° ，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=33°+48°+23°=104°，
∵OE 平分 ∠AOD ，
1 1
∴∠AOE= ∠AOD= ×104°=52° ．
2 2
【解析】【分析】先求出∠AOD=104°，再利用角平分线的性质计算求解即可。
18．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC，∠COE＝58°，
求∠DOF的度数．
【答案】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝∠BOE＝90°，
∵∠COE＝58°，
∴∠BOC＝32°，∠AOC＝∠AOE+∠COE＝148°，∵OF平分∠AOC，
1
∴∠AOF＝ ∠AOC＝74°．
2
∵∠BOC＝∠AOD，
∴∠DOF＝∠AOD+∠AOF＝32°+74°＝106°．
【解析】【分析】根据OE⊥AB， 可得∠AOE＝∠BOE＝90°， 再求出∠AOC ，根据角平分线的定
1
义可得 ∠AOF＝ ∠AOC＝74°，然后根据∠DOF＝∠AOD+∠AOF可得答案。
2
19．如图，O为直线AB上的一点，且∠COD为直角，OE平分∠BOD，OF平分∠AOE，若∠BOC＝
54°，求∠COE和∠DOF的度数.
【答案】解：∵∠COD=90°，∠BOC=54°，
∴∠BOD=90°-54°=36°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠BOE=18°，
∴∠COE=∠BOC+∠BOE=54°+18°=72°，∠AOE=180°-∠BOE=180°-18°=162°.
∵OF平分∠AOE，
1
∴∠EOF= ∠AOE=81°
2
∴∠DOF=∠EOF-∠DOE=81°-18°=63°，
【解析】【分析】 易得∠BOD=36°，由角平分线定义得∠DOE=∠BOE=18°，由
∠COE=∠BOC+∠BOE，∠AOE=180°-∠BOE及角平分线的概念得∠EOF的度数，然后根据
∠DOF=∠EOF-∠DOE进行计算.
20．如图， O 为直线 MN 上的一点， ∠AOB 为直角， OC 平分 ∠MOB .若 OD 平分
∠CON ，且 ∠DON−∠AOM=21° ，求 ∠BON 的度数.【答案】解：∵OC 平分 ∠MOB ，
∴∠BOC=∠MOC，
∵OD 平分 ∠CON ， ∠AOB 为直角，
1
∴∠COD=∠NOD= (180°−∠BOC) ， ∠AOB =90°，
2
∵∠AOM=90°-2∠BOC，
∵∠DON−∠AOM=21° ，
{1
∠BOC+∠AOM=69°
∴ 2 ，
∠AOM+2∠BOC=90°
{∠AOM=62°
解得 ，
∠BOC=14°
∴∠BON=180°−2∠BOC=180°−28°=152° .
1
【解析】【分析】根据角平分线的定义，得出∠BOC=∠MOC，∠COD=∠NOD= (180°−∠BOC)，
2
由于
{1
∠BOC+∠AOM=69°
∠AOM=90°-2∠BOC，∠DON−∠AOM=21°，可得 2 ，从而求出∠AOM、
∠AOM+2∠BOC=90°
∠BOC的度数，继而得出∠BON=180°-2∠BOC的度数.
21．如图，在桌上放置一副三角板（忽略厚度），直角(∠DAE)与60°角(∠BAC)顶点重合．三角板
ADE可绕着点A旋转．（1）当AD平分∠BAC时，求∠1的度数．
（2）在旋转过程中，保持AD在∠BAC内部，求∠1−∠2的度数．
【答案】（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
1
∴∠DAC= ∠BAC=30°．
2
∵∠DAE=90°，
∴∠1=∠DAE−∠DAC=60°．
（2）解：在旋转过程中，当AD在∠BAC内部时，∠1=∠DAE−∠DAC=90°−∠DAC，
∠2=∠BAC−∠DAC=60°−∠DAC．
∴∠1−∠2=(90°−∠DAC)−(60°−∠DAC)=30°．
1
【解析】【分析】（1） 由角平分线的定义可得∠DAC= ∠BAC=30°，从而得出∠DAE-
2
∠DAC=60°；
（2）由于 ∠1=∠DAE−∠DAC=90°−∠DAC，∠2=∠BAC−∠DAC=60°−∠DAC，从而求
出∠1-∠2的值.
22．如图，将45°角三角板绕直角顶点旋转．
（1）问∠AOC与∠BOD大小关系，并说明理由；
（2）∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由；
（3）若∠AOD=3∠BOC，求∠AOC的大小．
【答案】（1）解：∠AOC=∠BOD，理由如下：
由图可知：∠BOD+∠BOC=90°，∠AOC+∠BOC=90°，
∴∠AOC=∠BOD.
（2）解：∠AOD+∠BOC=180°，理由如下：
∵∠BOD+∠BOC=90°，∠AOC+∠BOC=90°，
由（1）知∠AOC=∠BOD，
∴∠BOD+∠BOC+∠AOC+∠BOC=180°，
即∠AOD+∠BOC=180°.
（3）解：由（2）知∠AOD+∠BOC=180°，
∵∠AOD=3∠BOC，
∴4∠BOC=180°，
∴∠BOC=45°，
又∵∠AOC+∠BOC=90°，
∴∠AOC=45°.
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等即可得出答案.
（2）∠AOD+∠BOC=180°，理由如下：由（1）知∠AOC=∠BOD，由图可知∠BOD+∠BOC=90°，
∠AOC+∠BOC=90°，两式相加即可得出答案.
（3）由（2）知∠AOD+∠BOC=180°，将∠AOD=3∠BOC代入可求得∠BOC=45°，根据
∠AOC+∠BOC=90°可求得∠AOC度数.
23．如图，将一副三角尺的两个直角顶点O重合在一起，在同一平面内旋转其中一个三角尺．
（1）如图1，若 ∠ B O C = 70° ，则 ∠ A O D = 度 ．
（2）如图2，若 ∠ B O C = 50°，则 ∠ A O D = 度 ．
（3）如图1，请猜想 ∠BOC 与 ∠AOD 的关系，并写出理由．
【答案】（1）110（2）130
（3）解：∠BOC+∠AOD=180°
理由如下：∵∠BOC=∠AOB－∠AOC=90°－∠AOC ∠AOD=∠COD+∠AOC=90°+∠AOC
∴∠BOC+∠AOD=90°－∠AOC+90°+∠AOC=180°
【解析】【解答】解：（1）∵∠BOC+∠BOD=90°，∠BOC=70°，
∴∠BOD=20°，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=110°
故答案为110。
（2）∵∠AOB=∠DOC=90°，又∵∠AOB+∠AOD+∠DOC+∠BOC=360°，
∴∠BOC+∠AOD=180°
∵∠BOD=40°，
∴∠AOD=180°-∠BOC=130°
故答案为130.
【分析】（1）根据∠AOC＝∠AOB-∠BOC =20° ，然后根据∠AOD=∠COD＋∠AOC=110° ;
（2）∠AOD=360°－∠AOB－∠BOC－∠COD=360°－90°－50°－90°=130° ;
（3）∠BOC+∠AOD=180°理由如下：根据∠BOC=∠AOB－∠AOC=90°－∠AOC
∠AOD=∠COD+∠AOC=90°+∠AOC，
得出∠BOC+∠AOD=90°－∠AOC+90°+∠AOC=180° 。
24．如图1，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上（异于点O）.将射线OA绕点O沿顺时
针方向以每秒6°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转（如图2）.设旋转
时间为t（0≤t≤60，单位秒）
（1）当t=8时，求∠AOB的度数；
（2）在旋转过程中，当∠AOB=45°，求t的值；（3）在旋转过程中，当ON，OA，OB三条射线中的一条恰好平分另外两条射线组成的角（指大
于0°而不超过180°的角）时，请求出t的值.
【答案】（1）当t=8时，∠AOB＝90°＋3°×8−6°×8=66°；
（2）依题意有|(90°+3t)−6t|=45°，解得：t=15或t=45；
（3）有以下3种情形：
①当ON平分∠AOB时，
由3t=90−6t，
∴t=10
②当OA平分∠BON时，
由3t=2(6t−90)，
∴t=20，
特别的，当t=60s时，OA的旋转角度为6×60°=360°，OB的旋转角度为3×60°=180°，此时OA是∠NOB的平分线
③当OB平分∠AON时，
由6t−90=2×3t，
∴t无解.
综上：t=10或t=20 或t=60.
【解析】【分析】（1）当t=8时，∠AOB=90°+3°×8-6°×8，据此计算；
（2）依题意有|(90°+3t)-6t|=45°，求解即可；
（3）①当ON平分∠AOB时，根据3t=90-6t可得t；②当OA平分∠BON时，根据3t=2(6t-90)可得
t；
当t=60s时，OA的旋转角度为360°，OB的旋转角度为180°，此时OA是∠NOB的平分线；③当OB
平分∠AON时，根据6t-90=2×3t可得t，据此解答.
25．如图，小明将两块完全相同的直角三角形纸片的直角顶点C叠放在一起，若保持△BCD不动，将
△ACE绕直角顶点C旋转．（1）论证：如图1，如果CD平分∠ACE，说明CE平分∠BCD．
（2）发现：如图1，若∠DCE＝35°，则∠ACB＝ °；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝
°；
（3）总结：当直角三角形ACE纸片绕直角顶点C旋转到如图1的位置时，猜想∠ACB与∠DCE
的数量关系为 ；当△ACE绕直角顶点C旋转到如图2的位置时，上述关系是否
依然成立，请说明理由；
（4）拓展：在图3中， 将直角三角形ADE纸片绕顶点A逆时针旋转40°角到如图的位置，已知
∠CAE＝100°，直接写出∠BAD的度数．
【答案】（1）解：∵CD平分∠ACE，∠ACE=90°，
1
∴∠ACD=∠DCE= ∠ACE=45°，
2
∵∠DCB=90°，
∴∠BCE=90°-∠DCE=90°-45°=45°，
1
∴∠DCE=∠BCE= ∠DCB，
2
∴CE平分∠BCD；
（2）145；40
（3）解：∠ACB+∠DCE=180°；依然成立，∠ACB+∠DCE=360°-∠ACE-∠DCB=360°-90°-90°=180°，
（4）解：旋转角为∠EAB=∠DAC=40°，
∴∠BAD=100°-2×40°=20°．
【解析】【解答】解：（2）发现：∵∠DCE＝35°，
∴∠DCA＝90°-∠DCE＝90°-35°=55°，
∴∠ACB＝∠DCA+∠DCB＝55°+90°=145°，
∵∠ACB=140°，
∴∠ACD=∠ACB-∠DCB=140°-90°=50°，∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=90°-50°=40°，
故答案为：145°；40°；
（3）解：∵∠DCE+∠ACB＝35°+145°=180°，∠ACB+∠DCE=140°+40°=180°，
∴∠ACB+∠DCE=180°；
1
【分析】(1) 根据题意可知， ∠ACD=∠DCE= ∠ACE=45° ，而 ∠DCB=90° 从而计算 ∠BCE
2
=45°，即可得到结论；
(2) 根据余角的性质可求出 ∠ACD 的度数，然后根据∠ACB＝∠DCA+∠DCB即可得出答案；
根据∠ACB＝∠DCA+∠DCB结合题意可求出 ∠ACD 的度数，然后利用余角的性质求得 ∠DCE ；
(3) 当在图1的位置时 ， ∠ACB+∠DCE =∠ACE+∠BCE+∠DCE=∠90°+90°=180°；
当在图2的位置时，利用周角的性质可得∠ACB+∠DCE+∠ACE+∠DCB=360°可得相同的结论。
(4)国际化性质的性质可得∠EAB=∠DAC=40° ，进而求得结果。
26．如图1，点A、O、B在同一直线上，∠AOC=60°，在直线AB另一侧，直角三角形DOE绕直角
顶点O逆时针旋转（当OD与OC重合时停止），设∠BOE=α：
（1）如图1，当DO的延长线OF平分∠BOC，∠α= 度；
（2）如图2，若（1）中直角三角形DOE继续逆时针旋转，当OD位于∠AOC的内部，且∠AOD=
1
∠AOC，∠α= 度；
3
（3）在上述直角三角形DOE的旋转过程中，（∠COD+∠α）的度数是否改变？若不改变，请求出
其度数；若改变，请说明理由．
【答案】（1）30
（2）110
（3）解：（∠COD+∠α）的度数不变．理由如下：
∵（∠COD+∠α）+∠DOE+∠BOC=360°，
∵∠DOE=90°，∠BOC=120°，
∴∠COD+∠α=360°-90°-120°=150°．
∴（∠COD+∠α）的度数不变且为150°
【解析】【解答】解：（1）∵DO的延长线OF平分∠BOC，∠AOC=60°，
1 1 1
∴∠BOF= ∠BOC= （180°-∠AOC）= （180°-60°）=60°，
2 2 2
又∵∠DOE=90°，
∴∠α=90°-∠BOF=90°-60°=30°．
1 1
故答案为：30;（2）当OD位于∠AOC的内部，且∠AOD= ∠AOC时，∠AOD= ×60°=20° ，
3 3
又∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=90°-∠AOD=90°-20°=70°，
∴∠α=180°-∠AOE=180°-70°=110°．
故答案为：110
【分析】（1）先根据邻补角定义和角平分线的定义求出∠BOF的度数，再根据余角的定义即可求出
1
∠α的度数；（2）根据∠AOD= ∠AOC易得∠AOD=20°，根据余角的定义可求出∠AOE=70°，再
3
根据补角的定义即可求出∠α的度数；（3）根据周角等于360°可得∠COD+∠α=360°-∠DOE-∠BOC，
∠DOE与∠BOC的大小不变，可知（∠COD+∠α）的度数不变且为150°．
27．如图，点O是直线AB上一点，射线OA ，OA 均从OA的位置开始绕点O顺时针旋转，OA 旋
1 2 1
转的速度为每秒30°，OA 旋转的速度为每秒10°.当OA 旋转6秒后，OA 也开始旋转，当其中一条射
2 2 1
线与OB重合时，另一条也停止.设OA 旋转的时间为t秒.
1
（1）用含有t的式子表示∠AOA= °，∠AOA= °；
1 2
（2）当t = ，OA 是∠AOA的角平分线；
1 2
（3）若∠AOA =30°时，求t的值.
1 2【答案】（1）30t；10（t+6）
（2）1.2
（3）解：①当OA 在∠AOA 的内部时 10（t+6）- 30t = 30
1 2
解得 t=1.5
②当OA 在∠AOA 的外部时
1 2
30t - 10（t+6）= 30
解得 t=4.5
所以t为1.5或4.5.
答：t的值为1.5或4.5.
【解析】【分析】（1）利用速度×时间，分别得出∠AOA和∠AOA的度数即可.
1 2
（2）若OA 是∠AOA的角平分线，则有∠AOA=2∠A OA，即10（t+6）=2×30t，解
1 2 2 1
得t =1.2.
（3）此问注意分情况讨论，分①当OA 在∠AOA 的内部时和 ②当OA 在∠AOA 的外
1 2 1 2
部时两种情况.
28．如图，已知∠AOB=120°，射线OA绕点O以每秒钟6°的速度逆时针旋转到OP，设射线OA旋转
OP所用时间为t秒（t＜30）．
（1）如图1，直接写出∠BOP= °（用含t的式子表示）；
（2）若OM平分∠AOP，ON平分∠BOP．
①当OA旋转到如图1所示OP处，请完成作图并求∠MON的度数；
②当OA旋转到如图2所示OP处，若2∠BOM=3∠BON，求t的值．
【答案】（1）（120﹣6t）
（2）解：∵OM平分∠AOP，ON平分∠BOP，
1 1
∴∠MOP= ∠AOP=3t，∠NOP= ∠BOP=60﹣3t，
2 2
∴∠MON=∠MOP+∠NOP=3t+60﹣3t=60°；
∵OM平分∠AOP，ON平分∠BOP，1
∴∠MOA=∠MOP= ∠AOP=3t，
2
1
∠BON=∠NOP= ∠BOP=3t﹣60，
2
∵2∠BOM=3∠BON，
即2（120﹣3t）=3（3t﹣60），
解得t=28．
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOB=120°，∠AOP=6t，
∴∠BOP=（120﹣6t）°．
故答案为：（120﹣6t）；
【分析】（1）由于∠AOB=120°，∠AOP=6t，即可得到∠BOP=（120﹣6t）°；（2）根据角平分线的
1 1
定义得到∠MOP= ∠AOP=3t，∠NOP= ∠BOP=60﹣3t，根据线段的和差即可得到结论；（3）
2 2
1 1
根据角平分线的定义得到∠MOA=∠MOP= ∠AOP=3t，∠BON=∠NOP= ∠BOP=3t﹣60，根据已
2 2
知条件列方程即可得到结论．
29．已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速
度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒
≤t≤90秒）．
（1）用含t的代数式表示∠MOA的度数．
（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值．
（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两
条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，
请说明理由．
【答案】（1）解：∠MOA=2t
（2）解：如图，根据题意知：∠AOM=2t，∠BON=4t，
当∠AOB第二次达到60°时，∠AOM+∠BON﹣∠MON=60°，
即2t+4t﹣180=60，解得：t=40，
故t=40秒时，∠AOB第二次达到60°
（3）解：射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情
况：
1
①OB平分∠AOM时，∵ ∠AOM=∠BOM，
2
∴t=180﹣4t，或t=4t﹣180，
解得：t=36或t=60；
1
②OB平分∠MON时，∵∠BOM= ∠MON，即∠BOM=90°，
2
∴4t=90，或4t﹣180=90，
解得：t=22.5，或t=67.5；
1
③OB平分∠AON时，∵∠BON= ∠AON，
2
1 1
∴4t= （180﹣2t），或180﹣（4t﹣180）= （180﹣2t），
2 2
解得：t=18或t=90（不符合题意，舍去）；
综上，当t的值分别为18、22.5、36、60、67.5秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中
的其中两条组成的角的平分线
【解析】【分析】（1）∠AOM的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间；（2）当∠AOB第二次达到
60°时，射线OB在OA的左侧，根据∠AOM+∠BON﹣∠MON=60°列方程求解可得；（3）射线OB是
由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有三种情况：①OB两次平分
1
∠AOM时，根据 ∠AOM=∠BOM，列方程求解，
21
②OB两次平分∠MON时，根据∠BOM= ∠MON，列方程求解，
2
1
③OB平分∠AON时，根据∠BON= ∠AON，列方程求解．
2
30．如图1，点O，M在直线AB上，∠AOC＝30°，∠MON＝60°，将∠MON绕着点O以12°/s的速
度逆时针旋转，设旋转时间为ts（0≤t≤30）.
（1）如图2，当OC平分∠AON时，求t的值.
（2）如图3，当0＜t＜7.5，OD平分∠BOM，OF平分∠CON时，求∠DOF的度数.
（3）在∠MON绕着点O逆时针旋转过程中，当∠AON＝∠COM时，请画出图形，并求出t的值.
【答案】（1）解：如图2中，
∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠CON＝30°，
∴∠BOM＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴12t＝60，
解得t＝5.
故t的值为5s；
（2）解：如图3中，∵∠AOC＝30°，∠MON＝60°，∠BOM=(12t) °，
∴∠CON=(90﹣12t)°，
∵OD平分∠BOM，OF平分∠CON，
1 1
∴∠FON＝ (90﹣12t)°=(45-6t)°，∠MOD＝ ×(12t)°=(6t)°
2 2
∴∠DOF＝∠FON+∠MON+∠MOD＝(45﹣6t)°+60°+(6t)°＝105°；
（3）解：如图3﹣1中，
当∠AON＝∠COM时，
∵∠AOC＝30°，∠MON＝60°，
∴∠AON＝∠COM＝15°，
∴∠BOM＝135°，
∴t＝135÷12＝11.25.
如图3﹣2中，
当∠AON＝∠COM时，则∠CON＝∠AOM，
∵∠AOC＝30°，∠MON＝60°，
∴∠CON＝∠AOM＝135°，
∴∠BON=180°-30°-135°＝15°，
∴∠BOM＝45°，∴12t＝360﹣45，
解得t＝26.25.
故t的值为11.25或26.25s.
【解析】【分析】（1）根据∠BOM＝60°，构建方程即可解决问题；
（2）根据∠DOF＝∠FON+∠MON+∠MOD，结合角平分线的定义解决问题即可；
（3）分 当∠AON＝∠COM时与 当∠AON＝∠COM时两种情形分别画出图形，构建方程解决问题
即可.
