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专题10 8字型+角分线求角
1．【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成为“8”字形，并得出如下结论：∠A+∠B
＝∠C+∠D，请你说明理由；
（2）【尝试应用】如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度
数；
小明结合（1）中的结论并利用方程思想轻松解答如下：
解：由AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，可设∠1＝∠2＝x，∠3＝∠4＝y，
由（1）的结论得： ，…………请你帮小明把求解过程补充完整．
（3）【拓展延伸】如图3，已知∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝ ∠CAB，∠CDP＝ ∠CDB，请利用上述结
论或方法直接写出∠P的度数．（用含α，β 的代数式表示）
2．如图， 平分 ，交 于点F， 平分 交 于点E， 与 相交于点G，
．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数．
3．已知 ，（1）如图， ， ， 是 的平分线， 是 的平分线，求 的度数；
（2）如果（1）中条件变为 ， ，其它条件不变，则 _____________．（直接写出答
案）
4．已知：如图，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD．
①若∠B＝32°，∠D＝38°，求∠M的度数；
②探索∠M与∠B、∠D的关系并证明你的结论．
5．如图， 与 的角平分线交于点P．
（1）若 ， ，求 的度数；
（2）猜想 ， ， 的等量关系．
6．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下， 和
的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出 、 、 、 之间的数量关系： ；
（2）在图2中，若 ， ，试求∠P的度数；（写出解答过程）
（3）如果图2中 和 为任意角，其他条件不变，试写出∠P与 、 之间数量关系．（直接写出结论）
7．如图1，AB与CD相交于点O，若 ， ， 和 的平分线AP和CP相交于点
P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1） 的度数；
（2）设 ， ， ， ，其他条件不变，如图2，试问
与 、 之间存在着怎样的数量关系（用 、 表示 ），直接写出结论．
8．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图
1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列
问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P的度数.
（3）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.
9．（1）如图1，求证∠A＋∠B＝∠C＋∠D．
（2）如图2，∠ABC和∠ADC的角平分线交于点P，若∠A＋∠C＝50°，求∠P的度数．（3）如图3，∠BAD和∠BCD的外角角平分线相交于点Q，请探究∠Q与∠B，∠D之间的数量关系，并
直接写出结论．
10．（1）如图1，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ．
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；
（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想∠P、∠B、∠D之间的
数量关系．并说明理由．
11．（类比探究）如图1，线段AD，CB相交于点O，连接AB，DC，我们把形如图1的图形称之为“X型”．
如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AE和CE相交于点E，并且与CB，AD分别相交于F，
G，试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：____________；
（2）在图2中，共有______个“X型”；
（3）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，则∠AEC=_______；
（4）在图2中，若∠D=α，∠B=β，则∠AEC=__________．12．【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；
【简单应用】
（2）如图2， AP、CP分别平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，
请猜想∠P的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
（4） ①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP= ∠CAB，∠CDP= ∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数
量关系为： （用α、β表示∠P）；
②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．
13．【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；
【简单应用】（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，
求∠P的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，
∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
（4）在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP= ∠CAB，∠CDP= ∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数
量关系为： ______ （用α、β表示∠P,不必证明）
